全等三角形、轴对称能力提高练习(可打印修改)

则∠APB=360-∠BPM-∠CPM-∠APC=360-60-50-100=150°

2. 过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB

∴∠AEC=∠AFC=90º， ∠EAC=∠

∴△AEC ≌△AFC ∴AE=AF ∵AE=

(AB+AD) 2

1

∴2AE=AB+AD ∴AB-AE =AE-AD

∴AB-AE =AF-AD ，即EB =FD

在△EBC 和△FDC

中：

CE=CF ，∠BEC=∠DFC=90º ， EB =FD ∴△EBC ≌△FDC

∴∠B=∠FDC ，即∠ABC=∠FDC

∵∠FDC+∠ADC=180º ∴∠ABC+∠ADC=180º3. ∵M 、N 分别是点P 关于OA 、OB 的对称点∴EP=EM ，FP=FN

∴△PEF 的周长=EP+EF+FP =EM+EF+FN ，即△PEF 的周长=线段MN ∵△PEF 的周长=20cm ∴MN=20cm (1)连接OM ，OP ，ON

∵M 、N 分别是点P 关于OA ，OB 的对称点

∴OM=OP ，ON=OP ，∠MOA=∠POA ,∠NOB=∠POB ∴OM=ON

∠MON=∠MOA+∠POA +∠NOB+∠POB=2(∠POA +∠POB)=2∠AOB ∵∠AOB=45º， ∴∠MON=90º ，∴△MON 是等腰直角三角形

（2）分别作点P 关于OA ，OB 的对称点M 、 N ，连接MN ，分别交OA ，OB 于点E 、F 连接PE 、PF ，△PEF 即为所求。4.提示：连接AD ，证△ADF ≌△BDE

5.提示：延长AB 与CD 的延长线交于点F ，证△ABE ≌△CBF

6.提示：（1）EC=BD (2)∠BOP=∠BAE=60º，故∠BOP 的大小与△ABC 形状无关。

7.提示：过点E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ，证△MEG ≌△CFG

8.（1）当在底边BC 边上取点时，分两种情况：

时，容易计算得∠B=∠C=45º ，∠BAC=90º；如图（2），在BC 上取点F ，使AB=FB ，AF=CF ，设∠B=

∠C= x ，则∠FAC=x ，∠BFA=∠BAF=2x ，所以有x+x+x+2x=180º， x=36º ，2x=72º，3x=108º，∠B=

∠C=36º ，∠BAC=108º ；（2）当在腰上取点时，也有两种情况：

如图（3），在AC 上取点D ，使BD=AD=BC ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，所以

∠BDC=2x ，∠C=2x ，∠DBC=x ，所以有x+2x+2x=180º，x=36º，2x=72º.

所以∠A=36º，∠ABC=∠ACB=72º.

如图（4），在AC 上取点G ，使AG=BG ，CG=CB ，设∠A=x ，则∠ABG=x ，∠BGC=∠CBG=2x ，

所以，∠ABC=∠ACB=3x ，所以x+3x+3x=180º，x=，3x=.

7180o 7540o 所以∠A=，∠ABC=∠ACB=

7180o 7

540o

综上所述，△ABC 各内角度数分别为45º，45º，90º或36º，36º，108º或36º，72º，72º或，，

7180o 7540o

7

540o

9.如图，延长BD 到点E ，使DE=DB ，连接AE. △ADE ≌△CDB ，所以AE=BC ，∠AED=90º，由∠ABC=120º，BD ⊥BC ，

所以∠ABD=30º，所以AB=2AE=2BC 10.延长PC 到点D ，使CD=BP ，连接AD.

∵∠ABP+∠ACP=180º，∠ACP+∠ACD=180º∴∠ABP=∠ACD.

在△ABP 和△ACD 中：

AB=AC ，∠ABP=∠ACD ，BP=CD ∴△ABP ≌△ACD .∴AP=AD ，∠BAP=∠CAD.∵∠BAP+∠PAC=60º，

∴∠CAD+∠PAC=60º，即∠PAD=60º∴∠PAD=60º

∴△PAD 是等边三角形∴AP=PD=PC+CD ∴AP=PB+PC

11.过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接PA 、PB 、PC.∵S △ABC =S △PAB +S △PBC +S △PAC

BC.AH=AB.PD+BC.PE+AC.PF 21212121

又∵AB=BC=AC ，

∴AH=PD+PE+PF

∴PD+PE+PF 的值是等边△ABC 的高，是不变的值。12.如图，延长AE 到点F ，使EF=AB ，连接DF. 证明△ABD ≌△FED

13.延长AB 至点E ，使BE=BD ，连接DE ，则∠BED=∠BDE ∵∠ABD=∠E+∠BDE ，∴∠ABD=2∠E

∵∠ABC=2∠C ，∴∠E=∠C 在△AED 和△ACD 中：

P

∠E=∠C ，∠1=∠2，AD=AD ，∴△AED ≌△ACD ∴AC=AE

∵AE=AB+BE ，∴AC=AB+BD 即AB+BD=AC 14.提示：证明△BDE ≌△FEC

15. (1)①CF ⊥BD ，CF=BD ②成立。提示：证明△ABD ≌△ACF (2) 如右图，过点A 作AG ⊥AC 交

∴∠AGD+∠ACG=90º ，∠GAD+∠∵CF ⊥BC

∴∠ACF+∠ACG=90º，∴∠AGD=∠ACF ∵四边形ADFE 是正方形∴∠CAF+∠DAC=90º，

AD=AF ∴∠GAD=∠CAF 在△AGD 和△ACF 中：

∠AGD=∠ACF,∠

GAD=∠CAF,AD=AF ∴△AGD ≌△ACF ∴AG=AC

∴∠AGC=∠ACG=45º即∠BCA=45º

∴当∠BCA=45º时CF ⊥BC 16. 过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，∴∠AQB=90º，∠BAQ+∠ABQ=90º∵CE ⊥AB

∴∠PCN+∠ABQ=90º∴∠BAQ=∠PCN

∵PN ⊥BC ∴∠CNP=90º∴∠AQB=∠CNP 又∵AB=CP