数学建模基本概念资料
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线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐 标，从山下到山顶的总路程为d ；
8
在t时刻: 第一天的行程可设为 x=F(t)，则F(t)
是单调增加的连续函数，且F(8)=0, F(17)=d ；
第二天的行程可设为 x=G(t)，则 G(t)是单调减少的连续函数，且 G(8)=d, G(17)=0.
9
在坐标系中分别作曲线x=F(t)及 x=G(t)，如下图：
则两曲线必相交于P(t0, x0) 点，即这个 人两天在同一时刻经过同一地点。
10
严格的数学论证：
令 H(t)=F(t)-G(t) 由F(t)、G(t)在区间[8,17]上连续，所 以H(t)在区间[8,17]上连续， 又 H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0
H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0
6
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运
动看作一天两人同时分别从山下和山 顶沿同一路径相反运动，因为两人同 时出发，同时到达目的地，又沿同一 路径反向运动，所以必在中间某一时 刻t两人相遇，这说明某人在两天中的 同一时刻经过路途中的同一地点。
怎样用数学方法解决？
7
解法二： 以时间t为横坐标，以沿上山路
「方法」不妨用a、b、c及a*、b*、c*分 别表示三根电线的底端和顶端，并用aa*、 bb*、cc*分别表示三根电线, 假设x,y,z分 别是aa*,bb*,cc*的电阻，这是三个未知数。 电表不能直接测量出这三个未知数。然而 我们可以把a*和b*连接起来，在a和b处 测量得电阻x+y为l；然后将b*和c*联接起 来，在b和c处测量得y+z为m，联接c*和a* 可测得x+z为n。
15
这样得三元一次方程组
x y l
y
z
m
x z n
由三元一次线性方程组解出 x,y,z即得三根电线的电阻。
16
说明：
此问题的难点也是可贵之处是用 方程“观点”、“立场”去分析， 用活的数学思想使实际问题转到新 创设的情景中去。
17
问题４ 气象预报问题
问题：在气象台A的正西方向 300km处有一台风中心，它以 40km/h的速度向东北方向移动； 根据台风的强度，在距其中心 250km以内的地方将受到影响， 问多长时间后气象台所在地区将遭 受台风的影响？持续时间多长？
用简捷数学方法完美的解决。
3
几个简单的实际问题。
问题１ 已知甲桶中放有10000个蓝 色的玻璃球，乙桶中放有10000个红色 的玻璃球。任取甲桶中100个球放入乙 桶中，混合后再任取乙桶中100个球放 入甲桶中，如此重复3次，问甲桶中的红 球多还是乙桶中的蓝球多 怎样用数学方法解决问题1？
4
解：设甲桶中有x个红球; 乙桶中有y个蓝球 因为对蓝球来说，甲桶中的蓝球数加
数学建模
实际问题中的数学奥妙不是明摆 在那里等着你去解决，而是暗藏在深 处等着你去发现，终身的受益和无穷 的乐趣是属于你的！
1
• 1999年9月 我校由徐州煤炭建筑工程学 校更名为 徐州建筑职业技术学院
• 2000年9月 我校首次参加全国大学生数 学建模竞赛（专科组） 获得江苏赛区一 等奖一个（两个队参赛）
2、若此人10点下山，下午3点到达旅 店，结论是否成立？
13
问题３ 在一摩天大楼里有三根 电线从底层控制室通向顶楼，但由于 三根电线各处的转弯不同而有长短， 因此三根电线的长度均未知。现工人 师傅为了在顶楼安装电气设备，需要 知道这三根电线的电阻。如何测量出 这三根电线的电阻？
电阻是怎样测量的？
14
11
由零点定理知在区间[8,17]内至少存在
一点使
H (t0 ) 0,
即 F(t0) G(t0).
(t0 是唯一的吗？为什么？) 这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻
t t0使得路程相等，
即这人两天在同一时刻经过路途中的同一 地点。
x0 F(t0) G(t0)
12
思考题：
1、若下山时，这人下午3点就到达山 下旅店，结论是否成立？
23
通过以上几个简单问题的解决可以 看 出 ，在 我 们 周 围 的 许 多 实 际 问 题 ，甚 至有些实际问题看起来好象与数学无 关，但通过细致的观测、分析及假设， 都可以应用数学方法简捷和完美的解 决 。这 说 明 只 要 善 于 观 察 和 分 析 ，数 学 的应用是非常灵活和十分广泛的.
18
ห้องสมุดไป่ตู้
现此问题是某气象台所遇到的实际 问题，为了搞好气象预报，建立解 析几何模型加以探讨。
19
以气象台A为坐标原点建立平面直 角坐标系，设台风中心为B,如下图:
20
由题意：
B点的坐标为(-300,0)，单位为km， 台风中心的运动轨迹为直线BC,这里 的∠CBA= ；45o
当台风中心在运动过程中处于以A为 园心半径为250km的园内（即MN上）时， 气象台A所在地区将遭受台风的影响。
21
因为圆的方程为 x2 y2 2502
直线BC的方程为
x 300 40t cos450
y
40t
sin
450
其中参数t为时间（单位为h）。 当台风中心处于园内时，有
(300 2 2t)2 (20 2t)2 2502
解得 2.0≤t≤8.6 （精确到0.1）
22
所 以 ， 大 约 在 2小 时 以 后 气 象 台 A所 在 地 区 将 会 遭 受 台 风 的 影 响 ， 持 续 时 间 大 约 为 6.6个 小 时 。
上乙桶中的蓝球数等于10000,所以 10000-x+y=10000 x=y
故甲桶中红球与乙桶中蓝球一样多。
5
问 题 ２ 某 人 早 8时 从 山 下 旅 店 出 发 沿 一 条 路 径 上 山 ， 下 午 5时 到 达 山 顶 并 留 宿 ， 次 日 早 8时 沿 同 一 路 径 下 山 ， 下 午 5时 回 到 旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途 中的同一地点，为什么？
• 2001年9月 获得全国二等奖一个（四个 队参赛） 该队获得奖金3000元
2
第一章 数学模型基本概念
§1 引言
一、《数学建模》课程的重要性 1、科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用；
2、《数学建模》课程建设在全国各大专院校蓬勃开展； 3、数学建模教育有利于学生解决实际问题的综合能力的提高； 4、我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都可
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在t时刻: 第一天的行程可设为 x=F(t)，则F(t)
是单调增加的连续函数，且F(8)=0, F(17)=d ；
第二天的行程可设为 x=G(t)，则 G(t)是单调减少的连续函数，且 G(8)=d, G(17)=0.
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在坐标系中分别作曲线x=F(t)及 x=G(t)，如下图：
则两曲线必相交于P(t0, x0) 点，即这个 人两天在同一时刻经过同一地点。
10
严格的数学论证：
令 H(t)=F(t)-G(t) 由F(t)、G(t)在区间[8,17]上连续，所 以H(t)在区间[8,17]上连续， 又 H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0
H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0
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解法一： 将两天看作一天，一人两天的运
动看作一天两人同时分别从山下和山 顶沿同一路径相反运动，因为两人同 时出发，同时到达目的地，又沿同一 路径反向运动，所以必在中间某一时 刻t两人相遇，这说明某人在两天中的 同一时刻经过路途中的同一地点。
怎样用数学方法解决？
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解法二： 以时间t为横坐标，以沿上山路
「方法」不妨用a、b、c及a*、b*、c*分 别表示三根电线的底端和顶端，并用aa*、 bb*、cc*分别表示三根电线, 假设x,y,z分 别是aa*,bb*,cc*的电阻，这是三个未知数。 电表不能直接测量出这三个未知数。然而 我们可以把a*和b*连接起来，在a和b处 测量得电阻x+y为l；然后将b*和c*联接起 来，在b和c处测量得y+z为m，联接c*和a* 可测得x+z为n。
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这样得三元一次方程组
x y l
y
z
m
x z n
由三元一次线性方程组解出 x,y,z即得三根电线的电阻。
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说明：
此问题的难点也是可贵之处是用 方程“观点”、“立场”去分析， 用活的数学思想使实际问题转到新 创设的情景中去。
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问题４ 气象预报问题
问题：在气象台A的正西方向 300km处有一台风中心，它以 40km/h的速度向东北方向移动； 根据台风的强度，在距其中心 250km以内的地方将受到影响， 问多长时间后气象台所在地区将遭 受台风的影响？持续时间多长？
用简捷数学方法完美的解决。
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几个简单的实际问题。
问题１ 已知甲桶中放有10000个蓝 色的玻璃球，乙桶中放有10000个红色 的玻璃球。任取甲桶中100个球放入乙 桶中，混合后再任取乙桶中100个球放 入甲桶中，如此重复3次，问甲桶中的红 球多还是乙桶中的蓝球多 怎样用数学方法解决问题1？
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解：设甲桶中有x个红球; 乙桶中有y个蓝球 因为对蓝球来说，甲桶中的蓝球数加
数学建模
实际问题中的数学奥妙不是明摆 在那里等着你去解决，而是暗藏在深 处等着你去发现，终身的受益和无穷 的乐趣是属于你的！
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• 1999年9月 我校由徐州煤炭建筑工程学 校更名为 徐州建筑职业技术学院
• 2000年9月 我校首次参加全国大学生数 学建模竞赛（专科组） 获得江苏赛区一 等奖一个（两个队参赛）
2、若此人10点下山，下午3点到达旅 店，结论是否成立？
13
问题３ 在一摩天大楼里有三根 电线从底层控制室通向顶楼，但由于 三根电线各处的转弯不同而有长短， 因此三根电线的长度均未知。现工人 师傅为了在顶楼安装电气设备，需要 知道这三根电线的电阻。如何测量出 这三根电线的电阻？
电阻是怎样测量的？
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11
由零点定理知在区间[8,17]内至少存在
一点使
H (t0 ) 0,
即 F(t0) G(t0).
(t0 是唯一的吗？为什么？) 这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻
t t0使得路程相等，
即这人两天在同一时刻经过路途中的同一 地点。
x0 F(t0) G(t0)
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思考题：
1、若下山时，这人下午3点就到达山 下旅店，结论是否成立？
23
通过以上几个简单问题的解决可以 看 出 ，在 我 们 周 围 的 许 多 实 际 问 题 ，甚 至有些实际问题看起来好象与数学无 关，但通过细致的观测、分析及假设， 都可以应用数学方法简捷和完美的解 决 。这 说 明 只 要 善 于 观 察 和 分 析 ，数 学 的应用是非常灵活和十分广泛的.
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ห้องสมุดไป่ตู้
现此问题是某气象台所遇到的实际 问题，为了搞好气象预报，建立解 析几何模型加以探讨。
19
以气象台A为坐标原点建立平面直 角坐标系，设台风中心为B,如下图:
20
由题意：
B点的坐标为(-300,0)，单位为km， 台风中心的运动轨迹为直线BC,这里 的∠CBA= ；45o
当台风中心在运动过程中处于以A为 园心半径为250km的园内（即MN上）时， 气象台A所在地区将遭受台风的影响。
21
因为圆的方程为 x2 y2 2502
直线BC的方程为
x 300 40t cos450
y
40t
sin
450
其中参数t为时间（单位为h）。 当台风中心处于园内时，有
(300 2 2t)2 (20 2t)2 2502
解得 2.0≤t≤8.6 （精确到0.1）
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所 以 ， 大 约 在 2小 时 以 后 气 象 台 A所 在 地 区 将 会 遭 受 台 风 的 影 响 ， 持 续 时 间 大 约 为 6.6个 小 时 。
上乙桶中的蓝球数等于10000,所以 10000-x+y=10000 x=y
故甲桶中红球与乙桶中蓝球一样多。
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问 题 ２ 某 人 早 8时 从 山 下 旅 店 出 发 沿 一 条 路 径 上 山 ， 下 午 5时 到 达 山 顶 并 留 宿 ， 次 日 早 8时 沿 同 一 路 径 下 山 ， 下 午 5时 回 到 旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途 中的同一地点，为什么？
• 2001年9月 获得全国二等奖一个（四个 队参赛） 该队获得奖金3000元
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第一章 数学模型基本概念
§1 引言
一、《数学建模》课程的重要性 1、科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用；
2、《数学建模》课程建设在全国各大专院校蓬勃开展； 3、数学建模教育有利于学生解决实际问题的综合能力的提高； 4、我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都可