2020年高中物理竞赛传热学 第四章 导热问题的数值解法共28张 课件
合集下载
第4章-导热问题的数值解法PPT
∴ x = 0.6 × = 0.88 m 4aτ = 0.6 × 4 × 1.38 × 10 − 7 × 45 × 24 × 3600 m
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
传热学第4章ppt课件
2
（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络 线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区 域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域 的温度； （4）建立节点温度代数方程组； （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温 度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则 修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。 目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元 法、边界元法等。其中有限差分法比较成熟，应用广 泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。
2 t t 2 t t m 1 , n m 1 , n m , n 2 2 xm ( Δ) x , n
中心差分格式
5
同样可得y方向得二阶偏导数
ห้องสมุดไป่ตู้
对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为
t t 2 t t m ,n 1 m ,n 1 m ,n 2 2 ym ( Δ) y , n
取x = y，得
2) 热平衡法 根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来 建立节点温度差分方程。 (1) 内部节点温度差分方程 对于无内热源的二维稳态导热， 内部节点( m,n )所代表的元体在导 热过程中的热平衡
0 w e s n
t t t t m 1 , n m , n m 1 , n m , n y y x x t t t t m , n 1 m , n m , n 1 m , n 选择x=y x x 0 y y 7
传热学第4章
数值解法：
有限差分法（finite-difference）
有限元法(finite-element) 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）
（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络 线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区 域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域 的温度； （4）建立节点温度代数方程组； （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温 度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则 修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。 目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元 法、边界元法等。其中有限差分法比较成熟，应用广 泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。
2 t t 2 t t m 1 , n m 1 , n m , n 2 2 xm ( Δ) x , n
中心差分格式
5
同样可得y方向得二阶偏导数
ห้องสมุดไป่ตู้
对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为
t t 2 t t m ,n 1 m ,n 1 m ,n 2 2 ym ( Δ) y , n
取x = y，得
2) 热平衡法 根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来 建立节点温度差分方程。 (1) 内部节点温度差分方程 对于无内热源的二维稳态导热， 内部节点( m,n )所代表的元体在导 热过程中的热平衡
0 w e s n
t t t t m 1 , n m , n m 1 , n m , n y y x x t t t t m , n 1 m , n m , n 1 m , n 选择x=y x x 0 y y 7
传热学第4章
数值解法：
有限差分法（finite-difference）
有限元法(finite-element) 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
传热学60-第四章 导热问题的数值解法
B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则
tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
19
不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
17
3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j
四章导热问题的数值解法-PPT文档资料
fi 2 fi1 h2
fi 2
二 阶 导 数 向 后 差 分 ： f i
fi2 2 fi1 h2
fi
二 阶 导 数 中 心 差 分 ： f i
fi1 2 fi h2
fi1
式中：
f i
df dx
i
fi
d2 f dx 2
i
图4-2 有限差分表达 式的几何意义
• 解此代数方程组，得到节点上温度的近似值
2、函数 f（x）在点 x 的导数的有限差分表达式：
函数f (x)在点 x 0 的泰勒级数展开形式为：
f( x ) f( x 0 ) ( x x 0 )f( x 0 ) ( x 2 ! x 0 ) 2f( x 0 ) ( x 3 ! x 0 ) 3 f( x 0 )
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f(x)f(xh)f(x)
h
一阶导数向后差分： f(x)f(x)f(xh) h
一阶导数中心差分：
f(x)f(xh)f(xh) 2h
二阶导数向前差分： f(x)f(x)f(xh 22 h)2f(xh)
二阶导数向后差分： f(x)f(x)f(xh 22 h)2f(xh) 二阶导数中心差分： f(x)f(xh)f(hx2h)2f(x)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f(x)f(x )f(x 2 h ) 2f(x h ) O (h 2) h 2
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f(x )f(x h )f( h x 2 h ) 2f(x ) O (h 3 ) (j)
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h 2 及 h 3 以上各项得一阶、二阶
传热学第四章导热问题的数值解法
三.灰体表面间的辐射换热
由于灰体表面存在着多次的反射和吸收，计算起来比 黑体复杂得多，为了计算方便我们引进了两个概念： 1.投入辐射G和有效辐射J G—单位时间内投射到表面单位面积上的总辐射能。 J—单位时间内离开该表面单位面积的总辐射能。
G(投入辐射) (1-α)G(反射辐射) αG (吸收辐射) J(有效辐射) E= ε Eb (本身辐射)
定义：表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数， 称表面1对表面2的角系数，记为X1,2，同理有X2,1。 角系数是一个无量纲能量百分比。引入角系数是为了说 明两个表面之间的辐射换热量与它们之间的相对位置有 很大关系。 角系数为几何因子，其值取决于物体的几何特性（形状、 尺寸及物体的相对位置）而与物体的种类和温度无关。
i =1 n
表面为凸面或平面时，有何性质？
3.可加性
从表面1上发出落到表面2上的总能量，等于落到表 面2各部分的能量之和。于是有：
X 1， 2 = X 1， 2 a + + X 1， 2 n = ∑ X 1， 2i
i =a n
设表面由a、b两部分组成，写出其可加性表 达式。
三.角系数的计算
或写成：
Eb − J q = ， 1− ε
ε
1− ε 称为表面辐射热阻 εA
2.灰体表面间的辐射换热
考虑两个等温的漫灰表面组成的二维封闭系统，表 面1、2间的Φ为： φ1, 2 = A1 J 1 X 1, 2 − A2 J 2 X 2,1
J 1 A1 = A1 Eb1 − (1 / ε 1 − 1)φ1, 2 J 2 A2 = A2 Eb 2 − (1 / ε 2 − 1)φ 2,1
本节讨论的是被透热介质隔开的两固体表面间的辐射换 热。透热介质是指不参与热辐射的介质，最常见的是空 气。
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
36
n=N
w (m-1,n)
(m,n+1)
n e (m+1,n)
s (m,n)
(m,n-1)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
37
而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、
有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
局限性： 简单几何形状及边界条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
Monday, March 30, 2020
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
16
1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
(m-1,n)
(m,n)
(m,n-1)
qw
y x
Monday, March 30, 2020
17
(2) 内部角点
qw
(m-1,n)
(m,n+1) (m,n)
4
(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020高中物理竞赛 第四章 导热问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
5
2 例题条件
y
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法
t m? 1,n
?
tm,n
?
?t ? x ? ?x m,n
? 2t ?x2
m,n
? x2 2!
?
? 3t ?x3
m ,n
? x3 3!
?
?
第四章 导热问题的数值解法
9
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
? 2t
? tm?1,n ? 2tm,n ? tm?1,n ? o(? x2 )
第四章 导热问题的数值解法
8
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点 (i,j)的温度ti,j 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
t m ? 1, n
?
tm,n
?
?t ? x ? ?x m,n
? 2t ?x2
m,n
? x2 2!
?
? 3t ?x3
m,n
? x3 3!
?
?
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference ）、 有限元法（finite-element ） 、 边界元法（boundary- element ）、 分子动力学模拟（MD ）
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
第四章 导热问题的数值解法
3
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低
y
?x
o
x
第四章 导热问题的数值解法
(m, n) (m,n- 1)
?x
(m+1,n)
14
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例
此时：
Φ上 ? Φ下 ? Φ左＋Φ右 ? Φv ? 0
?
左
?
? ?Adt
dx
?
???
dt y
dx
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
第四章 导热问题的数值解法
13
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝ 0
内部节点： Φ m?1,n ? Φ m?1,n ? Φ m,n?1 ? Φ m,n?1 ? 0
(m,n +1)
?y
Φ上 ? Φ下 ? Φ左＋Φ右 ? 0
?y
(m-1,n)
6
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n)
N
n
?y
y
x ?x
m
第四章 导热问题的数值解法
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
7
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor （泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
第四章 导热问题的数值解法
15
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
?
左
?
??? y dt
dx
?
? ? y tm?1,n ? tm,n
?x
?
右
?
? ? y tm?1,n ? tm,n
?x
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
?
上
?
? ? x tm,n?1 ? tm,n
?
?
? v
?
?
0
其节点方程为：
ti?1,j ? 2ti,j
? x2
? ti?1,j
?
ti,j?1 ?
2ti,j ? ti,j?1
? y2
?
?? v ,i , j
?
?0
第四章 导热问题的数值解法
11
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和 Fourier 导热定律即可。
? x2 m,n
? x2
同样可得：
?2t ? tm,n?1 ? 2tm,n ? tm,n?1 ? o(? y2 )
?y2 m,n
? y2
截断误差
未明确写出的级数余项
中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
10
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
? 2t ?x2
?
? 2t ?y2
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上 被求物理量的值；并称之为数值解；
第四章 导热问题的数值解法
2
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
即： ? i ? ? v ? ? o ? ? ?
单位：[ W]
第四章 导热问题的数值解法
12
? i?? v?? o??? ?
? i ? (?? o) ? ? v ? ? ?
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量ຫໍສະໝຸດ ?y?下?
? ? x tm,n?1 ? tm,n
?y
内热源：Φv ? Φ? ?V ? Φ? ?? x? y
第四章 导热问题的数值解法
16
Φ上 ? Φ下 ? Φ左＋Φ右 ? Φv ? 0
? ? y tm?1,n ? tm,n ? ? ? y tm?1,n ? tm,n ? ? ? x tm,n?1 ? tm,n ? ? ? x tm,n?1 ? tm,n
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
5
2 例题条件
y
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法
t m? 1,n
?
tm,n
?
?t ? x ? ?x m,n
? 2t ?x2
m,n
? x2 2!
?
? 3t ?x3
m ,n
? x3 3!
?
?
第四章 导热问题的数值解法
9
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
? 2t
? tm?1,n ? 2tm,n ? tm?1,n ? o(? x2 )
第四章 导热问题的数值解法
8
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点 (i,j)的温度ti,j 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
t m ? 1, n
?
tm,n
?
?t ? x ? ?x m,n
? 2t ?x2
m,n
? x2 2!
?
? 3t ?x3
m,n
? x3 3!
?
?
用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference ）、 有限元法（finite-element ） 、 边界元法（boundary- element ）、 分子动力学模拟（MD ）
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
第四章 导热问题的数值解法
3
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低
y
?x
o
x
第四章 导热问题的数值解法
(m, n) (m,n- 1)
?x
(m+1,n)
14
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例
此时：
Φ上 ? Φ下 ? Φ左＋Φ右 ? Φv ? 0
?
左
?
? ?Adt
dx
?
???
dt y
dx
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
第四章 导热问题的数值解法
13
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝ 0
内部节点： Φ m?1,n ? Φ m?1,n ? Φ m,n?1 ? Φ m,n?1 ? 0
(m,n +1)
?y
Φ上 ? Φ下 ? Φ左＋Φ右 ? 0
?y
(m-1,n)
6
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n)
N
n
?y
y
x ?x
m
第四章 导热问题的数值解法
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
7
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor （泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
第四章 导热问题的数值解法
15
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
?
左
?
??? y dt
dx
?
? ? y tm?1,n ? tm,n
?x
?
右
?
? ? y tm?1,n ? tm,n
?x
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
?
上
?
? ? x tm,n?1 ? tm,n
?
?
? v
?
?
0
其节点方程为：
ti?1,j ? 2ti,j
? x2
? ti?1,j
?
ti,j?1 ?
2ti,j ? ti,j?1
? y2
?
?? v ,i , j
?
?0
第四章 导热问题的数值解法
11
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和 Fourier 导热定律即可。
? x2 m,n
? x2
同样可得：
?2t ? tm,n?1 ? 2tm,n ? tm,n?1 ? o(? y2 )
?y2 m,n
? y2
截断误差
未明确写出的级数余项
中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
10
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
? 2t ?x2
?
? 2t ?y2
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上 被求物理量的值；并称之为数值解；
第四章 导热问题的数值解法
2
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
即： ? i ? ? v ? ? o ? ? ?
单位：[ W]
第四章 导热问题的数值解法
12
? i?? v?? o??? ?
? i ? (?? o) ? ? v ? ? ?
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量ຫໍສະໝຸດ ?y?下?
? ? x tm,n?1 ? tm,n
?y
内热源：Φv ? Φ? ?V ? Φ? ?? x? y
第四章 导热问题的数值解法
16
Φ上 ? Φ下 ? Φ左＋Φ右 ? Φv ? 0
? ? y tm?1,n ? tm,n ? ? ? y tm?1,n ? tm,n ? ? ? x tm,n?1 ? tm,n ? ? ? x tm,n?1 ? tm,n