均匀分布的和的分布服从正态分布

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几种常见的分布

定义：
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量之和趋于正态分布。
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7
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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8
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。
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ห้องสมุดไป่ตู้
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
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6
五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变量服从区间上的均匀分布。
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三、指数分布(Exponential distribution)

几种常见的分布

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十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
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十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，是一个随机变量：
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2020/8/1
取r = 1，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为
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7
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
2020/8/1
8
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
2020/8/1
18
各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量之和趋于正态分布。

均匀分布的和的分布服从正态分布

数学应用软件大型实验实验报告实验序号：日期：2012 年 6 月 20日班级信计100班姓名学号201020310216中心极限定理的理论证明实验名称问题背景描述：图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.图一：中心极限定律揭示了正态分布的意义：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。

同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常服从或近似服从正态分布。

这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。

实验目的：中心极限定理的核心内容是只要n 足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。

本次试验就是用具体的实验来进行验证大量随机变量的和近似服从正态分布，用100个（0,1）上的独立均匀分布的和的分布与它近似的正态分布进行比较，作图来验证中心极限定理。

又再1000个数来比较两个图来验证中心极限定理。

实验原理与数学模型：实验原理：中心极限定律，其内容是：当N 足够大的时候，N 个具有方差和均值的独立随机变量的代数和服从正态分布率。

随机变量及其分布_真题(含答案与解析)-交互

随机变量及其分布(总分102, 做题时间90分钟)一、单项选择题(每题的备选项中，只有1个最符合题意)1.下列关于“右偏分布”的表述错误的是( )。

SSS_SINGLE_SELA 右偏分布是正态分布的形式之一B 符合右偏分布的随机变量大量取值在左边，少量分布在右边C 符合右偏分布的随机变量少量取值在左边，大量分布在右边D 随机变量的分布很散分值: 1答案:B[解析] 对数正态分布的特点之一就是“右偏分布”，符合右偏分布的随机变量的取值大量在左边，少量取值在右边，并且很分散。

2.对于产品的某个质量特性X的不合格品率，在计算之前需要知道的条件有( )。

SSS_SINGLE_SELA产品质量特性X的分布，在过程受控情况下X的分布常为正态分布(μ，σ2)，这是稳定过程的概括B 某个公认标准对产品特性的要求C 企业对产品下达的任务书D X低于下规范限的概率和X高于上规范限的概率分值: 1答案:A[解析] 产品某个质量特性X的不合格品率的计算要知道两件事：①质量特性X 的分布，在过程受控情况下，X的分布常为正态分布N(μ，σ2)，这是稳定过程的概括；②产品的规格限，包括上规格限TU 和下规格限TL。

3.设某二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数P=( )。

SSS_SINGLE_SELA 0.1B 0.3C 0.7D 0.9分值: 1答案:A[解析] 此二项分布记为b(n，p)，则E(X)=np，Var(X)=np(1-p)，根据题意，代入数据可得np=3，np(1-p)=2.7，所以p=0.1。

4.对下列常见密度函数所对应的方差的形式正确的一项是( )。

SSS_SINGLE_SELA 两点分布b(1,的方差：np(1-B 超几何分布h(n，N，的方差：n(N-/(N-1)•(M/(1-(M/)C均匀分布U(a，的方差：(b+ 2/12D对数正态分布LN(μ，σ2)的方差：分值: 1答案:B[解析] A项两点分布的方差为p(1-p)；C项均匀分布的方差为(b-a)2/12；D项对数正态分布的方差为。

(1) 均匀分布

Show[fn1,fn3]
小
0.5 0.4
大 0.3 0.2 0.1
-6
几何意义数据意义
-5 -4 -3 -2 -1
大小与曲线陡峭程度成反比大小与数据分散程度成正比
正态变量的条件若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
P(X ) F() 1 F() P(X )
1 2
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
x
(x) 1
x t2
e 2 d t x
2
其值有专门的表供查.
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1
123
(0) 0.5 (x) 1 (x)
P(| X | a) 2 (a) 1
(x) 1(x)
X

4)

4

2

2

2
2

(0)

0.3
2 0.8
P(X 0) 0.2
解二图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图
P(X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )

概率分布中的均匀分布与正态分布

概率分布中的均匀分布与正态分布在我们日常生活和各种科学研究中，概率分布是一个非常重要的概念。

它帮助我们理解和预测各种随机现象的发生规律。

其中，均匀分布和正态分布是两种常见且具有重要意义的概率分布类型。

均匀分布，简单来说，就是在某个范围内，每个值出现的可能性都相等。

想象一下，你有一个长度为 10 厘米的尺子，从 0 到 10 刻度均匀分布。

那么，在这个范围内随机选择一个点，每个位置被选中的概率是相同的。

比如，选中 3 厘米处和 7 厘米处的概率没有任何差别。

均匀分布在实际生活中有很多应用。

比如在抽奖活动中，如果奖项是从一个固定的区间内随机抽取，且每个数值被抽到的机会均等，这就近似于均匀分布。

再比如，在计算机程序中生成随机数时，如果要求生成的随机数在某个特定区间内均匀分布，就能够保证每个数出现的概率相同，从而使结果更加公平和不可预测。

均匀分布的概率密度函数是一个常数。

假设取值范围是a, b，那么概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a)，其中 a ＜＝ x ＜＝ b。

从这个函数可以看出，在给定的区间内，概率密度是恒定的。

接下来，我们聊聊正态分布。

正态分布也被称为高斯分布，它的形状就像一个钟形曲线，中间高，两边逐渐降低并且对称。

为什么正态分布如此常见和重要呢？这是因为很多自然现象和人类活动中的数据都呈现出正态分布的特征。

比如，人的身高、体重，学生的考试成绩，工厂生产的零件尺寸误差等等。

以学生的考试成绩为例，大多数学生的成绩会集中在一个平均水平附近，只有少数学生的成绩特别好或者特别差。

这就形成了一个以平均成绩为中心，向两边逐渐减少的分布情况，符合正态分布的特点。

正态分布的概率密度函数相对复杂，为 f(x) ＝ 1 ／（σ √（2π)）e^（（x μ)＾2 ／（2σ^2)），其中μ 是均值，σ 是标准差。

均值决定了曲线的中心位置，而标准差则决定了曲线的“胖瘦”程度。

标准差越大，曲线越“胖”，数据越分散；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。

几种常见的分布

几种常见的分布
2020/6/20
a
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系大数定理、中心极限定理
2020/6/20
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八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
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a
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九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
2020/6/20
a
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2020/6/20
取r = 1，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为
应用：假设检验。
2020/6/20
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。

《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题答案

《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题一、选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( A).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( C).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A =(C) A B ⊃ (D) A B ⊂3、设()0P AB =, 则有( D ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)4、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ D）（A ）A 与B 不相容（B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=5、设,A B 为两个随机事件，且0()1P A <<，则下列命题正确的是（ A ）。

(A) 若()()P AB P A = ，则B A ,互不相容；(B) 若()()1P B A P B A += ，则B A ,独立；(C) 若()()1P AB P AB +=，则B A ,为对立事件；(D) 若()()()1P B P B A P B A =+=，则B 为不可能事件；6、设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ A ）（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -7、设A ，B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ B ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥8、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ B ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.59、设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 为( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a -10、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是（ B ）（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/511、一部五卷的选集，按任意顺序放到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是(A ). (A) 110 (B) 18 (C) 15 (D) 16 12、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( D ). (A) 640 (B) 1540 (C) 1940 (D) 214013、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( C ). (A) 710 (B) 610 (C) 69 (D) 79 14、在编号为1,2,,n 的n 张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k 次(1)k n ≤≤抽到1号赠券的概率是( B ). (A) 1n k + (B) 11n k -+ (B) 1n (D) 11n k ++ 15、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ A ）。

《概率论与数理统计(二)》复习题

概率论与数理统计（二）复习题之一一、单项选择题1. 设A ，B 是互不相容事件，则=+)(B A P【】A. )(1A P -B. )(1B P -C. )()(1B P A P --D. )()(B P A P ⋅2. 某种规格的电子元件正常使用200小时的概率是0.8，正常使用250小时的概率为0.6，现有一个该种元件已经正常使用了200小时，则能够使用250小时的概率为【】A. 0.48B. 0.6C. 0.8D. 0.753. 设随机变量ξ的分布律为22()0123!kP k k e k ξ===⋅⋅⋅⋅，，，，，，则(2)D ξ=【】A. 2B. 4C. 6D. 84. 设12n X X X ⋅⋅⋅，，，是取自总体2~X N μσ（，）的样本，则对任意0>ε，下列各式成立的是【】A. {}22n P X n σμεε-<≥B. {}221P X n σμεε--≥≥C. {}22P X n σμεε-≥≤D. {}22P X n n σμεε-≥≤5. 设随机变量X Y （，）的联合分布为则X Y （，）的协方差covX Y =（，）【】A. 0B. 1C.81D. 81-6. 设随机变量X Y ，同分布，概率密度为 2120()0x x f x θθ⎧<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其他，，若[]1(2)E C X Y θ+=，则C 的值为【】A.21B.31 C. 221θD. θ327. 123X X X ，，都服从[02]，上的均匀分布，则123(32)E X X X -+=【】A. 1B. 3C. 4D. 28. 随机变量Y X +=ξ与Y X -=η不相关的充分必要条件为【】A. ()()E X E Y =B. 2222()()()()E X E X E Y E Y -=-C. 22()()E X E Y =D. 2222()()()()E X E X E Y E Y +=+9. 某生产线的产品合格率为0.85，使用某种仪器作产品的抽样检测，仪器检查结果的正确率为0.90，现任取一件产品经仪器检查为合格，而该件产品确实合格的概率为【】A. 0.85B. 1C. 0.98D. 0.9410. 设总体2~X N μσ（，），统计假设为0H ：0μμ=对1H ：0μμ≠，若用t 检验法，则在显著水平α的拒绝域为【】A. 12(1)t tn α--＜ B. 12(1)t tn α-≥-C. 1(1)t t n α-≥-D. 1(1)t t n α---＜二、填空题11. 将3人以相同的概率分配到4间房的每一间中，则恰好3间房中各有1人的概率是________。

两个均匀分布的和是什么分布

当n足够大时，服从均匀分布的和的分布通常服从或近似服从正态分布。

均匀分布是一种简单的概率分布，分为离散型均匀分布和连续型均匀分布。

均匀分布或称规则分布。

植物种群的个体是等距分布，或个体之间保持一定的均匀的间距。

均匀分布在自然情况下极为罕见，而人工栽培的有一定株行距的植物群落即是均匀分布。

正态分布
正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

若随机变量服从一个位置参数、尺度参数的概率分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的数学期望值或期望值等于位置参数，决定了分布的位置；其方差的开平方或标准差等于尺度参数，决定了分布的幅度。

3章几种常见的分布

当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量之和趋于正态分布。
几种常见的分布
2019/5/27
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
2019/5/27
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变量服从区间上的均匀分布。
2019/5/27
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三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服务系统的服务时间等。
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2019/5/27
取r = 1，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为
13
十二、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布方分布

应用概率统计综合作业二

《应用概率统计》综合作业二一、填空题（每小题2分，共20分）1．某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记 =i X 3 ，2 ，1其他，，0等品，，抽到1=⎩⎨⎧i i，则1X ，2X 的联合分布律为（X 1，X 2）～ (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)0.1 0.1 0.8 0.2．设二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，，0，10，10 ，)，( y x kxy y x f 其中k 为常数，则k = 8 . 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且)2，0(~2N X ，)3，1(~2N Y ，则（X ，Y ）的联合密度函数为 f(y)=∅*'(lny)×(lny)'=N(μ,σ^2)|x=lny ×1/y . 4．设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.，其他0，20，83)(2x x x f 若事件}{a X A >=，}{a Y B >=相互独立，且{}43=B A P U ，=a 则 4^(1/3) . 5．设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布律，且则随机变量)，max(Y X Z =的分布律为Z=0，P=14Z=1，P=34. 6．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望=)(2X E 18.4 .7．设离散型随机变量X 服从参数λ的泊松分布，且已知1)2)(1(=--X X E ，则参数λ= 1 .8．设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从正态分布)21，0(N ，则随机变量Y X -的数学期望=-=)(Y X E 2/（√（2pai ）） .9．设随机变量1X ，2X ，3X 相互独立，其中1X 服从正[0，6]区间上的均匀分布，2X 服从正态分布)，0(22N ，3X 服从参数3=λ的泊松分布，记随机变量32132X X X Y +-=，则=)(Y D 46 .10．设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则由切贝雪夫（Chebyshev ）不等式，有≤≥-)3(σμX P 1/9 .二、选择题（每小题2分，共20分）1．设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布，21)1()1(=-==-=Y P X P ，21)1()1(====Y P X P ，则下列各式成立的是（ A ）（A ）21)(==Y X P （B ）1)(==Y X P （C ）41)0(==+Y X P （D ）21)1(=≤-Y X P 2．设随机变量)2，1(=i X i 的分布律为：且满足{}1121==X X P ，则{}21X X P =等于（ B ）（A ）0 （B ）41 （C ）21 （D ）1 3．设两个随机变量X 和Y 相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ D ）（A ）2X （B ）Y X - （C ）Y X + （D ）（Y X ，） 4．设离散型随机变量（Y X ，）的联合分布律为若X 和Y 相互独立，则α和β的值为（ A ）（A ）92=α，91=β （B ） 91=α，92=β （C ）1201 （D ）185=α，181=β 5．设随机变量X 的Y 相互独立，其分布函数分别为)(x F X 与)(y F Y ，则随机变量)，max(Y X Z =的分布函数)(z F Z 是（ C ）（A ）}{})(，)(m ax z F z F Y X （B ）)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+（C ）)()(z F z F Y X （D ）)]()([21z F z F Y X + 6．对任意两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E =，则下列结论正确的是（ B ）（A ）)()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+（C ）X 和Y 相互独立（D ）X 和Y 不相互独立7．设随机变量X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，则参数n ，p 的值等于（ B ）（A ）4=n ，6.0=p （B ）6=n ，4.0=p （C ）8=n ，3.0=p （D ）24=n ，1.0=p8．设两个随机变量X 和Y 的方差存在且不等于零，则)()()(Y D X D Y X D +=+是X 和Y 的（C ）（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件（B ）独立的必要条件，但不是充分条件（C ）不相关的充分必要条件（D ）独立的充分必要条件9．设随机变量（X ，Y ）的方差4)(=X D ，1)(=Y D ，相关系数6.0=Y X ρ，则方差=-)23(Y X D （ C ）（A ）40 （B ）34 （C ）25.6 （D ）17.610．设随机变量X 和Y 相互独立，且在（0，θ）上服从均匀分布，则[]=)，m in(Y X E （ C ）（A ）θ （B ）2θ （C ）3θ （D ）4θ 三、（10分）设随机变量1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，且同分布：{}6.00==i X P ，{}==1i X P 0.4，i =1，2，3，4．求行列式4321X X X X X =的概率分布.解答：Y1=X1X4 Y2=X2X3 Z=Y1-Y2P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16P{Y1=0}P{Y2=0}=1-0.16=0.84Z 有三种可能-1,0,1P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344P{Z=1}P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312Z -1 0 1P 0.1344 0.7312 0.1344四、（10分）已知随机变量X 的概率密度函数为x e x f -=21)(，+∞<<∞-x ；（1）求X 的数学期望)(X E 和方差)(X D .（2）求X 与X 的协方差，并问X 与X 是否不相关？（3）问X 与X 是否相互独立？为什么？解答：五、（10分）设二维随机变量（Y X ，）的联合密度函数为⎩⎨⎧+∞<<<=- 其他，，0，0 ，)，(y x cxe y x f y 试求：（1）常数c ；（2）)(x f X ，)(y f Y ；（3）)(y x f Y X ，)(x y f X Y；（4）)1(<+Y X P .解答：(1)由概率密度函数的性质∫+∞−∞∫+∞−∞f (x ,y )d xdy =1，得∫+∞0d y ∫y 0cxe −y d x =c 2∫+∞0y 2e −y d y =c =1，即c =1(2)由于为判断X 与Y 的相互独立性,先要计算边缘密度f X (x )与f Y (y ). f X (x )=∫+∞−∞f (x ,y )d y ={xe −x 0amp ;,x >0amp ;,x ⩽0类似地,有f Y (y )=⎧⎩⎨12y 2e −y 0amp ;,y >0amp ;,y ⩽0由于在0<x <y <+∞上,f (x ,y )≠f X (x )f Y (y )因此随机变量X 与Y 不是相互独立的。

中级质量专业理论与实务第六讲常用连续分布

第六讲常用分布（二）一、考试要求1. 了解均匀分布及其均值、方差与标准差2. 熟悉指数分布及其均值、方差和标准差3. 了解对数正态分布及其均值、方差和标准差4. 熟悉中心极限定理，样本均值的(近似)分布二、内容讲解(三)其他连续分布正态分布是实际中最常用的分布，但在实际中还有很多非正态的连续分布也很有用，在质量管理中最常用的是均匀分布、对数正态分布与指数分布，现分别介绍如下。

1．均匀分布均匀分布在两端点a 与b 之间有一个恒定的概率密度函数，即在(a, b )上概率密度函数是一个常数，见图l.2-25(a)，它的全称是"在区间 (a, b)上的均匀分布"，常记为U （a,b)。

这里"均匀"是指随机点落在区间(a, b)内任一点的机会是均等的，从而在相等的小区间上的概率相等。

（1.2-10）图的概率密度函数的图形。

比如，若一随机变量X 服从均匀分布U （10,15)，它的概率密度函数为：⎩⎨⎧<<=其他 , 01510, 2.0)(x x p其图形U （10,15)（见图1.2-25（b ）），则X 在小区间（11，12）与小区间（12.5，13.5）上的面积相等，即：2.02.01)5.135.12()1211=⨯=<<=<<X P X P （均匀分布U （a,b)的均值、方差与标准差分别为:（1.2-11）如图1.2-25（b ）上所示的均匀分布U （10,15)，它的均值、方差与标准差分别为：44.108.212)1015()(08.2122512)1015()(5.1221510)(22==-===-==+=X X Var X E σ2．对数正态分布对数正态分布可用来描述很多随机变量的分布，如化学反应时间、绝缘材料被击穿的时间、产品维修时间等都是服从对数正态分布的随机变量。

它们有如下共同特点:(1)这些随机变量都在正半轴 (0,∞)上取值。

【精】几种常见的分布

应用：产品质量检测等。（注：在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分布近似描述不合格品个数。）
十三、泊松分布（Poisson ion）
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。

高斯随机数产生原理及代码_笔记

一:随机数的产生C++中不提供random函数,但是提供了rand函数,产生0~RAND_MAX之间的整数,但严格意义上来讲生成的只是伪随机数(pseudo-random integral number).生成随机数时需要指定一个种子，如果在程序内循环，那么下一次生成随机数时调用上一次的结果作为种子。

但如果分两次执行程序，那么由于种子相同，生成的“随机数”也是相同的。

rand()函数不接受参数，默认以1为种子（即起始值）。

若随机数生成器总是以相同的种子开始，所以形成的伪随机数列也相同，失去了随机意义。

（但这样便于程序调试）.C++中另一函数srand（），可以指定不同的数（无符号整数变元）为种子。

但是如果种子相同，伪随机数列也相同。

一个办法是让用户输入种子，但是仍然不理想。

比较理想的是用变化的数，比如时间来作为随机数生成器的种子。

time的值每时每刻都不同。

所以种子不同，所以，产生的随机数也不同。

rand函数产生随机数的方法:1>如果要产生0~10的10个整数，可以表达为：int N = rand() % 11;这样，N的值就是一个0~10的随机数，如果要产生1~10，则是这样：int N = 1 + rand() % 11;总结来说，可以表示为：a + rand()%(b-a+1)其中的a是起始值，(b-a+1)是整数的范围。

若要0~1的小数，则可以先取得0~10的整数，然后均除以10即可得到随机到十分位的10个随机小数，若要得到随机到百分位的随机小数，则需要先得到0~100的10个整数，然后均除以100，其它情况依此类推。

当要求的精度较高的时候，使用RAND_MAX作为分母。

如果要求左闭右开的话，分母设置为RAND_MAX+1即可。

精度要求高时形式如下：x=a+((rand()%RAND_MAX)/(double)RAND_MAX)*(b-a); /*x belong [a,b] */ 通常rand()产生的随机数在每次运行的时候都是与上一次相同的，这是有意这样设计的，是为了便于程序的调试。

均匀分布的和的分布服从正态分布

几种常见的分布

几种常见的分布

均匀分布的和的分布服从正态分布

随机变量及其分布_真题(含答案与解析)-交互

(1) 均匀分布

概率分布中的均匀分布与正态分布

几种常见的分布

《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题答案

《概率论与数理统计(二)》 复习题

两个均匀分布的和是什么分布

3章几种常见的分布

应用概率统计综合作业二

中级质量专业理论与实务 第六讲 常用连续分布

【精】几种常见的分布

高斯随机数产生原理及代码_笔记

《概率论与数理统计(二)》复习题

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