江苏省2019年高考数学小专题复习6--函数单调性在数列中的应用(有答案)
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解，求整数 m 的最小值.
四、 【练习】
1. 已知等差数பைடு நூலகம் {an } 的首项 a1 20 ，公差 d 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为
*
.110
2. 在数列 {an } 中， a1 18 ， a n 1 a n 3 ( n N ) ，则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小 值为 .-63 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 an S 2 S n 对一切正整数 n 都成立. （1）求 a1 ， a2 的值； （2）设 a1 0 ，数列 {lg 大值. 解： （1）取 n=1,得 a2 a1 S 2 S1 2a1 a2 , 取 n=2,得 a 2 2a1 2a 2 , 又②-①，得 a 2 ( a 2 a1 ) a 2 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 0，由③知a 2 a 1 1 , 由①④解得， a1 ④
解： （1）设 {an } 的公比为 q ， {bn } 的公差为 d ，由题意 q 0 ， 由已知,有
2q 2 3d 2
4 q 3d 10
解得 q 2, d 2 所以 {an } 的通项公式为 an 2n 1 , n N , {bn } 的通项公式为 bn 2n 1, n N （2）由（1）有 cn 2n 1 2
又函数 f ( x ) 1
且 x 1 a1 时， y 1 ； x 1 a1 时， y 1
对任意的 n N * ，都有 bn b8 ， 7 a1 6
变式 1： 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 且 S1 1 ，S 2 6 ， 则
n 1
，则
Tn 1 20 3 21 5 22 2n 1 2n1 , 2Tn 1 21 3 22 5 23 2n 1 2n ,
2 3 n n n
两式相减得 Tn 1 2 2 2 2n 1 2 2n 3 2 3, 所以 Tn 2n 3 2 3
变式 3：已知非零数列 an 满足 a1 1 ， an an 1 an 2an 1 n N * .
n
1 （1）求证：数列 1 是等比数列； an 1 1 1 （2）若关于 n 的不等式 m 3 有 1 1 1 n log 2 1 n log 2 1 n log 2 1 a1 a2 an
函数单调性在数列中的应用 一、 【问题背景】
数列是一种特殊的函数， 因此可以利用函数的单调性确定数列的单调性、 最值或解决某 些恒成立问题.
二、 【常见方法】
已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
三、 【范例】
例 1.已知数列 a n 是公差为 d 的等差数列， 它的前 n 项和为 S n ， S 4 2 S 2 4 , bn （1）求公差 d 的值； （2）若 a1
1 an . an
2 ，求数列 bn 的最大项和最小项的值； 5
*
（3）若对任意的 n N ,都有 bn b8 成立，求 a1 的取值范围. 解： （1）S 4 2 S 2 4 （2） a1
4a1
1 1 1 7 an n 2 7 7 1 在 ( , ) 和 ( , ) 上分别是单调减函数 函数 f ( x) 1 7 2 2 x 2 bn 1 b3 b2 b1 1 ，当 n 4 时， 1 bn b4 数列 bn 中的最大项 b4 3 ，最小项 b3 1 ，
（3）由 bn 1
5 2
3 4 d 2(2a1 d ) 4 2
解得 d 1
数列 a n 的通项公式为 a n a1 (n 1) n
7 2
1 1 得 bn 1 an n a1 1 1 在 ( ,1 a1 ) 和 (1 a1 , ) 上分别是单调减函数 x a 1 1
n 的最大值为 Sn 8
.
例 2. 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 ,
a5 - 3b2 = 7 ．
（1）求 {an } 和 {bn } 的通项公式； （2）设 cn = an bn , n Î N* ，其前 n 项和为 Tn ． ①求 Tn ； ②若 n(Tn 3) 对任意 n N 恒成立，求 的最大值．
n
（3）令 en n (Tn 3) n (2n 3)2
n
n
[来源:学|科|网]
由 en en 1 ，得 n(2n 3)2 (n 1)(2n 1)2
n 1
，即 n(2n 3) 2(n 1)(2n 1)
解得对任意 n N 成立，即数列 {en } 为单调递增数列， 所以 {en } 的最小项为 e1 2 因为 en 对任意 n N 恒成立，所以 2 ，
所以 的最小值为 2 变式 2：己知数列 a n 是公差不为零的等差数列，数列 bn 是等比数列． （1）若 cn an 1 an bn （n∈N*） ，求证： cn 为等比数列；
12 （2）设 cn an bn （n∈N*） ，其中 a n 是公差为 2 的整数项数列， bn ，若 13 c5 2c 4 4c3 8c 2 16c1 ，且当 n 17 时，c n 是递减数列，求数列 an 的通项公式．
四、 【练习】
1. 已知等差数பைடு நூலகம் {an } 的首项 a1 20 ，公差 d 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为
*
.110
2. 在数列 {an } 中， a1 18 ， a n 1 a n 3 ( n N ) ，则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小 值为 .-63 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 an S 2 S n 对一切正整数 n 都成立. （1）求 a1 ， a2 的值； （2）设 a1 0 ，数列 {lg 大值. 解： （1）取 n=1,得 a2 a1 S 2 S1 2a1 a2 , 取 n=2,得 a 2 2a1 2a 2 , 又②-①，得 a 2 ( a 2 a1 ) a 2 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 0，由③知a 2 a 1 1 , 由①④解得， a1 ④
解： （1）设 {an } 的公比为 q ， {bn } 的公差为 d ，由题意 q 0 ， 由已知,有
2q 2 3d 2
4 q 3d 10
解得 q 2, d 2 所以 {an } 的通项公式为 an 2n 1 , n N , {bn } 的通项公式为 bn 2n 1, n N （2）由（1）有 cn 2n 1 2
又函数 f ( x ) 1
且 x 1 a1 时， y 1 ； x 1 a1 时， y 1
对任意的 n N * ，都有 bn b8 ， 7 a1 6
变式 1： 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 且 S1 1 ，S 2 6 ， 则
n 1
，则
Tn 1 20 3 21 5 22 2n 1 2n1 , 2Tn 1 21 3 22 5 23 2n 1 2n ,
2 3 n n n
两式相减得 Tn 1 2 2 2 2n 1 2 2n 3 2 3, 所以 Tn 2n 3 2 3
变式 3：已知非零数列 an 满足 a1 1 ， an an 1 an 2an 1 n N * .
n
1 （1）求证：数列 1 是等比数列； an 1 1 1 （2）若关于 n 的不等式 m 3 有 1 1 1 n log 2 1 n log 2 1 n log 2 1 a1 a2 an
函数单调性在数列中的应用 一、 【问题背景】
数列是一种特殊的函数， 因此可以利用函数的单调性确定数列的单调性、 最值或解决某 些恒成立问题.
二、 【常见方法】
已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
三、 【范例】
例 1.已知数列 a n 是公差为 d 的等差数列， 它的前 n 项和为 S n ， S 4 2 S 2 4 , bn （1）求公差 d 的值； （2）若 a1
1 an . an
2 ，求数列 bn 的最大项和最小项的值； 5
*
（3）若对任意的 n N ,都有 bn b8 成立，求 a1 的取值范围. 解： （1）S 4 2 S 2 4 （2） a1
4a1
1 1 1 7 an n 2 7 7 1 在 ( , ) 和 ( , ) 上分别是单调减函数 函数 f ( x) 1 7 2 2 x 2 bn 1 b3 b2 b1 1 ，当 n 4 时， 1 bn b4 数列 bn 中的最大项 b4 3 ，最小项 b3 1 ，
（3）由 bn 1
5 2
3 4 d 2(2a1 d ) 4 2
解得 d 1
数列 a n 的通项公式为 a n a1 (n 1) n
7 2
1 1 得 bn 1 an n a1 1 1 在 ( ,1 a1 ) 和 (1 a1 , ) 上分别是单调减函数 x a 1 1
n 的最大值为 Sn 8
.
例 2. 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3 ,
a5 - 3b2 = 7 ．
（1）求 {an } 和 {bn } 的通项公式； （2）设 cn = an bn , n Î N* ，其前 n 项和为 Tn ． ①求 Tn ； ②若 n(Tn 3) 对任意 n N 恒成立，求 的最大值．
n
（3）令 en n (Tn 3) n (2n 3)2
n
n
[来源:学|科|网]
由 en en 1 ，得 n(2n 3)2 (n 1)(2n 1)2
n 1
，即 n(2n 3) 2(n 1)(2n 1)
解得对任意 n N 成立，即数列 {en } 为单调递增数列， 所以 {en } 的最小项为 e1 2 因为 en 对任意 n N 恒成立，所以 2 ，
所以 的最小值为 2 变式 2：己知数列 a n 是公差不为零的等差数列，数列 bn 是等比数列． （1）若 cn an 1 an bn （n∈N*） ，求证： cn 为等比数列；
12 （2）设 cn an bn （n∈N*） ，其中 a n 是公差为 2 的整数项数列， bn ，若 13 c5 2c 4 4c3 8c 2 16c1 ，且当 n 17 时，c n 是递减数列，求数列 an 的通项公式．