动态电路的时域分析

S(t＝ 0)
R 1
4
R 2
3
i ＋
10V －
＋
uR1
－ R3
6
＋ ＋ uR2 － u－R3
iL ＋
iC
Lu L
＋ C － uC
－
R 1
i(0＋) 4
＋－
＋
uR1 (0＋) R
3
10 V
6
－
R 2
3
＋
＋uR2
－ (0＋)
u － R3
(0＋)
iC( 0＋)
＋
u( L
0＋)
－
(a)
(b)
图4.4 例4.3图
S(t£½0)
£« US
£-
R
C
L
图4.1 实验电路
电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮,然后逐渐变 暗直至熄灭。这两个支路的现象说明电感支路的灯泡 和电容支路的灯泡达到最后稳定，都要经历一段过渡 过程。
一般说来,电路从一种稳定状态变化到另一种稳定 状态的中间过程叫做电路 的过渡过程。实际电路中 的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过程,简 称暂态。
解 （1）根据题中所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定条件,换路前电路无储能,
故得出
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL(0 ) iL(0 ) 0
（2）作t=0+等效电路如图4.4（b）所示,这时电容相
当于短路,电感相当于开路。则有
i(0 )
iC
(0 )
10 46
1
uR1 (0 ) R1i(0 ) 4 1 4V uR3 (0 ) R3iC (0 ) 6 1 6V uR2 (0 ) 0 uL (0 ) uR3 (0 ) 6V
第二步,根据 t=0—等效电路,计算换路前的电
感 电流和电容电压:
iL (0 )
US R1 R2
18 1 2
6
uC (0 ) R2iL (0 ) 2 6 12V
根据换路定律,可得
iL (0 ) iL (0 ) 6 uC (0 ) uC (0 ) 12V
第三步,作t=0+等效电路如图4.2（c）所示,这时电 感L相当于一个12A的电流源,电容C相当于一个12V的 电压源。
第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值:
i3(0 )
US
uc (0 ) R3
18 12 3
2
i1(0 ) iL (0 ) i2 (0 ) 6 2 8
uL (0 ) US R2iL (0 ) 18 2 6 6V
例4.2 图4.3（a）所示电路在t=0时换路,即开 关S由位置1合到位置2。设换路前电路已经稳定,求
含有储能元件L、C（或称动态元件）的电路在换 路时通常都要产生过渡过程。
4.1.2 换路定律及初始值的计算 1. 换路及换路定律
设换路的瞬间 t 0 , 用 t 0来表示换路前的
终了瞬间。用 t 0 来表示换路后的初始瞬间。这样
确定电路的初始状态，也就是确定换路后的初始
时 t 0 ，电路中某条支路的电流值或电路中某两
相当于短路。 其他可以跃变的量的初始值可由t=0+时的等 效电路求出。
2. 求独立初始值 (1) 作t=0-等效电路,求出uC(0—)和 iL(0—);
(2) 根据换路定律确定出uC(0+)及iL(0+)。
3. 相关初始值计算 (1) 用电压为uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代原电路中C和L的位置, 可得t=0+等效电路; (2)以t=0+等效电路求出相关初始值。
1
uR (t) uC (t) Uoe RC
(t 0) （4—4） (t 0) （4—5）
2. RC电路的零输入响应曲线
从式（4-3）、（4-4）和式（4-5）中可以看出,电
压uC(t)、uR(t)和电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的, 它们随时间变化的曲线如图4.6（a）、（b）所示。
例4.1 图4.2（a）所示电路中,已知US=18V, R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, L=0.5H, C=4.7μF, －开关S在t=0 时合上,
设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、 uL(0+)、 uC(0+)。
＋
US －
R1
i1
iL
i2
R1 iL(0－)
换路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。
＋
9V －
R
1 S(t＝ 0)
1
3
iL
i1
i2
＋
2
R2
1L
u L
6 H
－
R1
＋
U S
－
iL ( 0－)
i1(0＋) R1 R
2
i2( 0＋) 3A
＋
u( L
0＋)
－
(a)
(b)
(c)
图4.3 例4.2图
解 (1）作t=0—等效电路如图4.3（b）所示。则有
uC、uR
Uo
0.368Uo
i
Uo R 0.36 Uo 8R
0
t
0
t
(a)
(b)
图4.6 RC电路零输入响应曲线
3. 时间系数τ 及其对暂态过程的影响
RC
欧
法
欧
库 伏
欧
安秒 伏
秒
与时间单位相同，与电路的初始情况无关，所
以将=RC称为RC电路的时间常数。
RC
(7——6)
引入时间常数τ后,式（4-3）、（4-4）和式（4-5）可表
示为
1
uC (t) Uoe
(t 0)
i(t)
Uo
1
e
R
1
uR (t) Uoe
(t 0) (t 0)
现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。 图4.7画出了t=τ、2τ、3τ、…等不同时间的响应uC值
uC Uo
0.368Uo
1＜2＜3
0 1 2 3
t
图4.7 时间常数τ对暂态过程的影响
(t 0)
(4-8)
Rt
t
uR (t) RiL RIoe T RIoe
(t 0)
(4-9)
uL(t)
L diL dt
Rt
RIoe T
t
RIoe
(t 0) (4-10)
2. RL电路 零输入响应 曲线
式(4-10)中电感电压为负值,是因为电流不断减小, 根据楞次定律可知,电感上的感应电压,力图维持原来电 流不变,故实际的感应电压的极性与参考极性相反,因而
£-
(c)
£«
C
uC R
£-
(d)
图4.8 例4.4图
有
解（1）作t=0–等效电路如图4.8（b）所示。则
uC (0 ) uC (0 ) 2 3 6V
（2）作t≥0电路如图4.8（c）所示,其等效电路如图4.8（d）
所示。则等效电阻 故电路的时间常数
R
R1
//
R2
6 6
3 3
2
RC 2 0.5 1s
例4.4 如图4.8（a）所示电路,在t=0时刻开关S闭合,S 闭合前电路已稳定。试求t≥0时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。
i1 R1
i2
6
iC
2A
S(t£½0 )
C
R2
0.5 F 3
(a)
R1 6
£« R2 2 A uC(0£-) 3
£-
(b)
i1 R1
i2
6
iC
£« C
R2
uC 0.5 F 3
根据式（4—3）可得 uC 6eV
(t 0)
在图4.8（c）所示电路中,可求得
i1(t)
uC (t) R1
e
i2 (t)
uC (t) R2
2e
iC
(t)
C
duC (t) dt
3e
(t 0) (t 0)
(t 0)
作业：P134页 4.2 4.3 4.4 4.5
4.2.2 RL电路的零输入响应
特征根为 所以
RCp 1 0
p 1 RC
1
uC Ae RC
将初始条件uC(0+)=Uo代入上式,可得A=Uo,则
1
uC (t) Uoe RC
(t 0)
（4—3）
式（4-3）就是零输入响应,即电容放电过程中 电容电压uC随时间变化规律的表达式。
i(t) C duC
Uo
1
e RC
dt R
将
uR Ri,
i C duC（式中 dt
负号是因为电容电压和电流参考方
向不一致）其代入上式可得
C
RC
duC dt
uC
0
(t 0)
(4—2)
＋ － uC
S(t＝ 0) i
＋
R uR －
图4.5 RC电路的零输入响应
式（4-2）是一个常系数一阶线性齐次微分方程。 由高等数学知识可知其通解形式为uC=Aept。其中,常数 p是特征方程的根,A为待定的积分常数。式（4-2）的特 征方程可将uC=Aept代入而得
4-8）、（4-9）和式（4-10）中可以 看出,iL(t)、uR(t)和uL(t)都是按同一时间常数的指数规律 衰减,它们随时间变化的曲线如图4.10所示。
u、 i Io
RIo uR iL
0 t
uL － RIo
图4.10 RL电路的零输入响应曲线
iL (0
)
iL (0
)
US R1
9 3
3
（2）作t=0+等效电路如图7.3（c）所示。由此可得
i1(0 )
R2 R1 R2
iL (0 )
6 3
6
3
2
i2 (0 ) i1(0 ) iL (0 ) 2 3 1
uL (0 ) R2i2 (0 ) 6 (1) 6V
例4.3 如图4.4（a）所示电路,t=0时刻开关S闭合, 换路前电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的 初始值。
4.1 换路定律及初始值的计算
4.1.1 过渡过程的概念
当开关S闭合时,电阻支路的灯泡立即发亮,而且亮
度始终不变,说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过
程,立即进入稳定状态。电感支路的灯泡在开关闭合瞬间
不亮,图4.1实验电路然后逐渐变亮,最后亮度稳定不再变
化。
S(t＝ 0)
＋
R
C
L
US
－
图4.1 实验电路
点间的电压值。
在换路瞬间， 电容元件的电流有限时， 其电压uC不能跃变； 电感元件的电压有限时， 其电流iL不能跃变， 这一结论叫做换路定律。 则换路定律可表示为
uC (0 ) uC (0 ) iL(0 ) iL (0 )
(4——1)
响应在换路后的最初一瞬间（即t=0＋时）的值称为初 始值。 电容电压的初始值uC(0+)和电感电流的初始值iL(0+) 可按换路定律(4-1)式求出。 t=0-时的值由换路前的电路求 出， 换路前电路已处于稳态， 此时电容相当于开路， 电感
4.1.3 研究过渡过程产生的实际意义
研究电路的过渡过程有着重要的实 际意义: 一方面是为了便于利用它， 例如 电子技术中多谐振荡器、 单稳态触发器 及晶闸管触发电路都应用了RC充放电电 路；
另一方面， 在有些电路中， 由于电 容的充放电过程可能出现过电压、 过电 流， 进行过渡过程分析可获得预见， 以 便采取措施防止出现过电压、 过电流。
式(4-7)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程,与
式（4-2）相似,其通解的形式为
iL (t )
t
Ae
。其中,τ是
电路的时间常数。特征方程为
Lp R 0 pR
L
则
Rt
iL Ae L
(t 0)
代入初始条件iL(0+)=Io,可得A=Io,故电路的零输入响应
Rt
t
iL (t) Ioe T Ioe
1. RL电路 零输入响应的数学分析
在图 4.9（b）中,依KVL,可得 uL RiL 0 (t 0)
1 S(t＝ 0)
＋
RS
iL
US －
2
R
L
R
iL ＋
L uL －
(a)
(b)
图4.9 RL电路的零输入响应
将电感的伏安关系
uL
L
diL dt
代入上式,可得
L
diL dt
RiL
0
(t 0)
(4—7)
第4章 动态电路的时域分析
• 4.1 • 4.2 一阶电路的零输入响应 • 4.3 一阶电路的零状态响应 • 4.4 • 4.5 • 4.6 一阶电路的阶跃响应 • 4.7 微分电路与积分电路 • 4.8 二阶电路的零输入响应 • 小结
学 习目标
❖ 理解并掌握换路定律及初始值的计算。 ❖ 理解并掌握一阶电路的零输入响应 。 ❖ 理解并掌握一阶电路的零状态响应。 ❖ 熟练掌握一阶电路的三要素法。 ❖ 理解并掌握一阶电路的阶跃响应。 ❖ 理解并掌握微分电路与积分电路。 ❖ 理解二阶电路的零输入响应 ❖ 能综合地运用电路的分析方法求解较复杂电路。
i1(0＋)
iL(0＋)
i2(0＋)
S(t＝ 0)
R2
R3
＋
＋
uL －
L uC－
C
＋
US －
R2
R3
＋ uC(0－)
－
＋
US －
＋ uL(0＋) －
R2 6A
R3
＋ 12 V
－
(a)
(b)
(c)
图4.2 例4.1图
解: 第一步,作t=0—等效电路如图4.2（b）所示,这 时电感相当于短路,电容相当于开路。
作业：P134页 4.1 4.2
4.2 一阶电路的零输入响应
4.2.1 RC电路的零输入响应
可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。除电压 源（或电流源）及电阻元件外，只含一个储能元件（电容 或电感）的电路都是一阶电路。
含有储能元件的电路与电阻电路不同，电阻电
路中如果没有独立源就没有响应；含有储能元件时，
即使没有独立源，只要储源能元件的
u（C 0
）
或
i（L 0）不为零，就可以由它们的初始储能引起响应。
由于在这种情况下，电路中并无外电源输入，即输 入为零，因而电路中引起的电压或电流就称为电路 的零输入响应。
1、微分方程
根据图4.5所示电路电压、电流的参考方向,依KVL,有
uC uR 0 (t 0)