数据的波动和数据收集与处理复习

数据的波动

一．考点归纳

考点一．极差的计算

极差．是指一组数据中最大数据与最小数据的差，记作．（X 大—X 小）。极差是用来刻画数据离散程度的一个统计量。

例1. 计算下面各组数据的极差。

（1）-5，6，4，0，1，7，5； （2）11，12，13，14，15，16

考点二．方差和标准差。

方差．各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s 2 设有一组数据．x 1, x 2,

x 3,……，x n ,其平均数为

x

则

s 2=

[]

22221))()(1

x x x x x x n

n -+⋯⋯+-+-（, 而s=

(

)()(

)[]2

22211

x x x x x x n

n -+⋯⋯+-+-称为该数据的标准差（既方差的算术平方

根）

例2．求数据76，84，90，86，81，87，86，82，85，83的方差和标准差。

例3．已知x 1，x 2，x 3的标准差是2，则数据2x 1+3，2x 2+3，2x 3+3的平均数是多少？ 方差是多少？

例4．某班有甲．乙两名同学，他们某学期的五次数学测验成绩如下． 甲．76 84 80 87 73 乙．78 82 79 80 81 请问哪位同学的数学成绩较稳定．

二．课堂练习

1．已知一组数据－1，x，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是( )

A．2B．2 C．4 D．10

2．已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是( )

A．2 B．4 C．8 D．16

3．从A．B两班分别任抽10名学生进行英语口语测试，其测试成绩的方差是S A2=13.2，S B2=26.36，则( )

A．A班10名学生的成绩比B班10名学生的成绩整齐

B．B班10名学生的成绩比A班10名学生的成绩整齐

C．A．B两班10名学生的成绩一样整齐

D．不能比较A．B两班学生成绩的整齐程度

5．一组数据7，8，9，10，11，12，13的方差是________．

6．已知一组数据1，2，3，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差是________．

7．已知数据7，9，19，a，17，15的中位数为13，则这组数的平均数为________，方差为________．

8．甲．乙两个小组各10名学生某次数学测验成绩如下（单位．分）

甲组．76，90，84，86，81，87，86，82，85，83

乙组．82，84，85，89，79，80，91，89，79，74

回答下列问题．

（1）甲组数据的众数是___________，乙组数据的中位数是___________．

（2）若甲组数据的平均数为x，乙组数据的平均数为y,则x与y的大小关系是

__________．

（3）经计算知．s甲2=13.2,s乙2=26.36．s甲2＜s乙2，这表明____________．（用简要的文字语言表达）

（4）将甲．乙两组数据并成一组数据后，按照组距4分分组时，可以分成以下5组．

73.5~77.5 77.5~81.5 81.5~85.5 85.5~89.5 89.5~9.5

则其中85.5~89.5这一组的频数是___________,频率是___________．

9．甲．乙两位同学本学期11次考试的测试成绩如下．

甲98 100 100 90 96 91 89 99 100 100 93

乙98 99 96 94 95 92 92 98 96 99 97

(1)他们的平均成绩和方差各是多少？

(2)分析他们的成绩各有什么特点？

(3)现要从两人中选一人参加比赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能

进入决赛，你认为应选谁参加这次比赛？为什么？

三．课后作业

1．在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的( )

A．平均状态B．波动大小C．分布规律D．最大值和最小值

2．在学校对学生进行的晨检体温测量中，学生甲连续10天的体温与36℃的上下波动数据为0.2，0.3，0.1，0.1，0，0.2，0.1，0.1，0, 0.1，则在这10天中该学生的体温波动数据中不正确的是（）

A．平均数为0.12 B．众数为0.1 C．中位数为0.1 D．方差为0.02 3．将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是( )

A．平均数不变B．方差和标准差都不变

C．方差改变D．方差不变但标准差改变

4．甲．乙两同学在几次测验中，甲．乙平均分数都为86分，甲的方差为0.61，乙的方差为

0.72，请你根据以上数据对甲．乙两同学的成绩作出评价．．

5．已知x1，x2，x3的标准差是2，则数据2x1-3，2x2-3，2x3-3的方差是．

6．现有A．B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测试，每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如右图所示．

A班

分数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

人数 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2

(1)由观察可知，_________班的标准差较大；

(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获________分才可以及格．

数据的收集与处理复习

Ⅰ.梳理知识

1.普查与抽样调查

(1)普查是为了一定目的而对 进行 调查.

(2)抽样调查是从 中抽取 进行调查.抽样调查时一般应注意：抽样时要注意样本的 性和 性. 2.总体、个体、样本与样本容量

总体是 的全体，总体中的 叫做个体，从 中抽取的 叫做总体的一个样本，样本中 叫做样本容量. 3.频数和频率

(1)每个对象出现的 称为频数.

(2)每个对象出现的 与 的比值称为频率. 4.频率分布表、频数分布直方图和频数折线图

(1)频率分布反映的是一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小

(2)绘制频数分布直方图的步骤：①计算最大值与最小值的差(极差)；②决定组距与组数；③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频数分布直方图.

注意：绘制直方图的关键是决定组数和组距，组距的大小依赖于组数的多少，常分5~12组.

掌握几个等量关系：各小组的频数之和等于 ；各小组的频率之和等于 . 5.极差、方差与标准差——极差、方差和标准差都是衡量一个样本 的统计量，一般地，极差、样本方差或标准差越大，样本数据的 就越大. (1)各个数据与平均数之差的平方的平均数称为方差，通常可记为s 2.设一组数据：x 1、x 2、…、x n 的平均数为x ，方差为s 2，则______

__________=

x ，_

____________________2=

s 或

])[(12222212x n x x x n

s n -+++=

(2)方差的 称为标准差.

(3)方差的性质：若数据x 1、x 2、…、x n 的平均数为x ，方差为s 2，则①数据kx 1、kx 2、…、kx n 的平均数为k x ，方差为k 2s 2，标准差为ks ；②数据kx 1+a 、kx 2+a 、…、kx n +a 的平均数为k x +a ，方差为k 2s 2，标准差为ks .