利用开环频率特性分析系统的性能.

5.6 利用开环频率特性分析系统的性能

在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直接、准确。因此，须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以Bode 图为基点，首先讨论开环对数幅频特性)(ωL 的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。

实际系统的开环对数幅频特性)(ωL 一般都符合如图5-49所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。将)(ωL 人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指截止频率c ω附近的频段；高频段指频率远大于c ω的频段。这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息，需要分别进行讨论。

需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。一般控制系统的频段范围在Hz 100~01.0之间。这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。

5.6.1 )(ωL 低频渐近线与系统稳态误差的关系

系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。因此，

)(ωL 低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。根据)(ωL 低

频段可以确定系统型别υ和开环增益K ，利用第3章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。

图5-49 对数频率特性三频段的划分

5.6.2 )(ωL 中频段特性与系统动态性能的关系

开环对数幅频特性的中频段是指截止频率c ω附近的频段。设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-50（a ）所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为

dec dB /20-，相角 90)(-=ωϕ，因而相角裕度 90=γ；图5-50（b ）的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为dec dB /40-，相角 180)(-=ωϕ，因而相角裕度 0=γ。

图5-50

)(ωL 中频段对稳定性的影响

一般情况下，系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内是变化的，故截止频率c ω处的相角裕度γ应由整个对数幅频特性中各段的斜率所共同确定。在

c ω处，)(ωL 曲线的斜率对相角裕度γ的影响最大，远离c ω的对数幅频特性，其斜率对γ的影响就很小。为了保证系统有满意的动态性能，希望)(ωL 曲线以dec dB /20-的斜率穿过dB 0线，

并保持较宽的频段。截止频率c ω和相角裕度γ是系统开环频域指标，主要由中频段决定，它与系统动态性能指标之间存在着密切关系，因而频域指标是表征系统动态性能的间接指标。

1 二阶系统

典型二阶系统的结构图可用图5-51表示。其中开环传递函数为

2

()(01)(2)

n n G s s s ωξξω=<<+

相应的闭环传递函数为

2

22

2)(n

n n s s s ωξωω++=Φ （1）γ和%σ的关系: 系统开环频率特性为

图5-51 典型二阶系统结构图

2

()(2)

n n G j j j ωωωωξω=

+ （5-62） 开环幅频和相频特性分别为

2

2

2

)

2()(n n A ξωωωωω+=

n

ξωω

ωϕ2arctan

90)(--= 在c ωω=处，1)(=ωA ，即

1)

2()(2

2

2

=+=

n c c n c A ξωωωωω

亦即

0442224=-+n c n c ωωωξω

解之，得

c n ω=

（5-63）

当c ωω=时，有

n

c

c ξωωωϕ2arctan

90)(--= 由此可得系统的相角裕度为

c

n

n c c ωξωξωωωϕγ2arctan 2arctan

90)(180=-=+= （5-64） 将式（5-63）代入式（5-64），得

2

42142arctan ξξξ

γ-+= （5-65）

根据式（5-65），可以画出γ和ξ的函数关系曲线,如图5-52所示。

另一方面，典型二阶系统超调量

%100%2

1/⨯=--ξπξσe

（5-66）

为便于比较，将式（5-66）的函数关系也一并绘于图5-52中。

从图5-52所示曲线可以看出：γ越小（即ξ小），%σ就越大；反之，γ越大，%σ就越小。通常希望 6030≤≤γ。

图5-52二阶系统%σ、P M 、γ与ξ的关系曲线 图5-53二阶系统c s t ω与γ的关系曲线

（2）γ、c ω与s t 的关系：

由时域分析法可知，典型二阶系统调节时间（取05.0=∆时）为

3.5

(0.30.8)s n

t ξξω=

<< （5-67）

将式（5-67）与式（5-63）相乘，得

242145

.3ξξξ

ω-+=

c s t （5-68）

再由式（5-65）和式（5-68）可得

γ

ωtan 7

=

c s t （5-69） 将式（5-69）的函数关系绘成曲线，如图5-53所示。可见，调节时间s t 与相角裕度γ和截止频率c ω都有关。当γ确定时，s t 与c ω成反比。换言之，如果两个典型二阶系统的相角裕度γ相同，那么它们的超调量也相同（见图5-52），这样，c ω较大的系统，其调节时间s t 必然较短（见图5-53）。

例5-13 二阶系统结构图如图5-54所示。试分析系统开环频域指标与时域指标的关系。

解 系统的开环传递函数为

)

1()1()(21+=+=

s T s K

s T s T K K s G a a i α

式中，i K K K α21=，转折频率为a T 12=ω。若取

2

21

2ωω==

a c T （5-70）

图5-54 系统的结构图 图5-55 系统的对数幅频特性

则开环对数幅频特性如图5-55所示。系统的相角裕度为

180()180(90arctan )

1

18090arctan 63.4

2c c a a a T T T γϕωω=+=+--⎛⎫=+--= ⎪⎝

⎭

根据所求得的γ值，查图5-52可得707.0=ξ，%3.4%=σ。由图5-53查得

5.3=c s t ω。再由式（5-70），得

a c

s T t 77

5

.32

==

=

ωω