利用开环频率特性分析系统的性能.
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5.6 利用开环频率特性分析系统的性能
在频域中对系统进行分析、设计时,通常是以频域指标作为依据的,但是不如时域指标来得直接、准确。因此,须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性,本节将以Bode 图为基点,首先讨论开环对数幅频特性)(ωL 的形状与性能指标的关系,然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。
实际系统的开环对数幅频特性)(ωL 一般都符合如图5-49所示的特征:左端(频率较低的部分)高;右端(频率较高的部分)低。将)(ωL 人为地分为三个频段:低频段、中频段和高频段。低频段主要指第一个转折点以前的频段;中频段是指截止频率c ω附近的频段;高频段指频率远大于c ω的频段。这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息,需要分别进行讨论。
需要指出,开环对数频率特性三频段的划分是相对的,各频段之间没有严格的界限。一般控制系统的频段范围在Hz 100~01.0之间。这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。
5.6.1 )(ωL 低频渐近线与系统稳态误差的关系
系统开环传递函数中含积分环节的数目(系统型别)确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率,而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。因此,
)(ωL 低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。根据)(ωL 低
频段可以确定系统型别υ和开环增益K ,利用第3章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。
图5-49 对数频率特性三频段的划分
5.6.2 )(ωL 中频段特性与系统动态性能的关系
开环对数幅频特性的中频段是指截止频率c ω附近的频段。设开环部分纯粹由积分环节构成,图5-50(a )所示的对数幅频特性对应一个积分环节,斜率为
dec dB /20-,相角 90)(-=ωϕ,因而相角裕度 90=γ;图5-50(b )的对数幅频特性对应两个积分环节,斜率为dec dB /40-,相角 180)(-=ωϕ,因而相角裕度 0=γ。
图5-50
)(ωL 中频段对稳定性的影响
一般情况下,系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内是变化的,故截止频率c ω处的相角裕度γ应由整个对数幅频特性中各段的斜率所共同确定。在
c ω处,)(ωL 曲线的斜率对相角裕度γ的影响最大,远离c ω的对数幅频特性,其斜率对γ的影响就很小。为了保证系统有满意的动态性能,希望)(ωL 曲线以dec dB /20-的斜率穿过dB 0线,
并保持较宽的频段。截止频率c ω和相角裕度γ是系统开环频域指标,主要由中频段决定,它与系统动态性能指标之间存在着密切关系,因而频域指标是表征系统动态性能的间接指标。
1 二阶系统
典型二阶系统的结构图可用图5-51表示。其中开环传递函数为
2
()(01)(2)
n n G s s s ωξξω=<<+
相应的闭环传递函数为
2
22
2)(n
n n s s s ωξωω++=Φ (1)γ和%σ的关系: 系统开环频率特性为
图5-51 典型二阶系统结构图
2
()(2)
n n G j j j ωωωωξω=
+ (5-62) 开环幅频和相频特性分别为
2
2
2
)
2()(n n A ξωωωωω+=
n
ξωω
ωϕ2arctan
90)(--= 在c ωω=处,1)(=ωA ,即
1)
2()(2
2
2
=+=
n c c n c A ξωωωωω
亦即
0442224=-+n c n c ωωωξω
解之,得
c n ω=
(5-63)
当c ωω=时,有
n
c
c ξωωωϕ2arctan
90)(--= 由此可得系统的相角裕度为
c
n
n c c ωξωξωωωϕγ2arctan 2arctan
90)(180=-=+= (5-64) 将式(5-63)代入式(5-64),得
2
42142arctan ξξξ
γ-+= (5-65)
根据式(5-65),可以画出γ和ξ的函数关系曲线,如图5-52所示。
另一方面,典型二阶系统超调量
%100%2
1/⨯=--ξπξσe
(5-66)
为便于比较,将式(5-66)的函数关系也一并绘于图5-52中。
从图5-52所示曲线可以看出:γ越小(即ξ小),%σ就越大;反之,γ越大,%σ就越小。通常希望 6030≤≤γ。
图5-52二阶系统%σ、P M 、γ与ξ的关系曲线 图5-53二阶系统c s t ω与γ的关系曲线
(2)γ、c ω与s t 的关系:
由时域分析法可知,典型二阶系统调节时间(取05.0=∆时)为
3.5
(0.30.8)s n
t ξξω=
<< (5-67)
将式(5-67)与式(5-63)相乘,得
242145
.3ξξξ
ω-+=
c s t (5-68)
再由式(5-65)和式(5-68)可得
γ
ωtan 7
=
c s t (5-69) 将式(5-69)的函数关系绘成曲线,如图5-53所示。可见,调节时间s t 与相角裕度γ和截止频率c ω都有关。当γ确定时,s t 与c ω成反比。换言之,如果两个典型二阶系统的相角裕度γ相同,那么它们的超调量也相同(见图5-52),这样,c ω较大的系统,其调节时间s t 必然较短(见图5-53)。
例5-13 二阶系统结构图如图5-54所示。试分析系统开环频域指标与时域指标的关系。
解 系统的开环传递函数为
)
1()1()(21+=+=
s T s K
s T s T K K s G a a i α
式中,i K K K α21=,转折频率为a T 12=ω。若取
2
21
2ωω==
a c T (5-70)
图5-54 系统的结构图 图5-55 系统的对数幅频特性
则开环对数幅频特性如图5-55所示。系统的相角裕度为
180()180(90arctan )
1
18090arctan 63.4
2c c a a a T T T γϕωω=+=+--⎛⎫=+--= ⎪⎝
⎭
根据所求得的γ值,查图5-52可得707.0=ξ,%3.4%=σ。由图5-53查得
5.3=c s t ω。再由式(5-70),得
a c
s T t 77
5
.32
==
=
ωω