利用开环频率特性分析系统的性能.

5.6 利用开环频率特性分析系统的性能在频域中对系统进行分析、设计时，通常是以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得直接、准确。

因此，须进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。

考虑到对数频率特性在控制工程中应用的广泛性，本节将以Bode 图为基点，首先讨论开环对数幅频特性)(ωL 的形状与性能指标的关系，然后根据频域指标与时域指标的关系估算出系统的时域响应性能。

实际系统的开环对数幅频特性)(ωL 一般都符合如图5-49所示的特征：左端（频率较低的部分）高；右端（频率较高的部分）低。

将)(ωL 人为地分为三个频段：低频段、中频段和高频段。

低频段主要指第一个转折点以前的频段；中频段是指截止频率c ω附近的频段；高频段指频率远大于c ω的频段。

这三个频段包含了闭环系统性能不同方面的信息，需要分别进行讨论。

需要指出，开环对数频率特性三频段的划分是相对的，各频段之间没有严格的界限。

一般控制系统的频段范围在Hz 100~01.0之间。

这里所述的“高频段”与无线电学科里的“超高频”、“甚高频”不是一个概念。

5.6.1 )(ωL 低频渐近线与系统稳态误差的关系系统开环传递函数中含积分环节的数目（系统型别）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度则取决于开环增益的大小。

因此，)(ωL 低频段渐近线集中反映了系统跟踪控制信号的稳态精度信息。

根据)(ωL 低频段可以确定系统型别υ和开环增益K ，利用第3章中介绍的静态误差系数法可以确定系统在给定输入下的稳态误差。

图5-49 对数频率特性三频段的划分5.6.2 )(ωL 中频段特性与系统动态性能的关系开环对数幅频特性的中频段是指截止频率c ω附近的频段。

设开环部分纯粹由积分环节构成，图5-50（a ）所示的对数幅频特性对应一个积分环节，斜率为dec dB /20-，相角 90)(-=ωϕ，因而相角裕度 90=γ；图5-50（b ）的对数幅频特性对应两个积分环节，斜率为dec dB /40-，相角 180)(-=ωϕ，因而相角裕度 0=γ。

图5-50)(ωL 中频段对稳定性的影响一般情况下，系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内是变化的，故截止频率c ω处的相角裕度γ应由整个对数幅频特性中各段的斜率所共同确定。

在c ω处，)(ωL 曲线的斜率对相角裕度γ的影响最大，远离c ω的对数幅频特性，其斜率对γ的影响就很小。

为了保证系统有满意的动态性能，希望)(ωL 曲线以dec dB /20-的斜率穿过dB 0线，并保持较宽的频段。

截止频率c ω和相角裕度γ是系统开环频域指标，主要由中频段决定，它与系统动态性能指标之间存在着密切关系，因而频域指标是表征系统动态性能的间接指标。

1 二阶系统典型二阶系统的结构图可用图5-51表示。

其中开环传递函数为2()(01)(2)n n G s s s ωξξω=<<+相应的闭环传递函数为2222)(nn n s s s ωξωω++=Φ （1）γ和%σ的关系: 系统开环频率特性为图5-51 典型二阶系统结构图2()(2)n n G j j j ωωωωξω=+ （5-62） 开环幅频和相频特性分别为222)2()(n n A ξωωωωω+=nξωωωϕ2arctan90)(--= 在c ωω=处，1)(=ωA ，即1)2()(222=+=n c c n c A ξωωωωω亦即0442224=-+n c n c ωωωξω解之，得c n ω=（5-63）当c ωω=时，有ncc ξωωωϕ2arctan90)(--= 由此可得系统的相角裕度为cnn c c ωξωξωωωϕγ2arctan 2arctan90)(180=-=+= （5-64） 将式（5-63）代入式（5-64），得242142arctan ξξξγ-+= （5-65）根据式（5-65），可以画出γ和ξ的函数关系曲线,如图5-52所示。

另一方面，典型二阶系统超调量%100%21/⨯=--ξπξσe（5-66）为便于比较，将式（5-66）的函数关系也一并绘于图5-52中。

从图5-52所示曲线可以看出：γ越小（即ξ小），%σ就越大；反之，γ越大，%σ就越小。

通常希望 6030≤≤γ。

图5-52二阶系统%σ、P M 、γ与ξ的关系曲线 图5-53二阶系统c s t ω与γ的关系曲线（2）γ、c ω与s t 的关系：由时域分析法可知，典型二阶系统调节时间（取05.0=∆时）为3.5(0.30.8)s nt ξξω=<< （5-67）将式（5-67）与式（5-63）相乘，得242145.3ξξξω-+=c s t （5-68）再由式（5-65）和式（5-68）可得γωtan 7=c s t （5-69） 将式（5-69）的函数关系绘成曲线，如图5-53所示。

可见，调节时间s t 与相角裕度γ和截止频率c ω都有关。

当γ确定时，s t 与c ω成反比。

换言之，如果两个典型二阶系统的相角裕度γ相同，那么它们的超调量也相同（见图5-52），这样，c ω较大的系统，其调节时间s t 必然较短（见图5-53）。

例5-13 二阶系统结构图如图5-54所示。

试分析系统开环频域指标与时域指标的关系。

解 系统的开环传递函数为)1()1()(21+=+=s T s Ks T s T K K s G a a i α式中，i K K K α21=，转折频率为a T 12=ω。

若取2212ωω==a c T （5-70）图5-54 系统的结构图 图5-55 系统的对数幅频特性则开环对数幅频特性如图5-55所示。

系统的相角裕度为180()180(90arctan )118090arctan 63.42c c a a a T T T γϕωω=+=+--⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭根据所求得的γ值，查图5-52可得707.0=ξ，%3.4%=σ。

由图5-53查得5.3=c s t ω。

再由式（5-70），得a cs T t 775.32===ωω若增加开环增益，则图5-55的)(ωL 向上平移，c ω右移。

当c ω移至更靠近2ω时，相角裕度变得较小，超调量自然变大。

例如，若选a c T 12==ωω时，则相角裕度 45=γ，从上述曲线查得42.0=ξ，%23%=σ。

若K 值进一步加大，则c ω将落在斜率为dec dB /40-的高频渐近线段上，相角裕度将变得更小，超调量就更大。

2. 高阶系统对于一般三阶或三阶以上的高阶系统，要准确推导出开环频域特征量（γ和c ω）与时域指标（%σ和s t ）之间的关系是很困难的，即使导出这样的关系式，使用起来也不方便，实用意义不大。

在控制工程分析与设计中，通常采用下述两个近似公式由频域指标估算系统的动态性能指标：)9035(%100)1sin 1(4.016.0% ≤≤⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=γγσ （5-71）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21sin 15.21sin 15.12γγωπcs t )9035( ≤≤γ （5-72）图5-56所示的两条曲线是根据式（5-71）和式（5-72）绘成的，以供查用。

图中曲线表明，随着γ值的增加，高阶系统的超调量%σ和调节时间s t （c ω一定时）都会降低。

图5-56的绘制程序:r=30:0.01:90; tts=[]; dde=[]; rr1=[]; rr2=[];for i=1:length(r)temp=1/sin(r(i)*pi/180)-1; de(i)=0.16+0.4*temp;ts(i)=pi*(2+1.5*temp+2.5*temp^2)*0.5/9-6*0.5/9+0.1;if ts(i)<=0.5rr1=[rr1 r(i)]; tts=[tts ts(i)]; endif de(i)<=0.5rr2=[rr2 r(i)]; dde=[dde de(i)]; end endaa=plot(rr2,dde,'b-',rr1,tts,'r-'); set(aa,'linewidth',1.5); axis([30 90 0.1 0.55]);grid;图5-56 高阶系统%σ、s t 与γ的关系曲线5.6.3 )(ωL 高频段对系统性能的影响)(ωL 的高频段特性是由小时间常数的环节构成的，其转折频率均远离截止频率c ω，所以对系统的动态响应影响不大。

但是，从系统抗干扰的角度出发，研究高频段的特性是具有实际意义的，现说明如下。

对于单位反馈系统，开环频率特性)(ωj G 和闭环频率特性)(ωj Φ的关系为)(1)()(ωωωj G j G j +=Φ在高频段，一般有0)(lg 20<<ωj G ，即1)(<<ωj G 。

故由上式可得)()(1)()(ωωωωj G j G j G j ≈+=Φ即在高频段，闭环幅频特性近似等于开环幅频特性。

因此，)(ωL 特性高频段的幅值，直接反映出系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段的分贝值越低，说明系统对高频信号的衰减作用越大，即系统的抗高频干扰能力越强。

综上所述，我们所希望的开环对数幅频特性应具有下述性质：（1）如果要求具有一阶或二阶无差度（即系统在阶跃或斜坡作用下无稳态误差），则)(ωL 特性的低频段应具有dec dB /20-或dec dB /40-的斜率。

为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的分贝数。

（2）)(ωL 特性应以dec dB /20-的斜率穿过零分贝线，且具有一定的中频段宽度。

这样，系统就有足够的稳定裕度，保证闭环系统具有较好的平稳性。

（3）)(ωL 特性应具有较高的截止频率c ω，以提高闭环系统的快速性。

（4）)(ωL 特性的高频段应有较大的斜率，以增强系统的抗高频干扰能力。