(完整版)简单的三角恒等变换(一)

§3.2 简单的三角恒等变换（一）

学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用．

⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形． 教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变

换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，

不断提高从整体上把握变换过程的能力．

教学方法：讲练结合．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

（Ⅰ）复习引入：

师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式．

生：（默写公式）．

师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台

本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用．

（Ⅱ）讲授例题：

例1试以cos α表示2

sin 2α，2cos 2α，2tan 2α． 分析：α是2

α的二倍角，因此在仅含α的正弦、余弦的二倍角公式(2)C α中，以2

α代替α就可以得到2sin 2α、2cos 2α，然后运用同角三角函数的基本关系可得2tan 2

α． 解：略．

师：例1的结果还可以表示为：

sin 2α

=cos 2α=tan 2α=， 有些书上称之为半角公式，其符号由角2

α终边的位置确定． 师：由例题1和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的角之间的联系．

师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点．

例2求证： ⑴1sin cos [sin()sin()]2

αβαβαβ=++-； ⑵sin sin 2sin cos 22

θϕθϕθϕ+-+=． 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现

sin cos αβ与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos x αβ=，cos sin y αβ=，

则有sin()x y αβ+=+，sin()x y αβ-=-，由此解出x ，即求出了sin cos αβ．

⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令αβθ+=，αβϕ-=，解出α、β后代如即可．

证明：略

师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将22θϕθϕθ+-=+，22

θϕθϕϕ+-=-代入左边，然后利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出右式．

师：在例2的证明中，把sin cos αβ看成x ，cos sin αβ看成y 把等式看作x ，

y 的方程，通过解方程组求得x ，是方程思想的体现；把αβ+看作θ，αβ-看作ϕ，从而把包含α、β的三角函数式变换成θ、ϕ的三角函数式，是换元思想的应用．

（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习

（Ⅳ）课时小结:

⑴对于例1和例2，不应只看重它的结果，而要从得到结果的过程中体会三角恒等变换的途径和思想方法．

⑵进行三角恒等变换的大致过程是：分析题意，明确思维起点；选择公式，把握思维方向；实施变换，运用数学思想．

（Ⅴ）课后作业：

⒈课本156P 习题3.2 A 组 ⒈⑵⑶⑸⑹⑻ B 组 ⒈

⒉预习课本154P ～155P ，思考问题：

形如sin cos y a x b x =+的函数怎样转化为sin()y A x ωϕ=+的形式？转化过程体现了怎样的思想？

板书设计：

教学后记: