(同济7版高等数学)上海应用技术大学 17-18(二)高数(工)2期末复习
同济第七版上册高数考试要点(大一上)
1）已知 f (x) 表达式，求解 xf (x)d之x 类型--分部积分
2）已知 f ((x))表达式，求解f (x)--整体代换先求 f (t)
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第五章 定积分
• 1、掌握定积分的概念、几何意义；定积分的性质 及定积分中值定理
• 2、掌握牛顿—莱布尼茨公式； • 3、变上限定积分定义的函数，及其求导数定理
• 5、能够求出函数在某个区间的极值和最值；实际应 用问题中求最值；
• 6、会求函数的弧微分和曲率。
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第四章 不定积分
• 1、熟悉不定积分的性质及24个基本公式； • 2、换元积分法（第一、第二）与分部积分法（反
对幂三指）； • 3、求有理函数（真分式化为部分分式之和）、 • 三角函数有理式（万能公式）和简单无理函数
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第二章 导数与微分
• 1、研究函数（分段函数）在一个点是否可导， 可导的依据：左导数和右导数同时存在且相等； • 2、复合函数(在某点)的导数； • 3、隐函数求导和参数方程确定的函数的导 数，
求导要求能够求到二阶导数； • 4.求函数的微分； • 几何题型：求过某点的切线和法线方程； • 特殊类型：幂指函数，积分上限函数。
（各种变形），变上限积分的求极限； • 4、定积分的换元积分法分部积分法；（注意绝对
值函数和分段函数的积分；注意积分区间为对称 区间时可利用奇偶性；） • 5、能够判断反常积分的敛散性。
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2021/11/14Fra bibliotek2极限其它题型：研究函数（分段函数）在一个 点的极限是否存在
存在的依据：左极限和右极限同时存在并且相等。
上海工程技术大学-2011-2012高数二期末考试B卷(工科类)
上海工程技术大学《高等数学（二）》B一、填空题（5×4=20分）1．过点)3,2,1(M 且与平面0132=-+-z y x 平行的平面方程是 ．2．设二元函数x y z ln 3+=，则全微分=dz ．3．设点)3,0,2(A ，142||=AB ，向量→AB 的方向余弦为143cos =α，141cos =β，142cos -=γ，则B 点坐标为 ． 4．改变二次积分的积分次序：=⎰⎰xx dy y x f dx 2),(10 ．5．幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径是=R ．二、单项选择题（5×3 = 15分）6．向量b a ⨯与向量a 的位置关系是（ ）．A ．共面B ．垂直C ．平行D ．斜交7．点)2,2(-是函数22)(4),(y x y x y x f ---= 的（ ）．A . 极小值点；B . 驻点；C . 极大值点；D . 非驻点.8. 下列级数中收敛的是（ ）．A .∑∞=12sin n n π； B .∑∞=+-11)1(n n n ； C . ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11313n n n n ； D .∑∞=+123ln n n n .9．级数10!)1(+∞=∑-n n n x n 的和函数是（ ）． A ．x x s i n； B ．x x sin ； C ．)1ln(x x +； D ．x xe -． 10．设函数(,),(,)P x y Q x y 在单连通域D 上具有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 在区域D 内与路径无关的充要条件是（ ）． A . y P x Q ∂∂-=∂∂ B . x P y Q ∂∂=∂∂ C . x P y Q ∂∂-=∂∂ D . yP x Q ∂∂=∂∂. 三、计算题（6×6=36分）1.求旋转抛物面222-+=y x z 在点)3,1,2(M 处的切平面和法线方程． 解：2. 计算二重积分⎰⎰=Dxydxdy I ，其中D 是由抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的闭区域.解：3. 设金属曲线L 是连接点)1,0( A 到点)0,2( B 的直线段，其线密度22),(y x y x +=ρ，求此金属曲线的质量M ．解：4.计算第二类曲线积分⎰+++=L dy y x dx xy x I )()2(322,其中L 为曲线)2sin(x y π=由点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段.5．判断无穷级数∑∞=--1313)1(n n n n 是否收敛？ 若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：6．将函数2()ln(224)f x x x =--展开成x 的幂级数，并指出展开式中x 的取值区间.解：四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑-++=dS z y x I )1(，其中∑是平面y z -=3被圆柱面2522=+y x 所截得的部分．五、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑+-+-=xydxdy dzdx z x dydz z y x I 2)()(其中∑是由柱面122=+y x 与平面0=z 及2=z 所围立体的全表面外侧．六、（8分）求一阶微分方程0)32()43(=++-dy x y dx x y 的通解.七、（6分）证明题 设函数),(y x F u =可微，而ϕϕsin ,cos r y r x ==，求证2222)()()1()(yu x u u r r u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ϕ.。
同济大学《高等数学》第七版上、下册问题详解(详解)
练习1-1
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练习1-2
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练习1-3
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文案大全。
多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）
多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
高等数学(数二)知识重点及复习计划
1.7
重点
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法。习题1－7：1，2，3，4，5
1.8
重点
函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。
7.1
微分方程的基本概念（微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解）
习题7-1：1-4
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．
3．会用降阶法解可降阶的微分方程
4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．
5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．
6.2
重点
定积分的几何应用（求平面曲线的弧长，求平面图形的面积，求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体积，求旋转曲面的面积）
习题6－2：2-13，16，21，22，25，30
6.3பைடு நூலகம்
定积分在物理学上的应用（变力沿直线所做的功，水压力，引力）
总复习题六：1－10
第七章微分方程（时间1周，每天2-3小时）
习题2－1：6，7，8，11，14，15，16，17，18,19
1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(3-4章)(圣才出品)
第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x ∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。
（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。
则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。
2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），有f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。
（2）拉格朗日中值定理的证明思路引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。
（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x ＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。
（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。
3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点ξ，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（ξ）/F′（ξ）。
二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③()()lim x a f x F x →''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x a x a f x f x F x F x →→'='（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N 时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③()()limx f x F x →∞''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x x f x f x F x F x →∞→∞'='注：对于x→a 或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。
同济七高数上总复习
x
x
1
9.
lim
x0
1 x
1 ex
1
=
___2___
.
型
1
10.lim
x0
ex
e2x 3
e3x
x
=
___e_2__
第22页/共35页
.
1 型
11.
ex lim
sin x 1 = ___1___ . 等价无穷小代换的条件
x0 1 1 x2
sin x 12. lim(
x x
0 0 型 • 用其中一个因子作分母，转化为 0 型或 型
0
1
1 型 • 重要极限II：lim(1 x) x e x0
1型、0型、00型 • 恒等变形u( x)v( x) e , v( x)lnu( x) 指数部分转化为0 型
第7页/共35页
例5. 计算下列极限
(1)
lim
x
x
x2
ln
例10.设y
1
x
x
x
,
求
dy dx
.
x 1 x
x
[ln
x x1
1] x1
第11页/共35页
4. 高阶导数的计算： • 直接计算 • 恒等变形为已知高阶导数公式的函数或其和、差 • 莱布尼兹公式（注意适用范围）
例11.设f ( x) x2e x ,求f (50)(0) __2_4_5_0_ . 例12.设f ( x) xe x ,求f (n)( x) _(__1_)n_(_x. n)e x
x0 sin x ln(1 x)
1
3. lim x0
1+x 1+sinx (e x 1)x sin x
同济 版高等数学 上海应用技术大学 二 高数 工 期末复习
上海应用技术学院2017—2018学年第二学期高等数学（工）2 A课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 100 分钟 课程序号:班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。
一．单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1． 设00000(,)(,)lim1x f x x y f x x y x∆→+∆−−∆=∆，则以下三个论断（1）00(,)1x y f x∂=∂； （2）00(,)2x f x y '=； （3）00(,)1y f x y '=一定成立的个数是()．A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个 2．设(())u f g xyz =，其中f 、g 均可微，则ux∂=∂ ()．A ．(())()f g xyz g xyz ''B ．(())f g yz ''C ．(())()f g xyz g xyz yz ''D ．(())f g xyz yz ''3．设(,)z z x y =是由方程(,,)0F x y z x y z x y z +−++−−=确定的函数且F 可微，则zx∂=∂ ()．A ．123123F F F F F F '''−+−'''++B ．123123F F F F F F '''−+−'''−−−C ．123123F F F F F F '''++'''−+−D ． 123123F F F F F F '''−−−'''−+−4．设点00(,)x y 为(,)f x y 的驻点，其中f 连续且一阶、二阶连续可偏导，则下列结论正确的是()．A ．若00(,)0xx f x y ''<且00(,)0yy f x y ''>，则00(,)f x y 为极大值；B ．若00(,)0xx f x y ''>且00(,)0yy f x y ''>，则00(,)f x y 为极小值；C ．若00(,)0xx f x y ''>且00(,)0yy f x y ''<，则00(,)f x y 非极值；D ．若00(,)0xx f x y ''<且00(,)0yy f x y ''<，则00(,)f x y 非极值；5．三元函数(,,)xy zf x y z e=在点(1,1,1)处的梯度为()．A ．ei e j ek +−B ．ei e j ek ++C ．eD6．设D 是由半圆21x y −=与x 轴所围区域，1D 是D 在第一象限的部分，则232(sin sin )Dy x x y dxdy +=⎰⎰ ()．A ．0B ．122sin D y x dxdy ⎰⎰C ．1322sin D x y dxdy ⎰⎰D ．12322(sin sin )D y x x y dxdy +⎰⎰ 7．设Ω是由0x =，0y =，0z =以及231x y z ++=所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()．A ．111230(,,)dy dx f x y z dz ⎰⎰⎰ B ．11212300(,,)x ydy dx f x y z dz −−⎰⎰⎰C ．1121230(,,)x x ydx dy f x y z dz −−−⎰⎰⎰D ．1121230(,,)x x ydx ydy f x y z dz −−−⎰⎰⎰8．已知323xxdu e y dx e y dy =+且(0,0)u e =，则(1,1)u = ()．A ．0B ．eC ．2eD ．3e9．设函数yz x =，则2zx y∂=∂∂()．A ．1(1ln )y xy x −+ B ．1(ln )y x x y x −+ C ．(1ln )y x y x + D ．(ln )y x x y x +10．设arctan1yz x=+，则(0,1)dz = ()．A ．dx dy +B ．dx dy −C ．1122dx dy −+ D ．1122dx dy +11．对于函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，则下列结论正确的是()．A ．在(0,0)处偏导存在 且(0,0)(0,0)0x y f f ''==B ．在(0,0)处连续C ．在(0,0)处可微D ．在(0,0)处偏导连续 12．二元函数2(,)1f x y x xy =++()．A ．有极大值B ．有极小值C ．无驻点D ． 有驻点但无极值 13．1220()dx f x y dy +=⎰()．A ．1240()d f r rdr πθ⎰⎰B．2200()d f r rdr πθ⎰C ．1220()d f r dr πθ⎰⎰ D ．1220()d f r rdr πθ⎰⎰14．设Ω是由平面0x =，0y =，0z =以及平面1x y z ++=所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()．A ．111(,,)dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰B ．111000(,,)x x ydx dy f x y z dz −−−⎰⎰⎰C ．1110(,,)yx y dx dy f x y z dz −−−⎰⎰⎰ D ．1110(,,)zx ydx ydy f x y z dz −−−⎰⎰⎰15．()LI x y ds =+⎰其中L 为连接(0,0)及(1,1)二点的直线段，则I = ()．A ．0B ．1CD16． ),2(xyy x f z +=，则=∂∂x z ()． A.),2(),2(21x y y x f x y x y y x f +'++' B ．),2(),2(221x y y x f x y x y y x f +'−+'C ．),2(),2(2221x y y x f x y x y y x f +'−+'D ． ),2(),2(2221x y y x f xy x y y x f +'++'17．对于二元函数下列结论正确的是()．A ．偏导存在一定连续 B. 连续一定偏导存在C ．可微一定连续 D. 偏导存在一定可微 18. 函数y y x z 222−+=的驻点为()．A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(1,0)D ． (1,1) 19．⎰⎰=+xdy y x f dx 0221)(()．A ．⎰⎰4012)(πθdr r f dB ．⎰⎰4012)(πθrdr r f dC ．⎰⎰40cos 102)(πθθdr r f dD ．⎰⎰40cos 102)(πθθrdr r f d20．设Ω是由平面0x =，0y =，0z =以及平面12=++zy x 所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()．A ．⎰⎰⎰10210),,(dz z y x f dy dxB ．⎰⎰⎰−−−1)1(2010),,(y x x dz z y x f dy dx C ．⎰⎰⎰−−1)1(2010),,(y x dz z y x f dy dx D ． ⎰⎰⎰−−−10)1(2010),,(y x ydz z y x f dy dx21. 已知dy y ax dx y x )()2(+++为某个二元函数的全微分，则a 等于 ()．A ．0B ．12C ．1D ．2二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分．1．设y xz e =，则2zx y∂=∂∂．2．曲面2223240x y z −++=在点(1,2,1)处的切平面方程为．3．2xz e y =在点(1,1)处沿(1,1)到(2,3)的方向导数为．4．设D 为y x =，1y =和0x =所围区域，则二重积分2yDe dxdy =⎰⎰．5．设L 为从(0,0,0)到(3,4,5)的直线段，则Lxydx yzdy zxdz ++=⎰．6．曲面2210x y z +−−=在点(2,1,4)处的切平面方程为7．u xy =在点(1,2)处沿方向2(,l =的方向导数为．8．221()x y y x x y dxdy +≤+⎰⎰=．9．交换积分次序11(,)dy f x y dx =⎰．10．设L 为从(0,0,0)到(1,1,1)的直线段，则Lzdx xdy ydz ++=⎰．11．曲面9222=++z y x 在点)2,2,1(处的切平面方程为.12．2xy z =在点(1,2)处沿方向2(,l =的方向导数为 .13．dxdy y x y x ⎰⎰≤++122)( = .14．交换积分次序=⎰⎰101),(xdy y x f dx .15．设L 为从)0,0(到)1,1(的直线段，则⎰=Lxds .三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）．1．设2(,)yx z x f xy xe y =+，其中f 可微，求z x ∂∂，z y∂∂．2．求二元函数22(,)(2)xf x y e x y =−的极值．3．计算二重积分D，其中D 是由曲线224x y +=所围成的有界闭区域．4．(,)z z x y =是由方程22xze x z xy =+所确定的隐函数，求z x ∂∂与zy∂∂．5．计算三重积分22()x y zdv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222()z x y =+及平面1z =所围成的有界闭区域．6．计算曲线积分(sin(3)cos )(3cos(3)2sin )22x xLx y e y y dx e y x dy −++++⎰，其中L 是由点(,0)A π到点(0,0)O 的曲线段sin y x =．7．设(,)sin z f x y xy x y =++，其中f 可微，求dz ．8．(,)z z x y =是由方程2sin(23)23x y z x y z +−=+−所确定的隐函数，求z zx y∂∂+∂∂．9．计算二重积分2sin Dx dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,0y x x y ===所围成的有界闭区域．10．计算曲线积分2(22)(5)yy LI xey dx x e x dy =+++⎰，其中L 是由点(2,0)A 到点(0,0)O的曲线段y =．11．计算三重积分Ω，其中Ω是由圆柱面221x y +=及二平面0,1z z ==所围成的有界闭区域．12．设函数yx xy z +=，求x z∂∂，yx z ∂∂∂2．13．设(,)z z x y =是由方程02=−++xyz z y x 所确定的隐函数，求dz yzx z ,,∂∂∂∂．14．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy 的值，其中D 是由直线1,,0===x x y y 所围成的有界闭区域．15．计算曲线积分⎰−++−Lxx dy y e dx y y e )2cos ()12sin (的值，其中L 是从点(2,0)A 到点(0,0)O 的曲线段y =四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）． 1．求由曲面222z x y =−−与222()z x y =+所围成的立体的体积．2．设()g x 为一元连续函数，证明： （1）21112y xe dx e dy −=⎰⎰； （2）()2111001()()()2x dx g x g y dy g x dx =⎰⎰⎰．3．求由三个平面0,0,1x y x y ==+=所围的柱体被二平面0,646z x y z =++=截得的立体的体积．4．利用极坐标下计算二重积分的方法求出22x edx +∞−−∞⎰，并计算222x e dx +∞−−∞⎰．5．求由两曲面z z ==和.（7分）6.在a z y x =++条件下，求函数xyz u =的最大值，并证明 )(313z y x xyz ++≤. （7分）。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
高数(二)期末复习题
1 0
dρ
1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
(C)
π
2
0
dθ
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(B)
2π 0
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(D)
π
2
0
dθ
1 0dρFra bibliotek1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
6. 设 L 是 xoy 平面上的有向曲线, 下列曲线积分中, ( ) 是与路径无关的
(A) L 3yx2 dx + x3 dy (C) L 2x y dx − x2 dy
高数(二)期末复习题
只是把高数(二)期末复习题单独拿出来
作者： sikouhjw、xajzh 组织： 临时组织起来的重排小组 时间： May 29, 2019 版本： 1.00
“不论一个人的数学水平有多高, 只要对数学拥有一颗真诚的心, 他就在自己的心灵上得到了升华。”—SCIbird
目录
1 声明
7. 设 Σ 是上半圆锥面 z = x2 + y2(0
z
1)
,
则曲面积分
∬
Σ
x2 + y2
dS =
8. 级数
∞ n=1
1 n(n+1)
−
1 2n
的和为
三、综合题( 8 小题, 共 52 分)
1.
求方程
dy dx
=
xy 1+x2
同济第七版高等数学总复习ppt课件
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
7
定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
9
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2p 2q
( p与 q 同号 )
x y z
2 2
2
29
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G (x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t) y y(t) z z(t)
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
22
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
2 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) R 0 0 0
23
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第10章)【圣才出品】
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该体积为所求二重积分的值，有等式
这就是把二重积分化为先对 y，后对 x 的二次积分的公式．上面公式也可以写成
f (x, y)d
，作乘积
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 A→0 时，这和的极限总存在，且与闭区域 D 的分
法及点
的取法无关，则称此极限为函数 f（x，y）在闭区域 D 上的二重积分，记作
，即
其中ｆ（x，y）称为被积函数，f（x，y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x 与 y 称为
积分变量，D 称为积分区域，
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图 10-1-2
注：积分区域 D 既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域时，可以把 D 分成几部分，使每个
部分是 X 型区域或 Y 型区域．
2．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D 可以用不等式
来表示（图
10-1-3），其中函数φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二
在 D 上至少存在一点 ，使得
．
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二、二重积分的计算法
1．利用直角坐标计算二重积分
（1）X 型区域
设积分区域 D 用不等式
其中函数
在区间[a，b]上连续．
来表示（图 10-1-1），
图 10-1-1 计算步骤： ①求截面面积 过区间[a，b]上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
高数Ⅱ(2)复习题
高数Ⅱ（2）历届试题汇编（2003——2008）一、填空题和单项选择题: 1、（2003）交换二次积分的次序⎰⎰+=10122),(x xdy y x f dx ⎰⎰⎰⎰-+2/1212/010),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy .2、（2003）幂级数n n n n x n n )32(1∑∞=+的收敛域为)31,31[-. 3、（2004）交换二次积分的次序⎰⎰---=10112),(y y dx y x f dy ⎰⎰⎰⎰---+x x dy y x f dx dy y x f dx 1010101),(),(2 .4、（2004）级数∑∞=-+1/1)1(12n nen n α收敛的充要条件是α满足不等式2/5>α. 5、（2004）设nn nx a)1(0∑∞=+在2-=x 处条件收敛，则其在2=x 处( A ) A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不确定6、（2005）由方程5222=+++xyz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =在点），，（2010-P 处的全微分=P dz dy dx 521-. 7、（2005）.交换二次积分的次序⎰⎰--=20422),(x x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰-+-+y y dx y x f dy dx y x f dy 40402002),(),(.8、（2005）将21)(+=x x f 展开成2-x 的幂级数,并指出其收敛域:=)(x f )62(,)2(4)1(01<<---∑∞=+x x n nn n .9、（2005）.设+∞=∞→n n u lim ,则级数)11(11+∞=-∑n n nu u ( B )A.收敛于0B.收敛于11u C.发散 D.敛散性不确定10、（2006）设D :,122≤+y x 所围成,则⎰⎰+Ddxdy y x)]tan(1[2=π .11、（2006）交换二次积分的次序⎰⎰-=20),(y ydx y x f dy ⎰⎰⎰⎰+--2202022),(),(xxdy y x f dx dy y x f dx .12、（2006）级数∑∞=--+1211n nn n 的敛散性为 收敛 . 13、（2007）考虑二元函数),(y x f 的下面四条性质：①函数),(y x f 在点),(00y x 处连续 ②函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数连续③函数),(y x f 在点),(00y x 处可微 ④函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数存在则下面结论正确的是( A )A.②⇒③⇒①B.③⇒②⇒①C.③⇒④⇒①D.③⇒①⇒④ 14、（2007）二次积分⎰⎰2/0cos 0)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 可以写成( D )A.⎰⎰-102),(y y dx y x f dy B.⎰⎰-1102),(y dx y x f dyC.⎰⎰1010),(dy y x f dx D.⎰⎰-102),(x x dy y x f dx15、（2007）XOY 平面上的抛物线x z 52=绕X 轴旋转而成的旋转曲面的方程为x z y 522=+.16、（2007）二次积分⎰⎰-2121sin y dx x xdy =2cos 1cos -.17、（2007）设{}1|),(222≤+∈=y x R y x D ,则⎰⎰-Ddxdy y x)(2=4π.18.（2008）已知三角形ABC 的顶点分别为)2,0,1(),2,3,2(),1,1,1(-C B A ，则三角形ABC 的面积为233.19.（2008）设函数xye y x y x z )(),(-=，则全微分=)0,2(dz dy dx 3+. 20.（2008）交换二次积分的次序⎰⎰--=0121),(ydx y x f dy ⎰⎰-2101),(xdy y x f dx .21.（2008）函数xx f 2)(=展开成)1(-x 的幂级数为∑∞=-0)1(!)2(ln 2n n nx n .22.（2008）设b a b a b a b a 24,42-⊥+-⊥+，则a 与b的夹角为（ B ）A.0 B.2/πC.6/πD.3/π23.（2008）设)sin(22z x y z x -=+确定了隐函数),(y x z z =，则=∂∂+∂∂yzy x z z （ A ）A.x B.y C.z D.)sin(22z x y - 24.（2008）设D ：⎰⎰=+≤+Ddxdy y x y x )|(|,1||||则( C ) A.0 B.1/3 C.2/3D.4/3 25.（2008）设n n nx a)3(1∑∞=-在4=x 处发散，则其在0=x 处( C ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.无法判断敛散性二、解答题:1、（2003）求幂级数∑∞=+1122n n nx 的和函数)(x s . 答案：)(x s =)1ln(212x x --, )1,1(-∈x2、（2003）将)32ln(2x x y +-=展开成x 的幂级数,并求展开区间.答案: ∑∞=+++++-=01112)1()21(2ln n n n n n x y ,)1,1[-∈x 3、（2004）求函数y x y x z 161222+-+=在区域22y x +25≤上的最大值和最小值。
高数A(下)总复习(同济七版)
《高等数学A》(第二学期)期末总复习一、微分方程(一)一阶微分方程：形如(,,)0F x y y ，(,)y f x y 或(.)(,)0M x y dx N x y dy初值问题：00(,),x x y f x y yy 注：一阶方程的通解必须且只能含有一个任意常数1． 可分离变量方程：()()f x dx g y dy ，两边同时积分可得通解 2．齐次方程：dy y dx x，令y u x ，y xu ，dy du u x dx dx ()du dx u u x ，可分离变量形式 3．一阶线性微分方程： 形如()()dyP x y Q x dx，()0Q x ：齐次；()0Q x ：非齐次. (1)齐次：()0()||()dy dy P x y P x dx ln y P x dx lnC dx y通解：()P x dxy Ce(2)非齐次①常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其任意常数为变量，再代入原方程以确定该变量②公式解：()()()P x dxP x dx y e Q x e dx C(二)可降阶的高阶微分方程(1)()()n y f x 型：连续积分；(2)(,)y f x y 型(不显含y 的方程)：设y p ，则(,)y p p f x p (3)(,)y f y y 型(不显含x 的方程)：设y p ，则dp y p dy (,)dyp f y p dy(三)二阶线性微分方程的解的结构 1．齐次：()()0y P x y Q x y ，通解：1122()()y C y x C y x ，其中12(),()y x y x 为该方程两个线性无关的特解． 2．非齐次：()()()y P x y Q x y f x通解：()*()y Y x y x ，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解．3．设**12(),()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x 与2()()()y P x y Q x y f x 的特解， 则***12()()y y x y x 为12()()()()y P x y Q x y f x f x ＋的特解．(四)二阶常系数线性微分方程1.齐次：0y py qy ，其中,p q 都为常数(1)特征方程20r pr q 特征根12,?r r(2)通解：12112121212121,2()(cos sin )r x r x r x x C e C e r r y C C x e r r e C x C x r i2.非齐次：()y py qy f x ，其中,p q 都为常数(1)先求出对应的齐次方程0y py qy 的通解：()Y Y x ； (2)后求原非齐次方程的特解：A、()()x m f x e P x 型：令*()k x m y x e Q x ，其中k 是特征方程的根 的重数B、()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x 型：令*[()cos ()sin ]k x m m y x e Q x x R x x ，其中max{,}m l n ，k 是特征根i 的重数.注意事项1) 积分法主要方程类型：可分离变量方程(分离变量后直接积分)、齐次方程(令u y x )、一阶线性方程(公式法)、伯努利方程1()n zy 、可降阶方程(不显含x ：,p y p y 与不显含y ：,p y y p dp dy ) 2) 碰到一个方程都是从可分离变量方程开始判断形式，认清形式最关键3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解利用解的结构结论：非齐次通解(两线性无关特解的线性组合)=齐次通解+非齐次解；求解步骤为：齐次方程 特征方程 特征根 齐次通解；设非齐次特解形式 代入原方程 求得非齐次特解 非齐次通解二、向量代数与空间解析几何(一)向量代数1.点(,,)M x y z 向量(,,)OM x y z xi yj zk；2.点111222(,,),(,,)A x y z B x y z 向量212121(,,)AB x x y y z z； 3.向量运算及其坐标形式：设(,,),(,,)x y z x y z a a a a b b b b，则(,,)x x y y z z a b a b a b a b；(,,)x y z a a a a （ 为数）；||||cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ；x y z x y zi j ka b a a a b b b ，(||||||sin(,),,)a b a b a b a b b a b a ；以向量a 和b为邻边的平行四边形面积公式：||S a b//y x z x y z b b b a b a a a（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）； 0a b a b ；//0a b a b ； cos(,)||||a b a b a b ； ||cos(,)a b b a b Prj . (二)曲面、空间曲线及其方程1.曲面及其方程:(,,)0F x y z ，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】；要熟悉常见的二次曲面及其方程并会作图(重点：球面，圆柱面，锥面，抛物面)2.空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程(只有一个参数)；3.曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投xOy 便两两联立消去z ，其余类推. (三)平面方程与直线方程 1.平面方程(1)一般方程：0Ax By Cz D ，其中(,,)n A B C为其一法向量．(2)点法式方程：法向量(,,)n A B C，点000(,,)M x y z ，则000()()()0A x x B y y C z z ．(3)截距式方程：1x y za b c，主要用于画图. (4)平面束方程：过直线111122220A xB yC zD A x B y C z D 的平面束方程为：11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D ：过该直线的除第2个平面外的所有平面.2.直线方程(1)点向式方程：方向向量(,,)s m n p，点0000(,,)M x y z L ，则000x x y y z z m n p； (2)参数式方程：000x x mty y nt z z pt（注：主要用于求交点坐标）；(3)一般式方程：1111222200A x B y C z D A x B y C z D3.面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角4.距离：点0000(,,)M x y z 到平面0Ax By Cz D 的距离：d主要题型（1）向量数量积的运算或求夹角；(2)计算三角形面积（3）求解直线方程和平面方程.注意事项1) 本章的向量是自由向量，与起点无关，可任意平移2) 空间直角坐标系利用右手准则建立，xyz 要满足这样的循环关系x y z x 3) 数量积是个数量，向量积是个向量，重点掌握它们的坐标形式4) 数量积可用于求向量夹角(介于0到 之间)，向量积可用于确定方向及计算三角形或平行四边形面积 5) 一个方程(一个等号)是一个面，两个方程(两个等号)是条曲线 6) 平面主要抓住法向量，直线主要抓住方向向量三、多元函数的微分学及其应用(一)极限与连续二重极限常用求法：夹逼准则、等价无穷小、有理化，不可用洛必达法则；注：特殊方向法只能证极限不存在 连续性①一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的；②有界闭区域上的连续函数必有最值. (二)偏导数1.显函数：(,)z f x y a．定义：0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x，00(,)y f x y 定义类似；要掌握定义法求偏导b．求导法则：对x 求偏导，暂时视y 为常量；对y 求偏导，暂时视x 为常量c．高阶偏导数：22(,)xx z z f x y x x x ；2(,)xy z z f x y x y y x定理：二阶混合偏导在其连续时相同.d．复合函数的求导法则（链式法则）：若(,)z f u v 具有连续偏导数，而(,)u g x y 与(,)v h x y 都具有偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f g x y h x y 的偏导数为：12u x v x x x z z u z vf u f v fg fh x u x v x ，12u y v y y yz z u z v f u f v f g f h y u y v y注①解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量；②111,,f f f 等都具有相同的中间变量.2.隐函数（要诀：方程两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量，剩下的全为自变量）(1)一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：(,)0F x y :x ydy F dx F 公式法 三元方程可确定一个二元隐函数：(,)(,)0,z z x y y x z zF z F zF x y z x F y F 公式法：，(2)方程组的情形：三元方程组确定两个一元隐函数：()()(,,)0,(,,)0y y x z z x x F x y z dy dz G x y z dx dx对求导四元方程组可确定两个二元隐函数：(,)(,)(,,,)0(,,,)0u u x y v v x y F x y u v G x y u v对x (或y )求偏导得,u vx x（或,u v y y ） (三)全微分：可微函数(,)z f x y 的全微分为：z zdz dx dy x y. 定义为：0000[(,)(,)]()z f x x y y f x y A x B y o，其中全微分存在之证明：计算 z A x B y ，证明是否趋近于0，其中,A B 为该点处的两个偏导数. (四)几何应用（重点把握切向量和法向量） 1． 曲线的切线与法平面a、 若曲线 的参数方程为：()()()x x t y y t z z t，点0000(,,)M x y z t t ，则切向量为000((),(),())T x t y t z t ，切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t；法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z b、 若曲线 的方程为：()()y f x z g x ，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z xc、 若曲线 的方程为一般方程：(,,)0(,,)0F x y z G x y z，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z x （利用隐函数求导法，方程两边对x 求导，解方程组可得,dy dzdx dx）．(注：该法若无解，需改换其它自变量求导) 【另解：利用三阶行列式计算 x y z x y zij k T F F F G G G】2． 曲面的切平面与法线a、 若曲面 的方程为(,,)0F x y z ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：((),(),())x y z n F M F M F M，切平面方程为：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z ； 法线方程为：000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y zb、 若曲面 的方程为(,)z f x y ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：0000((,),(,),1)x y n f x y f x y，切平面方程为：0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z ； 法线方程为：0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y(五)方向导数与梯度 （以二元函数为例）(1)方向导数：设(,)z f x y 可微分，(cos ,cos )l e，则000000(,)(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y l(2)梯度：(,)((,),(,))x y f x y f x y f x y grad ，沿梯度方向，方向导数取得最大值，该值即为梯度的模.(六)极值 (1)无条件极值：设(,)z f x y ，由(,)0(,)0x y f x y f x y解得驻点00(,)x y ，令000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ，然后利用,,A B C 判定驻点是否极值：20AC B 有极值，0A 极小，0A 极大；20AC B 无极值；20AC B 用此法无法判定．(2)条件极值：(,)z f x y 在条件(,)0x y 下的极值：构造拉格朗日函数，令(,)(,)(,)L x y f x y x y ，联立方程(,)0(,)0(,)0x y L x y L x y x y，其解00(,)x y 为可能的极值点．是否为真正的极值点，一般可由问题的本身性质来判定．(3)闭区域上最值问题：内部区域令一阶偏导为零得驻点；边界通过代入法或拉格朗日乘数法求可疑点.注意事项1) 二重极限与一元函数极限的本质区别在于前者趋近方向有无数多个，而后者只有左右两个 2) 特殊方向法只能用于证明二重极限不存在，绝对不能用于求二重极限3) 掌握右边的关系图4) 求切线和法平面主要抓住曲线切向量，求切平面和法线主要抓住曲面法向量 5) 沿梯度方向，方向导数取得最大值，最大值为梯度模长四、积分的计算与应用(一)二重积分1.直角坐标：(,)D I f x y dxdy 2121():()()()12():()()()12(,),(,),b y x a x b D a y x y x y y x dx y c y d D cx y x y x x y dx f x y dy dy f x y dx若若注(1)利用可任意平移的穿线来确定积分顺序及积分上下限；要先对x 求积分，则画平行于x 轴的穿线 (2)若积分区域不只一条穿线，则适当分割之；(3)常考题型：交换二次积分的积分顺序．2.极坐标： cos ,sin (cos ,sin )x y d d d DI f d d， 注(1)被积函数或积分区域中含有22xy 的都可以考虑极坐标法(2)积分顺序： ；（3）先确定 的范围，后固定 ，选取从极点出发的穿线来确定 .(注：此处的穿线为一条由极点出发的射线，可绕极点任意旋转) 3.对称性(1)奇偶对称性：若积分区域D 关于x 轴对称， 1(,),0D x y D y ，则①当(,)f x y 是关于y 的奇函数，有(,)0Df x y dxdy ；②当(,)f x y 是关于y 的偶函数，有1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy .(2)轮换对称性：若积分区域D 关于直线y x 对称，则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy .4.应用： 平面面积DA dxdy ；曲顶柱体体积DV d 上顶下底； a注：求立体体积，不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程.曲面面积xyD A dS（yzD或zxD ）(二)三重积分1.投影法（先一后二法） 1221(,,)|(,)(,),(,)(,)(,)(,,)xy xyx y z z x y z z x y x y Dz x y z x y D I dxdy f x y z dz确定区域：先将立体区域 投影到xOy 平面上，选取平行于z 轴的穿越线确定z 的上下限.2.截面法（先二后一法）(,,)|,(,)(,,)z zx y z c z d x y D dc D I dz f x y z dxdy主要适用于(1)被积函数(,,)f x y z 仅含一种或不含自变量，比如只含z (2)截面应易计算其面积3.柱面坐标 cos ,sin ,x y z zdv d d dzI (cos ,sin ,)f z d d dz； 积分顺序：z ；确定积分上下限同上述投影法，取平行于z 轴的穿线；, 同极坐标.4.球面坐标 2sin cos ,sin sin ,cos sin x r y r z r dv r drd d I2(sin cos ,sin sin ,cos )sin f r r r r drd d积分顺序：r ；(1)将闭区域 投影至xOy 平面，以确定 的范围(2)在半平面c 内确定 的范围(3)固定, ，画一条从原点出发的穿越线，以确定r 的范围.5.对称性(1)奇偶对称性：设积分区域 关于xOy 平面对称①若(,,)f x y z 关于z 为奇函数，则(,,)0f x y z dv；②若(,,)f x y z 关于z 为偶函数， 1(,,),0x y z z ，1(,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv.(2)轮换对称性：区域轮换对称即可.(三)曲线积分1.第一类曲线积分（对弧长）a、平面曲线：(,)L f x y ds :(),()L x x t y y t t[(),()]()f x t y tb、空间曲线：(,,)f x y z ds :(),(),()x x t y y t z z t t[(),(),()]()f x t y t z t 2.第二类曲线积分（对坐标），主要考虑平面曲线：(,)(,)L I P x y dx Q x y dyi)参数法：:(),()L x x t y y t ,:t (或t 由 变化到 ){[(),()]()[(),()]()}I P x t y t x t Q x t y t y t dtii）格林(Green)公式：(,)(,)()L D Q PP x y dx Q x y dy dxdy x y；不闭则补之(常取折线)． 注意条件：偏导数处处连续，L 为D 的正向边界曲线．定理：设函数(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价： (1)沿D 内任意闭曲线C ，(,)(,)C P x y dx Q x y dy 0 ；(2)(,)(,)L P x y dx Q x y dy 在D 内与路径无关；(3)(,)(,)P x y dx Q x y dy 在D 内为某函数(,)u x y 的全微分，即存在函数(,)u x y ，使得du Pdx Qdy ； (4)在D 内恒有：P Qy x. 这里(,)u x y 可由下列两种方法求得：①线积分法：00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy C ；选取特殊路径，一般是折线路径. ②偏积分法：由du Pdx Qdy ，得(,)uP x y x； 两边对x 求偏积分可得(,)(,)(,)()u x y P x y dx f x y C y两边对y 求偏导可得(,)()y u f x y C y y ，再由(,)uQ x y y，可解得()C y ，从而得(,)u x y ． (四)曲面积分1.第一类曲面积分（对面积）设:(,)z z x y ，(,)xy x y D，则(,,)[,,(,)]xyD I f x y z dS f x y z x y2.第二类曲面积分（对坐标）：(,,)(,,)(,,)I P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy(1)高斯(Gauss)公式：(P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z若不闭则补之，一般补平面．注意条件：偏导数处处连续及方向性： 为 的整个边界曲面的外侧． (2)投影法：注意垂直性， 垂直于被投影面,则积分为零．若不垂直，则(,,):(,)[(,),,]yzD P x y z dydz x x y z P x y z y z dydz【前正后负】(,,):(,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx y y z x Q x y z x z dzdx【右正左负】(,,):(,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy z z x y R x y z x y dxdy【上正下负】(2)化为第一类曲面积分：(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS注意事项1) 线和面积分的第一类的与方向无关，第二类的与方向有关2) 曲线与曲面积分可以将曲线或曲面方程代入被积函数，重积分一定不能代入3) 非封闭曲线上的第二类曲线积分的计算常用格林公式：先补辅助线，注意曲线方向与已知曲线一致；一般补折线4) 非封闭曲面上的第二类曲面积分的计算常用高斯公式：先补辅助面，辅助面的设定要有三个元素，分别是方程、侧和范围(即投影区域)；注意侧要保证一致对外或一致对内 5) 积分的实际意义1. 定积分：曲边梯形的面积、旋转体的体积、曲线长度、直线质量、恒力沿直线作功2. 二重积分：曲顶柱体的体积、平面质量3. 三重积分：立体质量4.第一类曲线积分：曲线质量5. 第二类曲线积分：变力沿曲线作功6. 第一类曲面积分：曲面质量7.第二类曲面积分：变速度流体流过曲面的流量五、级数(一)常数项级数及其收敛性1.定义：1n n u收敛（发散） lim n n s 存在（不存在）【部分和12n n s u u u 】2.基本性质：(1)1(0)n n ku k 与1n n u具有相同的敛散性；(2)1n n u 与1n n v 都收敛 1()n n n u v收敛；(3)改变有限项的值不影响级数的敛散性； (4)收敛的级数可以任意加括号； (5)若1n n u收敛，则lim 0n n u ；反之未必； (6)若lim 0n n u，则1n n u发散.3.特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数11n n发散； 1111n n n 条件收敛；②p 级数11p n n ：当1p 时收敛，当1p 时发散； 1111n pn n：1p 时绝对收敛，当1p 时条件收敛. ③等比级数（几何级数）0n n aq，当||1q 时发散，当||1q 时收敛，且0(||1)1n n aaq q q． 4.正项级数审敛法：1n n u，其中0(1,2,)n u nI、1n n u收敛 部分和n s 有界；II、比较审敛法：(1)()n n u v n N ，若1n n v 收敛，则1n n u收敛；(2)极限形式：lim(0)nn nu l l v ，1n n u 和1n n v 具有相同的敛散性； 若0l ，则1n n v收敛，1n n u也收敛；若l ， 1n n v发散，1n n u也发散. 【可利用无穷小的比较记忆】III、比值(根值)审敛法：1lim)n n n nu u ，当1 时收敛；当1() 时发散；而当1时用此法不能判定其收敛性，转而用II 或I．5.交错级数 1(1)(0,1,2,)n n n n u u n：一般项绝对值{}n u 单调递减趋于零．6.任意项级数 1n n u（n u 为任意常数）：综合以上各方法来判断发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）(二)幂级数 0()nn n n n u x a x或00()n n n a x x1.收敛半径： (1)若0n a 【不缺项】：1lim (lim n n n n a a ，,01,00,R (2)若缺项：如200()n n n n n u x a x ，由1()lim1()n n n u x u x ，解得收敛区间． 2.收敛域：先求收敛半径R ，可得收敛区间(,)R R ，再讨论端点x R 处的收敛性可得所求的收敛域3.幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数． 注：主要参照等比级数4.函数展开成幂级数 00()()n n n f x a x x()x I1）直接展开法：【利用泰勒展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式．2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式．注：了解以下6个常用的展开式（重点是前两个）： ①01(||1)1n n x x x 、01(1)(||1)1n n n x x x ; ②0(||)!n x n x e x n ③210sin (1)(||)(21)!n n n x x x n ; ④20cos (1)(||)(2)!nn n x x x n⑤10ln(1)(1)(11)1n nn x x x n ⑥1222(1)(1)(1)(1)112!!m n n n m m m m m m m m n x C x C x C x mx x x n (三)傅里叶级数：只列举2T 情形，一般周期2T l 类似．1.傅里叶级数展开式：01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx 2.傅里叶系数： 1()cos (0,1,2,)n a f x nxdx n ，1()sin (1,2,)n b f x nxdx n(1)当()f x 为奇函数时，00(0,1,22()(1,2,3)n n a n b f x sinnxdx n) 此时级数变为1n n b sinnx ，称为正弦级数 (2)当()f x 为偶函数时，02()(0,1,20(1,2,3)n n a f x cosnxdx n b n ) 此时级数变为01cos 2n n a a nx ，称为余弦级数 3、收敛性条件：在一个周期内(1)处处连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点．4、和(函数)： 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ()()()()()2f x x f x f x f x x f x 为的连续点为的间断点 5.函数展开成傅里叶级数的题型(1)若()f x 为2T 的周期函数，则对()f x 验证收敛定理的条件，求出()f x 的间断点，利用收敛定理，写出()f x 的傅里叶级数的收敛性，再求出傅里叶系数，最后写出所求的傅里叶级数展开式．注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅里叶级数的收敛性．(2)若()f x 只在[,] 上有定义，则必须对()f x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数()F x 的傅里叶级数展开式限制在[,] 上讨论．(3)若()f x 只在[0,] 上有定义，对()f x 进行奇(偶)周期延拓，可得正弦（余弦）级数．。
同济大学高数第七版教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等基本概念；（2）理解并掌握极限、导数、积分等基本运算方法；（3）了解数学在工程、科学等领域的应用。
2. 能力目标：（1）培养逻辑思维能力和分析问题的能力；（2）提高解决实际问题的能力；（3）提高自学能力和团队合作能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对高等数学的兴趣和热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）培养学生的创新精神和团队协作精神。
二、教学内容1. 函数与极限2. 导数与微分3. 微分中值定理与导数的应用4. 不定积分5. 定积分及其应用6. 微分方程三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数与极限的基本概念；（2）导数与微分的基本概念；（3）不定积分与定积分的基本概念；（4）微分方程的基本概念。
2. 教学难点：（1）极限的运算法则；（2）导数与微分的应用；（3）不定积分与定积分的应用；（4）微分方程的求解方法。
四、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、基本理论，引导学生理解、掌握；2. 例题法：通过例题讲解，帮助学生理解和应用所学知识；3. 习题法：布置课后习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力；4. 讨论法：组织课堂讨论，激发学生思维，培养团队合作精神。
五、教学过程1. 导入新课：介绍本节课的学习内容，激发学生学习兴趣。
2. 讲解新知识：（1）函数与极限：讲解函数、极限、连续性等基本概念，并举例说明；（2）导数与微分：讲解导数、微分等基本概念，并举例说明；（3）微分中值定理与导数的应用：讲解微分中值定理，并举例说明导数在求解实际问题中的应用；（4）不定积分：讲解不定积分的概念、基本方法，并举例说明；（5）定积分及其应用：讲解定积分的概念、基本方法，并举例说明定积分在求解实际问题中的应用；（6）微分方程：讲解微分方程的基本概念、解法，并举例说明。
3. 课堂练习：布置课后习题，让学生巩固所学知识。
《高等数学》（同济七版）第二章：导数与微分
《高等数学》（同济七版）第二章：导数与微分江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则A BA C →→的最小值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB，OC 表示其它向量。
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(
B． D．
)．
1− x 0 1− z
A． C．
dx dy
0 0
1
1
1
0
f ( x, y, z )dz
1− x − y 0
dx
0
1
dy
1− x − y
0
f ( x, y, z )dz f ( x, y, z )dz
1
0
dx
1− y
0
dy
f ( x, y, z )dz
(
B． D．
)．
dy 2 dx
0 1 1− x − 2 y 3 0
A． C．
1
0 1
dy 2 dx 3 f ( x, y, z )dz
0 0
1
1
1
0 1
f ( x, y, z )dz f ( x, y, z )dz
0
dx
1− x 2 0
dy
x
1− x − 2 y 3 0
2
1
0
dy
2 (1− x − y )
0
f ( x, y, z )dz f ( x, y, z )dz
dx dy
0
f ( x, y, z )dz
dx
1− y
0
dy
2 (1− x − y )
0
已知 ( x + 2 y ) dx + ( ax + y ) dy 为某个二元函数的全微分，则 a 等于 B．
点 A( , 0) 到点 O (0, 0) 的曲线段 y = sin x ．
u = x
(
)．
D．f ( g ( xyz )) yz
C．f ( g ( xyz )) g ( xyz ) yz
3 ．设 z = z ( x, y ) 是由方程 F ( x + y − z , x + y + z , x − y − z ) = 0 确定的函数且 F 可微，则
z = x
2 2 2
L
zdx + xdy + ydz =
.
．
11．曲面 x + y + z = 9 在点 (1,2,2) 处的切平面方程为
12． z = xy 在点 (1, 2) 处沿方向 l = (
2
2 2 , ) 的方向导数为 2 2
.
13．
x 2 + y 2 1
( x + y)dxdy
1 0
=
xy
(
)．
D． 3e
6 ． 设 D 是 由 半 圆 y = 1 − x 2 与 x 轴 所 围 区 域 ， D1 是 D 在 第 一 象 限 的 部 分 ， 则
( y sin x
D
2
+ x 3 sin y 2 )dxdy =
(
)．
B． 2
A． 0 C． 2
y sin x dxdy
2 D1
2．求二元函数 f ( x, y ) = e (2 x − y ) 的极值．
x 2 2
第 5 页
3．计算二重积分
x2 + y 2 dxdy ，其中 D 是由曲线 x 2 + y 2 = 4 所围成的有界闭区域． 2 2 1 + x + y D
4． z = z ( x, y ) 是由方程 e
xz
(
)．
A． 0
1 2
C．1
D． 2
二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） ，请在每小题的空格中填上正确答案， 错填、不填均无分． 1．设 z = e x ，则
2
y
2 z = xy
2 2
．
2．曲面 3 x − 2 y + z + 4 = 0 在点 (1, 2,1) 处的切平面方程为 3． z = e y 在点 (1,1) 处沿 (1,1) 到 (2,3) 的方向导数为
2
(
( x + y ln x)
)．
C． x (1 + y ln x)
y
A． x
y −1
(1 + y ln x)
B． x
y −1
D． x ( x + y ln x)
y
10．设 z = arctan A． dx + dy C． −
y ，则 dz (0,1) = 1+ x
(
)．
B． dx − dy D．
1 1 dx + dy 2 2
(
)．
第 1 页
A．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 为极大值；
B．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 为极小值； C．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 非极值； D．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 非极值； 5．三元函数 f ( x, y, z ) = e z 在点 (1,1,1) 处的梯度为 A． ei + e j − ek B． ei + e j + ek C． e
1
0
dx
0
ydy
1− x − y
0
15． I = ( x + y )ds 其中 L 为连接 (0, 0) 及 (1,1) 二点的直线段，则 I =
L
(
D． 2
)．
A． 0
B． 1
C．
2 2
z y = ( x x y y y A. f 1 ( x + 2 y, ) + f 2 ( x + 2 y, ) x x x y y y C． 2 f 1 ( x + 2 y, ) − 2 f 2 ( x + 2 y, ) x x x
16． z = f ( x + 2 y, ) ，则 17．对于二元函数下列结论正确的是 A．偏导存在一定连续
)．
B ．
y y y f1 ( x + 2 y, ) − 2 f 2 ( x + 2 y, ) x x x y y y D． 2 f 1 ( x + 2 y, ) + 2 f 2 ( x + 2 y, ) x x x
2
0 1
f (r 2 )rdr
2 0
d f (r 2 )dr
0
1
2 0
d f (r 2 )rdr
0
14．设 是由平面 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 以及平面 x + y + z = 1 所围成的有界闭区域，且
f ( x, y, z ) 在 上连续，则 f ( x, y, z )dv =
x
D1
3
sin y dxdy
2
D． 2
( y sin x
D1
2
+ x 3 sin y 2 )dxdy
7 ． 设 是 由 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 以 及 x + 2 y + 3z = 1 所 围 成 的 有 界 闭 区 域 ， 且
f ( x, y, z ) 在 上连续，则 f ( x, y, z )dv =
A．
(
− F1 + F2 − F3 F1 + F2 + F3
)．
B．
− F1 + F2 − F3 − F1 − F2 − F3
C．
F1 + F2 + F3 − F1 + F2 − F3
D．
− F1 − F2 − F3 − F1 + F2 − F3
4．设点 ( x0 , y0 ) 为 f ( x, y ) 的驻点，其中 f 连续且一阶、二阶连续可偏导，则下列结论正 确的是
.
14．交换积分次序
dx
1
x
f ( x, y )dy =
.
15．设 L 为从 (0,0) 到 (1,1) 的直线段，则 xds =
L
.
三．计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） ．
2 y 1．设 z = x f ( xy , ) + xe ，其中 f 可微，求
x y
z z ， ． x y
2 2
7． u = xy 在点 (1, 2) 处沿方向 l = (
2 2 , ) 的方向导数为 2 2
．
8．
x 2 + y 2 1
( y x + x y )dxdy =
．
9．交换积分次序
dy
0
1
1 y
f ( x, y )dx =
．
10．设 L 为从 (0, 0, 0) 到 (1,1,1) 的直线段，则
1 1 dx + dy 2 2
第 2 页
xy x2 + y 2 0 2 2 11．对于函数 f ( x, y ) = x + y ，则下列结论正确的是 2 2 0 x +y =0
A．在 (0, 0) 处偏导存在 且 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 C．在 (0, 0) 处可微 12．二元函数 f ( x, y ) = x + xy + 1