数理逻辑考试题及答案

“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案

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一、命题逻辑基本知识（5分）

1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）

（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。

解：⌝p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。

（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。

解：q→⌝p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。

（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。

解：⌝r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。

（3）小王与小张是亲戚。

解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。

2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）

（0）A：(⌝(p↔q)→((p∧⌝q) ∨(⌝p∧q)))∨ r

（1）B：(p∧⌝(q→p)) ∧(r∧q)

（2）C：(p↔⌝r) →(q↔r)

（3）E：p→(p∨q∨r)

（4）F：⌝(q→r) ∧r

解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。

3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）

（0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。

解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(p→q) ∧q→p。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。

解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为：((p ∧ q) →s) ∧p ∧q) →(r ∨ s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。

二、命题逻辑等值演算（5分）

1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分）

（0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(⌝q∧⌝r)))的主析取范式。

解：p→((q∧r) ∧(p∨(⌝q∧⌝r)))⇔⌝p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧⌝q∧⌝r)

⇔⌝p∨(q∧r∧p) ∨0 ⇔ (p∧q∧r) ∨⇔ (⌝p∧1∧1) ∨(q∧r∧p)

⇔ (⌝p∧(q∨⌝q)∧(r∨⌝r)) ∨(q∧r∧p) ⇔ (⌝p∧(q∨⌝q)∧(r∨⌝r)) ∨m7

⇔ (⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨m7

⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m7.

（1）求公式⌝(⌝(p→q)) ∨(⌝q→⌝p)的主合取范式。

解：⌝(⌝(p→q)) ∨ (⌝q→⌝p)⇔(p→q) ∨ (p→q) ⇔ (p→q)

⇔⌝p∨q ⇔ M2.

（2）求公式(p→(p∨q)) ∨r的主析取范式。

解：(p→(p∨q)) ∨r ⇔⌝p∨ (p∨q) ∨r ⇔ (⌝p∨p∨q∨ r) ⇔1

⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.

2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）

（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。

乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。

丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。

村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，

q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。

判断公式F⇔( (p1∧⌝q2) ∨ (⌝p1∧q2)) ∧ ( (p3∧⌝q1) ∨ (⌝p3∧q1)) ∧ ( (p2∧⌝r1) ∨ (⌝p2∧r1)) ⇔⌝p1∧q2∧p3∧⌝q1∧⌝q2∧r1⇔1⇔q2∧p3∧∧r1，

由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。

说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。

（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：

①若赵去，钱也去。②李、周两人必有一人去。

③钱、孙两人去且仅去一人。④孙、李两人同去或同不去。

⑤如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？

解：①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。

②(1) (p→q) (2) (s∨u) (3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))

(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) (5) (u→(p∧q))

③(1) ~ (5)构成的合取式为：

A= (p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧ ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))

⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)

由此可知，A的成真赋值为00110与11001，

因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。

三、命题逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5分）（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。

解：形式化：

p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。

前提：p→(q→r)，p∧q

结论：⌝r→s

证明：①p→(q→r) 【前提引入】

②⌝p∨ (⌝q∨r) ⇔ p∧q→r 【①置换】

③p∧q 【前提引入】

④r 【②③假言推理】

⑤r ∨s 【④附加规则】

⑥⌝⌝ r∨s 【⑤置换】

⑦⌝r→s 【⑥置换】证毕。