2017年华侨、港澳台联考数学真题 (含答案)

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2017年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

数 学

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ）

（A ）{}2 （B ）{}2,3 （C ）{}3,4 （D ）{}123,4，， （2）0000cos 20cos 25sin 20sin 25-=（ ）

（A ）

2 （B ）1

2

（C ）0 （D ）2- （3）设向量(

)3,1a =

，()

3,1b =-，则a 和b 的夹角为（ ）

（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150

（4）2

=⎝⎭

（ ）

（A ）122i -- （B ）1+22- （C ）12 （D ）12 （5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，546S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是（ ）

（A ）81,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （B ）41,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）84,95⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦

（D ）[]1,0-

（6）椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点P 在C 上，22F P =，1223

F F P π

∠=，则C 的长轴长为（ ）

（A ）2 （B ） （C ）2 （D ）2+ （7）函数()y f x =的图像与函数()ln 1y x =-的图像关于y 轴对称，则()f x =（ ）

（A ）()ln 1x -- （B ）()ln 1x -+ （C ）()ln 1x -- （D ）()ln 1x +

（8）设01a <<，则（ ）

（A ）2

log a > （B ）a >

（C ）2

log a a < （D ）2log a （9）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（ ）

（A ）16个 （B ）70个 （C ）140个 （D ）256个

（10）正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，D 为1AA 的中点，则四面体1A BCD 的体积是（ ）

（A ）

（B ） （C （D （11）已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的右焦点为(),0F c ，直线()y k x c =-与C 的右支

有两个交点，则（ ）

（A ）b k a <

（B ）b k a > （C ）c k a < （D ）c k a

> （12）函数()f x 的定义域(),-∞+∞，若()()1g x f x =+和()()1h x f x =-都是偶函数，则（ ）

（A ）()f x 是偶函数 （B ）()f x 是奇函数 （C ）()()24f f = （D ）()()35f f =

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.

（13）()6

2x -的展开式中5x 的系数是____________.（用数字填写答案）

（14）在ABC ∆中，D 为BC 的中点，8AB =，6AC =，5AD =，则BC =____________. （15）若曲线()111y x x x =+

>-的切线l 与直线3

4

y x =平行，则l 的方程为____________.

（16）直线20x --=被圆2220x y x +-=截得的线段长为___________.

（17）若多项式()p x 满足()21p =，()12p -=，则()p x 被22x x --除所得的余式为________. （18）在空间直角坐标系中，向量a 在三个坐标平面内的正投影长度分别为2，2，1，则a =

____________.

三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （19）（15分）设数列{}n b 的各项都为正数，且11

n

n n b b b +=

+. （1）证明数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设11b =，求数列{}1n n b b +的前n 项和n S .

（20）（15分）已知函数()()323112f x ax a x x =-++.

（1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a ≤时，讨论方程()0f x =实根的个数.

（21）（15分）袋中有m 个白球和n 个黑球，1m n ≥≥.

（1）若6m =，5n =，一次随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率；

（2）有放回地抽取两次，每次随机抽取一个球，若两次取出的球的颜色相同的概率为58

，

求:m n .

（22）（15分）设椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，短轴

的一个端点为B ，短轴长为4，ABF ∆1

（1）求a ，b ；（2）设直线l 与C 交于,P Q 两点，()2,2M ，四边形OPMQ 为平行四边形，求

l 的方程.

2017年港澳台联考数学真题答案

二、填空题

13．12

-14．1015．3450

x y

-+=1617．

15

33

x

-+18．

2

三、解答题

19．解：（1）两边取倒数得，.

1

1

11

1

n

n n n

b

b b b

+

+

==+，故数列

1

n

b

⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

为等差数列，其公差为1，首项为

1

1

b

.

（2）由（1）得，

1

1

1

b

=，

1

11

(1)

n

n n

b b

=+-=，故

1

n

b

n

=，所以

1

111

(1)1

n n

b b

n n n n

+

==-

++

，

因此

11111

1...

22311

n

n

S

n n n

=-+-++-=

++

．

20．解：()()()()

2

36112322

f x ax a x ax x

'=-++=--.

（1）当0

a>时，令()0

f x

'=，得2

x=或

2

x

a

=；

①当01

a

<<时，有

2

2

>，列表如下：

故极小值为

2

()

f

a a

=.

②当1

a=时，有

2

2

a

=，则()()2

320

f x x

'=-≥，故()

f x在R上单调递增，无极小值；

③当1

a>时，有

2

2

a

<，列表如下：