圆中常用的作辅助线的八种方法 (共28张PPT)

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人教版初三数学九年级上册第24章《圆》教材分析课件(共38张PPT)

能利用垂径定理解决有关简单问题；能利用圆周角定理及其推论解决有关简单问题
运用圆的性质的有关内容解决有关问题
点和圆的
位置关系
了解点与圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：过不在同一直线上的三点作圆；能利用点与圆的位置关系解决有关简单问题
图图形形与的几性何质
直线和圆的
位置关系
了解直线和圆的位置关系；会判断直线和圆的位置关系；理解切线与过切点的半径的关系；会用三角尺过圆上一点画圆的切线
三角形的内切圆；了解三角形的内心；有关简单问题；尺规作图（利用基本
了解正多边形的概念及正多边形与圆作图完成）：作三角形的外接圆、内
的关系
切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面会计算圆的弧长和扇形的面积；会计
积算圆锥的侧面积和全面积
和圆锥
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一些简单的实际问题
O
O
适当补充“知二推三”，灵活运用所学知识，特别是体会如何证明圆心在弦上（某弦是直径）。
O
C
A
B
例. 根据条件求解：
D
（1）已知⊙O半径为5，弦长为6，求弦心距和弓形高.
（2）已知⊙O半径为4，弦心距为3，求弦长和弓形高.
（3）已知⊙O半径为5，劣弧所对的弓形高为2，求弦长和弦心距.
（4）已知⊙O弦长为2，弦心距为，求⊙O半径及弓形高.
A
B
半径为5dm。则水深______dm.
5.注重数学核心素养的培养
本章的教学内容能进一步发展学生的几何直观、推理能力等数学核心素养。
在教学过程中引导学生多画图、敢画图，借助对几何图形直观的感知、分析问题，并在此基础之上，在解决问题的过程中，运用合情推理探索思路，发现结论，运用演绎推理用于证明结论。

2第2课时垂径分弦(PPT课件(沪科版)28张)

D
B
归纳总结
u垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不
能，请举出反例.
C
A Ø特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二垂径定理及其推论的计算
典例精析圆心到弦的距
例1 如图，⊙O的半径为5cm离，叫弦做AB弦为心6c距m.，求圆心到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
AE EB 1 AB 1 6 3cm.
22
O·
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
OE OA2 AE2 52 32 4cm.
E
A
B
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
【一变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm， OE=6cm，则AB = 16 cm.
22
设 OC = x cm，则OD = (x － 2)cm，
·O
根据勾股定理，得
x2 = 42 + ( x－2)2 ，解得 x=5.
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
例3 已知：⊙O中弦
AB∥CD⌒， ⌒
证求明证：：作AC直＝径BDM.N⊥AB，如图.
C A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M，
M
D B
.O
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N ∴A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M， ∴A⌒C＝B⌒D.
归纳总结
A
.
O
C
B
A
O.
E
AC
DB

新人教版九年级数学24.2.2圆的切线的判定与性质PPT课件

l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的
判定方法。
-
5
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考：
（1）圆心O到直线l的距离和
圆的半径有什么数量关系?
（2）二者位置有什么关系？
为什么？
l
（3）由此你发现了什么？ -
O
A
6
(1)直线l经过半径OA的外端点A；
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可． 2、判定一条直线是圆的切线的三种方法说明：其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
-
22
思考？如图：如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢? 一定垂直
直线l
与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
l
-
O r A
9
判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
切线（×）
O l
r
A
O r
l
A
-
O l
r
A
10
判定直线与圆相切有哪些方法？

九年级上数学第24章圆复习课件

做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
．
∵直线l是⊙O的切线,切点为A
A
B
•
O C
D
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则
弦AB所对的圆周角为__5__0_0或___1_3_0_0_.（05年上海）
2.如图，AB是⊙O的直径,BD是
⊙O的弦，延长BD到点C,使
DC=BD,连接AC交⊙O与点F.
（1）AB与AC的大小有什么关
A
系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A
B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.

人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》圆PPT精品课件

出去的?
情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？
知识回顾
推进新课
回顾直线与圆相切：
切线
切点
判断直线和圆相切
有哪两种办法？
.
.O
直线与圆
相切
新知探究
切线具有的性质
1. 定义法：
和圆有且只有一个公共点
的直线是圆的切线.
2. 数量关系法（d=r ）：
圆心到直线的距离等于
半径的直线是圆的切线.
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
归纳
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线的三种方法
O
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
l
A
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，
即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径
O r
d
l
A
O
的直线是圆的切线.
又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,
所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
人教版数学九年级上册
直线和圆的位置关系
第3课时
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 运用切线长定理进行计算与证明.
复习引入
问题1
在同一个平面内，有一点和⊙，过点能否作
1
• ∴MN= 2 OM=2.5cm.
• 所以(1)⊙M与直线OA相离，因为r<MN.
• (2)⊙M与直线OA相交，因为r>MN.
• (3)⊙M与直线OA相切，因为r=MN.
综合应用
• 6.已知⊙O的半径为 2 ，直线l与点O的距离为d，

人教版九年级数学上册作业课件第二十四章圆专题(十) 圆中常见辅助线的作法

(1)求证：AE＝AB； (2)若AB＝20，BC＝16，求CD的长．
解：(1)证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵AE∥OC， ∴∠E＝∠OCB，∴∠E＝∠B，∴AE＝AB (2)如图，连接 AC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ACB＝90°，即 AC⊥BE，由(1)知 AB＝AE，∴ EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在 Rt△ACB 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2 ＝
二、遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2020·阜新)如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若 ∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为( B ) A．57° B．52° C．38° D．26°
6．如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若 AC＝6，BD＝5 2 ，则 BC 的长为___8_____．
A．π－1
B．π2 －1
C．π－21
D．π2 －12
14．(2020·重庆 B 卷)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝120°，AB＝2 3 ，以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_3__3__－__π__.(结果保留π)
202－162 ＝12，在 Rt△ACE 中，S△ACE＝21 ×
AC×CE＝12 ×AE×CD，∵AE＝AB＝20，∴21
×12×16＝21 ×20×CD，解得 CD＝9.6
五、添加辅助线进行扇形面积的有关计算 13．(2020·苏州)如图，在扇形 OAB 中，已知∠AOB＝90°，OA＝ 2 ，过 AB 的中点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，则图中阴影部分的面积为( B )

北师大版九年级数学下册《圆——圆周角和圆心角的关系》教学PPT课件(6篇)

D
O2
O1
E
B
F
新知探究
【跟踪训练】
1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
135°
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________.
D
A
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，AB+CD=AD+BC ,
25
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______.
A
A
O
O
BB
C
C
课堂小测
3. 如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ D ）
A
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
O
B
C
课堂小测
4 . 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ A）
A.30°
B.40°
C.50°
B
D.60°
D
C
OC垂直平分AD
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
A
平行
(2)OC与BD的位置关系是___________;
4
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.
O1
O
B
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E，
3 . 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆
心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
C
过点B作直径BD.由1可得:

切线的判定与性质课件

学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．

第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)

全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
垂径定理的应用例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
全效优等生
图3－9－4
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件：确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m，设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2，即 r2＝322＋(r－1)2，解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.

立体几何作辅助线的一般思路和常用方法(共7张PPT)

垂直于另一平面。理作平面角时，关键是作面的垂先取点O，在面α内分别做OA 、OB⊥ I＞求证：AF⊥DB 2＞若园柱与三棱锥D—ABE的体积比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角。易知a⊥OA、a⊥OB，从而有a⊥α。 2＞若园柱与三棱锥D—ABE的体积比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角。由1知OD⊥BC1，用三垂线逆定想到后就很容易从已知中知且a⊥面β，求证α⊥β(86年广东高考题) 一直线与a平行，因已知中有一直线与a平行，因已知中有应该想到用线面平行的性质定
立体几何作辅助线的一般思路和常用方法
第1页，共7页。
例1巳知直线a∥面α。且a⊥面β，求证α⊥β(86年广东高考题)
分析:要证两面垂直,根据判定定
理,须在一面内作一条直线和另一
面垂直,因a⊥面β,考虑将直线a
b
a
移到β即可,看已知条件a∥面α,
应该想到用线面平行的性质定 α
理,这时对照定理应过直线a作一平面和面β交于直线b,可得β 出a//b, 完成证明.
γ
Ab
B
c
Oα
第3页，共7页。
例3．已知直线a⊥α，面β⊥α且a不包含于β,求证：a ∥β(92 年三南考题)
分析：要证a 想到后就很容易从已知中知 ∥β，须在β内作
(1)证明AB1∥面DBC1.
(文：若AB＝a，VD—ABE＝3π，求点B到面ABCD的距离。
一直线与a平行，因已知中有易知a⊥OA、a⊥OB，从而有a⊥α。
分先分析取：点析要O，证：在a 面∥要βα，内证须分在别βa做内⊥O作A 、αO，B⊥须证直线a垂直α内的两条相交直线，所以考虑在
I＞求证：AF⊥DB
α内作两条相交直线，由条件β⊥α，γ⊥α应想到用两面垂直的性质 2、若题中给出条件β⊥α，作题时，先想到的是面面垂直的性质定理，要运用该定理就必须在其中一面内作两面交线的垂线a，则得出a

第2课时+切线的判定与性质++课件++2024--2025学年人教版九年级数学上册+

①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
切线的
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
性质有1个公共点
有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.
d=r
当堂练习
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （× ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ）
条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
归结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个
公共点时，我们说这条直线是
圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)
dr l
时，直线与圆相切；
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂
直于这条半径的直线是圆的切线.
N M
A
l
疑探 B
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB
是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
O
求证：AC是☉O的切线.
A
C
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线.
反证法. 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一
条直径垂直于CD,垂足为M,
B
（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距
离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相
交.这与已知条件“直线与⊙O相切”

金乡县六中九年级数学上册第二十四章圆专题课堂(十一)圆中常见的辅助线归类课件新版新人教版6

∵AC 为⊙O 的直径，∴△BCD 是直角三角形， ∵E 为 BC 的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠CDE ＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵ ∠ACB＝90°，∴∠OCD＋∠DCE＝90°，∴∠ ODC＋∠CDE＝90°，即 OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线 (2)设⊙O 的半径为 r，∵∠ODF＝90°，在 Rt△ODF 中，OD2＋DF2＝OF2，即 r2＋42＝(r ＋2)2，解得 r＝3，∴⊙O 的直径为 6
类型二：遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2019·聊城)如图，BC 是半圆 O 的直径，D， E 是 BC 上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE 的度数为( C ) A．35° B．38° C．40° D．42°
第5题图
6．(2019·包头)如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙ O 外一点，点 C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点 C，∠CAB＝90°，若 BD＝6，AB＝4，∠ABC ＝∠CBD，则弦 BC 的长为_2__6_____．
解：(1)BC 与⊙O 相切．证明：连接 OD.
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠CAD＝ ∠ODA.∴OD∥AC.∴∠ODB＝∠C＝90°，即 OD⊥BC.又∵BC 过半径 OD 的外端点 D，∴BC 与⊙O 相切
(2)设 OF＝OD＝x，则 OB＝OF＋BF＝x＋2，根据勾股定理得 OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2 ＋12，解得 x＝2，即 OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2
所以 x－1＝0或mx－2＝0 , 解得 x1＝1 , x2＝2 .
m
当m为正整数1或2时 , x2为整数 , 即抛物线与x轴总

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圆中常用的作辅助线方法共有ห้องสมุดไป่ตู้种，这些方法在解决有关圆的计算或证明题时发挥着关键作用。首先，作半径的方法，利用同圆的半径相等这一性质，通过连接圆心和圆上一点来构造等腰三角形或直角三角形，从而简化问题。其次，连接圆上两点，利用同弧所对的圆周角相等，为证两三角形全等或相似创造条件。第三种方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角的性质，构造直角三角形来求解问题。此外，在证切线时，常采用“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”的辅助线作法。其他方法还包括遇弦加弦心距或半径、遇直径巧加直径所对的圆周角等。这些方法在解题过程中各有特点，需要根据题目要求灵活选择和应用。通过掌握这些作辅助线的方法，可以更有效地解决与圆相关的各种数学问题。