高教传热学第四版课件第3章

0.1
M 1 1 M 2 1 M 3
厚度为的 2 大平板 半径为R的长圆柱 半径为R的球体
Bi Biv 3
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
一.三种几何形状物体的温度场分析解 1.平板 无限大平板： 当一块平板的长度、宽度远大于其厚度。 平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平 板四周绝热良好。 厚度2 的无限大平板，初温 t 0 ，初始瞬间 将其放于温度为t 的流体中，而且 t t 0 ， 流体与板面间的表面传热系数为常数。 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。
sin(1 ) (r, ) 2 sin 1 1 cos 1 2 球： exp 1 Fo 0 1 sin 1 1
( x, ) ( x, ) cos( 1 ) 对于平板： (0, ) m ( )
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
Bi n 为超越方程的根： tan n n
Bi h
x ( x , ) 因此 是 F0 , Bi 和 函数，即 0

( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
2.圆柱
用分离变量法可得其分析解为：
( r , ) 2 Cn exp n Fo J 0 ( n ) 0 n 1 J1 n r 2 a Cn Fo 2 2 2 R n J 0 n J1 n R
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
4 Biv Fov 的物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl

换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到 l 2 面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播 到物体内部，因而，物体各点的温度 就越接近周围介质的温度。
t t e 0 t0 t
hA Vc
hA hV A2 其中： 2 cV A V c h(V A)
过余温度比

a Biv Fov 2 (V A)
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
Biv h(V A) a Fov 2 (V A)
J1 n n 为超越方程的根： n Bi J 0 n r (r , ) 因此 是 F0 , Bi 和 函数，即 R 0
Bi hR

(r , ) r f ( F0 , Bi , ) 0 R
3.球
用分离变量法可得其分析解为：
(r , ) 1 2 Cn exp n Fo sin( n) 0 n n 1 sin n n cos n a r Cn 2 Fo 2 R n sin n cos n R
0 x 对称面
的绝热 边界条 件
第三类边 界条件
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 Cn exp n Fo cos(n ) 0 n 1 x 2sin n a Cn Fo 2 n sin n cos n
物体中的温度 呈指数分布

Fov 是傅立叶数
hA exp exp Biv Fov 0 Vc
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg J 3 3 kg.K [m ] m
考察热量的传递:
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
若令Q 为 [ 0 , ] 内所传递热量
Q c V [t0 t ( x, )]dV 1 Q0 cV (t0 t ) V 1 1 V

V
(t0 t ) (t t ) dV t0 t
3 sin 1 1 cos 1 2 sin 1 1 cos 1 Q 2 球： 1 exp 1 Fo 3 Q0 1 1 sin 1
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
引入过余温度： ( x, ) t( x, ) t
a 2 x
2
0 x ,
0
初始 条件
微分 方程
x,0 0
x, h , x x
x, 0 x x 0
d cV ＝ hA d
控制方程
0＝t 0 t
方程式改写为：
初始条件
d
hA d Vc
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
积分 d hA d Vc
hA 0 d Vc

0
d

hA ln 0 Vc
二.非稳态导热正规状况阶段分析解的简化 2. 非稳态导热的正规状况阶段 当 F0 0.2 取级数的首项，板中心温度误差小于1% 2sin 1 ( x, ) exp 12 Fo cos( 1 ) 平板： 0 1 sin 1 cos 1
J1 1 ( r , ) 2 2 exp 圆柱： 1 Fo J 0 ( 1 ) 2 2 0 1 J 0 1 J1 1

V
(t t ) dV 1 t0 t 0
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
热量的传递:
sin 1 2sin 1 Q exp 12 Fo 平板： 1 Q0 1 1 sin 1 cos 1
2 J1 1 2 J1 1 Q 2 exp 圆柱： 1 1 Fo 2 2 Q0 1 1 J 0 1 J1 1
2 温度分布
如图所示，任意形状的物 体，参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t 的流体中。
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
当物体被冷却时（t0>t）,由能量守恒可知
dt cV = hA t t d
令： t t — 过余温度，则有
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
Vc 1 即与 的量纲相同，当 时，则: hA
hA 1 此时， e 1 36.8% Vc
0
时间常数 c
c
ρcV hA
0
表示物体对外界温
度变化的响应程度。
Biv Fov
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
无量纲 时间
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
5 集总参数法的适用范围
Biv
或
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
h( V A )
Bi
hl

0.1M
采用此判据时，物体中各点 过余温度的差别小于5%。
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 3 R V R 3 2 A 4R 3 Biv Bi Biv Bi 2
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
此半块平板的数学描写：
t t a 2 x
2
( 0 x , 0 )
微分 方程 初始 条件
t x,0 t 0
0 x
t x, 0 x x0
对称面的绝 热边界条件 第三类边 界条件
t x, ht , t x x
若 r rh ， Bi 0 ，可以忽略导热热阻
无量纲数
若 r rh ， Bi ，可以忽略对流换热热阻
t
t0
τ
τ
t

x
t0
τ
t

x
0

x
t0
0
0
Bi
Bi 0
Bi数有限大小
3.2 零维问题的分析法--集总参数法
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度 均匀一致的分析方法。此时， Bi 0 ，温度 分布只与时间有关，即 t f ( ) ，与空间位置 无关，因此，也称为零维问题。
3 瞬态热流量：Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA
hA 0 e

hA Vc
W
hA Vc
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ ( )d Vc 0 (1 e
源自文库

) J
当物体被加热时(t0<t)，计算式相同（为什么？）
第3章 非稳态热传导
本章重点内容
重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维非稳态导热问题。 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的 计算方法。 了解内容： 无限大物体非稳态导热的基本特点。
作业
3-7，3-12，3-17
为 h ，平板导热系数为 。考察平板内的温度分布
情况。 (1) 问题的分析： 如图所示，存在两个换热热阻： a 流体与物体表面的对流换热热阻: rh b 物体内部的导热热阻: r
0
t , h

x
1 h
3.1 非稳态导热的基本概念
r h (2) 毕渥数的定义：Bi rh 1 h (3) Bi数对温度分布的影响
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法 分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
3.1 非稳态导热的基本概念
7 毕渥数 第三类边界条件下非稳态导热时物体中的温度变化 特性与边界条件参数的关系。 设有一块厚2 的金属平板，初始温度为 t 0 ，突然将 它置于温度为 t 的流体中进行冷却，表面传热系数
hR n 为超越方程的根： 1 n cos n Bi Bi r (r , ) 因此 是 F0 , Bi 和 函数，即 R 0
(r , ) r f ( F0 , Bi , ) 0 R
f ( F0 , Bi , ) 0
3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
3.1 非稳态导热的基本概念
5 热量变化

1 2
0
0

3.1 非稳态导热的基本概念
6 学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
3.1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义：物体的温度随时间而变化。 2 非稳态导热的分类 周期性非稳态导热: 物体的温度随时间而作周期性的变化。 瞬态非稳态导热： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于定值。
t 0
t f ( x，y，z， )
3.1 非稳态导热的基本概念
3 温度分布： 设有一平壁，如图所示，其初始温度为 t 0 。令 其左侧的表面温度突然升高到 t1并保持不变， 而右侧仍与温度为 t 0 的空气接触，试分析物体 温度场的变化过程。
t
t1
H G F E B C D
t0
A
0
x
3.1 非稳态导热的基本概念
4 两个不同阶段 非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新 的稳态 温度分布主要受初始 温度分布控制 温度分布主要取决于 边界条件及物性