金融工程学 第六讲 B-S公式 (2)
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
B-S期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
智慧树答案金融工程学知到课后答案章节测试2022年
绪论1.对于金融衍生工具，本课程主要研究两方面的内容：交易原理和定价技术。
答案:对第一章1.金融工程中最重要的内容是（）。
答案:风险管理2.以下哪个不是远期和期货的区别（）。
答案:合约类型3.以下哪种衍生品的买方不需要承担任何合约义务（）。
答案:期权4.期货的哪一个要素是由交易双方自己确定的?（）答案:价格5.互换是一种（）业务。
答案:表外6.关于金融工程，以下说法正确的是（）。
答案:金融工程是一个过程，结果是产生创新性的金融产品和创造性的解决方案。
;金融工程以一系列的现代金融理论为基础。
;金融工程是为了解决特殊问题、满足特殊需要而出现的。
7.金融衍生工具的标的资产包括（）。
答案:指数;利率;证券8.根据期权赋予买方的执行时间，期权可以分为（）。
答案:欧式期权;美式期权9.创新和创造是金融工程的本质特征。
（）答案:对10.金融衍生工具的标的资产是证券。
（）答案:错第二章1.最早出现的期货合约类型是（）。
答案:农产品期货2.结清金融期货头寸的方式最常见的方式是（）。
答案:对冲平仓3.为使保证金制度有效，一个不可缺少的制度是（）。
答案:逐日盯市4.当现货价格下跌而期货价格上涨时，期货的基差（）。
答案:减小5.金融期货出现最晚的一个品种是（）。
答案:股指期货6.根据交易目的的不同，期货市场的交易者主要有（）。
答案:套利者;投机者;套期保值者7.交易所的基本功能有（）。
答案:制定并执行保障期货交易的公平、公正、公开等原则条例;监管交易所的交易状况，确保交易有秩序地进行;提供交易场地或交易平台;根据经济发展和市场交易的需要，设计和推出新的交易合约8.价差头寸投机包括（）。
答案:商品内价差;商品间价差9.期货的初始保证金不要求一定是现金交纳，可以用等值的有价证券作为初始保证金。
（）答案:对10.规避现货市场中现货价格下跌的风险应该用多头套期保值。
（）答案:错第三章1.一份90天短期利率期货合约每变动一个基点的对应损益为（）。
金融工程第11章期权定价BS公式
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dSSdtSdz
dlnS(2)dtdz
2
lln S n S T T~ [ln S lS ~ n ([ ( 2 2 2 )2)T (T ( t)t) ,,T T tt]]
Black-Scholes微分方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变 量。 方程中出现的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风 险利率；都独立于风险偏好。 假设：所有的投资者都是风险中性的。
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erTE(STK)
11.5 隐含波动率
隐含波动率：在市场中观察的期权价格所蕴含的波动率。
计算隐含波动率
波动率产生的原因
Fama&French的研究
波动率计算的时间问题
11.6 红利的影响
有红利的欧式期权
有红利的欧式看涨期权
有红利的美式看涨期权
Black近似
例子
f erTE(ST)KreT
E(ST ) SerT f SKerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[maST x(X,0)]
cer(Tt)E [mST ax X,0 ()]
ln ST~[lSn r 2 2(Tt) , Tt]
t 2S2
S
f rSf 12S22f rf
t S 2 S2
Black-Scholes微分方程
B-S期权定价公式的运用及实际操作技巧
作者： 张彩玉
作者机构： 西南交通大学经济管理学院，河南大学工商管理学院
出版物刊名： 经济师
页码： 107-108页
主题词： B-S期权定价公式 价格波动率 期权价值
摘要：B-S期权定价公式不仅具有重大的理论意义,而且还具有广泛的实用性和可操作性.但理论和实际毕竟有一定的距离,公式中的变量在理论上的含义和取值都比较确定,可在实际中可能对应有不同的值,应该代入哪个值,或数值需要做些什么处理,都是非常重要的.文章结合B-S期权定价公式的前提条件和推导的思想,来说明每个变量的真正含义和取值方法.另外还总结了该公式在实际中运用的一些技巧.。
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
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参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
金融工程6(期权)
武汉理工大学
38
【例】
股票加看跌期权组合，称为（
A.抛补看涨期权 B.保护性看跌期权 C.多头对敲 D.空头对敲
）。
答案：B 【解析】股票加看跌期权组合，称为保护性看
跌期权。因为单独投资于股票风险很大，如果同时 增加看跌期权，可以降低投资的风险。
看跌期权是指期权赋予持有人在到期 日或到期日之前，以固定价格出售标的资 产的权利。其授予权利的特征是“出售”。
武汉理工大学
5
【快速掌握技巧】
持有看涨期权——未来购买资产（买 涨不买跌）——越涨越有利
持有看跌期权——未来出售资产—— 越跌越有利
武汉理工大学
6
（三）期权市场
期权报价的规律： 到期日相同的期权，执行价格越高，
武汉理工大学
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（一）保护性看跌期权
• 股票加看跌期权组合。做法：购买一份股 票，同时购买1份该股票的看跌期权
武汉理工大学
28
【评价】
单独投资于股票风险很大，同时增加一股看跌期权， 可以降低投资风险。
在买进一股股票的同时，为了防止万一判断错误，股 票不涨反跌，投资者同时购买该股票的看跌期权。这样， 如果投资者判断正确，股票上涨时，投资者只损失了一个 数目较小的期权价格；如果万一判断错误，股票不涨反跌 时，投资者购买的看跌期权可以帮其追回在买进股票交易 中的损失。
（2）期权的标的资产
期权的标的资产是选择购买或出售的资产。包括股票、政府债券、货币、股票
指数、商品期货等。期权是这些标的物衍生的，因此称为“衍生金融工具”。
武汉理工大学
3
【注意】期权出售人不一定拥有标的资产，期权购买方也不一定真的想购
B-S期权定价模型的推导过程
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(St− L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值St—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(St− L,O) = 0从而:其中:P：(St > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
期权定价的连续模型之B-S公式
如何使概率问题转化为实变量的函数形式 ？
如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式 ？
我们研究的对象是随机事件的概率 我们研究的对象是 随机变量的取值或取值范围 的概率 P( X = x ), P( X x ), P( X > x ), P ( x1 X x2 ),…
能否选用一个事件将所有事件都表达出来？
用随机变量的取值或取值范围来表示随机事件
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的 身高. 我们可以把可能的身高看作随机变量 X , 然后我们可以提出关于X 的各种问题. 如 P(X > 1.7 )=？ P(X ≤1.5 )= ? P(1.5<X<1.7) =?
一旦我们实际选定了一个学生并量了其身高 之后，我们就得到 X 的一个具体的值，记作 x . 这时要么 x≥1.7, 要么 x <1.7， 再求 P(x ≥1.7)就没有意义了.
这种选择并 不是唯一的
P( X x)
P( A ) X() P( X x )
本质是什么？
函数
变量 ？
由此引进了分布函数的概念：
随机变量的分布函数
1. 定义
F ( x) P( X x)
分布函数是一个普通的函数, , 我们就可以用分析的 设 X 是随机变量，称 通过它 特殊形式事件的概率 ( x )工具来研究随机变量的取值规律
期权定价的连续模型之B-S公式
期权定价理论的发展 几何布朗运动 Black-Scholes定价公式 其他有关知识
概率知识：§1 随机变量
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，……
6 总复习和习题课(学生)
169 1000 - max 0,1000 1 美元； ST
（3）到期日汇率低于 84.5 日元/美元时，债券持有人的收益为 0. 证明 ICON 是一个简单债券与两个期权的组合。 4、 假如 USD/GBP 即期汇率为 2.0080， 90 天远期汇率为 2.0056， 180 天远期汇率为 2.0018。 下列情形出现时会给套利者创造怎样的机会： （1）180 天期，执行价格为 1.97USD/GBP，期权价格为 2 美分的欧式看涨期权 （2）90 天期，执行价格为 2.04USD/GBP，期权价格为 2 美分的欧式看跌期权 5、什么是完美对冲？一个完美对冲一定好过不完美对冲吗？一个完美对冲是否总能成 功的将资产未来交易的价格锁定在当前的即期价格上？ 6、“如果最小方差对冲比率为 1.0， 那么该对冲一定为完美对冲” 这一说法是否正确？ 什么情况下使得对冲组合方差最小的对冲不会产生任何对冲效果？ 7、 假定黄金的 1 年期租赁利率为 1.5% （年复利） ， 1 年期无风险利率为年 5% （年复利） 。 结合业界事例 3-1，计算当黄金的即期价格为 600 美元时，高盛公司应该报出的 1 年期远期 的最高价格。 8、假定 6 个月期、12 个月期、18 个月期和 24 个月期的零率分别为 5%、6%、6.5%和 7%，求两年期的债券平价收益率。 9、10 年期票面利率为 8%的债券价格为 90 美元，10 年期票面利率为 4%的债券价格为 80 美元。求 10 年期的零率。 10、当一家公司采用远期合约对冲已知的将来外汇现金流出时，就不存在汇率风险。 当采用期货合约来对冲风险时， 按市场定价的方式确实会使公司面临一些风险。 解释这种风 险的实质。 尤其当出现以下四种情形时， 公司使用期货和远期合约哪种形式更好？假设远期 价格等于期货价格 （1）在合约期限内，外汇迅速贬值 （2）在合约期限内，外汇迅速升值 （3）外汇先升值，然后贬值到它的初始水平
金融工程学第6章.ppt
14
6.3 期权的风险与收益
▪ 看涨期权的风险与收益关系
R ST
▪ 看跌期权的风险与收益关系
R
ST
图中：何为多方、何为空方？
2024/10/8
Copyright©Lin Hui 2004, Department of Finance, Nanjing University
15
期权投资收益的计算公式
7
▪ 股票期权
➢ 美国开设股票期权品种的交易所有：芝加哥期权交易 所（CBOE---the Chicago Board Options Exchange）， 费城交易所（the Philadelphia Exchange），美国股票 交易所（the American Stock Exchange），太平洋股 票交易所（the Pacific Stock Exchange）和纽约股票交 易所（the New York Stock Exchange）。
▪ 概念辩析： 2001年1月1日为合约生效日，这里35 元为行权价格，每股期权费为0.5元，2001年6月 30日为到期日，也是执行日。
Lin Hui 2004, Department of Finance, Nanjing University
▪ 数量（Amount）：以股票为例，每份期权合约代表可交 易100股股票的权利，但执行价格却是按每股标出。
2024/10/8
Copyright©Lin Hui 2004, Department of Finance, Nanjing University
3
▪ 标的资产（Underlying asset): 期权多方在支付期 权费后有权购买或出售的合约中规定的资产。如 股票期权的标的资产就是股票。
金融工程学 第六讲 B-S公式
0.04 ln S (t ) ~ N (ln 40 (0.16 ) 0.5,0.2 0.5 ) 2 N (3.759,0.141 )
14
实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间 • 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un • 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
e EQ (I A (S (t ))) S0(d1 )
-rt
S0 2 d1 d2 t (ln (r )t ) X 2 t 1
21
定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) XerT N (d2 )
p Xe rT N (d2 ) S0 N (d1 )
2
26
隐含波动率法
• 隐含波动率，指的是能使BS模型价格等于期权当前市 场价格的标准差的数值 • 根据特定的精确度，不断试 错的过程 • 股票的所有具备相同到期日 的期权合约，都应当拥有相 同的波动率。 • 问题：同一股票的不同合约 可能产生不同的隐含波动率
美国在线公司的波动率
X 120 125 130 5月 0.76 0.75 0.76 6月 0.79 0.83 0.83 7月 0.85 0.86 0.85
C EQV (T , w)e e
rT
rT
EQ max( S (T ) X , 0)
4
2.标的资产价格的变化规律
• 确定性模型：
s (t ) ln( ) rt s (0)
• 随机模型：
s(t ) σ2 ln( ) (r )t σ t Z s(0) 2 Z ~ N (0,1)
第六章 black-schols期权定价模型
的值
相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得:
（6.2）
N
z(T ) z(0) i t i 1
T i
(6.2)式t均值0为0，方差为
（ 是相互独立的 ）
当
时d，z我们就可dt以得到极限的标准布朗运动:
（6.3）
2.普通布朗运动
我们先引入两个概念: 漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
r( f
f S
S )t
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为:
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它 适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生 证券的定价。
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的, 那么所有现金流量都可以通过无 风险利率进行贴现求得现值。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的 普通布朗运动:
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
（6.4）
(三)伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，dx我们a可(以x,从t )公dt式(b6(.x4), 得t )d到z伊藤过程
S f
t
1 2
2 f S 2
2S
2
)dt
f S
Sdz
(6.10)
根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如
伊藤引理证明:
期权定价B-S期权定价公式
13
BSM随机微分方程——推导
1. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是 相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合 可以消除掉Wiener过程。
q 1个单位衍生工具空头， 份股票
2. 把上述投资组合的价值记作
14
BSM随机微分方程——推导
1. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
2. x是广义Wiener过程
q 增量
为正态分布，均值等于
q 标准差为
6
Ito引理
1. x是Ito过程，如果 2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2. 运用Ito引理，得到，
8
得到审稿意见的情况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑
打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5. 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
22
BS期权定价公式——离散红利
1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股 票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、 无风险利率以及标的股票的波动率
时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
q 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技 术分析不能战胜市场
q 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为
q 增量的均值等于0 q 增量的标准差等于
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
python bs公式
python bs公式Python BS 公式BS公式，又称为Black-Scholes公式，是用于计算欧式期权价格的一种数学公式。
欧式期权是指只能在到期日当天行权的期权，与美式期权不同。
BS公式是由Black和Scholes两位金融学家在1973年提出的，是现代金融学中最重要的公式之一，也是金融衍生品定价和风险管理的基础。
BS公式的基本假设是市场是有效的，且股票价格变动是以随机游走的方式进行的。
该公式的主要参数包括股票价格、行权价格、到期时间、无风险利率和股票波动率。
其中，股票价格和行权价格是市场提供的实时数据，而到期时间、无风险利率和股票波动率需要通过一些计算得出。
BS公式的具体表达式为：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)，其中C表示欧式看涨期权的价格，S表示股票价格，X表示行权价格，r 表示无风险利率，T表示到期时间，N表示标准正态分布函数，d1和d2分别为：d1 = [ln(S/X) + (r+0.5*σ^2)*T] / [σ*sqrt(T)]d2 = d1 - σ*sqrt(T)其中，σ表示股票价格的波动率。
如果计算的是欧式看跌期权的价格，则公式为：P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)。
BS公式的应用范围非常广泛，除了期权定价和风险管理外，还可以用于金融工程、投资组合管理、资产定价等领域。
不过，BS公式也存在一些局限性，比如它只适用于欧式期权，无法处理美式期权和其他类型的期权；它假设股票价格变化是以随机游走的方式进行的，但实际上市场并不是完全有效的，股票价格变化也不一定是随机游走的。
BS公式的计算也需要一定的数学和计算机技能，对于一般投资者来说可能较为困难。
不过，在现代金融市场中，有许多金融衍生品的定价和交易都是基于BS公式进行的，因此了解和掌握BS公式对于金融从业者和投资者来说还是非常重要的。
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• 命题1：设
S0 2 d2 (ln (r )t ) X 2 t 1, Z ( w) d 2 I A ( w) 0, 其它 1
• Wiener过程(长时间段内)的增量 N z T z 0 i t
N T t
i 1
– 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于
T
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股票价格的随机过程GBM
• 令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型
dS(t ) S (t )dt S (t )dZ(t )
s(t2 ) 2 ln( ) (r )(t2 t1 ) t2 t1 Z s(t1 ) 2 Z ~ N (0,1)
• 该假设与风险中性原理的吻合
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3. B-S公式的推导
• 1．引入示性函数：
1, w A {w | S (t , w) X } I A ( w) 0, w A max( S (t , w) x, 0) ( S (t , w) x) I A ( w)( S (t , w) x)
2
教学内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 风险中性定价 标的资产的变化过程 B-S期权定价公式 波动率的计算 二值期权 标的资产支付红利情况下的期权定价 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
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1. 风险中性定价
• 风险中性市场，欧式看涨期权
C max(S (T ) X ,0) V (T , w)
0.04 ln S (t ) ~ N (ln 40 (0.16 ) 0.5,0.2 0.5 ) 2 N (3.759,0.141 )
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实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间 • 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un • 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
欧式期权定价——轶事
• 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面 70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定 价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定 价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年— —金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公 司负债”的著名论文 • 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式—— Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计 公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复 制方法成为期权定价研究的经典方法 • M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了1997 年的诺贝尔经济学奖
C EQV (T , w)e e
rT
rT
EQ max( S (T ) X , 0)
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2.标的资产价格的变化规律
• 确定性模型：
s (t ) ln( ) rt s (0)
• 随机模型：
s(t ) σ2 ln( ) (r )t σ t Z s(0) 2 Z ~ N (0,1)
• Samuelson P.A 1965; Bachelier1990 • 股票价格的对数过程为Brown运动
s(t2 ) 2 ln( ) ( )(t2 t1 ) t2 t1 Z s(t1 ) 2 Z ~ N (0,1)
• 股票价格的几何布朗运动模型（GBM）
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例
• 考虑一种标的资产，初始价格为$40，预期收 益率为每年16％，波动率为每年20％。则经 过六个月后，资产的价格S(t)服从如下概率分 布：
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马尔科夫过程(Markov process)
• 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与 过去无关 • 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价 在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过 去的路径
– 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中， 简单的技术分析不能战胜市场 – 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱 有效性
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Wiener过程(布朗运动)—定义
Wiener过程，Brown 运动： 独立增量，在任意两个微小时间段内的 改变量是独立的 每个区间上的增量满足正态分布 Wiener过程是Markov过程
• 瞬时增量为
z t t
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– 增量的均值等于 0 – 增量的标准差等于
Wiener过程(布朗运动)—— 基本性质
σ2 ( r ) t σ t Z 2
5பைடு நூலகம்
S (t ) S0e
对数正态分布
• 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数 为正态分布的任意随机变量的概率分布。如 果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对 数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作 是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可 以看作是对数正态分布。一个典型的例子是 股票投资的长期连续收益率，它可以看作是 每天连续收益率的乘积。 对于 x > 0，对数 正态分布的概率分布函数为
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欧式期权定价——轶事
• 巧合的是，国际上第一个期权交易所——芝加哥 期权交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S 公式的正式发表（5-6月号） • 两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒 绝，而且没有得到审稿意见。拒绝的理由： – 金融太多，经济学太少 • 他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没 有得到审稿意见的情况下遭到拒绝 • 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 • 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
U (
2
2
) t
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S 2 2 t
无套利市场中的 股票价格过程
• 在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立
ES (t ) S 0 e rt 又根据S (t )满足对数正态分布，得 到 ES (t ) S 0 e t 可见，在无套利市场中 ，＝r
• 所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的 Brown运动