最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版

练习题一

1、建立优化模型应考虑哪些要素 ?

答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

min f (x)

答：针对一般优化模型 s.t. g i x 0,i 1,2,L m ，讨论解的可行域 D ，若存在一点 X * D ，对 h j x

0, j 1,L , p

于 X D 均有 f(X *

) f(X)则称 X *

为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代

所得到的序列 X (1),X (2),L ,X (K)L ，满足 f(X (K 1)) f (X (K))，则迭代法收敛；收敛的停止准则有

等。

练习题二

1、某公司看中了例 2.1中厂家所拥有的 3种资源 R 1、R

2、和R 3，欲出价收购(可能用于生产附

加值更高的产品) 的对偶问题)。

。如果你是该公司的决策者， 对这 3 种资源的收购报价是多少？ (该问题称为例 2.1

解：确定决策变

量

对 3种资源报价 y 1,y 2, y 3作为本问题的决策变量。 确定目标函

数

问题的目标很清楚——“收购价最小” 。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。 因此有如下线性规划问题： min w 170y 1 100y 2 150y 3

5y 1 2y 2 y 3 10 s.t. 2y 1 3y 2 5y 3 18

y 1, y 2,y 3 0

2、研究线性规划的对偶理论和方法(

包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法) 答：

略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：

x (k 1) x (k)

x (k 1)

x (k)

x (k)

x (k 1)

x (k)

x (k)

min z

x

1

x

2

x

3

min

z4

x

2

x

3

x

1 x

2

2x 3

2

x

1

2x

2 x

3

2

（1） s.t.

2x1

x

2 x

3 3

；

（ 2）

s.t.

x

2

2x 3

x 4

2 x

1

x

3

4

x

2

x

3

x 5 5

x 1,x 2,x 3 0

x i 0

（i 1,2, ,5）

解：(1)引入松弛变量 x 4

， x 5，x 6

min z x 1 x 2

x

3

0*

x 4

0* x 5 0* x 6

x 1 x 2

2x 3 x

4

=2

2x 1 x 2 x 3

x5

=3

s.t.

1 2 3

x1 x3

x6=4

x1, x2, x3, x4, x5, x6 0

因检验数 σ2<0，故确定 x 2 为换入非基变量，以 x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值

所在行对应的基变量 x 4 作为换出的基变量

因检验数 σ3<0，故确定 x 3 为换入非基变量，以 x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值 所在行对应的基变量 x 5 作为换出的基变量。

因检验数σj>0，表明已求得最优解：X* (0,8/ 3,1/ 3,0,0,11/ 3) ，去除添加的松弛变量，原问题的

最优解为：X* (0,8 /3,1/ 3)。

(2)根据题意选取x1，x4，x5，为基变

量：

min z 4 x2 x3

x1 2x2 x32

x2 2x3 x42

s.t.

x2 x3x5 5

x i 0 (i 1,2,,5)

因检验数σ2<0 最小，故确定x2 为换入非基变量，以x2 的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4 作为换出的基变量。

因检验数σ3<0 最小，故确定x3 为换入非基变量，以x1 的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x5 作为换出的基变量。

因检验数σj>0，表明已求得最优解：X * (9, 4,1,0,0) 。

8、某地区有A、B、C 三个化肥厂，供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。已知各化肥厂可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28 所示。试制定个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 1

运价/ 产粮区(元/

吨) 化肥厂

甲乙丙丁各厂供应量/ 万吨

A158737

A2491078

A384293

各区需要量/万吨6633

解：设A、B、C 三个化肥厂为A1、A2、A3，甲、乙、丙、丁四个产粮区为B1、B2、B3、B4；

c ij为由 A i运化肥至B j的运价，单位是元/吨；x ij为由A i运往B j的化肥数量( i=1,2,3;j=1,2,3,4)单位

是吨；z表示总运费，单位为元，依题意问题的数学模型为：

34

min z

i

1 j 1c

ij x ij

x 11x

21

x

316

x 12x

22

x

326

x 13x

23

x

333

s.t. x x

24

x

343

x 11x

12

x

13

x

147

x 21x

22

x

23

x

248

x 31x

32

x

33

x

347

该题可以用单纯形法或matlab 自带工具箱命令( linprog )求解。

9、求解下列不平衡运输问题(各数据表中，方框内的数字为单位价格c ij ，框外右侧的一列数为各发点的供应量a i ，框底下一行数是各收点的需求量b j )：

75 20 50

20 10

要求收点 1 的需求必须由发点 4 供应

要求收点 3 的需求必须正好满足

10 80 15