《函数的极值与导数(一)》课件

对于e点 函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附
近其他点的函数值都大，f (e) =0 。
我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点， f(e)叫做函数y=f()的极大值。 在点 x=e 附近的左侧 f (x) >0 在点 x=e 附近的右侧 f (x) <0
极值的定义
1、极大值：函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近其他点的函数值都大.
（1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值；
（3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小.
y P(x1,f(x1))
y=f(x)
o
Q(x2,f(x2))
a x1 x2
x3 x4 b x
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
例如f (x) x3
可知f (x) 3x2,从而f (0) 0
y
y x3
但x=0不是函数的极值点
导数为零的点是 该点为极值点的必要条件, 而不是充分条件.
o
x
例题选讲:
求函数 f x 1 x3 4x 4 的极值
3
解: y x2 4 ( x 2)( x 2).
x5
x
x6
b
3、极大值一定大于极小值吗？
1、x=a和x=b可以是极值点吗？
y
y f (x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
x5
x
x6
b
1、x=a和x=b可以是极值点吗？
注意:1、函数在点a及其附近有定义；
y
y f (x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
x5
x
x6
b
2、在定义域内可导函数的极值点 是唯一的吗？
函数的极值与导数（一）
复习: 单调性与导数的关系：
设函数y=f(x)在某个区间内可导，
•如果f ′(x)>0，则f(x)为增函数； •如果f ′(x)<0，则f(x)为减函数；
•如果f ′(x)=0，则f(x)为常数函数；
知识建构
跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒) 存在函数关系
x0 x0右侧
f(x) f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
oa
y
x0 b x
f(x) 增
极大值 减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
o a x0 b x
f(x) 减
极小值 增
左正右负为极大，右正左负为极小
•导数为0的点不一定是极值点；
•若极值点处的导数存在，则一定为0
f′(a)=0，且在 点x=a附近的左侧f′(x)>0， 右侧f′ (x)<0
我们就说f(a)是函数 y=f(x)的一个极大值. 点a叫做极大值点．
y
f′ (x)>0
f′(a)=0 f′(x)<0
x a
2、极小值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点的函数值都小，
f′(b)=0，且在点x=b附近的左侧
当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表；
x (-∞,-2) f (x) + f(x) 单调递增↗
-2 (-2,2)
h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 h
其图象如右.
o
t
你能说出它的单调区间以及相应的导数的符号吗？
h(a) 0
单调递增
单调递减
h(t) 0
h(t) 0
h
oa
t
h'（x）先正后负
函数y=f(x)在d,e两点的函数值与这两点附 近的函数值有什么关系?函数在d,e两点的导数 值是多少？在d,e两点附近，y=f(x)的导数的符 号有什么规律？
求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
（1）确定定义域并求导；
（2）令f’(x)=0并求出方程的根；
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成
若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断
f(x)在这个根处取极值的情况
x0
左负右正为极小， 即“谷底” +
下图是函数 y f (x) 定义在区间[a,b]上的图象, 指出哪
些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
x5
x
x6
b
1、x=a和x=b可以是极值点吗？
2、在定义域内可导函数的极值点 是唯一的吗？
y
y f (x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
y
o
abc d e f
gh x
先负后正
y
先正后负
o
abc d e f
gh x
对于d点 函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附 近其他点的函数值都小， f (d ) =0 。 我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点， f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。
在点x=d 附近的左侧 f (x) <0 在点x=d 附近的右侧 f (x) >0
令 y 0,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2
(-2,2) 2
y’ +
0
-
0
y
↗ 极大值28/3 ↘ 极小值- 4/3
(2,+∞) + ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
f′(x)<0，右侧f′(x)>0 y
我们就说f(b)是函数的
y=f(x)一个极小值. 点b叫做极小值点． f′(x)<0
f′ (x)>0
x
f′ (b)=0
b
极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值
极值反映了函数在某一点附件的大小情况
如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
y
x x0左侧
y
y f (x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
x5
x
x6
b
注意: 2、极值是一个局部的性质，在整个 定义域内可能有多个极值点；
3、极大值一定大于极小值吗？
y
y f (x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
x5
x
x6
b
注意: 3、极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小.
注意：
-
左正右负为极大。 即“峰顶”
+
-
求导—求极点—列表—求极值 x0
练习1：求函数f(x)=x3-12x+12的极值。 解： f (x) =3x2-12=3(x-2)(x+2)
令 f (x) =0 得x=2,或x=-2 下面分两种情况讨论：
(1)当 f (x)>0即x>2,或x<-2时; (2)当 f (x)<0即-2<x<2时;