【试卷1】全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(一)
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(一)(带答案解析)
12．已知函数 ，则满足方程 的实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
13．曲线 在 处的切线斜率为__________.
14．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 __________.
15．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
9．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
10．对于集合 ，定义： 为集合 相对于 的“余弦方差”，则集合 相对于 的“余弦方差”为（）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ， 的准线与对称轴交于点 ，直线 与 交于 ， 两点，若 为 的角平分线，且 ，则 ( )
（1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
（2）射线 与曲线 交于点 （异于原点）、与直线 交于点 ，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集包含 ，求 的取值集合.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由图可先求 ,再根据 求阴影部分的元素个数即可.
3．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质求解即可.
【详解】
∵1, ,4成等比数列,故 ,∴ ,
又∵1,4, 成等比数列,故 ,∴ , .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等比数列中等比中项的运用,属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。
全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(一)
1 7 4 M 2, T 4 9 9 3 4 2 3 则T , 3 T 2
4 3 4 当x 时 , x 2k , k Z , 9 2 9 2 解得 2k
6
, k Z , 又因为
因为从2011年到2017年全社会固定资产的投资额分别为 415.8, 506.1, 590.8, 687.7, 800.8, 939.9, 1054.1, 所以A正确
415.8 506.1 590.8 687.7 800.8 939.9 1054.1 713.6 7 所以B正确
z a 2 1 2, a 2 3, 故四个选项中, 只有 3不可能为实数a的值.
3．已知某市2011~2017年全社会固定资产投资额以及增长率如 下图所示，则下列说法错误的是（ D ） A．从2011年到2017年全社会固定资产的投资额处于不断增长 的状态 B．从2011年到2017年全社会固定资产投资额的平均值为713.6 亿元 C．该市全社会固定资产投资额增长率最高的年份为2012年 D．从2014年到2015年全社会固定资产投资额的增长率为0
当x ≥ 0时, f ( x )单调递减, 又f ( x )为奇函数 , 所以f ( x )在 ( , )上单调递减,由f ( x 1) f (3 2 x ) 0,
得f ( x 1) f (3 2 x ), f ( x 1) f ( 3 2 x ), x 1 3 2 x, 解得x 4
结束
7. 以P为顶点的某几何体的三视图如图所示 , 记底面的 中心为E , 则PE的长为( A ) A. 2 2 B. 6 C. 3
P
2023金太阳全国100所名校最新高考模拟示范卷数学参考答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案1．【答案】B 【命题意图】本题考查复数的四则运算，要求考生掌握复数代数表示式的四则运算． 【解析】i(1i)i 111i 1i+-==---． 2．【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解两个集合的交集的含义，能求两个集合的交集． 【解析】因为{|22,}{0,1,2}x B y y x x A ==-∈=，所以{0,1,2}A B = ．3．【答案】A 【命题意图】本题考查向量的数量积，要求考生会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积．【解析】2(1,2)(4,2)(3,4)a b -=--=-- ，(2)1(3)(2)(4)5a a b ∴⋅-=⨯-+-⨯-=．4．【答案】C 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 【解析】依题意，甲：5a =．乙：4b =．丙：45c a =．丁：8a c +=．可知甲、乙、丁为真命题，丙为假命题． 5．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与球的表面积，要求考生认识圆柱与球及简单组合体的结构特征，知道球与圆柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．【解析】由题意得222408122R -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20cm R =，20164cm h =-=，所以两个球冠的表面积之和为224320cm ππS Rh ==，灯笼中间球面的表面积为2243201280cm R πππ-=．因为上下两个圆柱的侧面积之和为22244192cm ππ⨯⨯=，所以围成该灯笼所需布料的面积为212801921472cm πππ+=． 6．【答案】D【命题意图】本题以泊松分布为情境，考查离散型随机变量的概率分布，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．主要考查考生获取信息、运用所学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理与数学运算的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求． 【解析】由题可知(2)(3)P X P X ===，即232e 6e λλλλ=，解得3λ=，故33()e (0,1,2,)!k P X k k k -=== ，13333(1)e 1!eP X -===，故两个站台各有1个乘客候车的概率为23639e eP ⎛⎫== ⎪⎝⎭．7．【答案】C【命题意图】本题考查比较大小，要求考生知道两个数比较大小的常用方法，会利用构造法比较大小． 【解析】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x-'=，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为2e >73e >>， 所以2(e )(7)(3)f f f <<，22ln e ln 7ln 3e 73<<，即22ln 7ln 3e 73<<，故b c a <<． 8．【答案】C【命题意图】本题考查二面角的最值，要求考生能解决平面与平面的夹角的计算问题．【解析】如图，平面1D MN 平面ABCD PN =，过点D 作DG PN ⊥，垂足为G ，连接1D G ，则1D GD ∠即为平面1D MN 与平面ABCD 所成的锐二面角， 1tan D GD ∠=1D DDG，当DG 最大时，1D GD ∠最小，不妨设4AB =，因为5DG DN ===≤，所以4tan 5θ=，cos θ=． 9．【答案】ABC【命题意图】本题考查异面直线的夹角，要求考生在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．【解析】对于A ：因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以SD AB ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，因为SD AD D = ，,SD AD ⊂平面SAD ， 所以AB ⊥平面SAD ，因为SA ⊂平面SAD ，所以AB SA ⊥，故A 项正确；对于B ：因为,SD AC AC BD ⊥⊥，因为SD BD D = ，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，故B 项正确；对于C ：AD 与SB 所成的角为SBC ∠，CD 与SB 所成的角为SBA ∠，因为cos cos BC ABSBC SBA SB SB∠===∠，所以AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角，故C 项正确； 对于D ：因为//AB CD ，所以CD SA ⊥，则DC 与SA 所成的角为90︒，因为AB 与SC 所成的角为90SCD ∠<︒，所以AB 与SC 所成的角不等于DC 与SA 所成的角，故D 项不正确． 10．【答案】BCD【命题意图】本题考查换底公式，要求考生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以102a=，103b=，所以21012a b+=，A 项错误；2lg 4lg 3lg12a b +=+=，B 项正确；2lg(29)lg18a b +=⨯=，1811log 102lg18a b ==+，C 项正确；36lg 51lg 21log 5lg 362(lg 2lg 3)22aa b--===++，D 项正确． 11．【答案】ABC【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解数形结合的思想．【解析】对于A ：由题意知(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0， 设其方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，216(1)0k ∆=+>，故21222(2)k x x k ++=，121x x =， 则122424x x kAF BF =++=++，1212122244(1)(1)11214x x x x x x k k AF BF =++=+++=+++=+⋅，所以AF BF AF BF +=⋅，故A 项正确．对于B ：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，因为(1,0)K -，所以11tan 1y AKF x ∠=+， 111cos cos sin 21y y MQF MFQ AFD AF x ⎛⎫∠=-∠=∠== ⎪+⎝⎭，所以tan cos AKF MQF ∠=∠，故B 项正确．对于C ：因为1222y y k +=，所以M 点的纵坐标为2k ，故21,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212NFk k k==--，1NF AB k k =-⋅，故NF AB ⊥，故//NF MQ ，故C 项正确．对于D ：2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩，则121212042y y k x x y y y -===-+，所以MQ 的方程为000()2y y y x x -=--，令0y =，得0000()22yy x x x x -=--⇒=+，所以0(2,0)Q x +，所以00211FQ x x =+-=+，所以1202222AB x x x FQ =++=+=，故D 项错误．12．【答案】ABC【命题意图】本题考查抽象函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性与周期性的含义． 【解析】令1x =，可得(1)(3)40f f -+=，所以(3)5f =，A 项正确； 令2x =，可得(0)(4)80f f -+=，因为(0)0f =，所以(4)8f =，B 项正确； 设()()2g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，又因为(2)(2)40f x f x x --++=，所以(2)2(2)(2)2(2)f x x f x x ---=+-+，则(2)(2)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，因为(4)()()g x g x g x +=-=-，(8)(4)()g x g x g x +=-+=，所以()g x 的一个周期为8，因为(2023)(1)(1)1,(2023)(2023)220231g g g g f =-=-==-⨯=，所以(2023)4047f =，C 项正确；因为(2024)(0)0g g ==，则(2024)220240,(2024)4048f f -⨯==，D 项错误．13．【答案】160-【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【解析】因为62x ⎛ ⎝的展开式的通项为36662166C (2)(1)C 2rr r r r r r r T x x---+⎛==- ⎝， 所以第四项的系数为3336(1)C 2160-=-．14．【答案】223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【命题意图】本题考查圆的方程，要求考生掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 【解析】设圆心坐标为(,2)a a ，可得2(2)110a +=，解得32a =±，所以圆心坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故圆的标准方程为223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．15．【答案】53【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数sin()ωϕy A x =+中各参数对图象的影响．【解析】因为6855ππf f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知725πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以72()562Z ωππππk k +=+∈，解得510()217Z ωk k =+∈．由图象可知862555283552ππππωππππωT T ⎧-=<=⎪⎪⎨⎪-=>=⎪⎩，可得512ω<<，所以1k =，53ω=．16．【答案】[0,e]【命题意图】本题考查函数的极值，要求考生能借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数与极值的关系．【解析】()(1)(e )x f x x ax '=+-．令()e xg x ax =-，因为函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，且(0)10g =>，所以()0g x ≥恒成立．当0a =时，符合题意；当0a <时，()e 0xg x a '=->，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，且当x →-∞时，()g x →-∞，不合题意，舍去；当0a >时，由()0g x '=，可得ln x a =，()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln g x g a a a a ==-，由ln 0a a a -≥，解得0e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是[0,e]． 17．【命题意图】本题考查数列的通项公式与前n 项和，要求考生掌握数列的前n 项和的求法，能运用等差数列解决相应问题．【解析】（1）当1n =时，31248a =⨯=，12a =，··························································1分 当2n ≥时，3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ，33332212312(1)n a a a a n n -++++=- ，·······2分 两式相减得323248n a n n n =⨯=，即2n a n =，································································4分 当1n =时，也符合上式，故2n a n =．··········································································5分 （2）因为12211122(1)21n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⨯++⎝⎭，····················································7分 所以11111111122231222n S n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪++⎝⎭ ．················································10分 18．【命题意图】本题考查解三角形，要求考生能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题． 【解析】（1）因为cos cos 2cos bc A ab C ac B +=，由余弦定理可得2222222222222b c a a b c a c b bc ab acbc ab ac+-+-+-+=，·································2分 整理得2222a c b +=，································································································4分所以2a ，2b ，2c 成等差数列．····················································································5分 （2）因为sin 3sin A C =，所以3a c =．·······································································7分 又因为2222a c b +=，所以22292c c b +=，即b =．·················································9分由余弦定理可得222222955cos 2236a cbc c c B ac c c +-+-===⋅．··············································12分19．【命题意图】本题考查面面平行的性质定理与线面角，要求考生能运用面面平行的性质定理解决问题，能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【解析】（1）在1BB 上取点M ，使得11B M =，连接1A M ，延长1CC 至点N ，使得11C N =，连接MN ，1A N ，则平面1A MN 与平面α重合．············································································1分理由如下：因为1//A D BM ，且1A D BM =，所以四边形1A DBM 是平行四边形，1//A M BD ，············2分 同理可得//MN BE ，所以平面1//A MN 平面BDE ，又平面α过点1A ，且平面//α平面BDE ，(3分) 所以平面1A MN 与平面α重合，则F 为MN 与11B C 的交点．又易知11FB M FC N ≅△△，所以11FB FC =，即F 为11B C 的中点，··································4分所以1A F ===．·································································5分（2）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．分别以BA ，BC ，1BB 的方向为x 轴、y 轴、z则(0,0,0)B ，(2,0,2)E ，(0,2,1)D ，(1,0,3)F ，·········6分所以(2,0,2)BE = ，(0,2,1)BD = ，(1,0,3)BF =，······7分设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则0m BE ⋅= ，0m BD ⋅= ，即22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，得(2,1,2)m =- ．···············9分 设直线BF 与平面BDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF m BF m BF mθ⋅=〈〉===⋅ ，······································11分 所以直线BF 与平面BDE ．·······················································12分 20．【命题意图】本题以二氧化碳的排放导致全球气候变暖为情境，要求考生运用所学回归分析与正态分布等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的学科素养，突出综合性、应用性的考查要求．【解析】1(1)(141721273239)256x =⨯+++++=，····················································1分 1(0.20.30.50.8 1.0 1.4)0.76y =⨯+++++=，·····························································2分61126.6i i i x y ==∑==66?21.60.9970.7521.66i ix y x yr -∴==≈≈>∑，·································4分 故可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．·····································································5分（2）61621()621.6ˆ0.048450i ii ii x y xybx x ==-===-∑∑，······································································7分 ˆ0.70.048250.5a∴=-⨯=-，·····················································································8分 y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.0480.5yx =-．·····························································9分 （3）~(5,4)Z N ，1(5252)(7)0.158652P Z P Z --<+∴>==≤，···························11分∴该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为0.15865．···········································12 分 21．【命题意图】本题考查导数的几何意义与方程的根，要求考生通过函数图象直观理解导数的几何意义，能利用导数求某些函数的最大值、最小值，体会导数与最大 (小) 值的关系，掌握函数与方程的数学思想． 【解析】 （1）因为()lnx 1af xx =+-'，所以()ln f a a '=，又因为()1f a =-，所以曲线()y f x =在x a =处的切线方程为1()ln y x a a +=-，·············································································2分则1ln ln 1a ab a a -=⎧⎨=--⎩，易知1ln a a -≥，当且仅当1a =时取等号，·······································4分所以1a =，1b =-．·································································································6分 （2）当2a =时，由()f x mx =，可得(2)ln 1x x mx --=，(2)ln 1x x m x--=．令(2)ln 1()x x g x x --=，则22ln 1()x x g x x+-'=．························································8分 设函数()2ln 1h x x x =+-，易知函数()h x 为增函数，(1)0h =，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，············································································································10分 所以()g x 的最小值为(1)1g =-，故实数m 的取值范围是(1,)-+∞．···································12分 22．【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质，通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．【解析】（1）由已知可得22b a =224a b +=，又0a >，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=．·············································································2分当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，则122x x ==，1221212()x y x y y y -=-成立； 当直线l 的斜率存在时，AF BF k k =，121222y y x x =--，整理得1221212()x y x y y y -=-．·········4分 综上所述，1221212()x y x y y y -=-成立．······································································5分 （2）设点M 的坐标为(,0)m ，222AMBM AB λ+-=．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，不妨设A ⎛ ⎝⎭，2,B ⎛ ⎝⎭，则2221222(2)2833λm m m ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦⎝⎭．当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213x y -=，得x =不妨设(A ，B ，则2222((26λm m m =++-=-． 令222228263m m m -+=-，得53m =，24269m λ=-=-．··········································7分当l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2(x ty t =+≠，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即22(3)410t y ty -++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--． 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22222211221255()()133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222221212222222(1)826(1)822(1)()3933(3)93(3)9t t t t t t y y y y t t t ++-=++++=-+=+--- 226222243(3)9399t t -=+=-+=--．·················································································11分 综上所述，存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得222AMBM AB +-为定值49-．····························12分。
2023高考数学模拟卷(一)(含答案解析)
9.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与抛物线交于 两点，若 ，则
A B.8C.16D.
10.已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，同时 的图象向左平移 个单位之后与原来的图象重合，当 ，且 时， ，则
A. B.-1C.1D.
11.下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为
20.已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 .不过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，设直线 ，直线 ，直线 的斜率分别为 ，且 成等比数列.
（1）求 的值；
（2）若点 在椭圆 上，满足 直线 是否存在？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
21.已程 的两个实数根为 ，求证： ；
设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵ ，
∴ ，即 ，∴ .
∴ ,∴直线AB的斜率为 ，
∵F（1，0），∴直线PF的方程为y= （x﹣1），
将y= （x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，
A. B. C. D.
6.已知 展开式中 的系数为0，则正实数
A.1B. C. D.2
7.已知数列 的前 项和 ，若 ，则
A. B.
C. D.
8.如图是正四面体的平面展开图， 分别是 的中点，在这个正四面体中：① 与 平行；② 与 为异面直线；③ 与 成60°角；④ 与 垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）
(全国100所名校最新高考模拟示范卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
全国100所名校2019届高考模拟示范卷 理科数学(一)(含答案)
全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(32)(1)0},{|2,10}xM x x x N y y x =-+<==-≤≤，则M N 等于（ ）A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(1,1]-D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭1．答案：C解析：211,,,132M N ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以(1,1]MN =-．2．已知i z a =+，若2z <，则实数a 不可能为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．02．答案：A 解析：2212,3z a a =+<∴<，故四个选项中，只有3不可能为实数a 的值．3．已知某市2011~2017年全社会固定资产投资额以及增长率如下图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．从2011年到2017年全社会固定资产的投资额处于不断增长的状态B ．从2011年到2017年全社会固定资产投资额的平均值为713.6亿元C ．该市全社会固定资产投资额增长率最高的年份为2012年D ．从2014年到2015年全社会固定资产投资额的增长率为0 3．答案：D解析：因为从2011年到2017年全社会固定资产的投资额分别为415.8,506.1,590.8,687.7,800.8，939.9,1054.1，所以A 选项正确；因为415.8506.1590.8687.7800.8939.91054.1713.67++++++=，所以B 选项正确；2012年的全社会固定资产投资额增长率为21.7%，为2011年到2017年的最大值，故C 项正确； 2014年和2015年全社会固定资产投资额的增长率均为16.4%，均呈现增长趋势，故D 项错误． 4．若ABC △的面积2sin sin S BC B C =⋅，则ABC △的外接圆半径R 为（ ） A ．1 B ．2CD．4．答案：B 解析：1sin 2sin sin ,4sin ,24,22sin b S ab C a B C b B R R B==∴====． 5．若抛物线22(0)y px p =>上到其焦点F 的距离为2的点有且仅有一个，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．85．答案：C解析：根据题意，抛物线的顶点到焦点的距离为2,42pp ==． 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．1B ．512 C ．724D ．11126．答案： B解析：第一次循环，1,1,42S a n ==-=；第二次循环，111,1,6244S an =-===； 第三次循环，115,1,874612S a n =+==-=>，输出512S =．7．以P 为顶点的某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 的长为（ ） A ． BC ．3D 7．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，6,PA AE PE ==∴==正视图侧视图俯视图PA BCDE8．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于原点对称，且当0x ≥时，31()log 211x f x x =-++，则不等式(1)(32)0f x f x -+++>的解集为（ ）A ．(,4)-∞-B ．(,1)-∞-C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭8．答案：A解析：当0x ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，又因为函数()f x 是奇函数，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，由(1)(32)0f x f x -+++>，得(1)(32)f x f x -+>-+，(1)(32)f x f x ∴-+>--，132x x ∴-+<--，解得4x <-．9．已知函数()sin()(0,0,)2f x M x M πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，其图象的一个最高点是4,29A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且7,09B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．3πϕ=-B ．直线23x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．219f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减9．答案：C解析：1742,4993M T πππ==-=，则423,32T T ππω=∴==， 当49x π=时，342,292x k k Z πωϕπϕπ+=⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=-∈，又因为2πϕ<，6πϕ∴=-，所以A 错误，当23x π=-时，2373266x πππωϕ+=-⨯-=-，所以B 错误；2322sin 2sin 192966f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；。
100所高考模拟金典卷(一)理科数学-含答案]
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100所名校高考模拟金典卷（一）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数232ii --等于A ．4755i -B ．7455i -C ．7455i +D ．4755i +2．已知集合{}22|log (32)A x y x x ==-+，2{|0}3x B x x +=<-，则A B I 等于A ．{|21x x -<<或23}x <<B ．{}|23x x -<<C ．{}|3x x >D ．{}|2x x <-3．向量a b ⋅=-r r ||a =rb r 在向量a r 方向上的投影为 A ．6B ．3C ．－3D ．－64．下列函数()f x 中，满足：对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >，且其图像关于原点中心对称的是A ．2()f x x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．()xf x e =5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +等于A ．7B ．5C ．－5D ．－76．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A B C D ．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．28．已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于A ．135B ．270C ．10809．设函数2()sin()2cos 1(0)62f x x x πωωω=--+>，直线y =()y f x =图像相邻两交点的距离为π，则函数()y f x =在区间[]0,π上的单调增区间为A ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是双曲线右支上一点，12F F u u u u r 在1F P u u u r 方向上的投影的大小恰好为1||F P u u u r ，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 是 ABC1D111．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b +的最小值为 A ．12B ．1C ．2D ．5212．已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3,4N =，定义函数:f M N →．若点(1,(1))A f ，(2,(2))B f ，(3,(3))C f ，△ABC 的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．正视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．边长为2的正方体内切球的表面积为 ．14．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知：y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方 程为$y bx a =+，其中已知 1.23b =，请估计使用年限 为20年时，维修费用约为 万元．15．如图是一个长为4、宽为2的长方形，图中阴影部分是由曲线y =1(1)3y x =-，4x =及x 轴围成的图形．随机的向长方形内投入一点，则该点落入阴影部分的概率为： ． 16．（20XX 年·福建）数列{}n a 的通项公式为cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S ＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r．（1）当a r ∥b r 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =2b =，sin 3B =，求()4cos(2)(0,)63f x A x ππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的取值范围． 18．（本小题满分12分）为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（1（2）若从年龄在[)15,25，[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1BC =，12BB =，190BCC ∠=o ，AB ⊥平面11BB C C ．（1）在棱1CC （不包含端点1,C C ）上确定一点E ，使得1EA EB ⊥（要求说明理由）；（2）在（1）的条件下，若AB =求二面角11A EB A --的大小．20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率12e =，在x 轴负半轴上有一点B 且212BF BF =u u u u r u u u r ．（1）若过A 、B 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （2）在（1）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l '与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的最小值；（2）当0,0a b >>，求证：()()()()ln 2f a f b f a b a b +≥+-+．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BD∥MN ，AC 与BD 相交于点E ． （1）求证：AE AD =；（2）若6,4AB BC ==，求AE 的长．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合．直线l 的参数方程为AA 1B 1C 1B CE1,1,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于点P 、Q 两点，求||PQ 的值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|1|2f x x =-+，()|2|3g x x =-++． （1）解不等式()2g x ≥-；（2）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13．4π 14．24.6815．234816．3018三、解答题 17．。
100所名校高考模拟金典卷-理科数学(1)
3
3
33
3
3 ,1
。
2
故
sin A sin C
的
取
值
范
围
为
3 ,1
。
2
……………………………… 12 分
18、某商家推出一款简单电子游戏， 弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共
7
个点中的三个位置上， 用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。
规定：当三球共线时， S=0 ；当
所以当 n 为奇数时， cn cn 1
11 n n1
1
1
n1 n 2
1 1； n n2
………………… 10 分
故 T2n c1 c2 c3 c4 L c2n 1 c2 n
1 =1
3
11 L
35
1
1
1
1
1。
2n 1 2n 1
2n 1
分
………………… 12
20、 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 平面 AB ⊥ CD， AC ⊥ AD ， AB ⊥ BC， ∠ BAC =45 °， PA=AD =2， AC=1。 （ 1）求二面角 A -PC-D 的正弦值；
（ 1）求二面角 A-PC-D 的正弦值；
P
（ 2）设 E 为棱 PA 上的点， 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°， 求 AE 的
长。
B
A
C
D
3
x2 y2 21、设椭圆 C1： a 2 b 2 1 （ a b 0 ）的左右焦点分别为 F1, F2 ， 下顶点为 A， 线段 OA 的中点为 B （ O
S 最大时， 中一等奖， 当 S 最小时， 中二等奖， 其余情况不中奖。
全国100所名校2020届高考模拟金典卷理科数学(一)
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)数学(理科)一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.数列{}n a 是首项为2,公差为3的等差数列,数列{}n b 是首项为2-,公差为4的等差数列.若n n a b =,则n 的值为( ).A.4B.5C.6D.7 2.函数221212cos ()sin ()1y x x ππ=-++-的最小正周期为( ).A.4πB.2π C.π D.2π3.已知(10)xf x =,则(5)f =( ).A.510B.105C.lg 5D.5log 10 4.两个集合A 与B 之差记为“/A B ”,定义为/{|,}A B x x A x B =∈∉.如果集合 2{|log 1,}A x x x R =<∈,集合{||2|1,}B x x x R =-<∈,那么/A B =( ).A.{|1}x x ≤B.{|3}x x ≥C.{|12}x x ≤≤D.{|01}x x <≤ 5.设,a b R ∈,132bi ia i -+-+=,则limn n n a b a b→∞-+等于( ).A.1B.1-C. 1-或1D.不存在 6.已知球面上的四点P 、A 、B 、C ,PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5,且这三条线段两两 垂直,则这个球面的表面积为( ).A.B. C.50π D.200π 7.正方体1111ABCD A B C D -中,若E 为棱AB 的中点,则直线1C E 与平面11ACC A 所成角的正切值为( ).A.6B.4C.178.已知椭圆2281(0xymm +=<<的两焦点分别为1F 、2F ,点P 满足12||||PF PF +=则m =( ).21 D.29.直线0Ax By C ++=与圆224x y +=交于M 、N 两点,若满足222C A B =+,则OM ON ⋅(O 为坐标原点)等于( ).A.2-B.1-C.0D.1 10.已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12,x x ,且1201x x <<<,则b a的取值范围是( ).A.12(1,]-- B.12(1,)-- C.12(2,]-- D.12(2,)--11.五个人站在图中A 、B 、C 、D 、E 五个位置上互相传球,规定每次 只能传给相邻的人,如B 不能直接传给D 等.若开始时球在A 手中,则经ABC过四次传球后,球又回到A 手中的传法种数是( ).A.16B.32C.64D.12812.设()f n 为整数n (十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如222(123)123=++f , 记1()()=f n f n ,1()[()](1,2,3,)+== k k f n f f n k ,则2007(2006)f 等于( ).A.20B.42C.37D.45第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.已知(2,1)a =- ,(1,2)b =,且||a tb +=则实数t =__________.14.已知232012(1)(1)(1)(1)++++++++=++n n n x x x x a a x a x a x ,且01126+++= n a a a ,那么二项式1n 的展开式中常数项为__________.15.过双曲线M ：221(0)y bx b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别交于点B 、C ,且||||AB BC =,则双曲线M 的离心率__________.16.在000,001,,999 这1000个连号中抽奖,若抽出的号码中,出现仅出现两个偶数数字则中奖,那么抽取一个号码能中奖的概率是________.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知513sin B =,且a 、 b 、c 成等比数列.(Ⅰ)求cot cot A C +的值；(Ⅱ)若12AB BC ⋅=-,求a c +的值.18.(本小题满分12分)四个纪念币A 、B 、C 、D ,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)<<a .纪念币 A B C D概率1212a a这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)在概率()(0,1,2,3,4)ξ==P i i 中,若(2)ξ=P 的值最大,求a 的取值范围；19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60︒的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形, 其重心为G 点.E 是线段1BC 上的一点,且113BE BC =.(Ⅰ)求证：//GE 侧面11AA B B ；(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成的锐二面角的大小.20.(本小题满分12分)设33()=xf x ,2323()()=-∈g x t x t t R .(Ⅰ)当8=t 时,求函数()()=-y f x g x 的单调区间；(Ⅱ)求证：当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立.A1ACBEG 1B1C21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{}n a 由11=a ,11(1,2,3,)++== nn c a a n 确定.(Ⅰ)对于一切的*∈n N ,证明：111+≤≤n c a ；(Ⅱ)若a 是满足1+=c aa 的正实数,且12||||||=-+-++- n n S a a a a a a ,证明：1<n S .22.(本小题满分14分)已知常数列0>a ,点(,0)-A a 是直角∆ABC 的直角顶点,顶点B 在定直线l ：2=a x 上移动,斜边BC 所在直线恒过定点(,0)D a .(Ⅰ)求顶点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)设P 是轨迹T 上的任一点,l 是过点P 法线(即与过P 点的切线垂直的直线),且(2,0)-M a ,(2,0)N a ,证明：直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(一)数学(理科) 参考答案一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C D B C C D A D B B二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,)13.0 14.540-27200.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知513sin B =,且a 、 b 、c 成等比数列.(Ⅰ)求cot cot A C +的值； (Ⅱ)若12AB BC ⋅=-,求a c +的值. 解：(Ⅰ)依题意,2b ac =,由正弦定理及513sin B =,得225169sin sin sin A C B ==.cos cos sin()sin 516913sin sin sin sin sin sin 13255cot cot A C A C B ACA CA CA C ++=+===⨯=.(Ⅱ)由12AB BC ⋅=- ,得cos()12ac B π-=-,即cos 12ac B =.由513sin B =,得1213cos B =±(舍负)∴213b ac ==,由余弦定理,得2121313()22a c ac ac =+--⨯,∴2()63a c +=,故a c += 18.(本小题满分12分)四个纪念币A 、B 、C 、D ,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)<<a .纪念币 A B C D概率1212a a这四个纪念币同时投掷一次,设ξ表示出现正面向上的个数.(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望；(Ⅱ)在概率()(0,1,2,3,4)ξ==P i i 中,若(2)ξ=P 的值最大,求a 的取值范围；解：(Ⅰ)()P ξ是ξ个正面向上,4ξ-个背面向上的概率.其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.∴02022221124(0)(1)(1)(1)P C C a a ξ==--=-,10201222211112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)P C C a C C a a a ξ==⋅--+--=-,220211022222222221111122224(2)()(1)(1)(1)(1)(122)P C C a C C a a C C a a a ξ==⋅-+⋅--+-=+-,22112222221112222(3)()(1)(1)a P C C a a C C a ξ==-+⋅-=,22222221124(4)()P C C a a ξ===.∴ξ的分布列为ξ1234P214(1)a -12(1)a -214(122)a a +-2a214aξ的数学期望为2221111424240(1)1(1)2(122)3421a E a a a a a a ξ=⨯-+⨯-+⨯+-+⨯+⨯=+.(Ⅱ)∵01a <<,∴(0)(1)P P ξξ=<=,(4)(3)P P ξξ=<=.则14(2)(1)(12P P a ξξ=-==+221242)(241)0aa a a --=--+≥,2211424(2)(3)(122)(21)0aP P a a a ξξ=-==+--=--≥,由222410210a a a ⎧-+≤⎪⎨-≤⎪⎩,得222a -≤≤,即a的取值范围是222[-. 19.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面 ABC 成60︒的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形, 其重心为G 点.E 是线段1BC 上的一点,且113BE BC =.(Ⅰ)求证：//GE 侧面11AA B B ；(Ⅱ)求平面1B GE 与底面ABC 所成的锐二面角的大小.解：(Ⅰ)延长1B E 交BC 于点F ,则111122BF B C BC ==,即F 为BC 的中点.∵G 为ABC ∆的重心,∴A 、G 、F 三点共线,且113FG FE FAFB ==,∴1//GE AB ,故//GE 侧面11AA B B .(Ⅱ)作1B H AB ⊥于H ,∴1B H ⊥面ABC .∵侧棱1AA 与底面ABC 成60︒的角,12AA =. ∴160B BH ∠=︒,1BH =,1B H .作H T AF ⊥于T ,连1B T ,则1BT AF ⊥,∴1B TH ∠为所求二面角的平面角.又3AH AB BH =+=,30HAT ∠=︒,∴32sin30HT AH =︒=,在A1A CBEG 1B 1C1Rt B HT ∆中,113tan B H HTB TH ∠==,故所求锐二面角的大小为3arctan.20.(本小题满分12分)设33()=xf x ,2323()()=-∈g x t x t t R .(Ⅰ)当8=t 时,求函数()()=-y f x g x 的单调区间；(Ⅱ)求证：当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立. (Ⅰ)解：当8=t 时,316334xy x =-+,由240y x '=-=,得2x =±.∵当(,2)(2,x ∈-∞-+∞时, 0y '>；当(2,2)x ∈-时,0y '<,∴y 的单调增区间是(,2)-∞-,(2,)+∞；单调增区间是(2,2)-.(Ⅱ)证明：令233233()()()(0)xh x f x g x t x t x =-=-+>,则232()h x x t '=-.当0t >时,由()0h x '=,13x t =；当13(,)x t ∈+∞时,()0h x '>；当13(0,)x t ∈时,()0h x '<,∴()h x 在(0,)+∞上的最小值是1()0h t =,故当0>x 时,()()≥f x g x 对任意正实数t 成立. 21.(本小题满分12分)已知为正实数,数列{}n a 由11=a ,11(1,2,3,)++== nn c a a n 确定.(Ⅰ)对于一切的*∈n N ,证明：111+≤≤n c a ；(Ⅱ)若a 是满足1+=c aa 的正实数,且12||||||=-+-++- n n S a a a a a a ,证明：1<n S .解：(Ⅰ)用数学归纳法证明：当1n =时,11a =,0c >,1111c a +≤≤成立.假设n k =时结论成立,即111k c a +≤≤,则111k c c c a c ++≤+≤+,即2111111kc c a c c +++++≤≤<.∴1111k c a ++≤<,∴1n k =+时结论也成立,综上,对一切的*∈n N ,111+≤≤n c a 成立.(Ⅱ)11)()111(||||||||||nn n n n n n c a c ac a c a a a a a a a a a a a a ++++++-=-=-=-≤-,∴11||||n n a a a a a --≤-.当1a ≥时,111c +<,与1+=c aa 矛盾,故01a <<.∴112111||||||||||||n n n S a a a a a a a a a a a a a a -=-+-++-≤-+-++-2111(1)(1)(1)1n aa a a a a --=-++++<-⨯= .22.(本小题满分14分)已知常数列0>a ,点(,0)-A a 是直角∆ABC 的直角顶点,顶点B 在定直线 l ：2=a x 上移动,斜边BC 所在直线恒过定点(,0)D a .(Ⅰ)求顶点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)设P 是轨迹T 上的任一点,l 是过点P 法线(即与过P 点的切线垂直的直线),且(2,0)-M a ,(2,0)N a ,证明：直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.解：(Ⅰ)设2(,)aB t ,(,)C x y ,依题意0AB AC ⋅= ,∴32(,)(,)0a t x a y ⋅+=,即32()0a x a ty ++= ①.又CD 与BD 共线,∴2()()0aa x t y --+⋅= ②. 由①②消去t ,得222231(0)x y aa y -=≠.(Ⅱ)由双曲线的对称性,不妨设00(,)P x y 是双曲线上位于x 轴上方的点,由222231x yaa-=,得y ,∴3x y '=.故过点P 的切线的斜率3x k =切,而220031x y aa-=,∴03y x k =切,∴03l x y k =-,002MP x ay k +=.设θ是MP 与直线l 的夹角,则00000000000222000000244232223636313tan ||||||x ax x x ay y x y ay y ay y y y x ax y a ax ax θ+⋅+--+++-+-====. 设α是NP 与直线l 的夹角,02NP x ay k -=,则00000000000000000244232223636313tan ||||||x ax x x ay y x y ay y ay y y y x ax y a ax ax α-⋅----+----====.∴tan tan θα=,又090,090θα︒<<︒︒<<︒,∴θα=,故直线MP 、NP 与直线l 的夹角相等.。
2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及其答案(一)
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100所名校高考模拟金典卷·数学（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<=-≤<„，则A B =U （ ）
A.{|22}x x -<<
B.{|24}x x -≤≤
C.{|22}x x -≤≤
D.{|24}x x -<„
2.已知a 是实数，1(1)a a -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）
A.2
D.1
3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：
根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y
x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ） A.36.5
B.30
C.33
D.27 4.已知1sin cos 2
x x -=，则sin 2x =（ ） A.
12 B.14 C.34 D.2
5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m -+-=相切，则实数m 的值为（
）
A.8
B.7
C.6
D.5
6.已知平面向量a r ，b r 满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则|23|a b -=r r （ ）
C.4
D.5。
全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(一二三)【附答案】
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【试卷1】全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(一)
全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(32)(1)0},{|2,10}xM x x x N y y x =-+<==-≤≤，则M N 等于（ ）A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(1,1]-D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2．已知i z a =+，若2z <，则实数a 不可能为（ ）ABC ．1D ．03．已知某市2011~2017年全社会固定资产投资额以及增长率如下图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．从2011年到2017年全社会固定资产的投资额处于不断增长的状态B ．从2011年到2017年全社会固定资产投资额的平均值为713.6亿元C ．该市全社会固定资产投资额增长率最高的年份为2012年D ．从2014年到2015年全社会固定资产投资额的增长率为02012年的全社会固定资产投资额增长率为21.7%，为2011年到2017年的最大值，故C 项正确； 2014年和2015年全社会固定资产投资额的增长率均为16.4%，均呈现增长趋势，故D 项错误． 4．若ABC △的面积2sin sin S BC B C =⋅，则ABC △的外接圆半径R 为（ ）A ．1B ．2C D ．5．若抛物线22(0)y px p =>上到其焦点F 的距离为2的点有且仅有一个，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．86．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．14B ．512C ．724D ．11127．以P 为顶点的某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 的长为（ ）A ．BC ．3D 8．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于原点对称，且当0x ≥时，31()log 211x f x x =-++，则不等式(1)(32)0f x f x -+++>的解集为（ ）A ．(,4)-∞-B ．(,1)-∞-C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭9．已知函数()sin()(0,0,)2f x M x M πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，其图象的一个最高点是4,29A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且7,09B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．3πϕ=-B ．直线23x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．219f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减10．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于虚数，将其绘成图2，若E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ） A ．1126B ．713C ．12D ．112411．已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab -=>>的左、右焦点．若双曲线C 与圆222:O x y a +=2b +的一个交点为0000(,)(0,0)A x y x y <>，且双曲线C 的渐近线为y =±，则21cos AF F ∠=（）A B ．35C ．45D正视图侧视图俯视图B C图1图212．若(0,)x ∃∈+∞使得1(2)ln 302mx x x x x -+-+<，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,4]B ．[4,)+∞C ．(0,4)D ．(4,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知x y 、满足不等式组2103260x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+的最大值为 ．14．已知向量(sin ,2),(cos ,1)m n θθ==，若//m n ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 15．某汽车销售公司对4辆合资品牌与3辆自主品牌的汽车按一定顺序进行性能检测，则检测中自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车甲与乙必须相邻的不同检测顺序有 种．16．已知,,,A B C D 四点都在半径为2的球O的表面上，2,,AC BC AC BC BD CD ==⊥==则三棱锥A BCD -的体积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3116,41(2,)n n a S S n n N *-==+∈≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1221,421,4log log nn n nn a n b n a a -+⎧⎪⎪=⎨⎪>⋅⎪⎩≤，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．根据以往经验，大闸蟹在10月份开铺．而近几年从9月份开始，大闸蟹的销售市场就先热了起来，各大商家运用“礼品经济”的促销活动，先让顾客交钱买卷，等大闸蟹上式再去提货．某经销商为吸引顾客，推出购劵优惠活动，该经销商销售的都是面额为500元的蟹卷，对蟹卷逐张购买给予相应优惠，其标准如下表所示：（1）估计某顾客购买蟹卷不低于1000元的概率；（2）若某顾客购买了100元的蟹卷，求该经销商获得的每张蟹卷的平均利润；（3）假设每个顾客最多购劵2000元，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该经销商从每位顾客的消费中获得的平均利润．19ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,2O AC =，把ABC △沿AC 折起得到PAC △，记点P 在底面ACD 的投影为点G ． （1）求证：点G 在直线OD 上． （2）若二面角P AC D --的余弦值为13，点E 是PD 的中点，求AE 与CG 所成角的余弦值．ABCDOO A PEDCG20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e ，且22b a与e 为方程22730x x -+=的两根．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于不同的两点0,,M N l 与l 关于x 轴对称，Q 是0l 与y 轴的交点，若22QM QN QM QN +=-，求2k 的值． 21．已知函数()2ln ()f x x ax a =-∈R ． （1）若()f x 的最大值为2-，求a 的值；（2）若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2ln 23a ≤≤． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点(,)P ρθ(0,02)ρθπ><≤是曲线C 上任意一点．（1）求证：cos 4ρθ=．（2）若(0,1)A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N ，求11AM AN+的值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设函数()2421f x x a x =++-． （1）当12a =时，解不等式()4f x <； （2）若41,()a f x -<<-的图象与坐标轴的三个交点构成的三角形面积为103，求实数a 的值．。
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全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|(32)(1)0},{|2,10}x
M x x x N y y x =-+<==-≤≤，则M N 等于（ ）
A ．12,23⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．(1,1]-
D ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
2．已知i z a =+，若2z <，则实数a 不可能为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．已知某市2011~2017年全社会固定资产投资额以及增长率如下图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．从2011年到2017年全社会固定资产的投资额处于不断增长的状态
B ．从2011年到2017年全社会固定资产投资额的平均值为713.6亿元
C ．该市全社会固定资产投资额增长率最高的年份为2012年
D ．从2014年到2015年全社会固定资产投资额的增长率为0
2012年的全社会固定资产投资额增长率为21.7%，为2011年到2017年的最大值，故C 项正确； 2014年和2015年全社会固定资产投资额的增长率均为16.4%，均呈现增长趋势，故D 项错误． 4．若ABC △的面积2sin sin S BC B C =⋅，则ABC △的外接圆半径R 为（ ） A ．1
B ．2
C 2
D ．22
5．若抛物线2
2(0)y px p =>上到其焦点F 的距离为2的点有且仅有一个，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．
14
B ．
512
C ．
724
D ．
1112
7．以P 为顶点的某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 的长为（ ） A ．22
B 6
C ．3
D 108．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于原点对称，且当0x ≥时，31
()log 211
x f x x =-++，则不等式(1)(32)0f x f x -+++>的解集为（ ）
A ．(,4)-∞-
B ．(,1)-∞-
C ．2,3⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
D ．2,3⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
开始
1,2,0
a n S ===n S S a
=+
(1)
a a =⨯-2
n n =+n >7?
输出S 结束
是否
9．已知函数()sin()(0,0,)2
f x M x M π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示，其图象的一个最高点是
4,29A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且7,09B π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．3
π
ϕ=-
B ．直线23
x π
=-是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．219
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
D ．函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤
--
⎢⎥⎣
⎦
上单调递减
10．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，
该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于虚数，将其绘成图2，若E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ） A ．1126
B ．713
C ．12
D ．1124
11．已知12,F F 分别是双曲线2
2
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点．若双曲线C 与圆222:O x y a +=
2b +的一个交点为0000(,)(0,0)A x y x y <>，且双曲线C 的渐近线为26y x =±，则21cos AF F ∠=
（ ）
A ．3
3
B ．
35
C ．
45
D ．
63
6
22正视图侧视图
俯视图
朱方朱出
青入
青入
青出
青出
青方
A B C
D E G
H I
J
K 朱入
图1
图2L
12．若(0,)x ∃∈+∞使得1
(2)ln 302
mx x x x x -+-+<，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,4]
B ．[4,)+∞
C ．(0,4)
D ．(4,)+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知x y 、满足不等式组2103260x x y x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
≤≥≥，则3z x y =+的最大值为 ．
14．已知向量(sin ,2),(cos ,1)m n θθ==，若//m n ，则tan 4πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
． 15．某汽车销售公司对4辆合资品牌与3辆自主品牌的汽车按一定顺序进行性能检测，则检测中自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车甲与乙必须相邻的不同检测顺序有 种．
16．已知,,,A B C D 四点都在半径为2的球O
的表面上，2,,AC BC AC BC BD CD ==⊥==则三棱锥A BCD -的体积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3116,41(2,)n n a S S n n N *
-==+∈≥．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1221,42
1,4
log log n
n n n
n a n b n a a -+⎧⎪⎪=⎨⎪>⋅⎪⎩≤，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．根据以往经验，大闸蟹在10月份开铺．而近几年从9月份开始，大闸蟹的销售市场就先热了起来，
各大商家运用“礼品经济”的促销活动，先让顾客交钱买卷，等大闸蟹上式再去提货．某经销商为吸引顾客，推出购劵优惠活动，该经销商销售的都是面额为500元的蟹卷，对蟹卷逐张购买给予相应优惠，其标准如下表所示：
（1）估计某顾客购买蟹卷不低于1000元的概率；
（2）若某顾客购买了100元的蟹卷，求该经销商获得的每张蟹卷的平均利润；
（3）假设每个顾客最多购劵2000元，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该经销商从每位顾客的消费中获得的平均利润．
19ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,2O AC =，把ABC △沿AC 折起得到PAC △，记点P 在底面ACD 的投影为点G ． （1）求证：点G 在直线OD 上． （2）若二面角P AC D --的余弦值为
1
3
，点E 是PD 的中点，求AE 与CG 所成角的余弦值．
A
B
C
D
O
O A P
E
D
C
G
20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e ，且22b a
与e 为方程2
2730x x -+=的两根．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点2F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于不同的两点0,,M N l 与l 关于x 轴对称，Q 是0l 与y 轴的交点，若22QM QN QM QN +=-，求2
k 的值． 21．已知函数()2ln ()f x x ax a =-∈R ． （1）若()f x 的最大值为2-，求a 的值；
（2）若存在实数1,,42
m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2
ln 23
a ≤≤
． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为
22cos 2sin x y αα=+⎧⎨
=⎩
（α为参数），直线l
的参数方程为212
x y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点(,)P ρθ
(0,02)ρθπ><≤是曲线C 上任意一点．
（1）求证：cos 4
ρ
θ=
．（2）若(0,1)A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N ，求
11
AM AN
+的值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设函数()2421f x x a x =++-． （1）当1
2
a =
时，解不等式()4f x <； （2）若41,()a f x -<<-的图象与坐标轴的三个交点构成的三角形面积为
10
3
，求实数a 的值．。