组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版演示课件.ppt

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2.1母函数
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2.1母函数
例 甲、乙、丙3人把n（n≥3）本相同的书搬到办公室，要求甲
和乙搬的本数一样多，问共有多少种分配的方法？
解：G( x) 1 x2 x4 x2k 1 x x2 xk
母函数及其应用
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排列组合问题
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2.1母函数
定义2.1.1 对于数列{an}，称无穷级数

Gx an xn n0
为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。同时称
{an}为G(x)的生成数列。
例 有限数列C(n,r)，r＝0,1,2, …,n的普母函数是
Cn0
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2.1母函数
例 设有2个红球，1个黑球，1个白球，问 （1）共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2）若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？
解：设想用x，y，z分别代表红、黑、白三种球，两个红球的取
G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
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2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。 G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
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2.1母函数
例 求不定方程3k1+4k2+2k3+5k4=n的非负整数解的个数。
g(x) (1 x3 x6 ....)(1 x4 x8 ...) (1 x2 x4 ....)(1 x5 x10 ...) 1111 1 x3 1 x2 1 x4 1 x5
法与x0，x1，x2对应起来，即红球的可能取法与1＋x＋x2中x的 各次幂一一对应，亦即x0＝1表示不取，x表示取1个红球，x2表 示取两个。对其它球，依此类推。则母函数 G(x,y,z) ＝(1＋x＋x2) (1＋y) (1＋z) ＝1＋(x＋y＋z)＋(x2＋xy＋xz＋yz)＋(x2y＋x2z＋xyz)＋( x2yz)
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2.1母函数
例 确定苹果、香蕉、橘子和梨的n-组合的个数，其中在每个n组合中要求：苹果的个数必须是偶数，香蕉的个数必须是5的倍 数，橘子的个数最多4个，梨的个数为0或1个。
解：生成函数为:
G( x) (1 x2 x4 ....)( x0 x5 ....)( 1 x x2 x3 x4 )(1 x)
Cn1 x Cn2 x2


C
n n
xn

1 x
n
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2.1母函数
例 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是
1 x x2 xn 1
1 x
例 无限数列{1，2，…，n，…}的普母函数是
1

2x

3
x
2
wenku.baidu.com

(n

1)
x
n



(1
1 x)2
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2.1母函数
16
93


15
62
92


5 2

6 1

9 2

x5




5 5

6 6

9 9

x
20
1080x4 7380x5 x20
由x3的系数即得所求方案数为3。
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2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。 解：设不定方程k1+k2+k3+k4=k的解组数目为ck，本例中m=4, k=20。 注意到对ki(i=1,2,3,4)的限制，序列{ck}对应的生成函数为:
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G(
x)


5 i 1

5 i

x
i

6 i 1

6i
xi

9 i2

9 i

x
i



5 1

6 1

9 2

x
4


15
若令x＝y＝z＝1，就得所有不同的选取方案总数为 G(1,1,1) ＝1＋3＋4＋3＋1＝12
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例 设有2个红球，1个黑球，1个白球，问 （1）共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2）若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ 解：若只考虑每次取3个的方案数，而不需枚举，则令y＝x，z ＝x，便有 G(x) ＝ (1＋x＋x2) (1＋x) (1＋x) ＝ 1＋3x＋4 x2＋3 x3＋ x4

1 1 x2
1 1 x5
1 x5 1 x
1
x
1
1 x2


n0
n1 xn
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例 从n双互不相同的袜子（每双袜子中的两只相同）中取出r只， 要求没有任何两只是成对的，共有多少种不同的取法？

解：生成函数为: G( x) (1 x)n Cn, r xr n0
= (1+x2+x4) (1+x2+x4)x(1+x)x6(1+x)x8 = (1+x2+x4)2(1+x)2x15 = (1 +x +x2 +x3 +x4 +x5)2x15 只需要多项式(1 +x +x2 +x3 +x4 +x5)2展开式中x5的系数就等于x20 的系数，由多项式定理：C20=6.
例 从n双互不相同的五指袜子中取出r只，要求没有任何两只是 成对的，共有多少种不同的取法？

解：生成函数为: G( x) (1 2 x)n C n, r 2r xr n0
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2.1母函数
例 某班有甲乙丙三个小组，人数分别为5，6，9。把5本相同的 书分给甲、乙、丙3个小组，再发到个人手上，每人最多发一本。 考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被 认为是不同的分法（每个同学最多一本），而且甲、乙两组最 少1本，甲组最多5本，乙组最多6本，丙组最少2本，最多9本， 问有多少种不同的分配方案？ 解：