数值分析思想-讲稿

数值分析基本思想
William November 3,2014
1导入
从插值多项式到数值积分,什么思想贯穿整个数值分析?
2基本思想
[让我们来看一个简单的问题]设定义在实数集R 上的实值函数f :R →R .如何近似估计f (x ),x 是任意实数.如果我们知道f (x 0),x 0∈Q （有理数集）的精确值,那么我们用f (x 0)来近似计算f (x ),其中x ∼x 0.实际上,这里暗含了f 具有连续性的条件——更强的条件是可导性.
例2.1f (x )=sin πx .用倍半角和和差公式可以计算出f 在Q 上的函数值.而无理数上的函数值可以通过有理数上的函数值来逼近.
现在我们面临这样的问题:如何计算任意的连续函数的积分?此时任意实数上的函数值估计问题变成了任意连续函数的积分值估计问题.除了多项式、三角函数、指数函数和对数函数以外,大部分的连续函数都很难求出原函数的.我们能做的就是用多项式的积分来逼近任意连续函数的积分.同样的,这里也暗含了积分就有某种和函数连续性类似的性质.（实际上,这是函数赋范空间上的连续性.）
例2.2计算I =∫10e x 2d x .e x 2∈C [a,b ]的原函数没有显示表达.设L n (x )是e x 2
的n 次
插值多项式,则I ∼∫1
0L n (x )d x .领域问题定义域可计算精确值的区域
性质（条件）
数学分析f (x )x ∈R
x ∼x 0∈Q 连续性、可微性（可导性
泛函分析∫(f )=∫b
a f (x )d x
f ∈C [a,b ]或C n [a,b ]
L (x )∈C [x ]或R [x ]连续性（有界性共性
F (x )
x ∈X
x 0∈X 0⊂X （稠密）
抽象的连续性
Table 1:数值分析思想.
表2反映了数值分析的基本思想.从数学分析到泛函分析这是质的跨越:实数值变量变成了函数,函数变成了积分(在这种场合下,积分被称为泛函),定义域从数集变成了抽象的函数空间.然而这里依然存在着它们的共性.
[为加深大家的印象,在举一个例子.]注2.1构造泛函δ(f )=f (x 0),其中f 是一般的实值函数,x 0是任意的实数.我们用δ(L n )=L n (x 0)来近似f (x 0),其中L n 是(分段)插值多项式.
1。