2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数 学（理科）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知i z

i +=-1)1(2

(i 是虚数单位)，则复数z=

A. i +1

B. i -1

C. i +-1

D. i --1

2. 设A 、B 是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊆”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的3=n ，则输出的S ＝

A.

76 B. 73

C. 98

D. 9

4

4. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y

x z -=3的最小值为

A. 7-

B. 1-

C. 1

D. 2 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是

A. 奇函数，且在)1,0(是增函数

B. 奇函数，且在)1,0(是减函数

C. 偶函数，且在)1,0(是增函数

D. 偶函数，且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(x

a x -

的展开式中含2

3x 的项的系数为30，则=a

A. 3

B. 3-

C. 6

D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为

A. 2386

B. 2718

C. 3413

D. 4772

附：若),(~2

σμN X ，则

6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P

.

8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则

||PC PB PA ++的最大值为

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)2

0(π

ϕ<

<个单位后得到函数)(x g 的图象，

若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3

||min 21π

=-x x ，则=ϕ

A. 125π

B. 3

π

C.

4π D. 6

π 10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率

原工件的体积新工件的体积

=

） A. π98 B. π

916

C.

π

2124）

－（ D.

π

2

1212）

－（

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.

⎰=-20

)1(dx x __________.

12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示

若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中

成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.

13. 设F 是双曲线C 1:22

22=-b

y a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为

其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.

14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则

=n a ___________.

15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.

,,

,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则

a 的取值范围是

___________.

俯视图

侧视图

正视图

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)

本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分. Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲

如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：

（i ） 180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅. Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程

已知直线l ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=.213,23

5:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.

（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值. Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且b

a b a 1

1+=+，证明： （i ） 2≥+b a ；

（ii ）22

<+a a 与22

<+b b 不可能同时成立.

F