常见的几种平面变换(投影变换) ppt
合集下载
《平面的投影》课件
平面的投影
这份PPT课件将帮助您全面了解平面的投影，包括它的定义、分类、特点、 投影方法、应用场景和错误类型等内容。
什么是投影？
投影的定义
投影是指由于光线或任何其他射线在遇到物体 后向另一个表面传导所形成的图形。
常见的投影方式
包括平面投影、立体投影、透视投影、等角投 影等。这里我们重点介绍平面投影。
投影中的错误
1
投影中常见的错误
包括形状、尺寸、位置、比例和方向等方面，容易导致误解或产生错误的结果。
2
如何避免投影中的错误
遵循标准规范，加强沟通和理解，注重细节，确保投影结果准确无误。
结语
总结
本课程介绍了平面投影的定义、分类、特点、投影 方法、应用场景和错误类型。了解平面投影对提高 工作效率和准确性十分必要。
学习平面投影重要性
针对工程制图、建筑设计和工业生产等行业，掌握 平面投影技术可以提高工作效率和准确性，具有十 分重要的价值。
3 正交投影的应用举例
建筑设计、机械加工图、工程制图等领域广泛应用。
斜投影
斜投影的特点 斜投影的投影方法
斜投影的应用举例
图形投影后有较强的视觉效果，与投影方向有关。
平移图形使其重心处于投影平面上，之后向该平 面引垂线，再由垂线顶点进行投影，得到图形的 斜投影。 室内设计、漫画插画、动画制作等领域中常见。
平面的投影
பைடு நூலகம்
平面投影的定义
当一个平面被光源所照射，它在投影平面上所成的 图形称为该平面的平面投影。
平面投影的分类
包括正交投影和斜投影两种。
正交投影
1 正交投影的特点
图形投影后呈现平行四边形或矩形，与投影方向无关。
2 正交投影的投影方法
这份PPT课件将帮助您全面了解平面的投影，包括它的定义、分类、特点、 投影方法、应用场景和错误类型等内容。
什么是投影？
投影的定义
投影是指由于光线或任何其他射线在遇到物体 后向另一个表面传导所形成的图形。
常见的投影方式
包括平面投影、立体投影、透视投影、等角投 影等。这里我们重点介绍平面投影。
投影中的错误
1
投影中常见的错误
包括形状、尺寸、位置、比例和方向等方面，容易导致误解或产生错误的结果。
2
如何避免投影中的错误
遵循标准规范，加强沟通和理解，注重细节，确保投影结果准确无误。
结语
总结
本课程介绍了平面投影的定义、分类、特点、投影 方法、应用场景和错误类型。了解平面投影对提高 工作效率和准确性十分必要。
学习平面投影重要性
针对工程制图、建筑设计和工业生产等行业，掌握 平面投影技术可以提高工作效率和准确性，具有十 分重要的价值。
3 正交投影的应用举例
建筑设计、机械加工图、工程制图等领域广泛应用。
斜投影
斜投影的特点 斜投影的投影方法
斜投影的应用举例
图形投影后有较强的视觉效果，与投影方向有关。
平移图形使其重心处于投影平面上，之后向该平 面引垂线，再由垂线顶点进行投影，得到图形的 斜投影。 室内设计、漫画插画、动画制作等领域中常见。
平面的投影
பைடு நூலகம்
平面投影的定义
当一个平面被光源所照射，它在投影平面上所成的 图形称为该平面的平面投影。
平面投影的分类
包括正交投影和斜投影两种。
正交投影
1 正交投影的特点
图形投影后呈现平行四边形或矩形，与投影方向无关。
2 正交投影的投影方法
4投影变换全版.ppt
X1
变投影面的位置使其有利于解题。
..........
a'
c'
O a(c)
O1
c1'
b1' V1
a1'
7
§4－2 换 面 法
二、基本条件
建立新投影面的条件：
（1）新投影面要垂直原有的 一个投影面。
（2）新投影面要处于最有利 于解题的位置。
a' A
V
c' C b'
a
实形 a1'
V c1'
b1' B
X
..........
1223
基本作图 1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b a
X
b1 V1
O O1
B
a1
bA
X1
aH
a
V X
H
a
b
一次
O b
b1
a1
实长
.......... 13
基本作图 2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V1
V b a A
O B a1 (b1) O1
a
V X
H a
a X
第四章 投 影 变 换
§4－1 投影变换的目的和方法 §4－2 变换投影面法（换面法） §4－3 旋转法 §4－5 度量问题和定位问题举例
.......... 1
§4－1投影变换的目的和方法
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
a
实长
b
水平线
O
X
b
实长
..........
变换投影面法课件
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
9.1换面法的基本概念 9.2点的投影变换
9.3直线的投影Biblioteka 换 9.4平面的投影变换 9.5应用举例
1
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
8
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
第三节 直线的投影变换
一、把一般位置直线变换为投影面平行线 二、将投影面平行线变为投影面垂直线 三、把一般位置直线变换成投影面垂直线
9
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
10
二、将投影面平行线变为投影面垂直线 一是作为领导干部一定要树立正确的权力观和科学的发展观，权力必须为职工群众谋利益，绝不能为个人或少数人谋取私利
空间分析：用H1面代替H面，在V/H1投影体系中，必
须满足以下条件：AB⊥H1。
a
b
11
三、把一般位置直线变换成投影面垂直线 一是作为领导干部一定要树立正确的权力观和科学的发展观，权力必须为职工群众谋利益，绝不能为个人或少数人谋取私利 空间分析：把一般位置直线变换成投影面垂直线必 须经过两次变换投影面，第一次换面把一般位置直线变成 投影面平行线；第二次换面把投影面平行线变成投影面垂 直线。
23
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
9.1换面法的基本概念 9.2点的投影变换
9.3直线的投影Biblioteka 换 9.4平面的投影变换 9.5应用举例
1
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
8
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
第三节 直线的投影变换
一、把一般位置直线变换为投影面平行线 二、将投影面平行线变为投影面垂直线 三、把一般位置直线变换成投影面垂直线
9
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
10
二、将投影面平行线变为投影面垂直线 一是作为领导干部一定要树立正确的权力观和科学的发展观，权力必须为职工群众谋利益，绝不能为个人或少数人谋取私利
空间分析：用H1面代替H面，在V/H1投影体系中，必
须满足以下条件：AB⊥H1。
a
b
11
三、把一般位置直线变换成投影面垂直线 一是作为领导干部一定要树立正确的权力观和科学的发展观，权力必须为职工群众谋利益，绝不能为个人或少数人谋取私利 空间分析：把一般位置直线变换成投影面垂直线必 须经过两次变换投影面，第一次换面把一般位置直线变成 投影面平行线；第二次换面把投影面平行线变成投影面垂 直线。
23
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)ppt课件
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
11
学生活动
变式：
设
a,b
R
若M
a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
求a, b 的值.
12
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
x x x 1 0 x
T1
:
y
y
y
0
1
y
0 1
6
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
(2) M3
1
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形；
(3)
M4
0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x对称的图形；
(4) M5
0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形；
7
构建数学 一般地，称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
19
17
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
工程制图课件 第3章 平面的投影
第三章、平 面 的 投 影
一、平面的投影 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线
返回
一、平面的投影
平面的表示法 (1) (2)
b’ a’ a b c’ a’ a b’ a’ a b c’ b d’ b’
(3)
c’ a’ a b
b’ c’
(4)
a’ a
b’ c’
c
c
c
b
c
(5)
各种形式可相互转换
Z V A a b a
z
c
a
β
c
α
SW
X B
O c C
W
xaoຫໍສະໝຸດ byWbc b
投影特性： Y 1. abc积聚为一条线。 2 . abc , abc为 ABC的类似形。 3. abc与OZ, OYw的夹角反映α、角的实大小。
yH
投影面垂直面的投影特性
Z V
c C b
QV
Q a W
（二）投影面平行面——正平面
b’
Z
b’’
a’
c’
X
a’’
c’’ Y
o
b a
Y
c
投影特性： 1.正面投影abc 反映 ABC实形 。 2. abc 、abc积聚为直线，且分别平行于OX和OZ轴。
（二）投影面平行面——侧平面
投影特性： 1. 侧面投影abc 反映 ABC实形。 2. abc 、abc 积聚为直线，且分别平行于OYH和OZ轴。
d
c
二、各种位置面的投影 投影面平行面
水平面//H面 正平面//V面 侧平面//W面
投影面垂直面
铅垂面H面 正垂面V面 侧垂面W面
特 殊 位 置 平 面
一、平面的投影 二、各种位置平面的投影特性 三、平面上的点和直线
返回
一、平面的投影
平面的表示法 (1) (2)
b’ a’ a b c’ a’ a b’ a’ a b c’ b d’ b’
(3)
c’ a’ a b
b’ c’
(4)
a’ a
b’ c’
c
c
c
b
c
(5)
各种形式可相互转换
Z V A a b a
z
c
a
β
c
α
SW
X B
O c C
W
xaoຫໍສະໝຸດ byWbc b
投影特性： Y 1. abc积聚为一条线。 2 . abc , abc为 ABC的类似形。 3. abc与OZ, OYw的夹角反映α、角的实大小。
yH
投影面垂直面的投影特性
Z V
c C b
QV
Q a W
（二）投影面平行面——正平面
b’
Z
b’’
a’
c’
X
a’’
c’’ Y
o
b a
Y
c
投影特性： 1.正面投影abc 反映 ABC实形 。 2. abc 、abc积聚为直线，且分别平行于OX和OZ轴。
（二）投影面平行面——侧平面
投影特性： 1. 侧面投影abc 反映 ABC实形。 2. abc 、abc 积聚为直线，且分别平行于OYH和OZ轴。
d
c
二、各种位置面的投影 投影面平行面
水平面//H面 正平面//V面 侧平面//W面
投影面垂直面
铅垂面H面 正垂面V面 侧垂面W面
特 殊 位 置 平 面
第六章_投影变换PPT课件
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。
返回
三、点的投影变换规律
（一）、点的一次变换 （二）、点的投影变换规律 （三）、点的两次变换
返回
（一）、点的一次变换
V1
a1’
X1
变换过程
返回
V1 a1’ X1
a1’
返回
(二)、点的投影变换规律
1、点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距 离。
返回
（一）、把一般位置直线变为投影面平行线
b1’ V1
a1’
X1
b1’
a1’
例题1
返回
例题1 把一般位置直线变为H1投影面平行线
a’
b’ XV
H
a
b
a1’
b1’
返回
（二）、把投影面平行线变为投影面垂直线
a1’
a1’ b1’
H1
返回
（三）、把一般位置直线变为投影面垂直线
a2b2
b1' V1
c
例题2 例题3
返回
例题2 求点S到平面ABC的距离 k'
s'
返回
例题3 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e’。
k'
d'
e'
kd
n
返回
（五）、把投影面垂直面变为投影面平行面
c1’ V1
a1’
b1’
V X
X1
放大图
返回
返回
（六）、把一般位置平面变为投影面平行面 a1'
b1' d1' c1'
工程制图之投影变换.ppt
1）作Ｏ1Ｘ1∥ａｂ；
3）作Ｏ2Ｘ2⊥ａ1’ｂ1’；
2）求出新投影ａ1’、ｂ1’； 4）求出ａ2、ｂ2（ａ2与ｂ2重合）。
6.2.4 平面的换面
2.4.1 把一般位置平面变换成投影面垂直面 空间分析：
如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
作图方法：
在平面内取一条投影面平行线，经一次换 面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成 新投影面的垂直面。
［例1］已知一般位置平面ABC的两投影， 试求该平面对H面的倾角α 。
分析：欲求一般位
置平面△ＡＢＣ对
H面的倾角α ，应
当保留H面，用Ｖ1
面替换V面，建立
V
d a b
A
Ｖ1/Ｈ新投影体系，X
使平面成为新投影
a
面Ｖ 的垂直面。 1
c
D B
d b H
V1
C c1
a1（d1）
c
b1
X1
［例1］已知一般位置平面ABC的两投影， 试求该平面对H面的倾角α 。
A点的两个投影：a,a 新投影体系 X1,a1
a
ax1
H X1
V1
● a1
2．换H面
XV1H1
a1
. ax1
a
O1
XV
ax O
H
a
点的换面规律：
1)点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴；
2)点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投 影到旧投影轴的距离 。
把一般位置直线变换为投影面垂直线，只 经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一 般位置直线的平面是一般位置平面，它与原 有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影 体系，所以需要经过两次换面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；
2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；
3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
求出矩阵为 变换后的点坐标。
y
T:
所以
x / x / y x
所以
( x, y )
( x, x )
y=x x
y/ x/
o
形成定义
像以上这类将平面内图形投影到某条直线上 (或某个点)的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换
作用下变换
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).
例题深化
矩阵
的变换作用如何?并说
明这种变换的几何意义.
变式1
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M矩阵作用 下分别变换为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)
求变换对应的矩阵M.
几点说明：
(1)投影变换的几何要素:
①投影方向；②投影的目标直线;
(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素;
(3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点; (4)投影变换是映射,但不是一一映射.
理解应用
研究线段AB在矩阵
变式2
圆x2+(y-2)2=1在矩阵
的变换下的曲线方程.
y
x
课堂练习
(1) 说明矩阵
的作用.
y (2) 矩阵 把椭圆 x
变成了什么图形?其方程是什么?
回顾小结
生活事情
o
p/(x,0) x
解决问题
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系. 设平面上的任一点的坐标为(x, y),则 投影后的点坐标为(0, y)
故所求矩阵为
P(x,y) o p/(0,y) x
问题反思
x y
x / x / y x
图2垃圾推到边界线
图1树在正午的阳光下形成影子
提出问题
这两件生活中事例，实质反映了平面上 的点在某一直线上的投影，能否用矩阵 来表示？
解决问题
方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则 投影后的点坐标为(x,0)故所求矩阵为
y P(x,y)
数学问题
矩阵 (数)
变换 (形)
2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；
3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
求出矩阵为 变换后的点坐标。
y
T:
所以
x / x / y x
所以
( x, y )
( x, x )
y=x x
y/ x/
o
形成定义
像以上这类将平面内图形投影到某条直线上 (或某个点)的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换
作用下变换
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).
例题深化
矩阵
的变换作用如何?并说
明这种变换的几何意义.
变式1
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M矩阵作用 下分别变换为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)
求变换对应的矩阵M.
几点说明：
(1)投影变换的几何要素:
①投影方向；②投影的目标直线;
(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素;
(3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点; (4)投影变换是映射,但不是一一映射.
理解应用
研究线段AB在矩阵
变式2
圆x2+(y-2)2=1在矩阵
的变换下的曲线方程.
y
x
课堂练习
(1) 说明矩阵
的作用.
y (2) 矩阵 把椭圆 x
变成了什么图形?其方程是什么?
回顾小结
生活事情
o
p/(x,0) x
解决问题
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系. 设平面上的任一点的坐标为(x, y),则 投影后的点坐标为(0, y)
故所求矩阵为
P(x,y) o p/(0,y) x
问题反思
x y
x / x / y x
图2垃圾推到边界线
图1树在正午的阳光下形成影子
提出问题
这两件生活中事例，实质反映了平面上 的点在某一直线上的投影，能否用矩阵 来表示？
解决问题
方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则 投影后的点坐标为(x,0)故所求矩阵为
y P(x,y)
数学问题
矩阵 (数)
变换 (形)