高等数学 第6章

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与 微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。通解中， 利用附加条件确定任意常数的取值所得的解称为微分方程的特 解，这种附加条件称为初始条件。
通过以上两个实例，我们介绍了微分方程的几个基本概 念。微分方程在社会生产实践中，是我们解决许多实际 问题的有力工具，现将解决实际问题的方法步骤归纳如 下： （1）建立反映实际问题的微分方程； （2）按实际问题写出初始条件； （3）求微分方程的通解； （4）由初始条件确定所求的特解。
令 v(t) 0
得 0 0.4t 20
所以列车从制动开始到停住所需的时间 t 20 50 (s) 0.4
得列车制动后行驶的路程
s 0.2 502 20 50 500 (m)．
第二节 可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
初始条件 m(0) 50, m(2) 50 (110%) 45
分离变量，得
dm kdt m
两边积分，得 ln m kt ln C
化简，得通解
m Cekt
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
例3 函数y C1ex C2ex （C1, C2为任意常数）是微分 方程 y y 0 的通解吗？说明理由。
解 首先验证是微分方程的解， 对 y C1ex C2ex 求导，得
y C1ex C2ex y C1ex C2ex 将 y，y' 代入方程 y y 0 得
左边 (C1ex C2ex ) (C1ex C2ex ) 0 右边 所以函数 y C1ex C2ex是微分方程的解；又因为解中含有 两个独立任意常数，二微分方程是二阶的，故函数是微分 方程的通解。
于是，质点作自由落体的运动方程为 s 1 gt2 2
二、微分方程的概念
一般地，凡含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微 分方程。微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数，称 为微分方程的阶。
如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为 线性微分方程；否则称为非线性微分方程。
任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解。求微分方 程解得过程称为解微分方程。
所以从1999年起第t年我国的GDP为 P(t) 80 423e0.08t
将 t 2012 1999 13代入上式中，得2012年我国的GDP预 测值是
P(13) 80 423e0.0813 227 534.120 亿元
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
为 dy 。 dx
根据题意有
dy 2x dx
对其两边积分，得
y 2xdx x2 C
例1 【曲线方程问题】已知曲线上任一点M(x, y)处切线的 斜率等于该点2倍，且曲线经过点（1，2），求此曲线方程。
又曲线经过点（1，2），将
y 2 x 1
代入上式，得
C 1 于是，所求曲线方程为
y x2 1
第一节 微分方程的概念
一、两个实例
例1 【曲线方程问题】已知曲线上任一点M(x, y)处 切线的斜率等于该点2倍，且曲线经过点（1，2），求 此曲线方程。
例1 【曲线方程问题】已知曲线上任一点M(x, y)处切线的 斜率等于该点2倍，且曲线经过点（1，2），求此曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
的右端含有未知函数y，积分 果将方程作如下变形写成
x y
dx
解不出来．但如
ydy xdx
这时方程的左端只含有未知函数y与dy，右端只含有自变量
x与dx。即变量y与dy已经分离在方程的两端，此时两边可
以同时积分 ydy xdx ，得
1 y2 1 x2 C
2
2
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
例4 【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20 m/s的速 度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4 m/s2，问开 始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行 驶了多少米？
解 设列车制动后t秒行驶的距离为s米，由题意知，制动后 列车行驶的加速度等于-0.4 m/s2，即
d2s dt 2
0.4
解 令t=0表示1999年，设第t年我国的GDP为P(t)．由题意 知，从1999年起，P(t)的增长率为 8% P(t)
得微分方程 dP(t) 0.08P(t), P(0) 80 423 dt
分离变量，得
dP(t) 0.08 dt P(t)
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
g( y)
（2）两边积分
dy g( y)
f
( x)dx
（3）求出积分，得通解
G(y) F(x) C
其中
G( y) ，F
(x)
分别是的
1 g( y)
，f
( x)原函数，C为
任意常数。
例2 求微分方程 解。
即
x2 y2 2C
将 y 0 代入通解中，得 x 1 C1 2
于是所求曲线方程为
x2 y2 1
在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一 端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变 量分离，使方程的一端只含变量y及dy，另一端只含x及dx， 那么就可以用两边同时积分的方法求出通解。这种求解方 法称为分离变量法。变量能分离的微分方程称为可分离变 量的微分方程。它的一般形式可表示为
第六章 微分方程
本章内容
第一节 微分方程的概念 第二节 可分离变量的微分方程
第三节 一阶线性微分方程 第四节 二阶常系数线性齐次微分方程
在科学工程技术以及经济研究中，常常需要寻找实际问题 中变量之间的函数关系。但在大量的实际问题中，却无法直接 建立这种函数关系，而需要根据一些基本科学原理，建立所求 函数及其变化率之间的等量关系式，然后从中解出所求函数， 这种关系就是本章将要学习的微分方程。1676年伯努利在致牛 顿的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才 成为一门独立的学科。微分方程在自然界及工程、经济、军事 和社会等领域中有着广泛的应用。
1
y2 1
d(y 2
1)
1 x2 1
d(x2
1)
即
ln( y2 1) ln(x2 1) ln C 化简，得通解
(x2 1)( y2 1) C
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
初始条件为 s(0) 0，v(0) s(0) 20
方程两边同时积分，得速度为
v(t)
ds dt
0.4t
C1
例4 【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20 m/s的速 度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4 m/s2，问开 始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行 驶了多少米？
再积分一次，得 s(t) 0.2t2 C1t C2
解 （1）设该材料在时刻t的质量为 m m(t)
则衰变率为 dm dt
由题意知
dm km dt
其中k>0为比例系数，取负号是由于质量减少，衰变率
dm 0 dt
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
将 m(0) 50 代入通解，得C=50，因此 m 50ekt
将 m(2) 45
代入通解，得e2k 45 0.9， 50
k 1 ln 0.9 0.053 2
故该放射性材料的衰变规律为
m 50e0.053t
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
第三节 一阶线性微分方程
在解决实际问题中，经常会遇到这样的一阶微分方程， 它的未知函数和未知函数的导数都是一次的，这类方程称 为一阶线性微分方程。
例如，某曲线上任意点M(x, y)的切线斜率是该点横、纵 坐标之差，且曲线经过（1，0）点，求该曲线方程。
分析 设曲线方程为y=f(x) ，则曲线在点M(x, y)处
将初始条件 s(0) 0，v(0) 20 代入得， C1 20，C2 0
于是可得制动后列车的速度方程和运动方程，分别为 v(t) 0.4t 20
s(t) 0.2t2 20t．
例4 【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20 m/s的速 度行驶，当制动时列车获得的加速度为-0.4 m/s2，问开 始制动后多长时间列车才能停住，这段时间内列车行 驶了多少米？
dy 2xy dx
满足初始条件y x0 1 的特
解 分离变量，得 两边积分，得
1 dy 2xdx y
ln y x2 C1 即
y ex2 C1 eC1 ex2
例2 求微分方程 解。
dy 2xy dx
满足初始条件y x0 1 的特
令 eC1 C
得通解为
y Cex2
将 y 1 代入通解中，得 x0
对其两边积分，得
ds dt
gt
C1
上式两边再同时积分，得
s
1 2
gt 2
C1t
C2
其中，C1, C2是两个独立的任意常数。
例2 【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自 由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。
又因为 s(0) 0，s(0) 0 将两个条件代入上式，得 C1 0 ，C2 0
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
来自百度文库
这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程
例2 【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自 由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。
解 建立坐标系如图，设运动方程为 s s(t)
由于质点只受重力mg作用，且力的方向与运动方向相同， 由牛顿第二定律，得质点满足方程
mg
ma
m
d2s dt 2
即
d2s dt2 g
例2 【自由落体运动】设一质量为m的质点，在t=0时刻自 由下落（空气阻力忽略不计），求其运动方程。
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？