为随机变量X的分布函数

1

e
x
,
x0
.
0,
x0
指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件
的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从
指数分布．
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例4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X (单位:分钟)
服从参数1/5的指数分布. 等待服务时间若超过10分钟，顾客
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从而得分布函数为
0 , x 0
F ( x)


1 4
x2

x
,0

x

2
1 , x 2
(3) P{1 X 2}
2
2
1 f (x)dx
2

2 1 2
(
1 2
x

1)dx

9 16
.
另：
P
1

2

X

2

F (2)

F(1) 2

9 16
3
f (x)dx
3
f (x)dx
1
3 1dx 0 5 .


26
6
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2.指数分布 若随机变量X的密度函数为
ex , x 0
f (x)
,
0,
x0
则称X服从参数为的指数分布, 记作X～E[] . >0为常数.
分布函数为
F
(
x)

2
即
A=1 .
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四、常见连续型随机变量的分布
1.均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
f
(x)

b
1
a
,
0,
a xb 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布, 记为X～U[a,b].
0,
xa
分布函数为
F
(x)


x源自文库b

a a
a xb
解：由于X在[2, 8]上服从均匀分布，故X的概率密度为
f
(x)


1 6
,
2 x8
.
0, 其它
方程有实根等价于4X2 - 36≥0 , 即X≥3或X≤ - 3 , 从而，P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤ - 3} =1-P{X<3}+P{X≤ - 3}
1
第3节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的分布函数 二、常见随机变量的分布
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§2.3 连续型随机变量
一、定义
定义 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积
函数f(x)，对任意实数x有
x
F(x) P{X x} f (t)dt ( x )
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为
概率密度或密度函数或密度.
y
二、性质
f (x)
(1) 非负性：f (x) 0 ;
几何意义：
f(x)下方x轴
上方所围面积为1
(2) 规范性： f (x)dx 1.
0
x
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b
(3) P{a X b} a f (x)dx .
110
1 (1 e 5 )

e2
所以Y的分布律为
P{Y k} C5k pk (1 p)5k C5k (e2 )k (1 e2 )5k , k 0,1, 2,3, 4,5 .
P{Y 1} 1 P{Y 0} 1 C50 (e2 )0 (1 e2 )5 0.5167 .


当0≤x＜2时，
F(x)
x
f (t)dt
0
0dt
（x 1 t 1）dt 1 x2 x;


02
4
当x≥2时,
x
F(x) f (t)dt
0
21
0dt (- t 1)dt

0dt 1


02
2
《概率统计》
.
1,
xb
由P{c X d}
d
f (x)dx
d
1
dx d c
,
c
c ba ba
得X 落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成
正比，而与该小区间的位置无关．
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例3. 设随机变量X在[2, 8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
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3.正态分布
⑴ 正态分布定义
若X的概率密度为
f (x)
1
(x)2
e , 2 2
2
x,
其中 , ( >0)为常数，则称X服
从参数为 , 2的正态分布或高斯
(Gauss) 分布, 记作 X～N( , 2) .
y
f(x)
(4) 在f(x)的连续点处有
a0 b
x
f (x) F'(x) .
(5) 连续型随机变量取任何实数值 a 的概率等于0 .即
P{X=a}=0 由性质(5)可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
P{a X b} a f (x)dx .
从而得
f
(x)


1 2
x

1,
0,
0 x2 其它
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例1.设随机变量X的密度函数为
f
(x)


1 2
x

1,
0,
0 x2 其它
求(2)分布函数F(x).
由定义有 F (x) x f (t)dt
当x<0时,
x
x
F (x) f (t)dt 0dt 0;
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例2.设连续型随机变量的分布函数为
求常数A.
0 ,
x0
F ( x)


A
sin(x)
,
0

x


/2,
1 ,
x /2
解： 因为F(x)为连续型随机变量的分布函数，所以F(x)
为连续函数，由连续函数的性质可得
lim Asin x
x 0
F
/ 2 ,
就会离去. 若该顾客一个月到银行5次, 以Y表示一个月内他未等
到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
解：
X的分布函数
F
(
x)

1

1
e5
x
,
x 0;
0, x 0.
该顾客未得到服务事件为{X>10}，其概率为
p

P{X
10} 1 P{X
10} 1 F(10)
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三、分布函数求法 例1.设随机变量X的密度函数为
f
(x)

ax 0,
1,
0 x2 其它
求 (1)常数a; (2)分布函数F(x). (3)P{1 X 2};
2
解: (1)由 1

f (x)dx

2
(ax 1)dx 2a 2 , 解得 A=－1/2. 0