有限元法及应用知识点超全总结

2. 里兹方法
• 里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的 性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式， 并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建 立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种 近似求解方法。
• 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效 积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微 分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函 取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的 微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效 积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理 为自然变分原理。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线 弹性动力学分析两方面。
非线性有限元
非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代
求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比
线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预 知性。
3.有限单元法的特点有哪些？
1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点） 作为离散点；
2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建
立起对该法的理解。 4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、
性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同 构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处 理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应 力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础 和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体 力学及电磁场领域的许多问题。） 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、 载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一 过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体 现在这一过程中。
• 有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、 有限元混合法。
• 在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量； • 在有限元力法中，选节点力作为未知量； • 在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。
• 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
《有限元法及应用》总结
串讲
1.有限元的作用是什么？
1）减少模型试验的数量；
• 计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的
试验。
2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器 官移植，比如人造膝盖。
3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出更可靠、高品质的设计。
3）非线性边界（接触问题）
在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的 作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。
平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压 成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时 通常要考虑非线性边界条件。
实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非 线性问题。
4.有限元法涉及的内容有哪些？
有限元法在数学和力学领域所依据的理论； 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误
差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。
5.有限元法的分类
• 有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元 法是非线性有限元法的基础，二者不但在 分析方法和研究步骤上有类似之处，而且 后者常常要引用前者的某些结果。
• 6）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元 法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。
*8.有限元法分析过程
• 有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、 后处理三大步骤。
• 对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元 分析模型，这一过程是有限元的前处理过程。 在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要 划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数 据，这一步是有限元分析的关键。
9.有限元法的收敛性概念与收敛条件
• 有限元法是一种数值分析方法，因此应 考虑收敛性问题。
• 有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加 密时，有限元解答的序列收敛到精确解； 或者当单元尺寸固定时，每个单元的自 由度数越多，有限元的解答就越趋近于 精确解。
9.有限元法的收敛性概念与收敛条件 （续）
*6.有限元的基础理论包括哪几部分？
1.加权余量法 加权余量法：是Biblioteka Baidu采用使余量的加权函数为零
求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。 （Weighted residual method WRM） 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效 的方法。 显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函 数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权 余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最 小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法 的精度最高。
2.有限元的基本概念
有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统 用有限个单元来描述。
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点 处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给 出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元 （子域）可以被分割成各种形状和大小不同的 尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、 复杂的材料特性和复杂的边界条件。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或 等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时 也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须 节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。
• 5）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节 点。
2. 里兹方法（续）
• 对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到 与它相等效的变分原理以后，可以用来建立求 近似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从 一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的” 解。显然，近似解的精度与试探函数（形函数 或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一 般性质，那么可以通过选择反映此性质的试探 函数来改进近似解，提高近似解的精度。
3.虚功原理
——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形 式
• 虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位 移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是 与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功 原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足 协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系 外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
• 当分别利用这两个极值原理求解同一问题时， 我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准 确地估计所得近似解的误差，这对工程计算具 有实际意义。
*7.单元划分原则是什么?
• 梁、杆单元划分的原则
• 两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以 下原则划分：1）杆件的交点一定要选为节点 (梯子）；2）阶梯形杆截面变化处一定取为节 点（阶梯轴）；3）支撑点与自由端要选为节 点（悬臂梁）；4）集中载荷作用处最好选为 节点；5）欲求位移的点要选为节点；6）单元 长度最好基本相同。
线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的， 所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在 这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系， 线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以 只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数 方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的 时间。
• 虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积 分的“弱”形式；
• 虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积 分“弱”形式。
3.虚功原理（续）
——平衡方程和几何方程的等效积分“弱” 形式
• 虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的， 则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为 零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上 所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方 程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要 而充分条件。
1）材料非线性问题
有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，
此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性 问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系， 所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试 验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽 管这些模型总有他们的局限性。
• 虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同 的力学问题。
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已 成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算 方法。
有限元模型与有限元分析
有限元模型：它是真实系统理想化的数学 抽象。由一些简单形状的单元组成，单元 之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真 实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。 并利用简单而又相互作用的元素，即单元， 就可以用有限数量的未知量去逼近无限未 知量的真实系统。
平面单元划分原则
• 1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等 参数单元。他们的特点是单元的节点数越多，其计算精 度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。
• 2.划分原则： • 1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量
而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计 算机容量越大，因此，须根据实际情况而定。 • 2）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，在位 移或应力变化大的部位取得单元要小；在位移或应力变 化小的部位取得单元要大，在边界比较平滑的部位，单 元可大。
• 一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性 问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非 线性问题。
• 但是否适用所有的问题呢？
3.虚功原理（续）
——平衡方程和几何方程的等效积分“弱” 形式
• 虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应 力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。 反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零， 则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了 位移协调的必要而充分条件。