有限元法及应用知识点超全总结
有限元法--理论
B'
dy
u v
A
A'
α
B
v+
∂v dx ∂x
u+
dx 0
∂u dx ∂x
B"
x
有限元法基础及应用
2、几何方程——应变分量 位移分量关系 、几何方程 应变分量-位移分量关系 应变分量
ε x = ∂u / ∂x γ xy = ∂v / ∂x + ∂u / ∂y ε y = ∂v / ∂y γ yz = ∂w / ∂y + ∂v / ∂z ε z = ∂w / ∂z γ zx = ∂u / ∂z + ∂w / ∂x
位 移 边 界 应 力 边 界 混 合 边 界
6个应力 个应力 6个应变 个应变 3个位移 个位移
有限元法基础及应用
位移边界条件
u=us， v=vs， w=ws us、vs、ws是边界上点的坐标的已知函数
有限元法基础及应用
应力边界条件
• 物体在全部边界上的外力，根据边界微元 物体在全部边界上的外力， 的平衡条件所建立的应力边界条件。 的平衡条件所建立的应力边界条件。
有限元法基础及应用
第2章 弹性力学基本知识 章
弹性力学：分析弹性体在受外力作用并处于平 弹性力学：分析弹性体在受外力作用并处于平 弹性体在受外力 应力、 衡状态下产生的应力 应变和位移状态及其 衡状态下产生的应力、应变和位移状态及其 相互关系。 相互关系。 四项基本假设：材料连续、材料分布均匀、 四项基本假设：材料连续、材料分布均匀、 材料各向同性、 材料各向同性、小变形 物体上外力：体力、面力、 物体上外力：体力、面力、集中力
单元节点位移列阵： 单元节点位移列阵：
{δ }e = [ui vi uj vj um vm ]T
有限元基本知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元法基础重点归纳(精)
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学
有限元知识点总结
有限元分析及其应用-2010；思考题：1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？答：基本思想：几何离散和分片插值。
基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。
离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。
当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。
2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。
3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件；2）构造其泛函形式；3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。
4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。
5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用节点载荷：作用于节点上的外载6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。
Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。
7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。
形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；单元内任一点的形函数之和恒等于1；形函数的值在0~1间变化。
有限元法基础知识介绍
有限元的基本思想
有限元法中的几个基本概念
• 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所 组成的组合体，简称离散化 离散化。 离散化 • 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点 结点。 结点 • 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元 与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种 联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发 生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力 单元之间只能通过结点来传递内力。 单元之间只能通过结点来传递内力 • 通过结点来传递的内力称为结点力 结点力，作用在结点上的荷载 结点力 结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成 称为结点荷载 结点荷载 它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程 度的位移，这种位移称为结点位移 结点位移。 结点位移
有限元法的基本计算步骤
2. 单元特性分析
③ 计算等效节点力：将外在的负载力等效到各个节点上。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元 的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在 单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移 到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在 单元上得力。
[K]——整体刚度矩阵； {δ}——全部结点位移组成的列阵； {R}——全部结点荷载组成的 列阵。
在位移法中，只有{δ}是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点 的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。 有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定 性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程 ： [M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}
有限元分析方法的发展与应用
有限元法_精品文档
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一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
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4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
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对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
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4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
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2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
有限元法和应用总结
4.有限元法涉及旳内容有哪些？
有限元法在数学和力学领域所根据旳理论； 单元旳划分原则； 形状函数旳选用及协调性； 有限元法所涉及旳多种数值计算措施及其误
差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域旳推广。
5.有限元法旳分类
• 有限元法能够分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元 法是非线性有限元法旳基础，两者不但在 分析措施和研究环节上有类似之处，而且 后者经常要引用前者旳某些成果。
线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象旳， 所考虑旳变形建立在小变形假设旳基础上。在 此类问题中，材料旳应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系， 线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以 只需要较少旳计算时间。假如采用高效旳代数 方程组求解措施，也有利于降低有限元分析旳 时间。
• 一般而言，虚位移原理不但能够合用于线弹性 问题，而且能够用于非线性弹性及弹塑性等非 线性问题。
• 但是否合用全部旳问题呢？
3.虚功原理（续）
——平衡方程和几何方程旳等效积分“弱” 形式
• 虚应力原理旳力学意义：假如位移是协调旳，则虚应 力和虚边界约束反力在他们上面所作旳功旳总和为零。 反之，假如上述虚力系在他们上面所作旳功旳和为零， 则它们一定是满足协调旳。所以，虚应力原理表述了 位移协调旳必要而充分条件。
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程旳系统性、规律性强，尤 其合适于编程求解。一般除板壳问题旳有限元应 用一定量旳混正当外，其他全部采用有限元位移 法。所以，一般不做尤其申明，有限元法指旳是 有限元位移法。
• 有限元分析旳后处理主要涉及对计算成果旳加工 处理、编辑组织和图形表达三个方面。它能够把 有限元分析得到旳数据，进一步转换为设计人员 直接需要旳信息，如应力分布状态、构造变形状 态等，而且绘成直观旳图形，从而帮助设计人员 迅速旳评价和校核设计方案。
有限元分析复习内容汇总
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。
7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。
8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。
9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。
10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
有限元知识点汇总
有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。
》基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用及问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。
3、单元、节点的概念？》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。
》节点：网格间相互连接的点称为节点。
4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。
5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。
》本课程讲授的：位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}》几何方程——{描述弹性体应变分量及位移分量之间关系的方程}》物理方程——{描述应力分量及应变分量之间的关系}》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程}》弹性矩阵特点——{ }7、何为平面应力问题和平面应变问题？》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}第二章1 何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？答：⑴所谓离散化，是用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合体。
有限元方法讲义
第1讲 抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1） ()⎩⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=∆-x u x x f u ,0,问题（1）的变分形式：求()Ω∈10H u 使满足（2） ()()()Ω∈∀=1,,,H v v f v u a ()v u a ,的性质，广义解的正则性结果。
区域Ω的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。
剖分区域上分片k 次多项式构成的有限元空间()Ω⊂10H S h 。
h S 的逼近性质，逆性质：∞≤≤≤≤≤≤-+-+p k k m uCh uI u pk m k pm h 1,1,0,,11,h h pm hqnp n l m ql hS v l m q p v Chv ∈∀≤∞≤≤≤---,,,1,),0(max ,这里，h h S u I ∈为u 的插值逼近。
问题（2）的有限元近似：求h h S u ∈使满足 （3） ()()h h h h h S v v f v u a ∈∀=,,,（3）的解唯一存在，且满足f M u h ≤1。
（3）的解()()∑==Ni i i h x u x u 1φ所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：()()N j f u a jNi iji,2,1,,,1==∑=φφφ（4） f u K=刚度矩阵()()NN ji a K ⨯=φφ,的由单元刚度矩阵组装而成。
-1H 模误差分析：由（2）－（3）可得（5） h h h h S v v u u a ∈∀=-,0),(由（5）可首先得到()()1121,,u I u u u M u I u u u a u u u u a u u r h hh h h h h--≤--=--≤-则得到（6） 1,111≥≤-≤-+k uCh uI u C u u k k h h2L －模误差分析设210H H w ∈ 满足h h u u C w win u u w -≤=Ω-=∆-Ω∂2,0,,用h u u -与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到()()w u u A u u w A u u h h h,,2-=-=-()hhhh h h h u u u u Ch w u u Ch w I w u u C w I w u u A --≤-≤--≤--=12111,再利用-1H 模误差估计结果，得到 （7） 1,111≥≤-≤-++k uCh u u Ch u u k k hh最优阶误差估计和超收敛估计概念。
有限元考点复习总结
填空与选择题 １并行计算是一种提高效率的计算。
２.材料的主要特性：弹性模量、泊松比、硬化指数、屈服强度。
３.有限元方法有3类分为位移法（以结点位移为未知量），力法，混合法。
３.数值模拟技术：以电子计算机为手段，通过数值计算和图像显示的方法解决工程问题。
５.垂直对称面上的结点位移为零。
６单元划分常见单元类型：六面体单元和四面体单元，Deform 常用四面体单元。
７.四面体单元：每个结点上有两个位移，整个单元有六个结点位移，i u i v 表示结点y x i ,处方向的位移，单元结点位移列阵：{}[]T m m j j i i e v u v u v u q =。
单元应变公式：{}[]{}e q B =ε；单元应力公式：{}[]{}εσD =；[]B 指应变与结点位移的关系矩阵；[]D 指应力应变关系矩阵８.常用商业有限元软件：LS —DYSA 、eta/DYNAFORM 、ABAQUS 、ANSYS９.Ｄｅｆｏｒｍ３Ｄ能导入的几何模型数据格式：ＳＴＬ、ＵＮＶ、ＧＥＯ、ＩＧＳ、ＮＡＳ、ＰＤＡ。
１０.Deform3D 的单位包括：公制SI 和英制EI１１.后处理常用的显示方式：云图显示、结点追踪和切片。
１２．摩擦模型分为：库伦摩擦、剪切摩擦、混合摩擦２１３.增量步长的定义可以用位移增量和时间增量两种方式定义。
１４. 实际塑性成形问题涉及的三大力学非线性问题：几何非线性、材料非线性和边界非线性１５.每个增量步的计算需要迭代两次。
１６.自适应单元技术包括自适应重划分和自适应加密。
原因：有限元模拟数值解的精度依赖于单元结构。
１７.四边形单元常见的畸形：自交叉、内凹、长宽比太大１８.单元自适应加密的规则：单元的每条边不能多于两个单元与之相邻（注：适用于三角形和四边形单元） １９.库伦摩擦模型的摩擦系数取值区间（０,０.５）；剪切模型的摩擦因子取值区间（０,１）２０.大部分塑性成形工艺具有非稳态变形的特点。
有限元法及应用总结共86页
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
有限元法及应用总结
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
有限元法
..'有限元法第一章绪论1.有限元法的定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。
2.有限元法的特点：A物理概念清晰。
B复杂的结构适应性。
C各种物理问题的适用性。
D适合计算机实现的高效性。
3.有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。
每个单元内的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示。
最后，通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。
4.有限元法的基本步骤：从选择未知量的角度有限元法分为三类：位移法、力法和混合法。
位移法求解步骤：A结构的离散化。
B单元分析。
C单元集成。
D引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
E由节点位移计算单元的应力与应变。
5.有限元法的优缺点：优点：a有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。
B有限元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使其能够广泛地应用于各种场合。
c 边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD 软件中导入创建好的模型。
有限元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。
这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。
e有限元法很容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题和进行耦合场分析。
F有限元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
缺点：a有限单元对于复杂问题的分析计算所耗费的计算资源是相当惊人的。
b对无限求解域问题没有较好的处理方法。
c有限元软件在具体应用时需依赖使用者的经验，而且在精度分析时需耗费相当大的计算资源。
6.屈曲：载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此之前变形的形状发生了不同的变化，从而承担载荷的能力减少了，把这一现象称为屈曲。
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9.有限元法的收敛性概念与收敛条件
• 有限元法是一种数值分析方法，因此应 考虑收敛性问题。
• 有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加 密时，有限元解答的序列收敛到精确解； 或者当单元尺寸固定时，每个单元的自 由度数越多，有限元的解答就越趋近于 精确解。
9.有限元法的收敛性概念与收敛条件 （续）
4.有限元法涉及的内容有哪些？
有限元法在数学和力学领域所依据的理论； 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误
差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。
5.有限元法的分类
• 有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元 法是非线性有限元法的基础，二者不但在 分析方法和研究步骤上有类似之处，而且 后者常常要引用前者的某些结果。
• 虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积 分的“弱”形式；
• 虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积 分“弱”形式。
3.虚功原理（续）
——平衡方程和几何方程的等效积分“弱” 形式
• 虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的， 则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为 零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上 所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方 程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要 而充分条件。
1）材料非线性问题有限元源自解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，
此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性 问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系， 所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试 验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽 管这些模型总有他们的局限性。
3.虚功原理
——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形 式
• 虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位 移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是 与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功 原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足 协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系 外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
• 虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同 的力学问题。
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
2. 里兹方法（续）
• 对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到 与它相等效的变分原理以后，可以用来建立求 近似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从 一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的” 解。显然，近似解的精度与试探函数（形函数 或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一 般性质，那么可以通过选择反映此性质的试探 函数来改进近似解，提高近似解的精度。
• 当分别利用这两个极值原理求解同一问题时， 我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准 确地估计所得近似解的误差，这对工程计算具 有实际意义。
*7.单元划分原则是什么?
• 梁、杆单元划分的原则
• 两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以 下原则划分：1）杆件的交点一定要选为节点 (梯子）；2）阶梯形杆截面变化处一定取为节 点（阶梯轴）；3）支撑点与自由端要选为节 点（悬臂梁）；4）集中载荷作用处最好选为 节点；5）欲求位移的点要选为节点；6）单元 长度最好基本相同。
2. 里兹方法
• 里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的 性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式， 并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建 立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种 近似求解方法。
• 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效 积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微 分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函 取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的 微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效 积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理 为自然变分原理。
线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的， 所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在 这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系， 线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以 只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数 方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的 时间。
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。
• 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性 问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非 线性问题。
• 但是否适用所有的问题呢？
3.虚功原理（续）
——平衡方程和几何方程的等效积分“弱” 形式
• 虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应 力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。 反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零， 则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了 位移协调的必要而充分条件。
3）非线性边界（接触问题）
在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的 作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。
平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压 成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等， 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时 通常要考虑非线性边界条件。
实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非 线性问题。
平面单元划分原则
• 1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等 参数单元。他们的特点是单元的节点数越多，其计算精 度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。
• 2.划分原则： • 1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量
而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计 算机容量越大，因此，须根据实际情况而定。 • 2）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，在位 移或应力变化大的部位取得单元要小；在位移或应力变 化小的部位取得单元要大，在边界比较平滑的部位，单 元可大。
*6.有限元的基础理论包括哪几部分？
1.加权余量法 加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零
求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。 （Weighted residual method WRM） 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效 的方法。 显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函 数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权 余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最 小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法 的精度最高。
再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已 成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算 方法。
有限元模型与有限元分析
有限元模型：它是真实系统理想化的数学 抽象。由一些简单形状的单元组成，单元 之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真 实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。 并利用简单而又相互作用的元素，即单元， 就可以用有限数量的未知量去逼近无限未 知量的真实系统。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
3.有限单元法的特点有哪些？
1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点） 作为离散点；
2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建
立起对该法的理解。 4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、
性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同 构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处 理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应 力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础 和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体 力学及电磁场领域的许多问题。） 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
2.有限元的基本概念
有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统 用有限个单元来描述。
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点 处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给 出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元 （子域）可以被分割成各种形状和大小不同的 尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、 复杂的材料特性和复杂的边界条件。