高中数学I-1三角函数和数列

（2）证明：
。
【分析】 对于（1），欲证明
是等比比数列，只需证明
即
可；求 an}的通项公式，只需用用 bn 的通项公式倒推即可；
对于（2），证明不等式，将 变形，变形为
，则 ，
。（a1 的具体值要看 Tn 能否提出一一个常数 B） 【解答】
（1）令
，欲证明 是等比比数列，只需证明
。
∵
∴
，即有
∴
（为什么？——⺫目目的：减少变量）
C）其他公式： 1）证明 bn 是等比比中项： 2）bn 与 Tn 的关系： 3.综合应用用： A）求等差、等比比数列
令 两边同时乘以公比比 q，得
求前 n 项和 Rn：
两式相减，得
化简，得
其中，
。即可求出 Tn。
B）若求数列
的前 n 项和 Sn：
首首先，将 个常数）；
然后，根据
化为
（其中，k 是一一 ，
【分析】
对于（1），比比较已知条件和结论，只要我们想办法把已知条件中
Sn 的消去即可； 对于（2），可先令{an}为等差数列，反过去求λ，若λ与 n 无无关，
即λ为常数，所以，{an}是等差数列；若与 n 有关，即λ不是常数，所 以，{an}不是等差数列。 【解答】 （1）∵ ∴ 两式相减，得
化简，得
必考部分 计算题——三角角函数和数列
一一、三角角函数：
通用用知识：
1.三角角函数的诱导变换：互余正变余；互补正余定；符号看象限
2.“1”的变化：
（不仅可以用用在分子子的位置，也可以用用
在分⺟母的位置）
一一）三角角函数的变换
1.题⺫目目类型：
（引入入辅助角角），
（展
开求解），
（化成二二倍角角，再引入入辅
助角角化简）……
2.运用用公式：
A.和差化积公式：
B.倍角角公式：
（此式可推导得出！）
C.半角角公式：
D.辅助角角公式：
（其中，
）
（注意：此式若不能记住，可反向推导验证，再确定。）
3.解题方方法：
A.先对已知条件进行行化简，写成三角角函数的一一般式，即： 或者
B.周期问题：
（若为正切，周期为： ）
（1）问要求角角 B 的大大小小，而而化简后的是 sin B 的关系式，不可能直接
求出 B 的大大小小，所以，应该引入入“ 关于面面积：面面积的表达式为：
”，得到角角 B 的大大小小。 ，
对于本题，知道了角角度 B 的大大小小，应该选择
进行行求解。
【解答】
（1）∵
，
∴
化简，得
比比较 由此可得
，可得
从所求角角度分析，此处是两个角角之间的关系，应该要把已知条件
乘积形式化成和差形式。（确定所用用公式）
【解答】
由
，得
化简，得 应用用公式（积化和差），得 应用用诱导公式（二二者互为余角角），得 所以，选择 C 选项。
【例题 2】（2014，全国 II，14）函数
的
最大大值为
。
【分析】
观察已知条件。此处可以选择将 x 或者 看成一一个角角，若将 x
（2）∵ 即 ∴
（此处应用用了均值不等式
等号） ∴
所以，△ABC 的面面积的最大大值为 。
， 时取
二二、数列： 一一）应用用公式： 1.等差数列：
A）通项公式： B）前 n 项和公式： C）其他公式： 1）证明 an 是等差中项： 2）an 与 Sn 的关系： 2.等比比数列： A）通项公式：
B）前 n 项和公式：
∴
∴
是等比比数列
∵
，
∴ 的通项公式为：
∴ 的通项公式为： （2） 【草稿纸内容】
首首先，猜：由
，得 ， ；其次，令
，化简
以提出一一个常数 2，则 改为 ；最后，返回去检验 列{cn}的首首项 c1，此处刚好相等。猜测成立立！） 【答题内容】
，可 与数
（注意：放缩时，我们在猜测的时候已经确定了首首项，不要再进行行改
理；若出现角角的余弦，边的二二次的多项式，则优先考虑余弦定理；若 出现三个角角，则优先考虑三角角形内角角和定理。 三）题型示示例（包括解题模板）：
【例题 1】（2014，全国 I，8）设
，
，且
，
则（ ）
A.
B.
C.
D.
【分析】
从已知角角度分析，此处含有 tan，cos，sin 函数，不可能简单的
化成 tan 的关系，所以，只可以将 tan 展开成 sin 和 cos 的函数；
（2）在△APB 中，
∵
，
Hale Waihona Puke Baidu
，
，
∴
又又∵
∴
∴ 又又∵
∴
∴
，
∴
【例题 4】（2013,全国 II，17）△ABC 的内角角 A，B，C 的对边分别为
a，b，c，已知
。
（1）求 B；
（2）若 b=2，求△ABC 的面面积的最大大值。
【分析】
关于化简：首首先，已知中出现了余弦函数（cos C），我们应该应
用用“余弦定理”进行行化简，得到边的二二次与 sin B 的关系式；其次，第
看成一一个单独的角角，则已知中两项都要展开；若将 看成一一个角角，
只需要把 进行行展开。所以，我们选择把 看成一一个角角。
【解答】
将 看成一一个单独的角角，化简
所以，其最大大值为“+1”。
【例题 3】（2013，全国 I，17）如图，在△ABC 中，
，
，
，P 为△ABC 内一一点，
。
（1）若
，求 PA；
对称轴问题：先令
，再求出 x 的值即可；
单调性问题：看相邻两根对称轴的值，若左为“-1”，右为“+1”，则
此区间为单调递增，下一一个相邻区间为单调递减区间；若左为“+1”，
右为“-1”，则此区间为单调递减，下一一个相邻区间为单调递增区间；
最大大值、最小小值和值域问题：首首先，判断给定区间是否包含波峰
后，和 Tn 比比较，若 Tn 不能进行行化简，第一一项即为 a1；若 Tn 能进行行化
简（一一般是能够提出某个常数 B），第一一项即为 a1/B。
二二）题型示示例：
【例题 1】（2014，全国 I，17）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1=1，
an≠0，
，其中λ为常数。
（1）证明：
；
（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由。
最后，对于（2），在△APB 中，知道了∠APB 的大大小小，可以写出
其对应的正弦定理和余弦定理，即
，
，比比较发现，必须找出 AP、BP 的关系，才
可以继续求解；回顾题⺫目目，发现∠ABC=90o、∠BPC=90o 是公共条件，
即有∠APB=∠BCP，而而∠BCP 处在 Rt△BPC 中，可以直接写出其正
弦值，即
。这样，就通过两个正弦的不同表达式找到了
AP、BP 的关系，进而而求出 AP、BP 的值，自自然可以求出 tan∠ABP 的值。
【解答】
（1）在 Rt△ABC 中，
∵
，
∴
，
在 Rt△BPC 中，
∵
，
∴
，
在△ACP 中，
∵
，
，
∴
所以，
。
（注意：这里里写出在△中，只是为了避免后面面写错，可以不写出。）
（或者波谷谷），若包含波峰，可确定最大大值为“+1”，若包含波谷谷，可 确定最小小值为“-1”；然后，求出端点值；最后，写出函数在该区间的
值域。
二二）解三角角形
1.运用用公式：
A.三角角形内角角和定理：
B.正弦定理：
C.余弦定理：
2.正弦定理、余弦定理的选择技巧： 题⺫目目中若只出现角角的正弦，边的一一次多项式，则优先考虑正弦定
求得
（注意：一一共剩下 2k
项，“+”“-”各 k 项）。 一一般来说，这里里给出的 k 值不会太大大。
C）利用用数列证明不等式： 一一般来说，只有等比比数列可以运用用“放缩法”进行行求解。 若需要证明 （其中，A 为任意常数），首首先，将 A 变形，变
形为
（注意：这里里要求 q<1），猜测 a1，q 的值；然
（1）若
，求
。
【分析】
首首先，告诉了△ABC 的两条边
和一一个角角，可以求出三角角形所有的
边和角角的大大小小；
其次，对于（1），在△CPB 中，知道了一一个角角和两条边，可以求
出其余的边和角角的大大小小；在△ACP 中，知道了∠ACP 的大大小小，AC、
CP 的大大小小，可以根据“余弦定理”求出 AP 的值；
动，可以反向验证：
（ ））
所以，原式得证。
（2）令{an}为等差数列，其公差为 d，则{an}的通项为
对比比（1）式所得，知
{an}前 n 项和为
代入入
，有
化简，得 与 n 无无关，是一一个常数，所以{an}为等差数列，此时， 【例题 2】（2014，全国 II，17）已知数列{an}满足足 a1=1，an+1=3an+1。
（1）证明：
是等比比数列，并求{an}的通项公式；