静不定问题分析(精)

FN3 0.397F， FN4 0.853F , FN5 0.603F
q CD
FNi F Ni li 1.91F Ei Ai EA （P） i 1
6
注意：通过相当系统求位移！
以杆4为赘余杆
F N3 F N 4 F N5 0
a
A
A
基本系统
相当系统
解：(1) degree of statical indeterminacy: n=4-3=1
F
C a
B FB
(2) released structure静定基：解除B点约束
(3) equations of compatibility变形协调条件： ΔB=0 M A (4) To find redundant reaction求约束反力 能量法求解(求位移与力的关系) AC段： M x1 FB x1 M x1 x1 BC段： M x2 FB a Fx2
qR2 sin RA R sin
M R sin
1
M qR2 1 cos d RA R sin

0
(3)求RA
fA 1 EI
M

R
qR
2
0
2
sin RA R sin R sin Rd 0
内力静不定问题： 存在多余的内部约束
切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力
相当系统
利用切开截面的相对广义位移为零，建立变形协调条件 建立补充方程
内力静不定问题
分析图示桁架的内力与qCD ，各杆各截面的EA相同
1. 问题分析
一度内力静不定
选杆 1 为多余约束，FN为多余未知力
m / m'
a 2 21 2 2 2 F F N EA 2
m / m' 0
得： FN 0.561F
3. 转角计算
q CD
FNi F Ni l i Ei Ai i 1

6
F N1 F N2 F N6 0
1 2 F N3 ， F N4 , a a F N5 1 a
目
§1 Introduction引言
录
§2 Force method to solve statically indeterminate problems 用力法分析静不定问题 §3 Analysis of statically indeterminate problems under symmetric and antisymmetric loads 对称与反对称静不定 问题分析 §4 平面刚架空间受力分析
Chapter 13 Analysis of statically indeterminate problems
静不定问题分析
本章以能量法为基础，进一步研究 分析静不定问题的原理与方法 研究对象：涉及静不定刚架、静不定 曲杆等较为复杂的杆系结构；涵盖平面与 空间承载情况 分析方法：主要是力法，简略介绍位 移法
4 RA qR 1
R3 R qR 1 0 A EI 4 4
A 1
R B
2.计算水平位移

(1) 在原静不定结构上加单位力再解一静 不定问题，复杂。
(2) 在静定基上加单位力(问题简化)
M R1 cos
变形协调条件:
m / m' 0
截面m与m’间沿轴线方 向的相对线位移为零
2. 内力分析
m / m'
FNi F Ni l i Ei Ai i 1

6
FN1 FN ， FN2 F N1 1 ， F N2
FN 2 1 2
FN6 F N6
FN 2 1 2
几个概念：
基本系统： 解除多余约束后的静定结构（静定基） 相当系统： 作用有载荷和多余反力的基本系统。
基本系统和相当系统不唯一
外静不定问题statical redundants—reactions 外力静不定问题： 存在多余的外部约束 解除多余的外部约束，代之以支反力 在解除约束处，建立变形协调条件
' ' B
R A O
q FB'
1
B
(d) 4 M q F R 1 cos q R sin q R 1 cos q R sin q 3 1 2 cos q 2M0 M q R 1 cos q M0 M0 3R 3
BH
1 力法(force method)或柔度法(Flexibility method)：
以力、为未知数，利用变形协调条件列方程，通常简单， 但格式不统一，不便于计算机求解。 2 位移法(displacement method)或刚度法(stiffness
method)：以位移为未知数，利用平衡条件求解，不需判 断静不定度，格式统一，便于计算机分析。
• 另一相当系统的选取
M0 3R
M0 3R
Mo
• 对应单位载荷系统
1 1
计算A点水平位移。
q R B A RA
1.计算RA (1)变形协调条件 fA=0 (2)计算 M 在 d 微段上由
qRd
qRd
M
q
引起
d RA
dM qRd R1 cos
A 1
1 A EI
qR
2
0
2
sin RA R sin R1 cos Rd
B
2 2 qR4 qR4 1 2 8 EI 0.02628 EI
内力静不定问题statical redundants — stress resultants
(2)求 BH
讨论：选取哪种单位载荷系统
R A O FB q M0 B
(a)
R q A O (c) B 1 A
R O
q FB'
1
B
(d)
方法1
2M 0 R 1 cos q M 0 3R 1 2 cos q M 0 3 M q
R q A O (c) B 1
§2 Force method to solve statically indeterminate problems用力法分析静不定问题
外静不定问题 内静不定问题
力法求解步骤Procedure of Force Method 判断静不定度Identify the degree of statical indeterminacy; 选择与静不定度同等数量的多余约束 Select same number of statical redundants，either reactions or stress resultants，as redundant forces that are not needed to maintain an immovable structure in static equilibrium； 解除多余约束→静定的基本系统；加载荷及多余力→相当系 统Set up released structure (primary structure) which is statically determinate; loaded by actual loads and redundents; 建立协调方程，用单位载荷法计算相当系统在多余约束处 的位移，得到用多余未知力与载荷表示的变形补充方程Find compatible equations and solve for redundents by means of unit-load method; 由平衡方程及补充方程确定多余未知力Obtain redundents by equations of static equilibrium and equations of compatibility，通过相当系统，计算原结构的应力与位移等.
M q Rsin q
B端的水平位移为
BH 1 1 2 cos q M 0 R sin q Rdq 0 EI 3 M0R 2 sin q sin 2q Rdq 0 3EI 2M 0 R 2 3EI
方法2 解静不定问题，求单位载荷系统的 FB' 4 ' FB 3
M x2 a
C
a
A
相当系统
Fra Baidu bibliotek
B x2 x1
a 1 a 2 2 B F x dx F a Fx 2 a dx2 0 B 1 1 B 0 0 EI 1 FB a 3 Fa3 3 FB a 3 2 0 FB F 3EI EI 8

仅在结构内部存在多余约束－内力静不定结构
• 静不定度判断:平面桁架：
内力静不定度 = m - 2n + 3 m: 杆数 外力静定 内力静不定(一度) n: 节点数
几何可变
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
平面刚架：
静不定度判断
轴线为单闭合曲线的平面刚架或平面曲杆、且仅在轴线平 面内承受外力时，为 3 度内力静不定问题 断开： 内力静 定 刚性连接： 多了三个 约束
§5 位移法概念
§1 Introduction 引 言
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
外力静不定(一度) 外力静不定(三度) 平面静定结构： 3个约束 空间静定结构： 6个约束
平面固定铰：2个约束 外力静不定(六度) 平面活动铰：1个约束 平面固定端：3个约束 空间球形铰：3个约束 空间固定端：6个约束
两度内力静不定
六度内力静不定
四度内力静不定
封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加三，加一铰支杆加一
平面曲杆：
三度内力静不定
两度内力静不定
内力静定
在结构内外部均存在多余约束－混合型静不定结构
• 几度静不定？
4 度静不定
2度
6度
判断静不定度(degree of statical indeterminacy )
F F 6度内力静不定,外3自由度
F
F
5度内力静不定,加一中间铰减 少一度静不定
F
F
4度内力静不定,加一根二力杆增加一 度静不定
3度内力静不定, 3度外力静不定
1+1=2度
3度内力静不定, 3度外力静不定
3+3=6度
组合梁或梁杆结构的静不定度分析
2度
1度
两杆多余，2度内力静不定
静不定问题分析方法
相当系统
建立补充方程
外静不定问题statical redundants—reactions
例：若F、EI均为已知，试求B端约束反力。
解：(1) degree of statical indeterminacy: n=4-3=1 (2) released structure静定基：解除B点约束
C a B F C a B FB a MA A F C a B FB a
M q R 1 cos q
A
R
q
M0 B FB
O
(a)
变形协调条件 BV =0
单位载荷法
BV
A
R O
q B 1 (b)
1 FB R 1 cos q M 0 R 1 cos q Rdq 0 EI 1 2M 0 3 3 2 F R M R 0 F 0 B B EI 2 3R

1
A
两度静不定问题
F
C a
XB YB a
fB 0
B 0
A
在静定基上分别加水平，铅垂单位力，得两方程
C a 1 C a 1 a
a
A
A
已知外力偶 M0 ，求B端约束 反力 FB 和水平位移 BH。 解：（1）求支反力 弯矩 M q FB R 1 cos q M 0
4 1 1 2 cos q M R 1 cos q R sin q Rdq 0 EI 0 3 3 2M 0 R 2 4M 0 R 2 3EI 9EI 2M 0 R 2 3EI


0
cos q cos 2qdq