初三二次函数压轴题解题模板
专题01 二次函数的定义压轴题五种模型全攻略
专题01 二次函数的定义压轴题五种模型全攻略考点一 二次函数的识别 考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三 根据二次函数的定义求参数 考点四 已知二次函数一点求代数式的值考点五 列二次函数关系式考点一 二次函数的识别例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（ ）A ．31y x =-B ．231y x =-C ．2y x=D ．323y x x =+-【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①55y x =-；②231y x =-；③3243y x x =-；④2221y x x =-+；⑤21y x =．其中是二次函数的是____________．考点二 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数223y x x =-+的一次项系数是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a ，b ，c 分别是二次函数y ＝﹣x 2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（ ）A ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝0B ．a ＝﹣1，b ＝0，c ＝3C ．a ＝﹣1，b ＝3，c ＝3D ．a ＝1，b ＝0，c ＝32．（2022·全国·九年级）已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．考点三 根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y ＝21(1)m m x +-+2x ﹣3是二次函数式，则m 的值为 _____．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知(2)21m y m x x =-+-是y 关于x 的二次函数，那么m 的值____．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于x 的函数()21mmy m x -=+是二次函数，则m 的值为__________．考点四 已知二次函数一点求代数式的值例题：（2022·全国·九年级）若点(m ，0)在二次函数y ＝x 2﹣3x +2的图象上，则2m 2﹣6m +2029的值为 ____．【变式训练】1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．2．（2022·全国·九年级课时练习）点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________考点五 列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x ，第一季度的总产值为y （亿元），则y 关于x 的函数解析式为________________．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x 元，则可卖出()35010x -件，那么卖出商品所赚钱y 元与售价x 元之间的函数关系为________．2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <£的函数关系是______．一、选择题1．（2021·湖南湘西·九年级期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ．y ＝3x +1B ．y ＝ax 2+bx +cC ．s ＝2t 2﹣2t ﹣1D ．y ＝x 2+1x2．（2020·浙江杭州·九年级阶段练习）二次函数y ＝x （1﹣x ）﹣2的一次项系数是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣23．（2021·安徽·休宁县洪里初级中学九年级期中）若y ＝（m －2）22m x -＋5x －3是二次函数，则常数m 的值为（ ）．A ．－2B ．2C ．±2D ．不能确定4．（2022·全国·九年级课时练习）已知|1|(1)2m y m x m -=++是y 关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．05．（2022·全国·九年级课时练习）在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为()02x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为（ ）A ．22y x x =+B ．24y x =-C ．24y x =-D ．42y x=-6．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数：①y ＝2x ﹣1；②y ＝﹣2x 2﹣1；③y ＝3x 3﹣2x 2；④y =2（x +3）2-2x 2；⑤y ＝ax 2+bx +c ，其中二次函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数2231y x x =--的二次项系数与常数项的和是__________．8．（2021·全国·九年级课时练习）把y ＝(3x -2)(x ＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为________．9．（2019·陕西·西安高新一中实验中学九年级期末）若函数27(3)1m y m x x -=--+是二次函数，则m 的值为_________．10．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心九年级期中）若函数y ＝（m －2）x |m |＋2x ＋1是关于x 的二次函数，则m 的值为________．11．（2021·上海市罗星中学九年级期中）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加()0x x >厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为____．12．（2021·全国·九年级课时练习）观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400200y x x =++；④22y x x =-；⑤21132y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）三、解答题13．（2021·内蒙古·奈曼旗新镇中学九年级阶段练习）已知函数()273m y m x -=+.（1）当m 为何值时，此函数是正比例函数？（2）当m 为何值时，此函数是二次函数？14．（2021·江苏·九年级专题练习）已知y 关于 x 的函数y =（m 2+2m ）x 2+mx +m +1.（1）当m 为何值时，此函数是一次函数？ （2）当m 为何值时，此函数是二次函数？15．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数()()2211y m m x m x m =-+-++．（1）当m 为何值时，这个函数是关于x 的一次函数；（2）当m 为何值时，这个函数是关于x 的二次函数．16．（2022·重庆市巴川中学校八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝30cm ，∠A ＝60°，动点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接EF ．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？。
(完整word版)中考数学二次函数压轴题(含)
中考数学冲刺复习资料: 二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点 A （﹣ 1， 0）、 B（ 3， 0）、 C（ 0， 3）三点．（ 1）求抛物线的剖析式．（ 2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B， C 重合），过 M 作 MN ∥ y 轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用 m 的代数式表示MN 的长．（ 3）在（ 2）的条件下，连结NB 、 NC ，能否存在m，使△ BNC 的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明原因．解答：解：（ 1）设抛物线的剖析式为：y=a（ x+1）（ x﹣ 3），则：a（ 0+1 ）（ 0﹣ 3） =3，a=﹣ 1；∴抛物线的剖析式：y=﹣（ x+1）（ x﹣ 3） =﹣ x2+2x+3 ．（2）设直线 BC 的剖析式为： y=kx+b，则有：，解得；故直线 BC 的剖析式： y=﹣ x+3 ．已知点 M 的横坐标为m， MN ∥ y，则 M （m，﹣ m+3）、 N（ m，﹣ m2+2m+3）；∴故 MN =﹣m2+2m+3﹣（﹣ m+3） =﹣ m2+3 m（ 0＜ m＜ 3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC +S△MNB =MN（ OD+DB） =MN?OB，∴S△BNC=（﹣ m2+3 m） ?3=﹣（ m﹣）2+（ 0＜m＜ 3）；∴当 m=时，△ BNC 的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（ 4， 0）．（1）求抛物线的剖析式；（2）试一试究△ ABC 的外接圆的圆心地点，并求出圆心坐标；（ 3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．解答：解：（ 1）将 B（ 4，0）代入抛物线的剖析式中，得：0=16a﹣×4﹣ 2，即： a=；∴抛物线的剖析式为：y=x2﹣ x﹣ 2．（2）由（ 1）的函数剖析式可求得：A（﹣ 1， 0）、 C（ 0，﹣ 2）；∴OA=1， OC=2，OB=4，即： OC2=OA?OB，又： OC⊥ AB，∴△ OAC∽△ OCB ，得：∠ OCA=∠ OBC；∴∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=∠ OBC+∠ OCB=90°，∴△ ABC 为直角三角形，AB 为△ ABC 外接圆的直径；因此该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为：（， 0）．（3）已求得： B（ 4， 0）、 C（ 0，﹣ 2），可得直线BC 的剖析式为： y=x﹣ 2；设直线 l∥ BC，则该直线的剖析式可表示为：y=x+b，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣ 2，即：x2﹣ 2x﹣ 2﹣b=0，且△ =0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线 l： y=x﹣ 4．因此点 M 即直线 l 和抛物线的独一交点，有：，解得：即 M（ 2，﹣ 3）．过 M 点作 MN⊥ x 轴于 N，S△BMC =S 梯形OCMN +S△MNB﹣S△OCB=×2×（ 2+3 ）+×2×3﹣×2×4=4 ．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 +mx +n 经过点 A（ 3， 0）、 B （ 0，﹣ 3），点 P 是直线 AB 上的动点，过点P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点 P 的横坐标为t．（1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的剖析式．（2）若点 P 在第四象限，连结 AM 、 BM ，当线段 PM 最长时，求△ ABM 的面积．（3）能否存在这样的点 P，使得以点 P、M 、B、O 为极点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明原因．（1）分别利用待定系数法求两函数的剖析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，获得对于m、 n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（ t， t﹣ 3），则 M（ t ，t2﹣ 2t﹣ 3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标获得 PM 的长，即 PM=（ t﹣ 3）﹣（ t2﹣ 2t﹣ 3）=﹣ t2 +3t，此后依据二次函数的最值获得当 t=﹣=时， PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM =S△BPM +S△APM计算即可；（3）由 PM∥ OB，依据平行四边形的判断获适合PM =OB 时，点 P、 M、B、O 为极点的四边形为平行四边形，此后谈论：当P 在第四象限： PM=OB=3， PM 最长时只有，因此不能够能；当 P 在第一象限： PM=OB=3 ，（ t2﹣ 2t﹣3）﹣（ t﹣ 3）=3；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t2﹣ 3t=3，分别解一元二次方程即可获得知足条件的t 的值．解答：解：（ 1）把 A（ 3，0） B（0，﹣ 3）代入 y=x2+mx+n，得解得，因此抛物线的剖析式是y=x2﹣2x﹣ 3．设直线 AB 的剖析式是y=kx+b，把 A（ 3，0） B（0，﹣ 3）代入 y=kx+b，得，解得，因此直线 AB 的剖析式是y=x﹣ 3；（2）设点 P 的坐标是（ t， t﹣ 3），则 M（ t ，t2﹣ 2t﹣ 3），由于 p 在第四象限，因此 PM =（ t﹣ 3）﹣（ t2﹣ 2t﹣ 3） =﹣t 2+3t，当 t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为= ，则 S△ABM=S△BPM +S△APM==．（3）存在，原因以下：∵PM ∥ OB，∴当 PM =OB 时，点 P、 M、 B、O 为极点的四边形为平行四边形，①当 P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最长时只有，因此不能够能有PM =3．②当 P 在第一象限： PM =OB=3 ，（ t2﹣ 2t﹣ 3）﹣（ t﹣ 3）=3，解得 t1=，t2=（舍去），因此 P 点的横坐标是；③当 P 在第三象限： PM=OB=3，t2﹣ 3t=3，解得 t1=（舍去），t2=，因此P 点的横坐标是．因此 P 点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中搁置向来角三角板，其极点为A（ 0， 1）， B（ 2，0）， O（ 0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，获得△ A ′B′O．（ 1）一抛物线经过点A′、B ′、 B ，求该抛物线的剖析式；（ 2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，能否存在点P，使四边形PB′A′B 的面积是△ A′B′O 面积 4 倍？若存在，恳求出P 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A′B 是哪一种形状的四边形？并写出四边形P B′A ′B 的两条性质．解：（ 1）△ A′B′O 是由△ ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°获得的，又 A（ 0，1）， B（2， 0），O（0， 0），∴A′（﹣ 1， 0）， B′（ 0， 2）．方法一：设抛物线的剖析式为：y=ax2+bx+c（ a≠0），∵抛物线经过点A′、 B′、B，∴，解得：，∴知足条件的抛物线的剖析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵ A′（﹣ 1， 0）， B′（ 0， 2）， B（2， 0），设抛物线的剖析式为：y=a（ x+1）（ x﹣ 2）将B′（ 0， 2）代入得出： 2=a（0+1 ）（ 0﹣2），解得： a=﹣1，故知足条件的抛物线的剖析式为y=﹣（ x+1）（ x﹣ 2）=﹣ x2+x+2；（2）∵ P 为第一象限内抛物线上的一动点，连结 PB， PO， PB′，∴S 四边形△△△PB′A′B=S B′OA′+S PB′O+S POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣ x2+x+2 ） +1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1， B′O=2，∴△ A′B′O 面积为：×1×2=1，假定四边形 PB ′A′B 的面积是△ A′B′O 面积的 4 倍，则4=﹣ x2+2x+3 ，即 x2﹣2x+1=0 ，解得： x1=x2=1，此时 y=﹣ 12+1+2=2 ，即 P（ 1， 2）．∴存在点 P（ 1， 2），使四边形 PB′A′B 的面积是△ A′B′O 面积的 4 倍．（3）四边形 PB′A′B 为等腰梯形，答案不独一，下边性质中的随意 2 个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）或用符号表示：①∠ B′A′B=∠ PBA′或∠ A′B′P=∠ BPB′；② PA′=B′B；③ B′P∥ A′B；④ B′A′=PB．5．如图，抛物线y=x2﹣ 2x+c 的极点 A 在直线 l： y=x﹣ 5 上．（1）求抛物线极点 A 的坐标；（2）设抛物线与 y 轴交于点 B ，与 x 轴交于点 C、 D（C 点在 D 点的左边），试判断△ ABD 的形状；（ 3）在直线l 上能否存在一点P，使以点 P、 A、 B、 D为极点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵极点 A 的横坐标为x=﹣=1，且极点 A 在 y=x﹣ 5 上，∴当 x=1 时， y=1﹣ 5=﹣4，∴A（ 1，﹣ 4）．（2）△ ABD 是直角三角形．将A（ 1，﹣ 4）代入 y=x2﹣ 2x+c，可得， 1﹣2+ c=﹣ 4，∴c=﹣ 3，∴ y=x2﹣2x﹣ 3，∴ B（ 0，﹣ 3）当 y=0 时， x2﹣2x﹣ 3=0 ，x1=﹣1， x2=3∴C（﹣ 1， 0），D （ 3， 0），BD 2=OB2+OD 2=18， AB 2=（4﹣ 3）2+12=2 ，AD 2=（3﹣ 1）2+42=20 ，BD 2+AB2=AD 2，∴∠ ABD =90°，即△ ABD 是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣ 5 交 y 轴于点 E（ 0，﹣ 5），交 x 轴于点 F （ 5，0）∴OE=OF=5，又∵ OB=OD=3∴△ OEF 与△ OBD 都是等腰直角三角形∴BD ∥ l，即 PA∥ BD则组成平行四边形只好是PADB 或 PABD ，如图，过点 P 作 y 轴的垂线，过点 A 作 x 轴的垂线交过P 且平行于x 轴的直线于点G．设P（ x1， x1﹣ 5），则 G（ 1， x1﹣ 5）则 PG=|1﹣ x1|， AG=|5﹣ x1﹣ 4|=|1﹣x1 |PA=BD =3由勾股定理得：（1﹣ x1）2+（ 1﹣x1）2=18， x12﹣2x1﹣ 8=0 ， x1=﹣ 2 或 4∴P（﹣ 2，﹣ 7）或 P（ 4，﹣ 1），存在点 P（﹣ 2，﹣ 7）或 P（ 4，﹣ 1）使以点A、 B、 D、 P 为极点的四边形是平行四边形．周长类6．如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点， A、 B 两点的坐标分别为（﹣3， 0）、（ 0， 4），抛物线y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线x=上．（ 1）求抛物线对应的函数关系式；（ 2）若把△ ABO 沿 x 轴向右平移获得△DCE ，点 A、B 、O 的对应点分别是D、 C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 能否在该抛物线上，并说明原因；（ 3）在（ 2）的条件下，连结BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△ PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；（4）在（ 2）、（ 3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合），过点 M 作∥ BD 交 x 轴于点 N，连结 PM 、PN，设 OM 的长为 t，△ PMN 的面积为 S，求 S和t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围， S 能否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明原因．解：（ 1）∵抛物线 y=经过点 B（ 0， 4）∴ c=4 ，∵极点在直线 x=上，∴﹣=﹣=，∴ b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在 Rt△ABO 中， OA=3， OB=4，∴ AB =，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ BC =CD =DA=AB=5，∴C、D 两点的坐标分别是（5， 4）、（ 2， 0），当 x=5 时， y=，当 x=2 时， y=，∴点 C 和点 D 都在所求抛物线上；（3）设 CD 与对称轴交于点P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当 x=时， y=，∴ P（），（4）∵ MN ∥ BD ，∴△ OMN ∽△ OBD ，∴即得 ON=，设对称轴交 x 于点 F，则（ PF+OM ）?OF =（ +t）×，∵， S PNF =×NF?PF=×（﹣ t）×=，△S=（﹣）， =﹣（ 0＜ t＜ 4），a=﹣＜ 0∴抛物线张口向下，S 存在最大值．由 S△PMN=﹣ t2+t=﹣（ t﹣）2+，∴当 t=时， S 取最大值是，此时，点 M 的坐标为（ 0，）．等腰三角形类7．如图，点 A 在 x 轴上， OA=4 ，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转120 °至 OB 的地点．（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 A 、 O、 B 的抛物线的剖析式；（3）在此抛物线的对称轴上，能否存在点P，使得以点P、O、B 为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明原因．解：（ 1）如图，过 B 点作 BC ⊥x 轴，垂足为C，则∠ BCO=90°，∵∠ AOB=120°，∴∠ BOC=60°，又∵ OA=OB=4 ，∴ OC=OB=×4=2， BC=OB?sin60°=4× =2，∴点 B 的坐标为（﹣ 2，﹣ 2）；（2）∵抛物线过原点O 和点 A、B，∴可设抛物线剖析式为y=ax2+bx，将 A（ 4，0）， B（﹣ 2．﹣ 2）代入，得，解得，∴此抛物线的剖析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（ 2，y），①若OB=OP，则22+|y|2 =42，解得 y=±2 ，当 y=2时，在Rt△POD中，∠ PDO=90°，sin∠POD ==，∴∠ POD=60°，∴∠ POB=∠ POD +∠AOB=60°+120°=180°，即 P、 O、 B 三点在同向来线上，∴y=2 不吻合题意，舍去，∴点 P 的坐标为（ 2，﹣ 2）②若 OB=PB，则 42+|y+2|2=42，解得 y=﹣ 2，故点 P 的坐标为（ 2，﹣ 2），③若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=﹣ 2，故点 P 的坐标为（ 2，﹣ 2），综上所述，吻合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣ 2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（ 0， 2），点 C（﹣ 1， 0），以以以下图：抛物线y=ax2+ax﹣ 2 经过点 B．（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的剖析式；（3）在抛物线上能否还存在点P（点 B 除外），使△ ACP 仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求全部点P 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）过点 B 作 BD⊥ x 轴，垂足为D，∵∠ BCD +∠ACO=90°，∠ ACO+∠ CAO=90°，∴∠ BCD =∠CAO，（1 分）又∵∠ BDC=∠ COA=90°， CB=AC，∴△ BCD ≌△ CAO ，（ 2 分）∴BD =OC=1， CD=OA=2 ，（ 3 分）∴点 B 的坐标为（﹣ 3， 1）；（ 4 分）（2）抛物线 y=ax2+ax﹣ 2 经过点 B（﹣ 3， 1），则获得 1=9a﹣ 3a﹣ 2，（ 5 分）解得 a=，因此抛物线的剖析式为 y=x2+x﹣ 2；（7 分）（3）假定存在点 P，使得△ ACP 仍旧是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点 C 为直角极点；则延伸 BC 至点 P1，使得 P1C=BC，获得等腰直角三角形△ACP1，（ 8 分）过点 P1作 P1M⊥ x 轴，∵CP 1=BC，∠ MCP 1=∠BCD ，∠ P1MC =∠ BDC=90 °，∴△ MP1C≌△ DBC ．（ 10 分）∴CM =CD=2， P1M=BD =1，可求得点P1（1，﹣ 1）；（ 11 分）②若以点 A 为直角极点；则过点 A 作 AP2⊥CA，且使得AP2=AC，获得等腰直角三角形△ACP2，（ 12 分）过点 P2作 P2N⊥ y 轴，同理可证△AP 2N≌△ CAO ，（ 13 分）∴NP 2=OA=2， AN=OC=1，可求得点P2（ 2， 1），（ 14 分）经查验，点P1（ 1，﹣ 1）与点 P2（ 2， 1）都在抛物线y=x2+x﹣ 2 上．（ 16 分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A （ 0，2），点 C（ 1， 0），以以以下图，抛物线y=ax2﹣ ax﹣ 2 经过点 B．（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的剖析式；（3）在抛物线上能否还存在点P（点 B 除外），使△ ACP 仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求全部点P 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）过点 B 作 BD⊥ x 轴，垂足为D，∵∠ BCD +∠ACO=90°，∠ AC0+∠ OAC=90°，∴∠ BCD =∠CAO，又∵∠ BDC=∠ COA=90°， CB=AC，∴△ BDC ≌△ COA ，∴BD =OC=1， CD=OA=2 ，∴点 B 的坐标为（ 3， 1）；（2）∵抛物线 y=ax2﹣ ax﹣2 过点 B（ 3， 1），∴1=9a﹣ 3a﹣ 2，解得： a=，∴抛物线的剖析式为 y=x2﹣ x﹣ 2；（3）假定存在点 P，使得△ ACP 是等腰直角三角形，①若以 AC 为直角边，点 C 为直角极点，则延伸 BC 至点 P1使得 P1C=BC，获得等腰直角三角形ACP1，过点 P1作 P1M⊥ x 轴，如图（1），∵CP 1=BC，∠ MCP 1=∠BCD ，∠ P1MC =∠ BDC=90 °，∴△ MP1C≌△ DBC ，∴CM =CD=2， P1M=BD =1，∴P1（﹣ 1，﹣ 1），经查验点P1在抛物线y=x2﹣ x﹣ 2 上；②若以 AC 为直角边，点 A 为直角极点，则过点 A 作 AP2⊥ CA，且使得AP 2=AC，获得等腰直角三角形ACP2，过点 P2作 P2N⊥ y 轴，如图（ 2），同理可证△ AP2N≌△ CAO，∴NP 2=OA=2， AN=OC=1，∴P2（﹣ 2， 1），经查验P2（﹣ 2， 1）也在抛物线y=x2﹣ x﹣ 2 上；③若以 AC 为直角边，点 A 为直角极点，则过点 A 作 AP3⊥ CA，且使得 AP 3=AC，获得等腰直角三角形ACP3，过点 P3作 P3H⊥ y 轴，如图（ 3），同理可证△ AP3H≌△ CAO，∴HP 3=OA =2， AH=OC=1，∴P3（ 2， 3），经查验 P3（ 2， 3）不在抛物线y=x2﹣ x﹣2 上；。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
精选中考二次函数压轴题(含答案)
精选中考二次函数压轴题（含答案）1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=AC 与直线x =4(第2(图1) (图交于点E ．（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．5．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2134x x -++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴交于点F 。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
二次函数压轴题基本方法和结构
二次函数压轴基本结构和解题方法一、线1、线段与距离 （1）改“斜”归正已知：A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),直线AB ：y =kx +b ，AB ⊥BC 水平线段：AC =|x 1−x 2| 铅垂线段：AC =|y 1−y 2|斜线段： AB =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√k 2+1|x 1−x 2|（2）点到直线距离公式：d =PH =|km +b −n|√k 2+1（3）于涵定理 一般位置：条件：直线AB 交抛物线（二次项系数为a ）于AB 两点，铅垂线PQ 交抛物线于P ，交直线AB 于P ，AE ⊥PQ ，BF ⊥PQ 结论：①PQ =|a|∙AE ∙BF ；S △PAB =12PQ ∙(AE +BF )=12|a |∙AE ∙BF ∙(AE +BF )=12|a (x A −x P )(x P −x B )(x A −x B )|特殊位置① 若AB 为水平直线： PQ =|a|∙AQ ∙BQ ② 若AB 为水平直线，且AP ⊥BP ： PQ =1|a|（PQ =|a|∙AQ ∙BQ ，且PQ 2=AQ ∙BQ ）③ 若AB 为水平直线，且P 为抛物线顶点（类似于圆中的垂径结构）AB =√4PQ|a|④ 若AB 为x 轴，且P 为抛物线顶点:AB =√∆|a|（4）焦点准线焦点准线的定义：将抛物线的顶点向上/下平移14|a|个单位，就得到焦点和准线的位置。
焦点：F(−b2a ,14a)；准线：直线y=−14a条件：点P是抛物线上任意一点，过P点的直线（非铅垂线）与抛物线有位移公共点（“切线”），与对称轴交于S，与过顶点的水平线交于A，PM⊥准线于M；PQ过焦点F，过P、Q 的切线交于T结论：①PF=PM,DE=DF②PF=FS③FA⊥PS,PA=SA④当直线PQ绕焦点F转动时候，T点在准线上移动（阿基米德三角形特殊情况）⑤TP⊥TQ,TM=TN⑥以MN为直径的圆切PQ于F，以PQ为直径的圆切MN于T准线2、平行“弦”条件：AB//CD//l P结论：x A+x B=x C+x D=2x P变式一：若CE和DF为铅垂线，则AE=BF变式二：若将抛物线向下平移交直线AB于E、F，则AE=BF变式三：将抛物线沿着PQ方向平移，若AB//PQ，则AB=EF，AE=BF3、线段相等和比值（1）左右对称（纵向角平分线）特殊情况：条件：P为抛物线（顶点为M）对称轴上一点，过P点的直线PA交抛物线于C，过C作水平直线BC交抛物线于B点，连接AB交对称轴于Q，连接PB交抛物线于D；结论：①k PA+k PB=0；②PM=QM一般情况：条件：过抛物线内一点T作铅垂、水平直线，交抛物线于M、B、C，在铅垂线上取一点P，连接PC交抛物线于A，连接AB交铅垂线于Q结论：TBTC =QMPM（2）上下对称条件：水平直线与抛物线交于P、Q两点，直线PA、PB分别交抛物线于A、B，且∠APQ=∠BPQ，连接AB,过Q点的直线作抛物线的切线。
二次函数的图象信息题压轴题五种模型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(浙教版)解析版
二次函数中线段最值的三种考法类型一、单线段转化为二次函数最值问题例．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()3,0-，与y 轴交于点C ，点()2,3D −−在抛物线上；(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PAD 周长最小，若存在，求出P 点的坐标及PAD 周长的最小值；(3)若点M 是直线AC 下方的抛物线上的一动点，过M 作y 轴的平行线与线段AC 交于点N ，求线段MN 的最大值．【答案】(1)223y x x =+−(2)()1,2P −−(3)94【分析】（1）将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接PD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求点，求出直线BD 的表达式，进一步即可求解；（3）先求出直线AC 解析式，设N 横坐标为x ，用含x 的代数式表示线段MN ，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：将点()3,0A -、()2,3D −−代入抛物线表达式得：093342b cb c =−+⎧⎨−=−+⎩， 解得：23b c =⎧⎨=−⎩，抛物线的表达式为：223y x x =+−；（2）223y x x =+−，令0y =，则2023x x =+−,解得3x =−或1x =，令0x =，则=3y −， 故点B 、C 的坐标分别为：()1,0、()0,3−；函数的对称轴为直线1312x −==−，点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求点， 设直线BD 的表达式为y kx m =+，将点D 、B 的坐标代入一次函数表达式y kx m =+得：023k m k m =+⎧⎨−+=−⎩，解得：11k m =⎧⎨=−⎩， 故BD 的函数表达式为1y x =−， 当=1x −时，112y =−−=−，即点()1,2P −−，此时PAD周长的最小值PA PD AD BD AD =++=+=； （3）如图，设直线AC 的解析式是y nx p =+，把点()3,0A -，()0,3C −代入y nx p =+中033n p p =−+⎧⎨−=⎩，解得13n p =−⎧⎨=−⎩， ∴直线AC 解析式为3y x =−−． 设N 横坐标为x ，则3N y x =−−，223M y x x =+−，∴()222393233()24MN x x x x x x =−−−+−=−−=−++， ∵10−<，∴抛物线开口向下， ∴当32x =−时，MN 的最大值为94．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线和直线的待定系数法求解析式，轴对称-最短问题，二次函数的最值等，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式．【变式训练1】如图，已知抛物线1F ：25y x =−+，抛物线2F 与1F 关于点()10，中心对称，1F 与2F 相交于A ，B 两点，点M 在抛物线1F 上，且位于点A 和点B 之间；点N 在抛物线2F 上，也位于点A 和点B 之间，且MN x ⊥轴．(1)求抛物线2F 的表达式； (2)求线段MN 长度的最大值．【答案】(1)2(2)5y x =−−；(2)8【分析】（1）先求出抛物线1F ：25y x =−+的顶点坐标为()05，，然后求出点()05，关于()10，对称后的点坐标为()25−，，再抛物线2F 的解析式为：2(2)5y x =−−； （2）先求出A 、B 两点横坐标分别为1−和3，设2(,5)M a a −+，2,(2)5N a a ⎡⎤−−⎣⎦其中13a −<<，则MN =()2218a −−+，求出最大值即可．【详解】（1）解：抛物线1F ：25y x =−+的顶点坐标为()05，，点()05，关于()10，对称后的点坐标为()25−，，∵抛物线2F 与抛物线1F 关于()10，成中心对称，∴抛物线2F 的解析式为：2(2)5y x =−−．（2）解：∵抛物线1F ：25y x =−+与2F ：2(2)5y x =−−交于A 、B ，∴令()22525x x −+=−−，解得：=1x −或3x =，则A 、B 两点横坐标分别为1−和3，设2(,5)M a a −+，2,(2)5N a a ⎡⎤−−⎣⎦，其中13a −<<， 则2225[(2)5]246MN a a a a =−+−−−=−++22(1)8a =−−+，∴当1a =时，MN 最大为8．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，过点的最大值；(3)当PQ 取最大值时，求△【答案】(1)2242y x x =−++；(2)1；(3)2【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B 的坐标 ，再利用待定系数法求解即可；（2）设211242P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，，则122Q m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，，则()21214PQ m =−−+，由二次函数的性质求解即可； （3）根据1PQ =，APC OPC OPAS S S =+△△△进行求解即可．【详解】（1）解：在122y x =−+中，令0x =，则2y =，令0y =，则4x =，∴()()4002A C ，，，，∵抛物线2y ax bx c =++关于直线1x =对称，且经过x 轴上的两点A 、B 与y 轴交于点C ， ∴()20B −，，∴可设抛物线解析式为()()24y a x x =+−，把()02C ，代入()()24y a x x =+−中得()()20204a =+−，∴14a =−，∴抛物线解析式为()()2111242442y x x x x =−+−=−++；（2）解：设211242P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，，则122Q m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，， ∴211122422PQ m m m ⎛⎫=−++−−+ ⎪⎝⎭ 211122422m m m =−+++−214m m =−+()21214m =−−+， ∵104−<，∴当2m =时，PQ 最大，最大值为1；（3）解：由（2）得当PQ 最大时，1PQ =， ∴APC OPCOPA S S S =+△△△ ()12A C OP x x =⋅−1142=⨯⨯2=．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等；灵活运用所学知识是解题的关键．类型二、将军饮马型最值问题(1)求抛物线与直线BD 的解析式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，当(3)在（2）的条件下，当BPC △有一动点N ，且MN BD ⊥，求【答案】(1)抛物线的解析式为212133y x x =−++，直线BD 的解析式为13y x =−；(2)点P 的坐标为(32，54)；(3)PM MN +的最小值为；【分析】（1）抛物线213y x bx c=−++与x 轴交于(1A −，0)、(3B ，0)两点，由两点式即可得到抛物线的解析式，求得点D 的坐标，利用待定系数法即可求得直线BD 的解析式； （2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交直线BD 于点E ，求得直线BD 的解析式为y =13−1x +，设点P 的坐标为(m ，212133m m −++)，则点E 的坐标为(m ，13−1)m +，求得PE 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；（3）作点P 关于直线1x =的对称点P '，求得点P '的坐标为(12，54)，过点P '作直线BD 的垂线P N '，垂足为N ，交直线1x =于点M ，则PM MN +的最小值为P N '的长，证明RtP GN 'Rt BDO ∽，利用相似三角形的性质即可求解；【详解】（1）解：抛物线213y x bx c=−++与x 轴交于(1A −，0)、(3B ，0)两点，∴抛物线的解析式为2112(1)(3)1333y x x x x =−+−=−++，令0x =，则1y =， ∴点(0C ，1)，点D 是点C 关于x 轴的对称点， ∴点(0D ，1)−，设直线BD 的解析式为1y kx =−，031k ∴=−，k ∴=13，∴直线BD 的解析式为y =131x −；（2）解：过点P 作PE x ⊥轴于点F ，交直线BD 于点E ，BPC 的面积=12PE OB ⨯=32PE ，当PE 取得最大值时，BPC 的面积有最大值， 同理求得直线BD 的解析式为y =13−1x +，设点P 的坐标为(m ，212133m m −++)，则点E 的坐标为(m ，13−1)m +， PE ∴=22212113311()33321334m m m m m m −+++−=−+=−−+， 13−0<，∴当m =32时，PE 有最大值，BPC 的面积有最大值， 此时点P 的坐标为(32，54)；（3）解：抛物线1(1)(3)3y x x =−+−的对称轴为直线x =312−1=，作点P 关于直线1x =的对称点P '， 点P 的坐标为(32，54)， ∴点P '的坐标为(12，54)，过点P '作直线BD 的垂线P N '，垂足为N ，交直线1x =于点M ，此时PM MN +=P M 'MN +，根据垂线段最短知PM MN +的最小值为P N '的长， 过点P '作P G '∥y 轴交直线BD 于点G ，则点G 的坐标为(12，56−)， ∴P G '=54(−56−25)12=， (3B ，0)，(0D ，1)−，3OB ∴=，1OD =，BD ∴=P G '∥y 轴，∴∠P GN 'ODB =∠，Rt ∴P GN 'Rt BDO ∽，∴P G P N BD OB ''=253P N'=， ∴P N '=，PM MN ∴+的最小值为．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握所学知识并能够灵活运用是解题的关键．证明：ABC 为直角三角形；求抛物线的顶点【答案】(1)()4,0B ，()0,2C −，2222y x x =−−(2)证明见解析(3)325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭，354 (4)35,24⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】（1）先由直线122y x =−与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C 求得B ，C 的坐标，再将其代入232y ax x c=−+列方程组求出a 、c 的值，即可求解；（2）先求得A 的坐标，根据勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形； （3）连接OD ，根据AOC DOC BODACDB S S S S =++△△△四边形进行求解即可；（4）因为AC 的长为定值，所以当PA PC +的值最小时，则ACP △的周长最小，当点P 与点E 重合时，PA PC +的值最小，求出点E 的坐标即可． 【详解】（1）解：在直线122y x =−中，当0y =时，4x =，当0x =时，=2y −，∴()4,0B ，()0,2C −，∵抛物线232y ax x c =−+经过点()4,0B 和点()0,2C −，∴16602a c c −+=⎧⎨=−⎩，解得122a c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =−−．（2）证明：在213222y x x =−−中，当0y =时，则2132022x x −−=，解得11x =−，24x =，∴()10A −，．∵()40B ，，()02C −，，∴1OA =，4OB =，2OC =，∴5AB =，即225AB =．∵90AOC BOC ∠=∠=︒，∴22222125AC OA OC =+=+=，222224220BC OB OC =+=+=， ∴2225AC BC +=，∴222AC BC AB +=，∴ABC 是直角三角形；（3）解：∵抛物线解析式为22131325222228y x x x ⎛⎫=−−=−−⎪⎝⎭， ∴抛物线的顶点D 的坐标是325,28⎛⎫− ⎪⎝⎭； 如图1，连接OD ，∴113125352124222284AOC DOC BOD ACDB S S S S =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=△△△四边形， ∴四边形ACDB 的面积是354．（4）解：∵抛物线解析式为22131325222228y x x x ⎛⎫=−−=−−⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴为32x =．如图，设抛物线的对称轴DE ：32x =与直线BC 交于点E ，点P 是直线32x =上的点，连接PB AE ，．∵DE 垂直平分AB ， ∴AE BE =，PA PB =，∴PA PC PB PC +=+． ∵AC 为定值，∴当PA PC +的值最小时，ACP △的周长最小． ∵PB PC BC +≥，∴当点P 与点E 重合时，PA PC PB PC EA EC EB EC BC +=+=+=+=， ∴此时PA PC +最小． ∵直线122y x =−，当32x =时，1352224y =⨯−=−， ∴3524E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，， ∴当ACP △的周长最小时，点P 的坐标为3254⎛−⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【答案】(1)245y x x =−++ (2)1258(3)D 的坐标为()0,1−或100,3⎛⎫− ⎪⎝⎭ (4)11017M ,⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,5N æö÷ç÷ç÷çèø【分析】（1）把()1,0A −，()5,0B 分别代入25y ax bx =++，利用待定系数法求解；（2）过点P 作PH OB ⊥交BC 于点H ，根据12PBCSOB PH =⋅得到PBCS关于点P 的横坐标的二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可；（3）由45OBC OCB ∠=∠=︒可知：要使BCD △与ABC 相似，则有AB BC BC CD =或AB CDBC BC =，分别求解即可；（4）作点E 关于y 轴的对称点E '，作点()3,F a 关于x 轴的对称点F '，由轴对称的性质可得四边形EFMN 的周长MN NE MF EF MN NE MF EF ''=+++=+++，可知当E '，F '，M ，N 在一条直线上时，四边形EFMN 的周长取最小值，直线E F ''与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N ，由此可解． 【详解】（1）解：把()1,0A −，()5,0B 分别代入25y ax bx =++得：0=502555a b a b −+⎧⎨=++⎩ ，解得14a b =−⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为245y x x =−++．（2）解：如图，过点P 作PH OB ⊥交BC 于点H ，令0x =，得5y =，∴()0,5C ，∴设直线BC 的表达式为：y kx b =+， 将()0,5C ，()5,0B 代入y kx b =+，得505b k b =⎧⎨=+⎩，解得15k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为5y x =−+， 设()2,45P m m m −++，则()5H m,m −+，∴224555PH m m m m m =−+++−=−+，∴()2211551255522228PBCSOB PH m m m ⎛⎫=⋅=⨯⨯−+=−−+ ⎪⎝⎭，∴当52m =时，PBC S 取最大值，最大值为1258，即BPC △面积的最大值为1258；（3）解：如图，∵()0,5C ，()5,0B ，()1,0A −，∴5OC OB ==，()516AB =−−=，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，BC要使BCD △与ABC 相似，则有AB BC BC CD =或AB CDBC BC =，①当AB BC BC CD ==， 解得253CD =，则103OD CD OC =−=，∴100,3D ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ② 当AB CD BC BC =时，6CD AB ==，则651OD CD OC =−=−=， ∴()0,1D −，即D 的坐标为()0,1−或100,3⎛⎫− ⎪⎝⎭； （4）解：()224529y x x x =−++=−−+，∵E 为抛物线的顶点， ∴()29E ，，∵()3,F a 在抛物线上，∴234358a =−+⨯+=，∴()3,8F ，如图，作点E 关于y 轴的对称点()29E '−，，作点F 关于x 轴的对称点()3,8F '−，由轴对称的性质可知E N EN '=，F M FM '=，∴四边形EFMN 的周长MN NE MF EF MN NE MF EF ''=+++=+++， ∴当E '，F '，M ，N 在一条直线上时，四边形EFMN 的周长取最小值， 因此，直线E F ''与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N ， 设直线E F ''的解析式为：y mx n =+，将()29E '−，，()3,8F '−代入，得9283m nm n =−+⎧⎨−=+⎩，解得175115m n ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线E F ''的解析式为：171155y x =−+，当0x =时，115y =；当171155y x =−+=时，1117x =， ∴11017M ,⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,5N æö÷ç÷ç÷çèø．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用轴对称的性质找出点M 和点N 的位置．类型三、胡不归最值问题(1)直接写出点B 的坐标；(2)在对称轴上找一点P ，使PA PC +的值最小．求点P 的坐标和(3)第一象限内的抛物线上有一动点M ，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为点Q ．依题意补全图形，当2MQ CQ +的值最大时，求点M 的坐标．【答案】(1)()3,0(2)点()1,2P ，PA PC +的最小值为(3)57,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；（2）根据抛物线的对称性，得到PA PC PB PC BC +=+≥，得到当,,P B C 三点共线时，PA PC +的值最小，为BC 的长，求出直线BC 的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P 的坐标，两点间的距离公式求出BC 的长，即为PA PC +的最小值； （3）根据题意，补全图形，设()2,23M m m m −++，得到(),0N m ，(),3Q m m −+，将MQ 的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．【详解】（1）解：∵点()1,0A −关于对称轴的对称点为点B ，对称轴为直线1x =，∴点B 为()3,0；（2）当0x =时，3y =，∴()0,3C ，连接BC ，∵()3,0B ，∴BC ==∵点A 关于对称轴的对称点为点B ，∴PA PC PB PC BC +=+≥， ∴当,,P B C 三点共线时，PA PC +的值最小，为BC 的长，设直线BC 的解析式为：y kx n =+，则：330n k n =⎧⎨+=⎩，解得：31n k =⎧⎨=−⎩，∴3y x =−+， ∵点P 在抛物线的对称轴上，∴()1,2P ；∴点()1,2P ，PA PC +的最小值为（3）过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，连接BC 交MN 于点Q ，如图所示，∵()()1,0,3,0A B −，设抛物线的解析式为：()()13y a x x =+−，∵()0,3C ，∴33a =−，∴1a =−，∴()()21323y x x x x =−+−=−++，设()2,23M m m m −++，则：(),0N m ，由（2）知：直线BC ：3y x =−+，∴(),3Q m m −+，∴222333MQ m m m m m =−+++−=−+，∵()()0,3,3,0C B ，∴3OC OB ==，3BN m =−，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45NQB OBC ∠=∠=︒，∴)3BQ m =−，∴CQ BC BQ =−==，∴2225253524MQ m m m m m ⎛⎫=−++=−+=−−+⎪⎝⎭， ∴当52m =时，MQ +有最大值，此时57,24M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．【答案】(1)21462y x x =++，36y x =+(2)满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E −，2(4,2)E −，3(4,4)E −(3)当133m =时，12CD PD+的最大值为24【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①当BC 为正方形的边长时，分别过B 点C 点作12E E BC ⊥，12F F BC ⊥，使12E B E B BC ==，12CF CF BC ==，连接11E F 、22E F ，证明11(AAS)BE H CBO △≌△，得出112E H BO ==，16H B OC ==，则1(8,2)E −同理可得，2(4,2)E −；②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33E F BC⊥，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C为正方形，过点3E 作3E N y ⊥轴于点N ，过点B 作3BM E N⊥于点M ，证明33(AAS)CE N E BM △≌△，得出3E B =，在3Rt E NC △中，22233E C CN E N =+，解得2CN =或4，进而即可求解；（3）得出CON 是等腰直角三角形，HPD是等腰直角三角形，则HD DP ==，点P 在抛物线2y 上，且横坐标为m ，得出(,6)H m m −+，进而可得22132242HD DP m m m m ⎫==−+=−+⎪⎝⎭，则12CD PD +2133m ⎫=−⎪⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 代入21y ax bx c =++得36604206a b c a b c c −+=⎧⎪−+=⎨⎪=⎩ 解得1246a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ∴211462y x x =++把(2,0)B −代入6y kx =+得3k =∴36y x =+（2）满足条件的E 、F 两点存在，1(8,2)E −，2(4,2)E −，3(4,4)E −解：①当BC 为正方形的边长时，分别过B 点C 点作12E E BC ⊥，12F F BC ⊥，使12E B E B BC ==，12CF CF BC ==，连接11E F 、22E F .过点1E 作11E H x ⊥轴于1H .∵1111,90BE CB BOC E H B E BC =∠=∠=︒=∠， 又111190BE H E BH CBO ∠=︒−∠=∠， ∴11(AAS)BE H CBO △≌△，∴112E H BO ==，16H B OC ==∴1(8,2)E − 同理可得，2(4,2)E −②以BC 为正方形的对角线时，过BC 的中点G 作33E F BC⊥，使33E F 与BC 互相平分且相等，则四边形33E BF C为正方形，过点3E 作3E N y⊥轴于点N ，过点B 作3BM E N⊥于点M∵3333,90CE BE CNE E MB =∠=∠=︒，又33390BE M CE N E CN ∠=︒−∠=∠ ∴33(AAS)CE N E BM △≌△ ∴3CN E M =，3BM E N =∵BC =∴3E G BG ==∴3E B =在3Rt E NC △中，22233E C CN E N =+∴222(6)CN CN =+−解得2CN =或4当4CN =时，3(2,2)E ，此时点E 在点F 右侧故舍去； 当2CN =时，3(4,4)E −.综上所述：1(8,2)E −，2(4,2)E −，3(4,4)E − （3）∵211462y x x =++向右平移8个单位长度得到抛物线()()22184862y x x =−+−+当20y =，即()()21848602x x −+−+=，解得：122,6x x ==∴(2,0)M ，(6,0)N ∵2y 过M ，N ，C 三点 ∴221462y x x =−+在直线NC 下方的抛物线2y 上任取一点P ，作PH x ⊥轴交NC 于点H ，过点H 作HG y ⊥轴于点.G∵(6,0)N ，(0,6)C ∴ON OC =∴CON 是等腰直角三角形 ∵45CHG ∠=︒，90GHP ∠=︒ ∴45PHD ∠=︒ 又PD CN ⊥∴HPD 是等腰直角三角形∴2HD DP HP ==∵点P 在抛物线2y 上，且横坐标为m∴CG GH m ==∴CH ∵6CN y x =−+ ∴(,6)H m m −+∴2211646322HP m m m m m⎛⎫=−+−−+=−+ ⎪⎝⎭∴22132HD DP m m ⎫=−+=+⎪⎝⎭∴211332222CD PD CH HD PD CH PD ⎛⎫+=++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭2133m ⎫=−⎪⎝⎭∴当133m =时，12CD PD+的最大值为．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练2】已知抛物线2y ax bx c ++＝与x 轴交于()()1,030A B −，，两点，与y 轴交于点()0,3C −，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式与顶点D 的坐标；12BEPABESS：＝：【答案】(1)2=23y x x −−，1,4D −(2)点E 的坐标为：()1,2-或18,33⎛⎫− ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由12BEPABESS=：：，则12EP EA =：：，由PEHAEC ，得到12EP EA PH AN ==：：：，进而求解；（3）过点B 作BH AD ⊥于点H ，则sin MH MD ADN DM =∠=，则此时BM BH =为最小，进而求解．【详解】（1）∵抛物线2=y ax bx c ++与x 轴交于()()1,030A B −，，两点，∴设抛物线的解析式为()()()21323y a x x a x x =+−=−−，把点()0,3C −代入得，33a −=−，解得，1a =故抛物线的表达式为：2=23y x x −−；（2）连接BP , ∵12BEPABESS=：：，则12EP EA =：：， 过点A 作AN y ∥轴交BC 于点N ，过点P 作PH y ∥轴交BC 于点H ，则PEHAEN ，则12EP EA PH AN ==：：：， 设直线BC 的表达式为y kx b =+，把()()0,330C B −，，代入得：330b k b =−⎧⎨+=⎩，解得，13k b =⎧⎨=−⎩， ∴直线BC 的表达式为：3y x =−， 当=1x −时，34y x =−=−，4AN =， 则2PH =，设点(3)H x x −，，则点()223P x x x −−，，则()()23232PH x x x =−−−−=，解得：1x =或2， 即点4(1)P −，或(23)−，， 同理，由点A 、P 的坐标得，直线AP 的表达式为：22y x =−−或=1y x −−， 联立22y x =−−和3y x =−得：223x x −−=−，解得：13x =，则点1833E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 联立=1y x −−和3y x =−得：130++−=x x ， 解得：1x =，则点(12)E −，， 即点E 的坐标为：(1)2−，或133 ⎛ ⎝，； （3）连接BD AD 、，由点D 的坐标(1)4−，知，24AN DN ==，， 则1tan 2ADN ∠=，则sin ADN AD ∠=过点B 作BH AD ⊥于点H ，则sin MH MD ADN =∠=，则此时BM BH =为最小，则1122ABDSAB DN AD BH =⨯⨯=⨯⋅，则44BH ⨯=，则BH =，即BM +的最小值为．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏下方的一动点，当PBC 面积最大时，求点【答案】(1)解析式为43y x x =−+，顶点D 的坐标为2,1D −(2)点P 的坐标为33,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭(3)最小值为【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点C 的坐标，求解即可； （2）作PM y ∥轴，交BC 于点M ，通过设P 和M 的坐标，利用“割补法”表示出PBCS ，从而利用二次函数的性质求解最值即可；（3）将直线CQ 绕着Q 点逆时针旋转30︒，并过点C 作其垂线，垂足为N ，分别连接AQ ，QN ，CN ，构造出含30︒角的直角三角形，然后转换为求AQ NQ +得最小值，继而确定当A 、Q 、N 三点共线时，满足AQ NQ +取得最小值，此时利用含30︒角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为()()13y a x x =−−，其中0a ≠，∵3OC =，∴点C 的坐标为()03C ，，将()03C ，代入()()13y a x x =−−，解得：1a =，∴()()21343y x x x x =−−=−+，∴抛物线的解析式为243y x x =−+， ∵对称轴为直线422x -=-=，∴将2x =代入243y x x =−+，得：1y =−， ∴顶点D 的坐标为()2,1D −；（2）解：∵()30B ，，()03C ，，∴直线BC 的解析式为：3y x =−+，∵点P 在抛物线上，且位于直线BC 下方，∴设()2,43P p p p −+，其中，03p <<，如图所示，作PM y ∥轴，交BC 于点M ，∴(),3M p p −+，∴23M P PM y y p p =−=−+，∵PBCPMBPMCS S S=+，()12PMBB P SPM x x =−，()12PMCP C S PM x x =−，∴()()()111222PBCB P PC B C S PM x x PM x x PM x x =−+−=−， ∴()()2113232PBCB C Sp PM x x p −−+==⨯， 整理可得：28323272PBCSp ⎛⎫=−+⎪⎝−⎭，其中03p <<，∵302−<，∴当32p =时，PBCS 取得最大值，将32p =代入243y x x =−+，得：34y =−，∴此时点P 的坐标为33,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）解：存在最小值，理由如下：如下图所示，将直线CQ 绕着Q 点逆时针旋转30︒，并过点C 作其垂线，垂足为N ， 分别连接AQ ，QN ，CN ，则30CQN ∠=︒，90CNQ ∠=︒，∴在Rt CNQ △中，cos cos30NQ CQN CQ ∠=︒=，∴随着Q 点的运动，总有NQ =，∴AQ AQ NQ =+，要使得AQ +取得最小值，即要使得AQ NQ +取得最小值，如下图，当A 、Q 、N 三点共线时，满足AQ NQ +取得最小值，此时，90CNQ AOQ ∠=∠=︒，30CQN AQO ∠=∠=︒， ∵1OA =，∴2AQ =，OQ =∴3CQ OC OQ =−=∴(cos303NQ CQ =︒==，∴2AQ NQ =+=，∴AQ +存在最小值，最小值为．【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．课后训练(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P 是该抛物线上的动点，设点P 的横坐标为t （04t <<）． ①当1t =时，求此时四边形OCPB 的面积；②如图2，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，作PE y ⊥轴于点E ，当2PD PE =时，求t 的值； ③如图3，连接BC ，过点P 作PD BC ⊥于点D ，求线段PD 的长的最大值，并求出点P 的坐标． 【答案】(1)2222y x x =−−(2)①7②t =③，()2,3P −【分析】（1）根据抛物线与x 轴的两个交点坐标，直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）①先求出点P 的坐标，利用四边形OCPB 的面积OCPOBPS S=+，进行求解即可；②根据题意，可得此时P 点坐标为(),2t t −，代入抛物线解析式，进行求解即可；③过点P 作PE x⊥轴，交BC 于点F ，推出cos PD PF OBC =⋅∠，进而得到当PF 最大时，PD 的值最大，进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()()1,0,4,0A B −，则：抛物线的解析式为：()()1142y x x =+−，即：213222y x x =−−；（2）①∵213222y x x =−−，当1x =时，323212y −−==−，当0x =时，=2y −，∴当1t =时，P 点坐标为()1,3−，()0,2C −，∴2OC =， ∵()4,0B ，∴4OB =， 连接OP ，则：四边形OCPB 的面积OCP OBPSS=+11214322=⨯⨯+⨯⨯7=； ②∵PD x ⊥轴于点D ，PE y ⊥轴于点E ， ∴PE t =， ∵2PD PE =，∴2PD t =， ∴(),2P t t −，∴2321222t t t −−−=，解得：t =（负值已舍掉），∴t =；③设直线BC 的解析式为y kx n =+， 则：240n k n =−⎧⎨+=⎩，解得：212n k =−⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴122y x =−；∵4,2OB OC ==， ∴BC =∴cos OBC ∠=，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点F ，∵213,222P t t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴1,22F t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴()222113112222222222PF t t t t t t =−−++=−+=−−+，∵102−<， ∴当2t =时，PF 的值最大为2，此时()2,3P −，∵PD BC ⊥，PE x ⊥轴， ∴90PDF FEB ∠=∠=︒， 又DFP BFE ∠=∠， ∴DPF OBC ∠=∠， 在Rt PDF中，cos cos PD PF DPF PF OBC =⋅∠=⋅∠=，∴当PF 最大时，PD 值最大， ∵PF 的最大值为2，∴PD值最大为2=，此时()2,3P −． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．属于中考常考压轴题．(1)填空：=a _________，k =_________，t =_________；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ ⊥的最大值．【答案】(1)4−，4，3；(2)710,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)16916【分析】（1）分别把()8,0B 代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；（2）作PM x ⊥轴于点M ，根据题意可得2111,644P m m m ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭，从而得到2111644PM m m =−+，3AM m =−，再根据COA AMP ∽△△，可求出m ，即可求解；（3）作PN x ⊥轴交BC 于点N ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，则22111316624444PN m m m m m ⎛⎫=−+−−−=−+ ⎪⎝⎭，再根据PQN BOC ∽△△，可得35NQ PN =，45PQ PN =，然后根据CNE CBO ∽△△，可得54CN m =，从而得到1122CQ PQ CN NQ PQ CN PN +=++=+，在根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：∵()8,0B 在抛物线21164y ax x =+−上， ∴11648604a +⨯−=， ∴14a =−，∴抛物线解析式为2111644y x x =−+−， 当0y =时，21116044t t −+−=，∴13t =，28t =（舍），∴3t =．∵()8,0B 在直线6y kx =−上，∴860k −=， ∴34k =，∴一次函数解析式为364y x =−． 故答案为：14−，34，3；（2）如图，作PM x ⊥轴于点M ，对于2111644y x x =−+−，令x=0，则y=-6， ∴点()0,6C −，即6OC =， ∵()3,0A ， ∴3OA =，∵点P 的横坐标为m ． ∴2111,644P m m m ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭， ∴2111644PM m m =−+，3AM m =−，∵90CAP ∠=︒，∴90OAC PAM ∠+∠=︒，∵90APM PAM ∠+∠=︒，∴OAC APM ∠=∠，∵90AOC AMP ∠=∠=︒，∴COA AMP ∽△△， ∴OA OC PM MA =， ∴OA MA OC PM ⋅=⋅，即21113(3)6644m m m ⎛⎫−=⋅−+ ⎪⎝⎭， ∴13m =（舍），210m =，∴10m =，∴点710,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭． （3）如图，作PN x ⊥轴交BC 于点N ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，∵2111,644P m m m ⎛⎫−+− ⎪⎝⎭， ∴点3,64N m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴22111316624444PN m m m m m ⎛⎫=−+−−−=−+ ⎪⎝⎭，∵PN x ⊥轴，∴PN y ∥轴，∴PNQ OCB ∠=∠，∵90PQN BOC ∠=∠=︒，∴PQN BOC ∽△△， ∴PN NQ PQ BC OC OB ==， ∵8OB =，6OC =，∴10BC =， ∴35NQ PN =，45PQ PN =，∵EN y ⊥轴，∴EN x ∥轴，∴CNE CBO ∽△△， ∴CN EN BC OB =，即108CN m = ∴54CN m =， ∴1131422525CQ PQ CN NQ PQ CN PN PN CN PN +=++=++⨯=+， ∴2221511131131692244444216CQ PQ m m m m m m ⎛⎫+=−+=−+=−−+ ⎪⎝⎭，∴当132m =时，12CQ PQ +的最大值是16916．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 3．如图，在平面直角坐标系中，AOC 绕原点O 逆时针旋转90得到DOB ，其中点A 的坐标为()102CD −=，，．(1)写出C 点的坐标______，B 点的坐标______；(2)若二次函数20y ax bx c a =++≠（）经过A ，B ，C 三点，求该二次函数的解析式；(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴l 上是否存在一点P ，使得PA PC +最小？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由．【答案】(1)(0,3)−；(3,0)(2)2=23y x x −−(3)()12−，【分析】（1）根据旋转的性质结合点A 的坐标、CD 的长度，即可找出OC OB 、的值，进而即可得出点B 、C 的坐标；（2）根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（3）根据抛物线的对称性可得知：连接BC 交对称轴于点P ，点P 是所求的点．利用二次函数的性质可找出抛物线对称轴为直线1x =，根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵AOC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到DOB ，点A 的坐标为()102CD −=，，，∴1OD OA ==，∴3OC OB ==，∴点C 的坐标为(0,3)−，点B 的坐标为(3,0)．故答案为：(0,3)−；(3,0)．（2）将),,,(10)(03(0,),3A C B −−代入2y ax bx c =++，得：09303a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=−⎩，解得：123a b c =⎧⎪=−⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的解析式为2=23y x x −−．（3）由抛物线的对称性可以得出点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 交对称轴于点P ，则点P 是所求的点．∵()222314y x x x =−−=−−，∴对称轴为直线1x =，∴P 点的横坐标为1．设直线BC 的解析式为(0)y mx n m =+≠，将()()3003B C −，、，代入y mx n =+，得：303m n n +=⎧⎨=−⎩，解得：13m n =⎧⎨=−⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =−，∴当1x =时，32y x =−=−，∴点P 的坐标为()12−，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、旋转的性质以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是：（1）根据旋转的性质求出OB OC 、的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（3）利用两点之间线段最短，确定点P 的位置．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)
(2)点P在直线 下方的抛物线上，连接 交 于点 ，过点 作 轴的垂线 ，垂线 交 于点 ， 垂线 ，求证 ；当 最大时，求点P的坐标及 的最大值；
(3)在(2)的条件下，在 上是否存在点 ，使 是直角三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
(3)若直线 与线段 交于点 （不与点 ， 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点 是抛物线的对称轴与直线 的交点，点 是抛物线的顶点，求 的长；
(3) 或
13．(1)二次函数的解析式为 ；
(3)点P的坐标为 或 ．
14．(1)
(2) ，或
(3)
15．(1)抛物线的函数关系式为 ；直线 的函数关系式为 ；
(2) 面积的最大值为 ；
(3)点M的坐标为 ．
16．(1) ，
(2)
(3)最大值为4，此时
17．(1) ，
(2)
(3) 或 或
18．(1)
11．已知：抛物线 经过 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线 上方抛物线上任意一点，连接 ， 交直线 于点E，设 ，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
(3)如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．求 的周长及 的值．
12．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在 的右边），与 轴交于点 ，连接 ， ．点 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ．
二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选
二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选【例1】. 已知：如图一，抛物线c bx ax y 2++=与x 轴正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线2x y -=经过A 、C 两点，且AB=2. （1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE 平行于x 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线 段BC 于点E 、D ，同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P 运动到原点O 时，直线DE 与点P 都停止运动，连DP ，若点P 运动时间为t 秒 ；设OPED OPED s ⋅+=，当t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值。
（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）在y x 2=-中，由x=0得y=－2，∴C （0，－2）。
由 y=0得 x=2，∴A （2，0）。
∵AB=2，∴B （4，0）。
∴可设抛物线的解析式为()()y a x 2x 4=--，代入点C （0，－2）得1a 4=-。
∴抛物线的解析式为()()2113y x 2x 4x x 2442=---=-+-。
（2）由题意：CE=t ，PB=2t ，OP=4－2t 。
∵ED ∥BA ，∴△CED ∽△COB 。
∴ED CE OB CO =，即ED t42=。
∴ED=2t 。
∴()()()222t+42t ED OP 41s ===ED OP 2t 42t 4t +8t t 1+1-+=⋅⋅----。
∴当t=1时，()2t 1+1--有最大值1。
∴当t=1时，ED OPs ED OP+=⋅的值最小，最小值是1。
（3）存在。
设BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，由B （4，0），C （0，－2）得4k+b=0b=2⎧⎨-⎩，解得1k=2b=2⎧⎪⎨⎪-⎩，∴C 所在直线的解析式为1y=x 22-。
九年级二次函数压轴题解题思路专题(PDF版)
（13）轴对称 （2012 浙江丽水）在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y＝x2 在第二象限上的点，连接 OA，过点
O 作 OB⊥OA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC．
(1)如图 1，当点 A 的横坐标为 形； (2)如图 2，当点 A 的横坐标为 标； ②将抛物线 y＝x2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y＝－x2，试判断抛物线 y＝－x2 经过 平移交换后，能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理 由． 时，矩形 AOBC 是正方
二次函数压轴题解题思路 一、基本知识 1 会求解析式 2.会利用函数性质和图像 3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及 平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋 转。 二、典型例题： （一） 、求解析式 1.（2014•莱芜）过 A（1，0） 、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线 y=4﹣x 于 C、 D 两 点．抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C、D 三点． （1）求抛物线的表达式；
（4）构造等腰三角形
1 2 x +bx+c 与 y 轴交于点 C（0，-4） ，与 x 2 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式．
（2013•泰安）如图，抛物线 y= （2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于 E，连接 CP， 求△PCE 面积的最大值． （3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一 点，且△OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标．
3.（2014•兰州）如图，抛物线 y=﹣ x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物 线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（﹣1，0） ，C（0，2） ． （1）求抛物线的表达式； （3）点 E 时 线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F， 当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标．
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ，()0,2B -，点P 为x 轴上一动点．(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式； (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ，若D 恰好在抛物线上，求点D 的坐标； (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ，抛物线于点Q ，C ，连接AC ．若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似，直接写出点P 的坐标． 2．抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y ∥轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC PD 、，如图1，在点P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；①连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ，B 两点，（A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，若OB OC =，且03C （，）．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似，若存在，求出所有符合条件的M 点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图．在平面直角坐标系中．抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,2-．已知点(),0E m 是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若:1:2EF PF =，请求出m 的值；(3)是否存在这样的m ，使得BEP △与ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．5．如图，二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，CD y ⊥轴，交抛物线于另一点D ，且5CD =，P 为抛物线上一点，PE y轴，与x 轴交于E ，与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)求二次函数解析式；(2)当P 在CD 上方时，是否存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，若存在，求出CPG △与FBE 的相似比，若不存在，说明理由．(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ，当点D 落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的坐标为________．6．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知A ，B 两点坐标分别是(1,0)A ，(4,0)B -，连接,AC BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠，得到DBC ∆，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，BPQ ∆的面积记为1S ，ABQ ∆的面积记为2S ，求12S S 的值最大时点P 的坐标． 7．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知菱形OABC 的边长为5，且点(34)A ，，点E 是线段BC 的中点，过点A ，E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ，(1)求点E 的坐标；(2)连接DE ，将BDE △沿着DE 翻折痕．①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；①连接OB ，BB '，若BB D '△与BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______． 9．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ，作PQ 垂直BC 于点Q ，连接CP ，当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时，求点P 的坐标．10．如图，抛物线顶点D 在x 轴上，且经过(0,3)-和(4,3)-两点，抛物线与直线l 交于A 、B 两点．(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标；(2)如图1，若()03A ，-，且 94ABDS ＝，求直线l 解析式； (3)如图2，若90ADB ∠=︒，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．11．如图1，已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上一动点，过点P 作∥PE BC ，交x 轴于点E ，连接OP 交BC 于点F ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时，求BFPE取到最小值时点P 的坐标； (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时，过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ，是否存在点P ，使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似？若存在，来出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -，32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且2PM MQ MB =⋅，设线段OP x =，2MQ y =，求2y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；并直接写出PM APPQ BQ-的值；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x m =，x n =分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．13．已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点，A 在B 的左边，交y 轴于点C ．(1)求抛物线顶点的坐标；(2)如图1，若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 在抛物线上且在直线AE 上方，PQ AE ⊥于O ，求PQ 的最大值；(3)如图2，点(),3D a （32a <）在抛物线上，过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ，点M 在x 轴上，以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似，求点M 的坐标． 14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．15．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式； (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．16．如图①，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，3），顶点为D （4，-1），对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上，若点C 在BM 的垂直平分线上，求点M 的坐标； (3)如图①，过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ，x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴负半轴交于C ，且满足2OA OB OC ===．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，D 为y 轴负半轴上一点，过D 作直线l 垂直于直线BC ，直线l 交抛物线于E ，F 两点（点E 在点F 右侧），若3DF DE =，求D 点坐标； (3)如图3，点M 为抛物线第二象限部分上一点，点M ，N 关于y 轴对称，连接MB ，P 为线段MB 上一点（不与M 、B 重合），过P 点作直线x t =（t 为常数）交x 轴于S ，交直线NB 于Q ，求QS PS -的值（用含t 的代数式表示）．参考答案：1．(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-，或()10，．2．(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3．(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点，且坐标为：110(3M ，7)9-，()26,15M ，38(3M ，5)9-4．(1)213222y x x =--； (2)2m =；(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．5．(1)215322y x x =-++；(2)存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，CPG △与FBE 的相似比为2或25；(3)P 点横坐标55．6．(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上， (3)(2,3)-7．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -8．(1)13(2)2E ， (2)①11(4)2D ，或23(4)6D ，；①47-9．(1)2=23y x x --(2)()0,0，()6,0，8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()2324y x =--，()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析，定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．(1)A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），对称轴为直线x ＝1(2)当t ＝32时，BF PE 最小，最小值为47，此时P （32，﹣154）．(3)存在，点P 的坐标为（2，﹣3）12．(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<（），PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13．(1)（32，258）答案第3页，共3页(3)（2，0）或（-5，0）或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16．(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1)，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，17．(1)12a =-，4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或18．(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)24QS PS t -=-+。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案1．如图，已知抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，顶点为C ，点P 为线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过P 作PQ BC ∥交抛物线于点Q ，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)求CPD △面积的最大值；(3)连接CQ ，当CQ PQ ⊥时，求点Q 的坐标；(4)点P 在运动过程中，是否存在以A 、O 、D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，抛物线()2430y mx mx m =++>交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交y 轴于A 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为()3t t <-，QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E 两点之间的抛物线上一点，15S =，QMN AEM ∠=∠，且MN EM =，求点N 的坐标．4．如图，抛物线22y ax ax c =++经过()()1003B C ，，，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，连接AC ，点E 在直线AC 上方的抛物线上，连接EA EC ，，当EAC 面积最大时，求点E 坐标；(3)如图2，连接AC BC 、，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(,0),(8,0)A t B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y kx =-经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，点P 是抛物线上位于点B 、C 之间的动点．(1)求ABC ∠的度数；(2)若PBC ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)已知点(),P p n ，若点(),Q q n 在抛物线上，且p q >；①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q ；②若2PQ t =，求232022p tq t +-+的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是线段CB 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 的坐标．10．二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B -，，交y 轴于点()03C -，．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E 为抛物线的顶点，点()0T t ，为y 轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B ，E 旋转后的对应点分别记为B E ''，，当四边形BEB E ''的面积为12时，求t 的值；(3)如图2，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．点M 是直线CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ．是否存在点M 使PBC 为直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B ，，交y 轴于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点，若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使得APD △为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P 坐标．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)如图1，求b 、c 的值；(2)如图2，点P 是第一象限抛物线2y x bx c =-++上一点，直线AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ADC △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E 是直线BC 上一点，45EPD ∠=︒，ADC △的面积S 为54，求E 点坐标．13．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式；(2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A 、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；(2)若四边形BCEF 为矩形，3CE =．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q 的直线l ：94y kx m k ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK +为定值．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+经过(40)(13)A B ，，，两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若OAB 面积是PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记CPB △，BCO 的面积分别为12S S ，，判断12S S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线212y x bx c =-++（b 、c 是常数）的顶点B 坐标为()1,2-，抛物线的对称轴为直线l ，点A 为抛物线与x 轴的右交点，作直线AB ．点P 是抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ PN 、为边作矩形PQMN ．(1)b =___________，c =___________．(2)当点Q 在线段AB 上（点Q 不与A 、B 重合）时，求PQ 的长度d 与m 的函数关系式，并直接写出d 的最大值．(3)当抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标．(4)矩形PQMN 的任意两个顶点到直线AB 的距离相等时，直接写出m 的值．17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,2C ．(2)点P 是第一象限内的抛物线上一点．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点Q ，求PQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2．将地物线沿射线BC()2111110y a x b x c a =++≠，新抛物线与原抛物线交于点G ，点M 是x 轴上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、G 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．18．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+-(2)2(3)11524Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)1,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为8，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-3．(1)243y x x =++(2)23922S t t =+(3)()2N -4．(1)223y x x =--+，()14D -，(2)E 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)存在，()45M --，或5724⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2111644y x x =-+-；364y x =-(2)710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)169166．(1)45︒(2)(1,4)P(3)①见解析；②20237．(1)2712y x x =-++PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛+ ⎝⎭或215,424⎛- ⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛- ⎝⎭或299,204N ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--9．(1)2=23y x x --(2)满足PCB CBD ∠=∠，点P 的坐标为(4,5)或(2,2)-(3)M 点的坐标为(1,2)-或(2,5)--或924,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)243y x x =---(2)3t =-(3)存在，532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(23)--，或(53)--，11．(1)223y x x =-++，()23D ，(2)11024E ++⎝⎭，或1124E --+⎝⎭，(3)存在点P ，使得APD △为直角三角形，此时点P 的坐标为312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或312⎛ ⎝⎭，或()12-，或()14，12．(1)2b =，3c =(2)12S t =(3)3513,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2315344y x x =-+，527,216D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当911t =或65t =时(3)见解析15．(1)24y x x=-+(2)(24)P ，或(3,3)(3)见解析16．(1)1-，32(2)21122d m =-+()11m -<<，d 最大值为12(3)()3,0-或1--(4)3-或0或317．(1)211242y x x =-++；(2)5PQ +最大值为94，此时点5(3,4P ；(3)(1-，14-或(1-，1)4-或(1-+1)4或(1--1)4．18．(1)2246y x x =-++(2)129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。
二次函数压轴题集锦带答案(2024年中考真题)
二次函数压轴题集锦带答案(2024年中考真题)1.(24年安徽中考)已知物线2y x bx =-+(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1. (1)求b 的值；(2)点11(,)A x y 在抛物线22y x x =-+上,点11(,)B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上. (i)若3h t =,且10,0x t >,求h 的值； (ii)若 11x t =-,求h 的最大值.2.(24年包头中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线22yx bxc 与x 轴相交于()1,0A ,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为()2,M d ,连接AM ．(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,若C 是y 轴正半轴上一点,连接,AC CM ．当点C 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时,求证:ACM BAM ∠=∠;(3)如图2,连接BM ,将ABM 沿x 轴折叠,折叠后点M 落在第四象限的点M '处,过点B 的直线与线段AM '相交于点D ,与y 轴负半轴相交于点E ．当87BD DE =时,3ABD S △与2M BD S '△是否相等？请说明理由．3.(24年成都中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:230L y ax ax a a =-->与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),其顶点为C ,D 是抛物线第四象限上一点. (1)求线段AB 的长(2)当1a =时,若ACD ∆的面积与ABD ∆的面积相等,求tan ABD ∠的值:(3)延长CD =交x =轴于点E =,当AD DE =时,将ADB ∆沿DE 方向平移得到A EB ''∆.将抛物线L 平移得到抛物线L ',使得点A ',B '都落在抛物线L '上.试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.4.(24年重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-,与y 轴交于点C ,与x 轴交于A B ，两点(A 在B 的左侧),连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点,过点P 作PE x ⊥轴,垂足为E ,交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点,MN y ⊥轴,垂足为N ,点F 为线段BC 的中点,连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时,求AM MN NF ++的最小值(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移,使得新抛物线经过(2)中线段PD 长度取得最大值时的点D ,且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点,当QDK ACB ∠∠=时,直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．5.(24年浙江中考)已知二次函数2y x bx c =++(b ,c 为常数)的图象经过点(2,5)A -,对称轴为直线12x =-.(1)求二次函数的表达式(1)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度,向左平移(0)m m >个单位长度后,恰好落在2y x bx c =++的图象上,求m 的值(3)当2≤a ≤n 时,二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94,求n 的取值范围.6.(24年呼伦贝尔中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过原点和点()4,0A ．经过点A 的直线与该二次函数图象交于点()1,3B ,与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式及点C 的坐标;(2)点P 是二次函数图象上的一个动点,当点P 在直线AB 上方时,过点P 作PE x ⊥轴于点E ,与直线AB 交于点D ,设点P 的横坐标为m ． ①m 为何值时线段PD 的长度最大,并求出最大值;①是否存在点P ,使得BPD △与AOC 相似．若存在,请求出点P 坐标;若不存在,请说明理由．7.(24年广州中考)已知抛物线232:621(0)G y ax ax a a a =--++>过点()1,2A x 和点()2,2B x ,直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ,交线段AB 于点D ,记CDA 的周长为1C ,CDB △的周长为2C ,且122C C =+．(1)求抛物线G 的对称轴 (2)求m 的值(3)直线l 绕点C 以每秒3︒的速度顺时针旋转t 秒后(045)t ≤<得到直线l ',当l AB '∥时,直线l '交抛物线G 于E ,F 两点． ①求t 的值①设AEF △的面积为S ,若对于任意的0a >,均有S k ≥成立,求k 的最大值及此时抛物线G 的解析式．8.(24年绥化中考)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =-++与直线相交于A ,B 两点,其中点()3,4A ,()0,1B ．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)过点B 作BC x ∥轴交抛物线于点C ,连接AC ,在抛物线上是否存在点P 使1tan tan 6BCP ACB ∠=∠．若存在,请求出满足条件的所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由．(提示:依题意补全图形,并解答)(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到()2111110y a x b x c a =++≠,平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ,点E 为原抛物线对称轴上的一点,F 是平面直角坐标系内的一点,当以点B ,D ,E ,F 为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点F 的坐标．9.(24年上海中考)在平面直角坐标系中,已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．(1)求平移后新抛物线的表达式(2)直线x m =(0m >)与新抛物线交于点P,与原抛物线交于点Q ． ①如果PQ 小于3,求m 的取值范围①记点P 在原抛物线上的对应点为P ',如果四边形P BPQ '有一组对边平行,求点P 的坐标．10.(24年乐山中考)在平面直角坐标系xOy 中,我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =-+(a 为常数且0a >)与y 轴交于点A ．(1)若1a =,求抛物线的顶点坐标;(2)若线段OA (含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求a 的取值范围;(3)若抛物线与直线y x =交于M ,N 两点,线段MN 与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求a 的取值范围．11.(24年甘肃武威中考)如图1,抛物线()2y a x h k =-+交x 轴于O,()4,0A 两点,顶点为(2,B ．点C 为OB 的中点．(1)求抛物线2()y a x h k =-+的表达式;(2)过点C 作CH OA ⊥,垂足为H,交抛物线于点E ．求线段CE 的长．(3)点D 为线段OA 上一动点(O 点除外),在OC 右侧作平行四边形OCFD ．①如图2,当点F 落在抛物线上时,求点F 的坐标;①如图3,连接BD ,BF ,求BD BF +的最小值．12.(24年枣庄中考)在平面直角坐标系xOy 中,点()2,3P -在二次函数()230y ax bx a =+->的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线x m =．(1)求m 的值(2)若点(),4Q m -在23y ax bx =+-的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时,求新的二次函数的最大值与最小值的和(3)设23y ax bx =+-的图像与x 轴交点为()1,0x ,()()212,0x x x <．若2146x x <-<,求a 的取值范围．13.(24年四川广安中考)如图,抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点A 坐标为(1,0)-,点B 坐标为(3,0)．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一个动点,过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点E ,请探究2PD PE +是否有最大值？若有最大值,求出最大值及此时P 点的坐标;若没有最大值,请说明理由．(3)点M 为该抛物线上的点,当45∠=︒MCB 时,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．14.(24年四川南充中考)已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -,()3,0B ．(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线与y 轴交于点C ,点P 为线段OC 上一点(不与端点重合),直线PA ,PB 分别交抛物线于点E ,D ,设PAD 面积为1S ,PBE △面积为2S ,求12S S 的值; (3)如图2,点K 是抛物线对称轴与x 轴的交点,过点K 的直线(不与对称轴重合)与抛物线交于点M ,N ,过抛物线顶点G 作直线l x ∥轴,点Q 是直线l 上一动点．求QM QN +的最小值．15.(24年四川泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A ,与y 轴交于点B,且关于直线1x =对称．(1)求该抛物线的解析式;(2)当1x t -≤≤时,y 的取值范围是021y t ≤≤-,求t 的值;(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D,在y 轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由．16.(24年河北中考)如图,抛物线21:2C y ax x =-过点(4,0),顶点为Q ．抛物线22211:()222C y x t t =--+-(其中t 为常数,且2t >),顶点为P ．(1)直接写出a 的值和点Q 的坐标．(2)嘉嘉说:无论t 为何值,将1C 的顶点Q 向左平移2个单位长度后一定落在2C 上． 淇淇说:无论t 为何值,2C 总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．(3)当4t =时①求直线PQ 的解析式.①作直线l PQ ∥,当l 与2C 的交点到x 轴的距离恰为6时,求l 与x 轴交点的横坐标．(4)设1C 与2C 的交点A,B 的横坐标分别为,A B x x ,且A B x x <．点M 在1C 上,横坐标为()2B m m x ≤≤．点N 在2C 上,横坐标为()A n x n t ≤≤．若点M 是到直线PQ 的距离最大的点,最大距离为d ,点N 到直线PQ 的距离恰好也为d ,直接用含t 和m 的式子表示n.17.(24年武汉中考)抛物线215222y x x =+-交x 轴于A ,B 两点(A 在B 的右边),交y 轴于点C ．(1)直接写出点A ,B ,C 的坐标(2)如图(1),连接AC ,BC ,过第三象限的抛物线上的点P 作直线PQ AC ∥,交y 轴于点Q ．若BC 平分线段PQ ,求点P 的坐标(3)如图(2),点D 与原点O 关于点C 对称,过原点的直线EF 交抛物线于E ,F 两点(点E 在x 轴下方),线段DE 交抛物线于另一点G ,连接FG ．若90EGF ∠=︒,求直线DE 的解析式．18.(24年四川德阳中考)如图,抛物线2y x x c =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ,与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式;(2)当02x <≤时,求2y x x c =-+的函数值的取值范围;(3)将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M ,点P 为抛物线的对称轴上一动点,求PA PM +的最小值．19.(24年湖北中考)如图,二次函数23y x bx =-++交x 轴于(1,0)A -和B ,交y 轴于C .(1)求b 的值.(2)M 为函数图像上一点,满足MAB ACO ∠=∠,求M 点的横坐标.(3)将二次函数沿水平方向平移,新的图像记为L ,L 与y 轴交于点D ,记DC d =,记L 顶点横坐标为n .①求d 与n 的函数解析式.②记L 与x 轴围成的图像为,U U 与ABC ∆重合部分(不计边界)记为W ,若d 随n 增加而增加,且W 内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点,直接写出n 的取值范围。
中考二次函数压轴题经典例题
中考二次函数压轴题经典例题一、一类中考二次函数高分难题：如考题：“某费用与生产成本的平方成正比，生产成本为每件5元时，总费用为125元，生产成本为每件10元时，总费用为多少元?”解：依题意可知费用与生产成本的平方之间的关系式为y=kx²，经过点（5,125），代入上式得k=5。
于是，当生产成本为每件10元时，总费用y=5x²=5×10²=500元。
二、二次函数的解析式与图像：题目：“已知函数y = ax² + bx + c（a ≠ 0）如果x1、x2是y = 0的解，试求函数的解析式。
”解：如果已知x1、x2是y=0的解，那么二次函数的解析式可以表示为y=a(x-x1)(x-x2)。
对x进行配平方，得y=ax²-(x1+x2)ax+ax1x2，与y=ax²+bx+c相比，可以得出b=-(x1+x2)a, c=ax1x2。
由此可以看出，二次函数的系数与其解之间存在着规律性的联系。
三、二次函数的最值问题：题目：“设函数y=ax²+bx+c，在点(0,c)处取得最值，已知a,c>0, c是常数，求a，b 的取值范围。
”解：本题主要考查了函数的极值点。
首先明确这样一个概念：一个函数在它的极值点处的导数等于0。
设二次函数y=ax²+bx+c的极值点为x0，将它代入导数等于0的方程式得到x0=-b/2a，所以二次函数的对称轴为x=-b/2a。
因为函数在点(0,c)处取得最值，那么有x0=0，将x0=0代入上式，解得b=0。
又因为a,c>0，且当a>0时，抛物线开口朝上，函数的最小值点在对称轴上，与题意相符。
故a>0，所以a,b的取值范围是：a>0，b=0。
初中中考数学中二次函数压轴题分类总结范文模板计划模板(12页)
初中中考数学中二次函数压轴题分类总结范文模板计划模板（12页）二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题二次函数y(某m)2k的图象，其顶点坐标为M(1，4).（1）求出图象与某轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB5SMAB,若存在，求出P点的坐标；若不存在，4请说明理由；（3）将二次函数的图象在某轴下方的部分沿某轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y某b(b1)与此图象有两个公共点时，b的取值范.练习：如图．平面直角坐标系某Oy中，点A的坐标为（－2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，线段AB交y轴与点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），直线EF与抛物线交与M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；yMBEAFNO某2.如图，已知抛物线y某2某4交某轴的正半轴于点A，交y轴于点B．2（）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（）设P(某,y)（某0）是直线y某上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方2形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求某的取值范围；（）在（）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于某的函数解析式，32并探究S的最大值．BFPQEOA某二、抛物线中线段长度最小问题例题如图，对称轴为直线某＝－的抛物线y＝a某2＋b某＋ca≠0)与某轴相交于、B两点，其中AA的坐标为（－3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥某轴，QD交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．练习：如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在某轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，）、（，），抛物线y22b某c经过B点，且顶点在直线某5上．23（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿某轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．yBCNMAODE某三、抛物线与线段和最小的问题例题如图，已知抛物线y某2某aa0与某轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在a点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1.如图，已知二次函数ya某24某c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．yAO某B如图，抛物线y=a某2+b某+4与某轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与某轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出H的坐标；（3）若点K在某轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大并求出最大面积．DyCGEAFOB某四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝a某2＋b某＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．求抛物线的函数关系式；设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1..如图，抛物线与某轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线某2（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程某2﹣2某﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC 与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△B OD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．如图，已知抛物线于某轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
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专题一：利用两点距离公式解决等腰三角形以及直角三角形存在性问题
公式：111()P x y ，，212()P x y ，
则12PP =
（1）讨论等腰三角形解题四步曲
Step1
设出来； Step2Step3：代入点坐标到两点距离公式表示线段，形成方程，求出所求点；
Step4：检验所求的点是否和已经点重合，如果是，舍去，否则保留。
（2）讨论直角三角形解题四步曲
法一：
Step1：将三个点的坐标列出来，未知点按照“横坐标可以随便设，纵坐标不能随便给”的原则
设出来；
Step2：每个点各做一次直角顶点，分三次讨论，形成三组勾股的等量关系；
Step3：代入点坐标到两点距离公式表示线段，形成方程，求出所求点；
Step4：检验所求的点是否和已经点重合，如果是，舍去，否则保留。
法二：利用
也可以解题
若
则
专题二：和最小VS 差最大问题
（1）和最小，要异侧，两点连交直线为所求点，否则先作对称；
（2）差最大，要同侧，两点连交并延长交直线为所求点，否则先作对称；
初三《二次函数》主要压轴题解题模板归类
11(P x
典型例题：如图，抛物线21
2 3
y ax x
=-+与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
已知点B的坐标为（3，0）。
设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|。
探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；
若不存在，请简单说明理由。
专题三：斜三角形面积问题
S
△ABC＝，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
Step1：过点A作x轴的垂线交BC与D（如图）
Step2：设点A坐标；（横坐标可以随便设，纵坐标不能随便给）；表示D点坐标（关键求BC解析式，从而得到其纵坐标），确定铅垂高长度=坐标大-坐标小
Step3：套入公式，得到面积的表达式or结果；
建议配套复习题目：
典型例题：（2012学年越秀区期末考24题）如图，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A
（4，0）、B（0，4）、C（2
-，0三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第一象限内，
设AMB
△的面积为S，试求S的最大值；
专题四：平行四边形存在性
Step1：表示四个点（未知点大胆设，尽量减少未知数）
Step2：分三次讨论（图形字母没有顺序规定时）：一组对角顶点vs另外一组对角顶点
Step3：列等式（2条）
（1）一组对角顶点横坐标之和=另一组对角顶点横坐标之和
（2）一组对角顶点纵坐标之和=另一组对角顶点纵坐标之和
Step4：通过方程组求点，并验点，四个点坐标有重复则舍去，否则就保留
建议配套复习题目
经典例题：如图，已知二次函数y=322--x x 交x 轴与A ，B 两点 ，
点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，
且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F
答案：（1，-4）、（-3，12）、（5，12）。