高等数学第四章不定积分
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
高等数学第4章
• 式(4-10)称为分部积分公式。这个公式把积分∫udv转化成了积分∫vdu， 如图4-5所示，当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时， 就可以使用这个公式。
• 例4-46 求∫xsinxdx。 • 解 设u=x，dv=sinxdx=d(-cosx)，则 • ∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx-∫(-cosx)dx • =-xcosx+∫cosxdx • =-xcosx+sinx+C • 当运算比较熟练以后，可以不写出u和dv，而直接应用分部积分
•
=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx
• 4.1.4 基本积分运算
• 因为求不定积分的运算是求导数的逆运算，所以，导数公式表中的 每个公式反转过来就得到表4-1的不定积分公式。
表4-1 基本积分公式
1。∫0dx=C
2。∫1dx43;C
6。∫sinxdx=-cosx+C
• 换元积分法包括:第一类换元积分法(凑微分法)和第二类换元积分法。
• 4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) • 定理 如果∫f(x)dx=F(x)+C，则
• ∫f(u)du=F(u)+C • 其中u=φ(x)是x的任一个可微函数。 • 上述定理表明:可以将基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数，
(把u还原为φ(x))
• 由于积分过程中有凑微分(φ'(x)dx=d(φ(x)))的步骤，因此第一类换元积 分法又称为凑微分法。
• 用第一类换元积分法求不定积分的过程是:凑微分、换元、积分、回 代。
• 4.2.2 第二类换元积分法
• 第一类换元积分法是通过变量代换u=φ(x)，将积分∫f(φ(x))φ'(x)dx化 为∫f(u)du。计算中常常遇到与第一类换元积分法相反的情形，即 ∫f(x)dx不易求出，但适当选择变量代换x=φ(t)后，得 ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt，而新的被积函数f(φ(t))φ'(t)的原函数容易求出。 设
《高等数学(上)》不定积分(全)
23
第二讲 第一换元积分法
例3
求不定积分 cos3 xsin5 xdx.
解
cos3 xsin5 xdx cos2 xsin5 xdsin x
(1 sin2 x)sin5 xd sin x
sin5 xdsin x sin7 xdsin x
1 sin6 x 1 sin8 x C.
接积分法和第一换元法计算的题目.
31
第二讲 第二换元积分法
例 1 求 a2 x2 dx (a 0).
解
令x a sin t( π t π),则dx a costdt,于是有 22
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2 tdt a2 1 cos 2tdt 2
类似可得
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
a a
x x
|
C.
20
第二讲 第一换元积分法
例2
求 csc xdx.
解法一
csc
xdx
sin
x
dx
sin
x
sin
xdx
cos
d x
cos
x
利用例结论，得
原式 ln cos x cos x
C ln
( cos x) cos x
C
ln cos x C ln | csc x cot x | C sin x
1
3.
1dx x
ln
|
x
|
C;
6. sin xdx cos x C;
12
五、基本积分公式
7. cos xdx sin x C;
11. cot x csc xdx csc x C;
§4.5 不定积分应用案例
因此
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
dR ( t ) 300 (18 0.3 t ) dt
即
dR ( t ) 5400 90 t , dt
两边同时求不定积分，得
R( t ) (5400 90 t )dt 5400 t 60 t C ,
3 2
而 R(0) 0, 得 C 0 ，于是
R( t ) 5400 t 60t ,
由于这口井将在36个月后干枯，于是将来的总收入是 （美元）. R(36) 5400 36 60 36 207360
3 2
3 2
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
二、石油的消耗量的估计
（2）停车线的确定
停车线的确定需考虑两点： ①驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段的反应时间 t1 ，在此段时间 内，驾驶员尚未刹车. ②驾驶员刹车后，车还需继续向前行驶一段距离，此段距离称为 刹车距离.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
一般驾驶员的反应时间 t 1 可以根据经验或由统计数据确定.而刹 车距离可采用如下方法确定. 当驾驶员踩动刹车踏板时，便产生 一种摩擦力，它使汽车减速并最终停下. 设道路规定的速度为 v 0 , 汽车质量为 m , 刹车摩擦系数为 k ,
T ( t ) 是石油消耗总量， 所以 T ( t ) 就是石油消耗率 R( t ) ，即
T (t ) R(t ) .那么 T ( t ) 就是 R( t ) 的一个原函数.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
T ( t ) R( t )dt 161 e 0.07 t dt 161 e 0.07 t C 2300 e 0.07 t C , 0.07 由 T (0) 0 , 得 C 2300 ,
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。
1。
1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
高等数学（上）第四章不定积分
第四章 不定积分内容：不定积分的概念和性质、换元积分法、分部积分法、几种特殊类型函数的积分、简单无理函数的积分、积分表的使用。
要求：理解不定积分的概念和性质，掌握不定积分的基本公式、换积分法和分部积分法，理解有理函数的积分，了解简单无理函数的积分重点：不定积分的概念和性质；不定积分的基本公式；换元积分法、分部积分法、 难点：凑微分、三角代换法、分部积分法到目前为止，我们已经学会了对函数作如下运算：四则、复合、求导. 在四则运算中, 加减法互为逆运算, 积商也互为逆运算; 我们能将简单函数复合, 也能将复合函数分解. 于是, 我们自然会想到这点: 既然我们能求得任一函数的导数, 我们当然也想知道谁的导数是一个任意给定的函数呢? 即研究求导的逆运算.例: 对于变速直线运动, 若已知位移函数)(t s s =, 则即时速度)(t s v '=, 反之, 若已知)(t v v =, 能否求得位移函数?§1. 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1. 原函数定义: 设)(),(x F x f 在区间I 上有定义, 若∀x ∈I, 有)()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f 在I 上的原函数.例: -sinx 是cosx 的原函数, x ln 是x1的原函数. 我们自然会提出三个问题:(1) 是不是任一函数都有有原函数. (2) 一个函数的原函数是否唯一.(3) 若不唯一, 不同的原函数间的关系. 逐一回答:(1) 定理: 若)(x f 在I 上连续, 则存在)(x F , 使得)()(x f x F ='. (2) 常数的导数为0. 若)()(x f x F =', 则())()(x f C x F ='+. (3) 若)()()(x G x f x F '==', 则()0)()(='-x F x G . 回忆中值定理得到的重要结果, 可得:Cx F x G Cx F x G +==-)()()()(综合(2), (3), 得出结论: 若)(x F 是)(x f 的一个原函数, 则 1°所有的)(x F +C 也是)(x f 的原函数. 2°)(x f 的任一原函数也写成)(x F +C.即})({C x F +(C 为任意常数)是)(x f 的所有原函数的集合. 命名之. 2. 不定积分定义: 函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分, 记作⎰dx x f )(.若)()(x f x F =', 则⎰dx x f )(=)(x F +C.⎰: 积分符号; )(x f 被积函数; dx x f )(被积表达式;x : 积分变量; C: 积分常量. 例1.C x xdx C x dx x +=+=⎰⎰sin cos ,4143例2. 证明:C x dx x +=⎰ln 1.证一: ⎩⎨⎧<->=0)ln(0ln ln x x x xx()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->='0101ln x xx x x证二: 2ln ln x x =为简便, 记C x dx +=⎰ln 1.(曲线族中任意一条曲线都可由另一条曲线经过上下平移而得到, 表现在图形上, 即: 所有平行于y 轴的虚线被相同的两条积分曲线所截得的长度都相同.)3. 不定积分与导数、微分的关系()()Cx F x dF C x F dx x F dxx f dx x f dx f dx x f +=+='=='⎰⎰⎰⎰)()(,)()()2()()(),()()1(不定积分与导数、微分互为逆运算. 注2: 导数是一个函数, 不定积分是一族函数.二、基本积分公式由导数公式，可直接得出积分公式Caa dx a C e dx e C x xdx x C x xdx x C x xdx dx x C x xdx dx x Cx xdx C x xdx Cx dx x Cx dx x Cx dx x C x dx x C kx kdx xxx x +=+=+-=⋅+=⋅+-==+==+-=+=+=-+=++=-≠++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln )13()12(csc cot csc )11(sec tan sec )10(cot csc sin 1)9(tan sec cos 1)8(cos sin )7(sin cos )6(arcsin 11)5(arctan 11)4(ln 1)3()1(11)2()1(2222221μμμμ三、不定积分的运算法则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±±±=±±±=dxx f dx x f dx x f dx x f x f x f dxx f k dx x kf n n )()()()()()()2()()()1(2121.例1.⎰⎰+--+dxx x xdxx e x )213114()2()cos 52()1(2 例2.()⎰⎰-=dx x xdx 1sec tan22例3. ⎰⎰+-+=+dt t t dt t t 22221111例4. ⎰⎰+=dt xx x x dt x x 222222cos sin cos sin cos sin 1§2. 换元积分法积分的许多方法都是来源于求导（微分）公式，凑微分法来源于复合函数求导公式，或者说是一阶微分形式不变性.一、第一类换元法（凑微分法）(){}()⎰⎰⎰=='=='⇒'=⋅'=+='⇒'⋅='⋅='⋅'='duu f dx x x f du u F dx x F x F d C x F dx x x f x x f u u f u u F x F x u x x u f u F xx u x)()()]([)()]([)]([)]([()()]([)()]([)()()]([)()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ定理 设)(u f 有原函数，)(x u ϕ=可导，则)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='此定理的实质是将对变量x 的积分转化为对x 的函数)(x ϕ的积分.1. b ax x +=)(ϕ例1.⎰xdx 2sin 2不能对⎰xdx 2sin 直接积分, 但若令u=2x, 则可对⎰udu sin 直接积分, 只需将原积分中的“dx ”转化为“du ”即“d(2x)”.Cx C u udu x xd xdx xu +-=+-===⎰⎰⎰=2cos cos sin )2(2sin 2sin 22 熟练后可省略例2. []⎰⎰⋅++=+21)12()12sin()12sin(x d x dx x 例3. ⎰-dx x 100)45(, ⎰-dx x 23)45(若是二或三次方, 或许可以考虑二项展开, 但对于100次或是非正整数次方显然不适用.例4.⎰⎰+→+dx x dx x a 222111例5.⎰⎰-→-dx xdx xa 222111一般地, ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f . 2.b ax x +=2)(ϕ例6. ⎰dx xe x 22 例7.⎰-dx x a x2一般地,⎰⎰++=+)()(21)(222b ax d b ax f adx b ax xf . 利用1111+++=μμμμdx x dx x , 我们常用的凑微分法有: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅xd f dx x fxd f dx x f dx f dx f x 2131232例8.⎰dx x x 1tan 122例9.⎰dx xe x33. 其它类型例10. ⎰⎰=dx xxxdx cos sin tan , ⎰xdx cot 例11.⎰+dx x x 21arctan把对x 积分转化为对)(x ϕ积分，即)()(x d f dx f x ϕϕ⋅→⋅'，这实际上也是一个积分过程，只是这个积分较为直接明了，因此，所有积分公式都可以被考虑用于凑微分.如:⎰⎰⋅=⋅x d f dx f x ln 14. 综合性凑微分(先变形, 再凑) ① 代数变形例12. ⎰-dx x x2例13. C ax ax a dx x a C a x ax a dx a x +-+=-++-=-⎰⎰ln 211,ln 2112222例14.⎰⎰++=++dx x dx x x 2)3(1116122例15.⎰⎰-+=--dx x x dx x x )1)(3(12312总之: ⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctanln12不可分解因式可分解因式dx c bx ax 例16.⎰⎰+-=--dx x dx xx 22)1(21211例17．⎰⎰+=dx x xdx 212cos cos 2例18. C x x x dx x xdx +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰832sin 414sin 321212cos cos 24例19. ⎰⎰--=x d x xdx cos )cos 1(sin 23例20. ⎰⎰--=x xd x xdx x cos cos )cos 1(cos sin2223例21.⎰⎰+=dx xx xdx x 22sin 8sin 3cos 5sin总结之:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222例22.⎰xdx csc()Cx x xx C x x C x x C x x x d x dx xx dx x xdx ++-=+-=+-+-=+-+-=++-=--===⎰⎰⎰⎰)cot ln(csc sin cos 1ln cos 1cos 1ln 21cos 1cos 1ln 211cos 1cos ln 21cos cos 11sin sin sin 1csc 2222 Cx x xdx C x x xdx ++-=++=⎰⎰)cot ln(csc csc )tan ln(sec sec 总结: 三角函数微分、积分公式记忆： (1) 弦函数↔ 弦函数; 切函数↔ 割函数 (2) 正函数→ 正号; 余函数→ 负号例23.⎰⎰⎰-=--=+dx x xdx x x dx x 22cos sin 1sin 1sin 1sin 11在积分过程中, 分母中的正减号是积分的障碍.二、第二类换元法（变量置换法）定理 设)(t x ψ=是单调且可导的函数，0)(≠'t ψ. 又设)()]([)(t t f t g ψψ'=有原函数, 则[]⎰⎰-='=)(1)()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ.事实上:[]C t G dt t g dt t t f t d t f dxx f x t t x +=='=⋅=⎰⎰⎰⎰-==)()(1)()()()]([)]([)]([)(ψψψψψψ第二类换元的实质是将f (x )复杂式变简单或将明显不可积变为可积. 1. 三角代换例1.⎰+dx x 112Ct t tdt t t d t dxx t x ++=⋅==+⎰⎰⎰=)tan ln(sec sec sec 1)(tan sec 1112tan 2不定积分是被积变量的函数, 故需写成x 的函数. 而用反函数代入的方法显然很繁琐.1tan tan x t t x =⇒=, 即在直角三角形中, t 是一个锐角, x 是其对边, 1是其邻边.⎰⎰+++=++++=++==C x a x dx a x C x x dx x x t t )ln(1)1ln(1111cos 1sec 2222222例2.⎰-dx ax 221xCa x x C aa x a x C t t tdtt t t a d t a dxax xa t ta x +-+=+-+=++=⋅==-==⎰⎰⎰)ln()ln()tan ln(sec tan sec tan 1)sec (tan 12222cos sec 22积分公式:⎰++±=±C x a x dx a x )ln(12222例3．⎰-dx x a 2C ax a a x a x a C t t t a dt t a tdtat td adx x a ax t t a x +-⋅+=++=+===-⎰⎰⎰⎰==)(arcsin 2)cos sin (2)2cos 1(2cossin cos 22222222sin sin 2三角代换的实质：用六角形公式消去根式(或分母)中平方和、平方差.2. 根式代换例4.⎰++dx x 1211Cx x C t t dt t t t d t dxx t x t x +++-+=++-=+-+=-+=++⎰⎰⎰=+-=)121ln(12)1ln(11121111211212212例5.⎰+xx dx)1(322a x -xCt t dt t t dt t t xx t x tx +-=+-+=+=+⎰⎰⎰==arctan 661116)1(1)1(22632366例3.dx xx⎰-+11 （选讲、习题课） 法一：()dt t t t td t xxt t x ⎰⎰+=+-==-++-=2222111114)121(22 法二：()⎰⎰⎰⎰⎰+=--=-=--=--==dt t dt tt dt t t dx x x dx x x t x )sin 1(sin 1sin 1sin 1cos 111122sin 222法三：()()⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+=2222221121111111x d x dx xdx xx dx x x§3.分部积分法由导数的乘法公式:())()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'=',可知)()(x g x f 是)()()()(x g x f x g x f '+'的一个原函数,即[])()()()()()()()()()()()()()()()()()(x df x g x g x f x dg x f dx x g x f x g x f dx x g x f C x g x f dx x g x f x g x f ⎰⎰⎰⎰⎰-=⇔'-='⇒+='+' 其实质是将被积函数看作两个函数的乘积,将其中一个函数先凑到d 的后面(做一部分积分),从而变形为求另一个函数的积分.简言之,将被积表达式写成d 前面一部分,d 后面一部分,再交换前后两部分的位置.分部积分公式:⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u 例1.⎰xdx x sinx,sinx 都可以放到d 的后面去,但是,变形后的结果截然不同:前者变形为求⎰xdx xsin 2,后者变形为求⎰xdx cos ,显然选择后者.注: 选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则: (1)v 明显可求(2)简单比v u u v ''(即新得到的积分比原积分简单) 例2.⎰dx xe x例3. ⎰dx e x x 2例4.⎰xdx x ln 2例5. ⎰xdx ln , ⎰xdx 2ln例6. ⎰xdx arcsin例7. ⎰xdx e xsin例8. ⎰=xdx x I sec tan 2(选讲)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==⋅==xdxI x x xdx x x x xdx x x x xd x x xxd xdx x x xdxx I sec sec tan sec )1(tan sec tan sec sec tan tan sec sec tan sec tan sec tan tan sec tan 232 注2.分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx x ax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e ax ax ax ax cos sin sin cos cos sin cos sin )3(\例9.⎰dx ex例10. dx xexdx e xx⎰⎰-=22cos 1sin 2例11. dx xe dx x e xx ⎰⎰=22sin cos sin 例12. ()dx x x xdx x ⎰⎰-=1sec tan 22 例13. ⎰=dx x I )sin(ln例14.⎰+++dx xx x 221)11ln(不定积分小结一积分公式(分类分组) 1．幂函数类⎪⎩⎪⎨⎧-≠⎰⎰dx xdx x 11(μμ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+⎰⎰dx ax dx ax 222211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±-⎰⎰dx a x dx x a 222211 2．指数函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰dx a dxe xx3．三角函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx cos sin⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x s e c t a n⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x c s c c o t⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx 22csc sec⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x x d x x c s c c o t s e c t a n 二、凑微分法)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='常用的凑微分法有:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅=⋅xd f dx x fx d f dx x f dx f dx f x dx f dx xf b ax d f a dx f 213121)(12322⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅=⋅xxdef dx f e x d f dx f x x d f dx xfcos sin ln 二、变量置换法[])()(1)()]([)]([)]([)(x t t x dt t t f t d t f dx x f -==⎰⎰⎰'=⋅=ψψψψψψ 常用代换:1. 三角代换⎰⎰⎰⎰⎰⎰====-=+=-tdtt t a f a dx a x f tdtt a f a dx x a f tdtt a f a dx x a f ta x ta x ta x tan sec )tan ()(sec )sec ()(cos )cos ()(22sec 22222tan 2222sin 222. 根式代换⎰⎰--=+=⋅=++dt t t t f anmdxb ax b ax f nm n m ab tx b ax t mn nmnm 1),(),( 三、分部积分法⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx xax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅ 类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e axax ax axcos sin sin cos cos sin cos sin )3(\ 注2:有些函数经过变形、代换后成为上述类型.注3:选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则:留在d 前的函数求导后变易, 进入d 的函数积分后不变难.四、特殊函数积分归类 归类1:⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctan ln 12平方和平方差dx c bx ax 归类2:⎰⎩⎨⎧→<→>→++arcsin 0012a a dx c bx ax 三角代换 归类3:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222 归类4：有理函数.。
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
高等数学第四章不定积分习题课
xdx
de x
或 exdx d(ex 1) ，然后进行计算。 另外，由于
f
(x)
1 1 ex
中含有
1
e x，不能直接计算，可以考虑
换元 t ex 或 t 1 ex，然后再进行计算。
解法1：因为
1
ex
1 e x e x (1 e x )
所以
1
ex
二、基本计算方法
1．直接积分法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定
积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。
2．第一类换元法（凑微分法）： 设 F(u) f (u) ，则
f ((x))(x)dx f ((x))d(x) F((x)) C
3．第二类换元法（变量置换法）：
2
2
注意 运算中综合使用不同方法往往更有效.]。
【例12】 求不定积分
I
arcsin
x dx
x
分析：由于被积函数中含有根式 x ，所以首先要令
t x 把根式去掉，然后选择合适的方法计算。
另外，观察被积表达式的特点，由于
arcsin xdx arcsin x( dx ) 2arcsin xd( x )
2 dx 1 u2 du
2u sin x 1 u2
1 u2 cos x 1 u2
从而
2u 1 u2 2
R(sin x,cos x)dx
R( 1
u2
,
1
u2
)
1
u2
du
☆ 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可
以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
同济第六版《高等数学》教案-第04章不定积分
高等数学教案第四章不定积分第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§41不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1如果在区间 I 上可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 x I 都有F (x) f(x) 或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)( 或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数例如因为 (sin x)cos x所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时1 的原函数因为 (x)1所以x 是2 x2x提问 :cos x 和1还有其它原函数吗？2x原函数存在定理如果函数 f( x)在区间 I 上连续那么在区间 I 上存在可导函数F(x) 使对任一 x I都有F (x) f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x) C 都是 f(x)的原函数其中C 是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数则(x) F(x) C (C 为某个常数 )高等数学教案第四章 不定积分定义 2在区间 I 上 函数 f(x) 的带有任意常数项的原函数称为f( x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分记作f ( x)dx其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x) dx 称为被积表达式 x 称为积分变量根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数那么 F(x) C 就是 f(x)的不定积分 即f (x)dx F (x) C因而不定积分f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数所以cos xdx sin x C因为x 是 1 的原函数所以2 x1 x dx x C2例 2. 求函数 f (x)1的不定积分x解：当 x>0 时 (ln x)1x1dx ln x C (x>0)x当 x<0 时 [ln(x)]1 ( 1) 1xx1dx ln( x) C (x<0)x合并上面两式得到1dx ln | x| C (x 0)x例 3设曲线通过点 (1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为 y f(x) 按题设 曲线上任一点 (x y)处的切线斜率为 y f (x) 2x, ,即 f(x)是 2x 的一个原函数因为2xdx x 2 C高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数 C 使 f(x) x 2C 即曲线方程为 y x 2C因所求曲线通过点 (1 2) 故2 1 CC 1于是所求曲线方程为y x 2 1积分曲线 函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系 d [ f (x)dx]f (x)dx或d[ f ( x)dx]f (x)dx又由于 F(x)是 F (x)的原函数所以F (x)dx F (x) C或记作dF (x) F (x) C由此可见 微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号表示）是互逆的当记号 与 d 连在一起时 或者抵消或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1) kdx kx C (k 是常数 )(2) x dx1 x 1C1(3)1dx ln |x| Cx(4) e x dx e x C(5) a x dxa x Cln a(6) cos xdx sin x C(7) sin xdx cos x C(8)1dx2tan x C2sec xdxcos x(9) 1dx2cot x C2 csc xdxsin x(10)1 dx arctan x C 1 x2 (11) 1 2dxarcsin x C1x(12) secx tan xdx secx C(13) cscxcot dx cscx C(14) sh x dx ch x C (15) ch x dx sh x C例 41x 3dx 1x 3 1 C1C3 dx2x3 12x2515 172x 3x C例 5xxdx x 2dxC5x 22x 2 C177244 11例 6dx x 3dxx 3C 3x 3C3Cx 3 x4 1 3 x3三、不定积分的性质性质 1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即[ f ( x) g( x)]dxf (x)dxg(x)dx这是因为 , [ f ( x)dx g (x)dx] [ f (x)dx] [ g(x)dx]f( x) g(x).性质 2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即kf ( x)dx k f (x)dx ( k 是常数 k 0)例 7.x( x 2515)dx (x 2 5x 2 )dx51 51x 2 dx 5x 2 dxx 2 dx 5 x 2 dx732x252x2C73(x 1) 332例 8dxx 3x3x 1dx ( x 3 3 12 )dx22xxx xxdx3 dx 31dx 11 x 23x 3ln |x|1 Cx x dx2x例 9xxx(ex dx e dx3 cos xdxe3sinx C3cos )例 10例 11例 122x e x dx(2e)x dx (2e) x C 2x e x Cln( 2e)1 ln2 1 x x 2 2dxx (1 x 22)dx ( 121)dxx(1 x )x(1 x )1 xx1 12 dx1dx arctanx ln | x| Cxxx 42 dxx 4 1 1 ( x 2 1)( x 2 1) 11 x 1 x2 dx1 x 2dx(x211 2 )dxx 2dx dx1 12 dx1 xx1 x 3 x arctan x C 3例 13tan 2 xdx (sec 2 x 1)dx sec 2 xdx dxtan xx C例 14 sin2x dx1 cos x dx1(1 cos x)dx2221(x sin x) C21 2 x dx1 例 15sin 2 x4 sin 2 x dx4 cot x C2 cos 2§42换元积分法一、第一类换元法设 f(u)有原函数 F(u)u (x) 且 (x)可微 那么 根据复合函数微分法 有d F[ (x) ] d F(u) F (u)d u F [ (x) ] d ( x) F [ (x) ] (x)d x所以F [ ( x)] (x)dx F [ (x)] d (x) F (u)d u d F(u) d F[ (x) ] 因此F [ ( x)] (x)dxF [ (x)]d (x)F (u)dudF (u)dF [ ( x F [ x )] C)] (即f [ ( x)] (x)dxf [ ( x)]d (x) [ f (u)du]u (x)[F(u) C] u( x)F[ ( x)] C定理 1设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式f [ (x)] (x)dx f [ ( x)] d (x)f (u)du F (u) C F[ (x)]C被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而微分等式(x)dx du 可以应用到被积表达式中在求积分 g(x)dx 时 如果函数 g(x)可以化为 g(x)f[ (x)] (x)的形式 那么g( x)dxf [ (x)] (x)dx [ f (u)du]u (x)例 1. 2cos 2xdx cos2x (2x) dxcos2xd(2x)cosudu sin u C sin 2x C例 2.111x dx11(3 2 )3 2 3 2 3 2x2x2x1 1dx 1ln |u | C1ln |3 2x| C2 u 22例 3.x 2x 22x 22xe dxe (x) dxe d (x)2uC e x 2Ce例 4. x 1 x 2 dx11 x2 (x 2) dx1221 1 x2 d (1 x 2)213(1 x 2) 2 C3e u du1 x2 dx 21 31 u 2du1u 2C23例 5.tan xdxsin x dx 1 d cos xcos xcos x1du ln |u | Culn|cos x| C即tan xdxln |cos x| C类似地可得cot xdx ln |sin x| C熟练之后 变量代换就不必再写出了例 6.1x 2dx11 dx a 2a 2x( )21 a1 1 d x 1 arctan xCa1 ( x )2a aaa即1 x2 dx 1arctanxCa 2aa例 7. ch xdx a ch x d xa sh xCa a a a 例 8. 当 a 0 时 ,1dx 11 x dx 1 x d x arcsin xCa 2 x 2 a1 ( ) 21 ( ) 2a aaa即 1x 2 dxarcsinxCa 2a例 9.111111 1dxx 2 a 2dx2a ( x a x a )dx2a[x adxx a]1 [1d (x a)1d( x a)]2a x ax a1[ln | x a| ln |x a |] C1ln |xa | C2a2a x a即1 dx 1ln |xa | Cx 2 a 22ax a例 10.dx d ln x 1 d(1 2ln x)x(12 ln x) 1 2 ln x2 1 2ln x1l n |1 2 ln x| C2例 11.e 3 x dx 2 e 3 x d x 2 e 3 x d3 xx 32 e3 x C3含三角函数的积分例 12. sin 3 xdx sin 2 x sin xdx (1 cos 2x)d cos xd cosxcos 2xd cosxcosx1cos 3 x C3例 13. sin 2 xcos 5xdx sin 2 xcos 4 xd sin xsin 2 x(1 sin 2 x)2 d sin x(sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x)d sin x1sin 3x2sin 5x1sin 7 x C357例 14. cos 2xdx1 cos2 x dx 1 ( dx cos 2xdx)2 2 1 dx 1cos2xd 2x1 x 1sin 2x C2 424例 15.4xdx2x 2dx1 x2 d x21 (1 2cos 2x cos 22x)dx 41 (32cos 2x 1cos4x)dx4221 ( 3 x sin 2x 1sin 4x) C 4 2 8 3 x 1sin 2x1sin 4x C8432例 16.xxdx 1 (cos x cos5x)dxcos3 cos2 21sin x1sin 5x C210例 17. cscxdx1 dx 1dxsin x2sin x cos x22d xd tan xln |tan x| C ln |csc x cot x | Cx2x2tan 2tan x22 cos 22即cscxdx ln |csc x cot x | C例 18. sec xdxx)dxln |csc(x) cot(x)| C222ln |sec x tan x | C即secxdx ln |sec xtan x | C二、第二类换元法定理 2 设 x (t)是单调的、可导的函数 并且 (t) 0 又设 f [ (t)] (t)具有原函数 F(t) 则有换元公式f (x)dxf [ (t)] (t)dt F (t) F [1(x)] C其中 t(x)是 x(t) 的反函数这是因为{ F[1(x)] } F (t)dtf [ (t)] (t) 1f [ (t )] f (x)dx dxdt例 19. 求 a 2 x 2dx (a>0)解 : 设 x a sin tt 那么 a 2 x 2a 2 a 2 sin 2 t acost22dx a cos t d t 于是a 2 x 2 dx acost acostdta 2 cos 2tdt a 2( 1 t 1 sin 2t ) C2 4 因为 t arcsin x, sin 2t 2sin t cost 2xa 2 x 2 所以aa aa2x 2dx a 2(1 t 1sin 2t) C a 2arcsin x 1x a 2 x 2 C2 42 a 2解 : 设 x a sin tt 那么22a 2 x 2 dx acost acostdta 2cos 2 tdt a 2( 1 t 1sin 2t ) Ca 2 arcsin x 1 x a 2 x 2 C2 42a 2提示 : a 2 x 2a 2 a 2 sin 2 t a cost dx acos tdt提示 : t arcsin x, sin 2t2sin t cost 2 xa 2 x 2aa a例 20. 求 dx(a>0) x 2 a 2解法一设 x a tan tt 那么22x 2 a 2a 2 a 2 tan 2 ta 1 tan 2t a sec t dx a sec 2t d t 于是dxa 2 a sec 2 t dt sectdt ln |sec t tan t | Cx 2 a sect因为其中sectx 2 a 2 atantdxx 2a2C 1 C ln ax 所以aln |sec t tan t | C ln(x x 2 a 2 2 a 2) C 1a) C ln(xxa解法一 设 xa tan tt那么22dx asec 2 t dt sectdt ln|sect tant| Cx 2 a 2a sectln(xx 2 a 2 ) C ln( xx 2a 2 ) Caa1其中C 1Cln a提示 : x 2 a 2 a 2 a 2 tan 2 t asect dx a sec 2t dt提示 : sectx 2 a 2 tantx aa解法二 : 设 x a sh t那么dx ach t dt dt t C arsh x Cx2 a 2ach t aln x( x)21C ln( x x2 a2 ) C1 a a其中 C 1 C ln a提示 : x2 a2 a 2sh2t a2 a ch t dx a ch t d tdx例23.求x2a2 (a>0)解 : 当 x>a 时设 x a sec t ( 0 t) 那么2x2 a2 a 2 sec2 t a 2 a sec2 t 1 a tan t于是dx a sect tant dt tdt ln |sec t tan t | Cx2a2 a tant sec因为tant x2 a 2x所以a sect adx ln |sec t tan t |C ln |xx2a2|C ln( x x2 a2 ) C x2 a 2a a1其中 C1C ln a当 x<a时令 x u则 u>a于是dxa 2du ln(u u2a2 )Cx2u2a2ln( x x2a2 )C ln( x x2 a2 ) C1ln x x2a2C ln( x x2a2 )C1a2其中 C1C2ln a综合起来有dxa2ln| x x2a2 |Cx2解 : 当 x>a 时设x a sec t ( 0t)那么2dxa sect tantdt sectdtx 2a 2a tantln |secttant | C ln(xx 2 a 2 ) Caaln( xx 2 a 2 ) C其中 C 1 C ln a当 x< a 时 令 x u 则 u>a 于是dxdu ln(u 2 2Cx 2 a 2u 2 a 2 u a )ln( xx 2 a 2 ) C ln xx 2 a 2 Ca 2ln( xx 2 a 2 ) C 1其中 C 1 C 2ln a提示 : x 2 a 2a 2 sec 2 t a 2a sec 2t 1 atant提示 : tantx 2 a 2sect xaa综合起来有dx a 2ln | xx 2 a 2 | Cx 2 补充公式(16) tan xdxln |cos x| Ccot xdx ln |sin x| C(18) secxdx ln |secx tan x| C(19) cscxdx ln |cscx cot x| C(20)1 x2 dx1arctanxCa 2aa(21)1a 2 dx1ln |xa | Cx 22ax a(22)1 x2 dxarcsinxCa 2a(23)dxa 2 ln( xx 2 a 2 ) Cx 2(24)dx ln |x x22x 2a | Ca 2§43分部积分法设函数 u u(x)及 v v( x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为 (uv) u v uv移项得uv (uv) u v对这个等式两边求不定积分得uv dx uv u vdx 或 udv uvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程 :uv dx u dv uvvdu uv u vdx例 1 xcos xdx xd sin x xsin x sin xdx x sin x cos x C例 2 xe x dxxde x xe x e x dx xe x e x C例 3 x 2e x dx x 2de x x 2e x e x dx 2x 2e x 2 xe x dx x 2e x 2 xde x x 2e x 2xe x 2 e x dxx 2e x 2xe x 2e x C e x (x 2 2x 2 )C例 4xln xdx 1 ln xdx 21x 2ln x 1 x 21dx2 2 2x1x 2ln x 1 xdx 1x 2 ln x1 x2 C22 2 4例 5 arccosxdx xarccosxxd arccosxxarccosxx1x 2dx111xarccosx(1 x 2 ) 2d (1 x 2) xarccosx 1 x 2C2例 6x arctanxdx1arctanxdx 21x 2 arctan x1x 21 dx2221 x 212112 x arctanx 2 (1 1x 2)dx1x 2arctanx 1 x1arctan x C222例 7 求 e x sin xdx解 因为 e x sin xdx sin xde xe x sin x e x d sin xe x sin xe x cos xdx e x sin x cos xde xe x sin x e x cos x e x d cos x e x sin x e x cos xe x d cosxe x sin x e x cos x e x sin xdx所以e x sin xdx 1e x (sin x cosx) C2例 8求 sec 3 xdx解 因为sec 3 xdx secx sec 2 xdxsecxd tan xsecxtan xsecx tan 2 xdxsecx tanx secx(sec 2 x 1)dxsecx tanxsec 3 xdxsecxdxx tan x ln |sec x x |3xdxsec tan sec所以sec 3xdx1(secxtan x ln |secx tan x|) C2 例 9 求 I ndx其中 n 为正整数(x 2 a 2)n解 I 1x 2 dx 1arctan xCa 2 a a当 n 1 时，用分部积分法 有dxx2(n 1)x 2n dx22 n 122 n 1(x 22 ( x a )( x a )a )高等数学教案第四章不定积分x2(n1) [1a2n ]dx(x 22n 1(x22)n 1(x22)a )a a即I n 1(x 2x2( n 1)(I n 1 a 2 I n ) a 2 ) n1于是I n1[x(2n3) I n 1] 2a2 (n(x2a2) n 11)以此作为递推公式并由 I11xC 即可得 I n arctanaa例 10 求 e x dx解令 x t 2则dx 2tdt于e x dx 2 te t dt2e t (t1)C2e x(x1)C e x dx e x d(x) 2 2xe x d x2xde x2xe x 2 e x d x2xe x2xC2x (x1)Ce e第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分f [ ( x)] (x)dx f [(x)] d( x)令 (x)u f (u)duu(x)v (x)dx u( x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du( x)哪些积分可以用分部积分法？x cosxdx xe x dx x2 e x dxx ln xdx arccosxdx x arctanxdxe x sin xdx sec3 xdx2x2x22uxe dx e dx e dux2e x dx x2de x x2e x e x dx2高等数学教案第四章不定积分§4 4几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:P(x)a0 x n a1x n 1a n1x a nQ(x)b0x m b1x m 1b m 1x b m其中 m 和 n 都是非负整数a0a1 a2a n及 b0 b1b2b m都是实数并且 a0 0 b0 0当n m 时称这有理函数是真分式而当 n m 时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如x3x 1x(x21) 1x 1x21x21x2 1真分式的不定积分求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例1 求x3dx x25x6解x2x 3dx( xx 3dx(635)dx5x62)( x3)x x 263dxx5dx6ln|x 3|5ln| x 2|Cx2提示x3A B(A B) x ( 2 A3B)3)x3x2(x2)( x 3)( x 2)(xA B 13A2B3A6B5分母是二次质因式的真分式的不定积分例2 求x2dx x22x3解x2dx(12x 231)dxx22x 2 x22x323x2x 312x2dx3x21dx2x2 2 x32x31d( x22x3)3d (x1)2x22x3(x1)2( 2)21ln( x22x3)3arctanx1C222x 21(2x2)31x21提示2222322x 3 x2x 3 2 xx2x 3x 2x 3例3 求12dx x(x1)解1 1)2 dx [111 (x 12 ]dxx(xx x 1)1dx1dx1dx ln |x| ln |x 1|1 Cxx 1 ( x 1) 2x 1提示11 xx1 1x(x 1) 2x(x 1) 2x x 1) ( x 1) 2(1 x x1 111x(x 1)( x 1) 2 x x 1 (x 1)2二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sin x 及 cos x 的有理式表示故三角函数有理式也就是sin x 、 cos x 的有理式用于三角函数有理式积分的变换 :把 sin x 、 cos x 表成 tan x的函数然后作变换 u tanx22xx 2 tanx2 tanx2usin x2sin cos222 22 x1 tan2 x1 u 2sec 2 2cos x cos 2xsin 2x1 tan 2x1 u 222 22 x 1 u 2sec2变换后原积分变成了有理函数的积分例 4 求1 sin x dxsin x(1 cosx)x2u1 u 2x 2arctan u2解 令 u tan 2 则 sin x 1 u2cos x 1 u2dx 1 u 2du(1 2u )于是1 sin x1 u2 211sin x(1 cos x)dx2u(1 1 u 2 ) 1 u 2du2 (u 2 u )du1 u21 u 21 ( u 22 ln | |) C 1 tan 2 x tan x 1ln |tan x | C2 2 u u4 2 2 2 2解 令 u tan x则21 sin x(1 2u )21 u2sin x(1 cos x) dx2u(11 u 21 u2 du21 u2 )1 u1 ( u 22u ln |u |) C 1 (u 2 1)du2 22u1 tan2 xtanx1ln | tan x| C4 2 2 2 2说明 : 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如cos x dx 1 d (1 sin x) ln(1 sin x) C1 sin x 1 sin x三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求x 1dxx解 设 x 1 u即 x u 2 1 则x 1dxu 2udu2 u 2 duxu 2 1u 2 12 (112 )du 2(u arctanu) C1 u2( x 1 arctan x 1) C例 6 求dx3x 21解 设 3 x 2 u即 x u 3 2 则dx13u 2 du 3u 21 113 x21 u1 duu3 (u 11)du 3(u2u ln |1 u |) C1 u23 3(x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | C2例 7 求dx3x) x(1 解 设 x t 6于是 dx 6t 5d t从而高等数学教案第四章不定积分dx6t 5 dt6 t 2dt 6 (11 )dt 6(t arctant) C(1 3 x) x(1 t 2)t 31 t 21 t 26(6 x arctan 6 x) C例 8 求11xdxxx解 设1 x t 即 x11于是xt 21 1 xdx (t 2 1)t(t 2 2t dtx x 1) 22t 22 (11 )dtt2dtt 211 2t ln |t1 | Ct 1 2 1 x ln 1 xx Cx 1 xx练习1求dx2 cos x解作变换 ttan x则有 dx2dtcos x1 t2 21 t 21 t 22dtdx1 t 221dt21dt2cos x21 t 23t 2 31 (t2 31 t 2)32arctant C2 arctan( 1 x C3 33 tan )3 22求sin 5 xdxcos 4x解sin 5 x dxsin 4 xd cos x(1 cos 2 x) 2cos 4cos 4xcos4xd cos xx(121)d cos xcos 2 xcos 4 xcos x21 Ccos x 3 cos 3x3求3x 1 dxx23 x 2高等数学教案第四章 不定积分解2 3x 1dx3 x 1 dx ( 74)dx x 3x 2(x 2)( x 1) x 2 x 17 1 4 1 dxdx xx 2 17ln|x 2| 4ln|x 1| C§ 4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便 往往把常用的积分公式汇集成表 这种表叫做积分表 求积分时 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果 积分表一、含有 ax b 的积分1．dx1ln |ax b | Cax b a2． (ax b) dx1(ax b)a( 1)3．x dx 1 (ax b b ln |axax b a 21C(1)b |) C4．x 2 dx 1 1(ax b)2 2b(ax b) b 2 ln |ax b | Cax ba 3 25．dx 1ln ax b Cx( ax b)b x6．2 dx1 a2 ln ax bCx (ax b)bx bx7．xb) 2 dx12 ln |ax b| b C(ax aax b 8．x 2 dx 1 ax b 2b ln |ax b|b 2(ax b) 2 3 Caax b 9．dx1 b) 1 ln ax bCx( ax b)2 b(ax b 2x例 1 求x4) 2dx(3x解 这是含有 3x 4 的积分 在积分表中查得公式(ax xdx 1 ln |ax b|b bCb)2a 2ax现在 a 3、 b 4 于是x4)2dx1 ln |3x 4| 4 C(3x 9 3x 4二、含有 ax b 的积分1．ax b dx 2 (ax b)3C3a2． x ax bdx2 (3ax 2b) (ax b)3C15a 23． x 2 ax b dx23(15a 2x 2 12abx 8b 2) (ax b)3 C105a4．x dx2 (ax 2b) ax b Cax b 3a 2x 2 b dx 25．ax15a 3(3a2x 24abx 8b 2) axb Cdx1lnax b b C (b 0)6．b ax b b x ax b2 arctan ax b C (b 0)b b 7．8．dx ax b adxx 2 ax b bx2b x ax b axb dx 2 ax b bdx xx ax b9．ax bdx ax b a x dx bx 2x 2 ax 三、含 x 2 a 2 的积分 1．x 2dx 1arctan xCa 2 aa2．dxx2n 3 dx(x 2 a 2)n 2(n 1)a 2(x 2 a 2)n 1 2(n 1)a 2 ( x 2a 2) n 13．x 2 dx1ln x a Ca 2 2a x a四、含有 ax 2 b(a 0)的积分dx 1 arctan a x C (b 0) 1．ab bax2b1a xblnC (b 0)2 a x bab2．x dx1ln |ax 2 b| Cax 2 b2a内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室3．x 2 dx x b dxax 2 ba a ax 2b4．dx 1 ln x 2Cx( ax2b)|ax22b b |5．dx1 a 1 dxx 2(ax 2b)bx bax 2b6．dxa ln|ax 2 b| 1Cx 3 (ax 2 b) 2b 2x 22bx 27．dxx11 dx(ax2b)22b(ax 2b)2b ax 2b五、含有 ax 2 bx c (a 0)的积分 六、含有 x 2 a 2 (a 0)的积分1．dxa 2arshxC 1 ln( xx 2x 2 a 2．dxxC( x 2a 2 )3a 2x 2a23．xdxx 2 a 2 Cx 2 a 24．xdx1C2a 2 )3x 2a 2( x5．x2dx x x2a2a 2ln(xx 2 a 2 226．x2dxxln( x( x 2 a 2 )3x 2a27． dx1lnx 2 a 2 a C x x 2 a 2a| x| 8．dxx 2 a 2 Ca 2a 2 xx 2 x 29．x2a 2dx x x 2 a 2 a 2ln( x 22例 3 求dx4 x29x解 因为dx1dx2x x 2 ( 3) 2x 4x 2 92a 2 ) Cx 2a 2 ) Cx 2 a 2 ) Cx 2 a 2 ) C所以这是含有x 2 a 2 的积分 这里 a3 在积分表中查得公式2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室xdxa 21ln x 2 a 2a Cx 2 a|x|dx 1 2x 2( 3)23 1 4x 29 3于是ln22 C ln Cx 4x 292 3|x|3 2|x|七、含有 x 2 a 2 (a 0)的积分1．dxa 2x arch |x| C 1 ln |x x 2 a 2 | Cx 2 |x|a2．dxxC( x 2a 2 )3a2x 2a23．x a 2 dx x 2a 2 Cx 24．xdx1C( x 2a 2 )3x 2 a25．x 2dx x x 2 a 2 a 2x 2 a 2| Cx 2 a 22ln |x26．x 2 dx x ln|x x 2 22 a 2 )3 2 a 2 a | C( x x7．dx1arccos aCx x 2 a 2 a |x|8．dx x 2 a 2Cx 2x 2a2a 2x9．x 2 2 dxxx 22a 2 22 | C a 2 a2 ln | xx a八、含有a 2 x 2 (a 0)的积分1．dx arcsinxCa 2 x 2a2．dxxC(a2x 2 )3a 2a2x23．x dxa 2 x 2 Ca 2 x 24．x dx 1 C(a2x 2 )3a2x25．x 2 dxx a 2 x 2a 2 x Ca 22arcsinax 226．x2dx a 2 xx 2arcsinxC(a 2 x 2 )3a内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室7．dx1 ln a a2 x 2 Cx a 2 x 2a| x| 8．dxa 2 x 2 Cx2a2x2a 2x9．a 22dx xa 22a 2arcsin xCx 2x2 a九、含有 ax 2 bx c(a 0) 的积分十、含有x a 或 (x a)( x b) 的积分x b十一、含有三角函数的积分1． secxdx ln |secx tan x| C2． cscxdx ln |cscx cot x| C3． secx tan xdx secx C4． cscx cot xdx cscx C 5． sin 2 xdx6． cos 2 xdx 7． sin n xdxx1 sin 2x C2 4 x1sin 2x C 2 4 1 sin n 1 xcos x n 1 sin n 2 xdx n nn 1 cos n 2xdx n1 cos(a b)x2(a b)1sin(a b) x2(a b)1sin(a b)x2(a b)cos(a b) x C 2(a b)1 sin(a b) x C2(a b)1sin(a b)x C2(a b)12．dxa bsin x2a tanxb2 arctan2 2 C (a 2b 2 )a 2b a 2b9． sin axcosbxdx10． sin axsin bxdx11． cos axcosbxdx8． cos n xdx 1cos n 1 x sin x n内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章 不定积分dx 2a tanxbb 2 a 222213．a bsin xb 2a 2ln a tanxbb 2 a 2 C (ab )214．dx a 2 a barctana b tan xC (a 2 b 2)a b cos x b a b a b 2dx2 a b ln tanxa b14．a 2b a C (a 2 b 2)a b cos x b b atan xa b2b a例 2 求dx5 4cos x解 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式dx 2 b a barctana b tan xC (a 2 b 2 )a b cos x a aba b 2这里 a 5、 b 4 a 2b 2 于是5 dx5 2 4) 5 ( 4)arctan 5 ( 4) tan xC4cos x( 5 ( 4) 5( 4)22arctan 3tanxC32例 求 sin 4 xdx解 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式sin nxdx1sinn1x cos x n1sinn2xdx sin 2xdxx 1sin 2x Cnn 2 4这里 n 4于是sin 4xdx1sin 3xcos x3sin 2xdx1sin 3xcos x 3 ( x1sin 2 x) C4444 2 4内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室。
【精品】第四章 不定积分
第四章不定积分讲授内容：§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求：1、理解不定积分的概念，理解不定积分与微分之间的关系.2、掌握不定积分的性质，会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分.3、熟练掌握常用积分公式.教学重难点：重点——理解的概念与性质;熟练掌握常用积分公式.难点——不定积分的公式熟练掌握。
教学方法:讲授法教学建议：1、加深对原函数、不定积分的理解.2、对15个积分公式要进行大量练习。
3、求不定积分一定注意不能漏C.学时:2学时教学过程:第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题,本章将讨论它的反问题，即要寻求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一.一原函数与不定积分的概念1.定义：如果在区间I上,函数F(x)和f（x),使得:F′(x)=f(x)或dF（x)=f(x)dx，x∈I。
称F(x)为f（x)(或f(x）dx）在区间I上的原函数。
'=，则cos x是sin x的一个原函数.如：(sin)cosx x1(ln )x x '=，1x 是ln x 的一个原函数,问ln 2x 是否是1x的原函数。
2. 定理（原函数的存在定理）：连续函数必有原函数。
即：如果f （x ）在I 上连续,则在I 上必有F (x ），使得:F ′（x )=f （x ). x ∈I .注:①初等函数在定义区间上必有原函数，但原函数并非都是初等函数.②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件,不连续的函数也可能有原函数。
3. 两个原函数的关系如果F（x）为f(x）在区间I上的一个原函数,则F（x)+C为f（x)的原函数。
因为[F（x)+C］′=f(x），如果F（x）和G（x）为f(x）的两个原函数，则有F（x)=G（x)+C.因为［F（x）—G（x)]′=0 F（x)=G（x)+C.4.定义：在区间I上,函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f （x)(或f(x)dx)在I上的不定积分，记为： xx(.f d)即∫f（x)dx=F(x)+C.其中∫为积分符号，f(x）为被积函数，f（x)dx为被积表达式，x为积分变量.注：①不定积分∫f （x ）dx 可以表示f (x )的任意一个原函数。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
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例3. 求 解: 原式 =
x
4 3
dx
例4. 求 解: 原式=
1 sin x dx 2
sin 2x 2sin x cos x
例5. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
5 2 )dx
x
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例6. 求 解: 原式 =
(sec x 1 ) d x
2
sec x 1 tan x
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
4.1
不定积分的概念与性质
4.1.1 原函数
定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数，
如果在该区间上有
或 dF ( x)
F ( x) f ( x)
f ( x)dx ，则称 F (x)是 f (x)
作变量代换 u
( x) ，得到 f ( x)dx g (u )du,
可以求出，不妨设 g ( u ) du
g (u)du G(u) C
则
f ( x)dx g[ ( x)] ( x)dx g (u )du
G(u ) C G[ ( x)] C
在这个区间上的一个原函数。
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理. 原函数都在函数族 证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
( C 为任意常数 )
例如,
x e e dx C
x 2 x dx
1 x3 3
C
C 称为积分常数 不可丢 !
sin xdx
cos x C
4.1.3 不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
o
x0
机动
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
因此所求曲线为 y x 2 1
x
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4.1.4 不定积分的简单性质
提示: 已知 求 即
( B) 1 sin x ; ( D) 1 cos x .
f ( x) sin x ( ? ) f ( x) ( ? ) sin x
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
f ( x) d x sin x C1x C2
2 2
csc x 1 cot x
2 2
例7. 求
注意方法
2
x (1 x ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x )
注意方法 x 例8. 求 dx . 2 1 x 4 ( x 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C x x e d x e C
x
x
a C (13) a dx ln a
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例1
cos 2 x cos x sin x dx
cos x sin x cos x sin x dx
第一步从 f (x)中分出一个因子 u( x) ( x) ，使 ( x) 与dx凑成 u的微分 du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即
f ( x)dx g (u )du
这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分 g (u )du 例 。
2 cos 2 xdx cos 2 xd(2 x) u 2 x cos udu
sec x csc x
2
2
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5. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
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6. 已知
求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
性质5 常数因子可从积分号中提出
kf ( x ) dx k f ( x ) dx
k 是常数且 k ≠0
4.2 不定积分的 基本公式
(1) (2)
k dx
kx C
1 x 1 1( k 为常来自) x dx C
( 1)
dx (3) ln x C x
4
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例1
cos 2 x cos x sin x dx
cos x sin x cos x sin x dx
2 2
(cos x sin x)(cos x sin x) dx cos x sin x
cos xdx sin xdx
sin u C sin 2x C
x
(2e) 2x C 5 ln(2e) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
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例6. 求 解: 原式 =
(sec x 1 ) d x
2
sec 2 xdx dx
tan x x C
2
sec x 1 tan x
x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x) ] x
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dx (4) arctan x C 或 arc cot x C 2 1 x dx (5) arcsin x C 或 arc cos x C 1 x2
(6) (7 )
sin x cos x C
cos 2 x cos x sin x
2 2
例2
1 cos x dx 2
x cos 2 dx
2
1 dx 2
cos x dx 2
x sin x C 2 2
cos 2 x 2 cos x 1
2
cos 2 x 1 2sin x
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思考与练习
1. 若
x e 提示: 1 ln x f (ln x) e x
x
2
f (ln x) d x
1 2 x C 2
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2. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
2
例3. 求 解: 原式 =
x
4 3
3x
例4. 求 解: 原式=
1 3
3 x dx 4 C 3 1
4 1
C
1 sin x dx 2
1 cos x C 2
sin 2x 2sin x cos x
例5. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
x
5 2 )dx
定理（第一类换元积分法） 设
g (u)du G(u) C
，且 u ( x)
在区间 I 可微，则
f ( x)dx g[ ( x)] ( x)dx g (u)du G(u) C G[ ( x)] C
用第一换元积分法求不定积分
f ( x)dx ，分为两步完成，
性质3 积分形式不变性
如果
f ( x)dx F ( x) C
u为 x 的任何
可微函数，则有
f (u)du F (u) C
性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和
[ f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx
2
csc x 1 cot x
2 2
例7. 求
2
注意方法
x (1 x ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 dx dx 2 x 1 x arctan x ln x C
注意方法 x 例8. 求 dx . 2 1 x 4 ( x 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) dx 1 x2
性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。
d f ( x ) dx f ( x ) 或 d f ( x ) dx f ( x ) dx dx
性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。