高等数学第四章不定积分

定理（第一类换元积分法） 设
g (u)du G(u) C
，且 u ( x)
在区间 I 可微，则
f ( x)dx g[ ( x)] ( x)dx g (u)du G(u) C G[ ( x)] C
用第一换元积分法求不定积分
f ( x)dx ，分为两步完成，
2 2
(cos x sin x)(cos x sin x) dx cos x sin x
cos 2 x cos x sin x
2 2
例2
1 cos x dx 2
x cos 2 dx
2
cos 2 x 2 cos x 1
2
cos 2 x 1 2sin x
4
1 3 x x arctan x C 3
机动
目录
上页
下页
返回
结束
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 2. 直接积分法:
利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分
常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 若
x e 提示: 1 ln x f (ln x) e x
x
2
f (ln x) d x
1 2 x C 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 若

是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
2
csc x 1 cot x
2 2
例7. 求
2
注意方法
x (1 x ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 dx dx 2 x 1 x arctan x ln x C
注意方法 x 例8. 求 dx . 2 1 x 4 ( x 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) dx 1 x2
2
例3. 求 解: 原式 =
x
4 3
dx
例4. 求 解: 原式=

1 sin x dx 2
sin 2x 2sin x cos x
例5. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
5 2 )dx
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6. 求 解: 原式 =
(sec x 1 ) d x
2
sec x 1 tan x
提示: 已知 求 即
( B) 1 sin x ; ( D) 1 cos x .
f ( x) sin x ( ? ) f ( x) ( ? ) sin x
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
f ( x) d x sin x C1x C2
sin x cos x C
cos 2 x cos x sin x
2 2
例2
1 cos x dx 2
x cos 2 dx
2

1 dx 2

cos x dx 2
x sin x C 2 2
cos 2 x 2 cos x 1
2
cos 2 x 1 2sin x
( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数 ) 即 ( x) F ( x) C0 属于函数族 F ( x) C .
故
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4.1.2不定积分的概念 定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数; — 被积表达式. 上的不定积分, 记作 — 积分号; — 积分变量; 若 则
y
o
x0
机动
x
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
因此所求曲线为 y x 2 1
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
4.1.4 不定积分的简单性质
sin u C sin 2x C
作变量代换 u
( x) ，得到 f ( x)dx g (u )du,
可以求出，不妨设 g ( u ) du
g (u)du G(u) C
则

f ( x)dx g[ ( x)] ( x)dx g (u )du
G(u ) C G[ ( x)] C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4. 求下列积分:
提示:
(1)
2 2 1 1 1 1 ( x ) x 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
1 sin 2 x cos 2 x (2) 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
（或求积分）的范围。同样，将复合函数
的微分法用于求积分即得复合函数得积分
法—换元积分法，按其应用方法得不同可
分为两种换元法。
1 第一换元积分法
如果不定积分
但被积表达式可分解为
f ( x)dx 用基本积分法不易求得，

而
f ( x)dx g[ ( x)] ( x)dx g[ ( x)]d ( ( x)),
sec x csc x
2
2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
5. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
6. 已知
求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
提示: 已知 f ( x) e x
f ( x ) e C0 1 f (ln x) C0 x f (ln x) 1 C0 2 x x x
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 若 是( B ).
的导函数为
则
的一个原函数
( A) 1 sin x ; (C ) 1 cos x ;
2 2
csc x 1 cot x
2 2
例7. 求
注意方法
2
x (1 x ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x )
注意方法 x 例8. 求 dx . 2 1 x 4 ( x 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x
在这个区间上的一个原函数。
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理. 原函数都在函数族 证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x) ] x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
dx (4) arctan x C 或 arc cot x C 2 1 x dx (5) arcsin x C 或 arc cos x C 1 x2
(6) (7 )
x
(2e) 2x C 5 ln(2e) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6. 求 解: 原式 =
(sec x 1 ) d x
2
sec 2 xdx dx
tan x x C
2
sec x 1 tan x
性质3 积分形式不变性
如果

f ( x)dx F ( x) C
u为 x 的任何
可微函数，则有
f (u)du F (u) C
性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和
[ f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx
第一步从 f (x)中分出一个因子 u( x) ( x) ，使 ( x) 与dx凑成 u的微分 du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即
f ( x)dx g (u )du
这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分 g (u )du 例 。
2 cos 2 xdx cos 2 xd(2 x) u 2 x cos udu
( C 为任意常数 )
例如,
x e e dx C
x 2 x dx
1 x3 3
C
C 称为积分常数 不可丢 !
sin xdx
cos x C
4.1.3 不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
4
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1
cos 2 x cos x sin x dx
cos x sin x cos x sin x dx
2 2
(cos x sin x)(cos x sin x) dx cos x sin x
cos xdx sin xdx
2
例3. 求 解: 原式 =
x
4 3
3x
例4. 求 解: 原式=
1 3
3 x dx 4 C 3 1
4 1
C

1 sin x dx 2
1 cos x C 2
sin 2x 2sin x cos x
例5. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
x
5 2 )dx
性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。
d f ( x ) dx f ( x ) 或 d f ( x ) dx f ( x ) dx dx
性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。

f ( x)dx f ( x) C 或 df ( x) f ( x) C
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
4.1
不定积分的概念与性质
4.1.1 原函数
定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数，
如果在该区间上有
或 dF ( x)
F ( x) f ( x)
f ( x)dx ，则称 F (x)是 f (x)
性质5 常数因子可从积分号中提出
kf ( x ) dx k f ( x ) dx
k 是常数且 k ≠0
4.2 不定积分的 基本公式
(1) (2)
k dx

kx C
1 x 1 1
( k 为常数)
x dx
C
( 1)
dx (3) ln x C x
(8)
cos xdx sin x C sin xdx cos x C dx 2 sec cos 2 x xdx tan x C
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(10) (11) (12)
2
Ax
2
2
1 x2

B 1 x2
( A B) 2 Ax
1 x2 A B 0 2A 1
A 1 2 1 B 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第四章
4.3 两种积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
机动
目录
上页
下页
返回
结束ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.3.1. 换元积分法 复合函数的微分法大大拓展了求导数
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C x x e d x e C
x
x
a C (13) a dx ln a
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1
cos 2 x cos x sin x dx
cos x sin x cos x sin x dx