专题5 抛物线与三角形、特殊四边形的综合题

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专题5 抛物线与三角形、特殊四边形的综合题

1、 （2009益阳）阅读材料：

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直

线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度

叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1=

∆，

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；

(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =8

9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请

说明理由.

2、（2009烟台）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y

轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C ,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使

以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3） 设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段B D 上任取一点E （不与B D ，重

合），经过A B E ，，三点的圆交直线B C 于点F ，试判断A E F △的形状，并说明理由；

（4） 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出

结论）．

x

C

O

y A

B

D 1 1

2

3、(2009湖北荆门)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．

(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

4、如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线B C 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接B D ，点P 为抛物线上一点，且45D B P ∠=°，求点P 的坐标．