线性变换的定义

第七章 线 性 变 换

§ 1 线性变换的定义

上一章我们看到，数域 P 上任意一个 n 维线性空间都与n P 同构，因之，有限维线性空间的同构可以认为是完全清楚了.线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象.我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系.在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射.线性空间到自身的映射通常称为的一个变换.这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样. 线性变换是代数的一个主要研究对象.

下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P 上的线性空间.

定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于V 中的任意的元素αβ,和数域中任意数k ,都有

()()A A αβαβ+=+

()()A k kA αα= （1）

以后我们一般用黑体答谢拉丁字 A , B ，…代表 V 的变换，()A k α或()A α代表 元素α在变换下的象.

定义中等式（1）所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法. 问题1: 线性变换与线性同构有什么异同？

下面我们来看几个简单的例子 ，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的. 例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间 . 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转θ角，就是一个线性变换，我们用I θ表示。如果平面上一个向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么象I θα()的坐标，即旋转θ角之后的坐标是(,)x y ''按照公式

cos sin sin cos x x y y θθθ

θ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 来计算的.同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.

例 2 设α是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量ξ变到它在α上的内映射的变换也是一个线性变换，以α∏表示它.用公式表示就是

(,)()(,)

ααξξααα∏= 这里(,)αξ表示内积.

例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E ，即

()E αα= ()V α∈

以及零变换0，即

0()0α= ()V α∈

都是线性变换.

例 4 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中某个数 ，定义V 的变换如下：

,k αα→ ()V α∈

不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用k 表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换.

例 5 在线性空间[]P x 或者[]n P x 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即11220r r k k k ααα+++=，

(())()D f x f x '=

例 6 定义在闭区间[a,b ]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C (a,b )代表.在这个空间中，变换

(())()x

a J f x f t dt =⎰ 是一线性变换 .

例7 在线性空间V 中，定义0,.a a a V σ=∀∈其中0a 是V 中一个固定向量，试问σ是否为线性变换？

解 当00a ≠时,.V αβ∀∈则有

00(),(),.σαασβασαβα==0及(+)=

但

0()()2().σασβασαβ+=≠+

因此当00a ≠时，α不是线性变换。

若00a =则有()()()0.σαβσασβ+=+=

()()0.k k σασα==

故当00α=时,σ是线性变换（此时σ为零变换）。

不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质：

1. 设 A 是V 的线性变换，则(0)0,()().A A A αα=-=-

这是因为

(0)(0)0()0,A A A αα===

()((1))(1)()().A A A A αααα-=-=-=-

2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是12

,,r ααα 的线性组合：

1122r r k k k βααα=+++

那么经过线性变换A 之后, ()A β 是 12(),(),

,()r A A A ααα 同样的线性组合：

1122()()()()r r A k A k A k A βααα=+++

又如果12,,r ααα 之间有一线性关系式 11220r r k k k ααα++

+= 那么它们的象之间也有同样的关系

1122()()()0r r k A k A k A ααα+++=

以上两点，根据定义不难验证，由此即得

3. 线性变换把线性性相关的向量组变成线性相关的向量组。

但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组.例如零变换就是这样。

例8 设 12,,,s ααα 及 12,,,s βββ是线性空间V 中两组等价的向量组，又

()L V σ∈，试证：12(),(),

,()s σασασα与12(),(),,(),s σβσβσβ也是两个等价的向量组。

证明 因为 12,,,s ααα与12,,

,s βββ可以互相线性表出。记 11221(1,2,

)s i i i is s ij j j k k k k i s αββββ==+++==∑则由线性变换性质(3)可知:

11221()()()()()(1,2,

,)s i i i is s ij j j k k k k i s σασβσβσβσβ==+++==∑

上式说明了向量组 12(),(),

,()s σασασα可由向量组12(),(),,(),s σβσβσβ线性表出。

同理可证, 12(),(),,(),s σβσβσβ可由12(),(),,()s σασασα线性表出。因此12(),(),

,()s σασασα与向量组12(),(),,(),s σβσβσβ等价。