专题50 动态型问题(教师版)

一、选择题9.（2020·湖北孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AB=4，BC=6，∠BAD=30°，（第9题）动点P沿路径A →B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，过点P作PH⊥AD，垂足为H，设点P运动的时间为x(单位：s)，△APH的面积为y，则y关于x的函数图像大致是( ){答案}D{解析}当点P在AB上移动时，AP=x，∵∠A=30°，则AH=√32x，PH=12x，∴y=√32x×12x÷2=√38x2，y是x的二次函数,当x=4时，y=2√3；当点P在BC上移动时，即4＜x≤10时，y=x-4+2√3，y是x的一次函数，当x=10时，y=6+2√3；当点P在CD上移动时，当10＜x≤12时，y=(6+2√3)(12-x)=-( 6+2√3)x+12×（6+2√3），y是x的一次函数，y随x的增大而减小.故选D.9．（2020·南通）矩形ABCD中，E为AD边上的一点，动点P沿着B－E－D运动，到D停止，动点Q沿着B－C运动到C停止，它们的速度都是1cm/s，设它们的运动时间为x s，△BPQ的面积记为y cm2，y与x的关系如图所示，则矩形ABCD的面积为A．96 B．84 C．72 D．56{答案}C{解析}由已知可得当点P运动到与E点重合时，x＝10，过点E作EH⊥BC于H，ABE DCPQ30y/cm211103022y BQ EH EH =⨯=⨯⨯=，得EH ＝AB ＝6，在Rt △ABE 中，由勾股定理求得AB ＝6，由右图可知当x ＝14时，点Q 与点C 重合，所以BC ＝14，所以矩形ABCD 的面积＝12×6＝72，故选C ．（2020·本溪）10．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．{答案}{解析}根据Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，可得AB ＝4，根据CD ⊥AB 于点D ．可得AD ＝BD ＝2，CD 平分角ACB ，点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，分两种情况讨论：根据PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，可得四边形CEPF 是矩形和正方形，设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，进而可得能反映y 与x 之间函数关系式，从而可以得函数的图象． ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2， ∴AB ＝4，∠A ＝45°， ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴AD ＝BD ＝2，B CH Q∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12x2+2x=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A．9．（2020·东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）A.12B. 8C.10D.13{答案}C{解析}本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 当P 点分别与A 、B 重合时，PC=13，由此可推出：△ABC 是等腰三角形，AC=BC=13；当CP ⊥AB 时，PC 的值最小，即△ABC 中，AB 上的高为12，此时P 点恰好运动至AB 的中点， ∴2213125AP，∴210AB AP ．9．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB ＝40cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25cm 2B ．1003cm 2 C ．50cm 2 D ．75cm 2【分析】如图：设OF ＝EF ＝FG ＝x ，可得EH ＝2√2x ＝20，解方程即可解决问题． 【解析】：如图：设OF ＝EF ＝FG ＝x ，∴OE ＝OH ＝2x ，ABC在Rt △EOH 中，EH ＝2√2x ， 由题意EH ＝20cm ， ∴20＝2√2x ， ∴x ＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm 2） 故选：C ．11．（2020·淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【解析】由图2知，AB ＝BC ＝10，当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8（即此时BP ＝8），当y ＝8时，PC =√BC 2−BP 2=√102−82=6，△ABC 的面积=12×AC ×BP =12×8×12＝48，故选：D ．二、填空题15．（2020·鄂州）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2-的速度向左运动__________秒时，O 与正方形重叠部分的面积为22cm 3π⎛- ⎝．{答案}1或1163．{解析}本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OAB -S △OAB 由题意可知：OA ＝OB ＝AB ＝2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三角形 ∴∠AOB ＝60°，OE ⊥AB在Rt △AOE 中，∠AOE ＝30°，∴AE ＝112OA =，OE ∴S 扇形OAB -S △OAB 260π212=23π336023∴OF 1∴点F 向左运动3(31)23个单位3=123秒②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OCD -S △OCD 由题意可知：OC ＝OD ＝CD ＝2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三角形 ∴∠COD ＝60°，OE ⊥CD在Rt △COE 中，∠COE ＝30°，∴CE ＝1OC 12，OE ∴S 扇形OCD -S △OCD 260π212=23π336023∴OF 1∴点F 向左运动3(31)43个单位43=116323秒 综上，当运动时间为1或1163秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为22π3(cm )3故答案为：1或1163．17．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为 ．（第17题图）{答案}2{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD＝8，ED ==4OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，；由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝，ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′===，∴S △MFE ′12=ME ′•FE ′12=⨯tt 22=，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×=，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝22t 1=2，t 2=-2（舍去），因此本题答案是2．17．（2020·通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 ．{答案}7{解析}∵点E 是边AB 的中点，∴AE =BE =12AB ．从图象中可以看出，当x 的值最大时，所对应的函数值是此时点P 恰与点B 重合．此时P A +PE ＝AB +12AB =32AB =AB =AC ，AE =BE E 关于BC 的对称点F ，连结AF 交BC 于点P ，此时P A +PE 有最小值，即是AF 长，连结BF ．∵在△ABC 中，AB ＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC=∠C=30°，由轴对称可得BF=BE，∠ABC=∠FBP=30°，∴∠EBF=60°，∴△EBF是等边三角形，∴EF=BE，∵AE=BE，∴AE=BE= EF，易证△ABF是直角三角形，∴AF=AB·sin∠ABF==，即a=3，在△ABF中，∠AFB=90°，∠ABF=60°，∴∠BAF=30°，∵∠BAC＝120°，∴∠P AC=∠BAC－∠BAF=90°，∴cos C=cos30°=ACPCPC2233=4，即b=4，∴a+b=7．三、解答题24．（2020·温州）如图,在四边形ABCD中,∠A＝∠C＝90°,DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC,并交线段AB,CD于点E,F(点E,B不重合).在线段BF上取点M,N(点M在BN之间),使BM＝2FN.当点P从点D匀速运动到点E时,点Q恰好从点M匀速运动到点N.记QN＝x,PD＝y,已知6125y x=-+,当Q为BF中点时245y=.(1)判断DE与BF的位置关系,并说明理由.(2)求DE,BF的长.(3)若AD＝6.①当DP＝DF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系.②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值.{解析}这是一道四边形动点综合题。