判断三角形的形状1
高三数学二轮复习 一题多解专题四 利用正余弦定理判断三角形形状 试题
卜人入州八九几市潮王学校一题多解专题四：利用正〔余〕弦定理判断三角形形状 断定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：A R a sin 2=，C ab c b a cos 2222=-+等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进展判断.此时注意一些常见的三角等式所表达的内角关系.如：sinA ＝sinB ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或者A+B ＝2π等； 二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如bca cb A R a A 2cos ,2sin 222-+==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进展判断.例：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，假设(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，且2cosAsinB=sinC ，试判断△ABC 的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系. 方法一：由正弦定理得b c B C =sin sin ，∵2c osAsinB=sinC ，bc B C A 2sin 2sin cos ==∴，由余弦定理的推论得bc a c b A 2cos 222-+= ∴bc bc a c b 22222=-+，化简得2222c a c b =-+，∴a=b； 又∵(a+b+c)(a+b -c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+， 化简得22234b c b =-，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC 是等边三角形.方法二：∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)，又2cosAsinB=sinC ，∴2cosAsinB=sin(A+B)，∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB -cosAsinB=0，∴sin(A -B)=0，∵A,B∈(0,π)，∴A -B∈(-π,π)，∴A=B，又∵(a+b+c)(a+b -c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222， 由余弦定理的推论得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又C∈(0,π)，3π=∴C ，又A=B ，∴△ABC 是等边三角形.规律总结：应用正弦定理进展判断或者证明的方法：①判断三角形的形状本质是判断三角形的三边或者三角具有怎样的关系；②利用正弦定理化边为角或者化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或者三角具有的关系； ③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或者等腰直角三角形. 针对性练习：△ABC 中，假设a 2tanB=b 2tanA ，试判断△ABC 的形状. 【解析】法一：由正弦定理及，得sin 2A ·sin B cos B =sin 2B ·sin A cos A ， 即sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B. ∵0<2A,2B<2π，2A+2B<2π；∴2A=2B 或者2A=π-2B.即A=B 或者A+B=2π. 所以，三角形ABC 是等腰三角形或者直角三角形.法二：在得到sin2A=sin2B 后，也可以化为sin2A-sin2B=0，∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或者sin(A-B)=0.∵0<A+B<π，且-π<A-B<π，∴A+B=2π或者A-B=0， 即A+B=2π或者A=B.∴△ABC 是等腰三角形或者直角三角形. 2.在△ABC 中，假设B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状.【解析】方法一：由正弦定理，得2sinB=sinA+sinC.∵B＝60°，∴A+C＝120°,即A ＝120°－C ，代入上式，得2sin60°=sin(120°-C)+sinC 展开，整理得：∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°，∴C＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 为正三角形.方法二：由余弦定理，得B ac c a bcos 2222-+=， ∵B=60°,2c a b +=， 60cos 2)2(222ac c a c a -+=+， 整理，得0)(2=-c a ，∴a=c.从而a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形.。
相似三角形的判定1
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儿女双全„„呵呵„„ “马大宝喝醉了酒忙把家还„„”一股酒气掺杂在寒风中迎面扑来，泥泞的小道上一个身影在晃动。 马天栓呀马天栓，你真不愧是马大宝的后代，酒鬼一个。结婚五六年了，还没有一男半女，整天好吃懒做，一无所成，你还算个男人嘛！ 我才不理你呢！躲过他的身影，一口气跑回了家。 院子里静悄悄的，一点声音也没有。从窗口射出的灯光映着地上一小片白雪，我这才感到雪越下越大了。 我轻轻地推开门，满屋的烟气扑鼻而来，定晴一看，堂屋里坐满了人，却死一般的寂静。陈旧的沙发上坐着我那年过花甲的父亲，他正在一口 一口地抽着烟，像是天要塌下来一样的烦心。 若不是遇到大事，父亲是不会这个样子的。 “六弟回来了。”五哥的话打破了屋子里的宁两年，他最了解和关心我。 我把兜挂到墙上的木橛上，走到坐在偏座上的母亲身边，“娘，这是怎么了？” “老六啊，娘跟你说过多少回，你又不是不知道，你媳妇最近要生孩子，你怎么一去就是十几天，你心里还有这个家吗？„„再说，这厂又不 是你自己的，你不就是一个小小的工人嘛，人家有头有脸的都在家里干什么，你知道吗？让你一个人给他们拼命，你得到什么好处了？„„” “娘，你怎么也„„” “什么也别说了，快到里间去看看她娘们，然后„„出来开家庭会。”父亲打断了我的话。 在我们这个二十多口人的家里，父亲的话就是圣旨。 走进里间，四嫂和五嫂都坐在床沿上，我的妻子肖燕盘坐在床上正在给孩子喂奶。 “你和孩子都好吗？我„„”我一时语塞，什么话也说不出来。刚才我对娘的话还有些不服，现在我才感到内心深处有一种说不出的内疚„„ 唉！哪有妻子生孩子，丈夫不在跟前的？我真是一个不称职的丈夫！ “那姊妹俩都好，就是这一个妮子身体弱„„也不肯吃奶，恐怕„„”妻子的话哽咽了，眼泪从她的眼角流出来，滴在襁褓中的婴儿的脸上。 我顺势望去，在四嫂和五嫂的背后，还有两个熟睡的婴儿！ 我的天哪，怪不得老厂长的表情怪怪的，父亲一口一口地抽烟，母亲一肚子的牢骚，还有妻子满脸的泪水„„ 一胞三胎，女孩，绝户头一个！
三角形全等的判定1(SAS)
6
5
③
2.在下列图中找出全等三角形，并把它 们用直线连起来.
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅷ
Ⅶ
范例学习
例1:
已知：如图，AD∥BC，AD=CB 求证：△ADC≌△CBA
A D 1
分析：观察图形，结合已知条件，知， AD=CB，AC=CA，但没有给出两组 对应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
课的内容
• 1，确定一个三角形形状需要几个元素 • 2，判断两个三角形全等至少需要几个条件 • 3，利用SAS判断三角形全等
复习：全等三角形的性质
若△AOC≌△BOD， 对应边: AC= BD ， AO= BO ， CO= DO ， 对应角有: ∠A= ∠B ， ∠C= ∠D ， ∠AOC= ∠BOD ;
B
C
归纳总结，继续探究
• 确定一个三角形的形状，大小需要三个元 素，确定三角形形状，大小的条件能否作 为判断三角形全等的条件呢？
操作:
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边长为4cm：
②只给一个角为60°：
可以发现只给一个 条件画出的三角形 不能保证一定全等
60°
60°
A D
B
C
E
F
在人工湖的岸边有A、B两点，难以直 接量出A、B两点间的距离。你能设计一种 量出A、B两点之间距离的方案吗？
A
B
C
如图，在湖泊的岸边有A、B两点，难 以直接量出A、B两点间的距离。你能设计 一种量出A、B两点之间距离的方案吗？
1.5 全等三角形的判定(1)
例3 小明做了一个如图所示的风筝，他想 去验证∠BAC与∠DAC是否相等，手头只 有一把（足够长）尺子，线段）相等转化为证角 （或线段）所在的三角形全等
作业4. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.你能 通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?若能,画 出辅助线,并给出证明.
a=3cm,b=3.5cm,c=5.5cm.
全等三角形判定公理：
三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边 边边”或“SSS”）
如果…那么…形式描述：
如果两个三角形有三边对应相等，那么这两个 三角形全等。
几何语言描述：
A
∵ AB = A' B'
CB = C' B' AC = A' C'
作业5. 已知:如图,AB=DE,BC=EF,AF=DC.求 证:BC∥EF.
由已知可得△ABC≌△DEF(SSS) ∴ ∠EFD＝∠BCA(全等三角形的对应角相等), ∴ ∠EFC＝∠BCA(等角的补角相等), ∴ EF∥BC(内错角相等，两直线平行).
课内练习 2. 如图,点B,E,C,F在同一条直线上,且 AB=DE,AC=DF ,BE=CF.将下面证明△ABC≌△DEF的过程补充完整.
B A'
C
∴△ABC≌△A'B' C' B'
C'
• 我们发现三角形的三边长度确定，这个三角形的 形状大小就完全确定，这个性质叫三角形的稳定 性。这是三角形特有的性质。
例1 已知：如图， 在四边形ABCD中，AB＝CD， AD＝CB，求证：∠B＝∠D
A B D C A B D C
小结：非三角形全等问题要转化成三角形全等问题。
全等三角形判定(HL)(一)
全等三角形判定(HL)（一）引言概述：全等三角形判定是在几何学中一项基本的判定方法。
本文主要介绍全等三角形判定的基本原理以及应用。
在以下正文内容中，将会详细阐述全等三角形判定的基本理论和判定条件。
正文内容：一、全等三角形的定义1. 两个三角形的边长和角度完全相等时，可以判定它们为全等三角形。
2. 全等三角形具有相同的形状和大小，但可能有不同的方向。
二、全等三角形的判定方法1. HL（斜边-直角边相等）法：当两个三角形中的一个直角边和斜边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。
2. SSS（三边相等）法：当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。
3. SAS（两边一角相等）法：当两个三角形中的一对边和夹角分别相等时，可以判定它们为全等三角形。
4. ASA（两角一边相等）法：当两个三角形中的一对角度和夹边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。
5. AAS（两角一边相等）法：当两个三角形中的两对角度和一边分别相等时，可以判定它们为全等三角形。
三、全等三角形判定实例1. 使用HL法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。
2. 使用SSS法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。
3. 使用SAS法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。
4. 使用ASA法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。
5. 使用AAS法判定两个三角形是否全等的步骤和示例。
四、全等三角形判定的应用1. 在工程建模和设计中，全等三角形判定可用于测量和构建不同物体的几何形状。
2. 全等三角形判定也可用于计算三角形的面积和周长。
3. 在解决几何问题和证明几何定理时，全等三角形判定常作为基本工具。
五、总结：全等三角形判定是几何学中一项重要且基础的判定方法。
通过判定两个三角形的边长、角度和夹边的关系，我们可以确定它们是否为全等三角形。
全等三角形判定具有广泛的应用，可用于测量和设计物体的几何形状，计算三角形的面积和周长，同时也为解决几何问题和证明几何定理提供了基础工具。
最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
数学人教B 必修5第一章解三角形知识建构综合应用专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，b 2＋c 2－a 2a 利用余弦定理的推论如cos A ＝把角的余弦化边，或利用sin A ＝把角的正弦化2bc 2R边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 是△ABC 的角∠A ，∠B ，∠C 的对边，①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°；②若a 2＋b 2＞c 2，则∠C ＜90°；③若a 2＋b 2＜c 2，则∠C ＞90°；π④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝.2应用1在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．应用2在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．应用1在△ABC 中，求证：a 2＋b 2sin 2A ＋sin 2B (1)2＝；c sin 2C(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．应用2已知在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .a 2＋b 2＋c 2求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝.4S提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：111(1)S △ABC ＝ah a ＝bh b ＝ch c .222111(2)S △ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B ．222a ＋b ＋c (3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝)．2应用在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．2提示：由已知可把角A 算出来，再求tan A ，并求出sin A ，直接代入面积公式即可求面积．专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．cos C 2a －c 应用1在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且＝.cos B b(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．应用2在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；33(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为，求a ＋b 的值．2提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→解三角形问题――→三角形问题的解――→实际问题的解概括演算应用1如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧抽象推理还原远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．应用2如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．真题放送1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()．A ．3366B ．C ．D ．36362．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于__________．→→3．(2011·上海高考)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB ·AD＝______.4．(2011·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C ．(1)求角C 的大小；π(2)求3sin A －cos(B ＋)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．45．(2011·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b1＝2，cos C ＝.4(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．6．(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .b (1)求；a(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求∠B ．7．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C1＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝b 2.45(1)当p ＝，b ＝1时，求a ，c 的值；4(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．答案：综合应用专题一应用1：钝角∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m ＞0),∵c ＞b ＞a ，∴∠C ＞∠B ＞∠A .a 2＋b 2－c 24m 2＋9m 2－16m 21∴cos C ＝＝＝－＜0.2ab 42×2m ×3m∴∠C 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形．应用2：解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°.∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C )＋sin C ，31展开，整理得sin C ＋cos C ＝1.22∴sin(C ＋30°)＝1.∴∠C ＋30°＝90°.∴∠C ＝60°.故∠A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .a ＋c ∵∠B ＝60°，b ＝，2a ＋c 2∴()＝a 2＋c 2－2ac cos 60°.2整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c .从而a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．专题二a b c 应用1：证明：(1)由正弦定理，设＝＝＝k ，sin A sin B sin Ck 2sin 2A ＋k 2sin 2B sin 2A ＋sin 2B 显然k ≠0，所以，左边＝＝＝右边，即原等式成立．k 2sin 2C sin 2Cb 2＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2＋b 2－c 2(2)根据余弦定理，右边＝2(bc ·＋ca ·＋ab ·)＝(b 2＋c 2－a 2)2bc 2ca 2ab222222222＋(c ＋a －b )＋(a ＋b －c )＝a ＋b ＋c ＝左边，即原等式成立．222b 2＋c 2－a 2cos A b ＋c －a 应用2：证明：由余弦定理，得cos A ＝，所以cot A ＝＝＝2bc sin A 2bc sin Ab 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2，同理可得cot B ＝，cot C ＝，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝4S 4S 4Sb 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－b 2a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＋c 2＋＋＝.4S 4S 4S 4S专题三2应用：解：∵sin A ＋cos A ＝2cos (A －45°)＝，21∴cos (A －45°)＝.2又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝105°.tan 45°＋tan 60°∴tan A ＝tan (45°＋60°)＝＝－2－3，1－tan 45°tan 60°2＋6sin A ＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝.4又∵AC ＝2，AB ＝3，2＋6311∴S △ABC ＝AC ·AB ·sin A ＝×2×3×＝(2＋6)．2244专题四cos C 2a －c 2sin A －sin C 应用1：解：(1)由＝＝，得cos B b sin Bcos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C .∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C＝sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A .1∵sin A ≠0，∴cos B ＝.2(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4，∴(a ＋c )2－3ac ＝7.∴ac ＝3.11333∴S △ABC ＝ac sin B ＝×3×＝.2224应用2：解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a 2sin A sin A ＝＝.c sin C 33∵sin A ≠0，∴sin C ＝.2∵△ABC 是锐角三角形，π∴∠C ＝.3π(2)∵c ＝7，∠C ＝.由面积公式，得31π33ab sin ＝，∴ab ＝6.①232π由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②3由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.专题五应用1：解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°.根据正弦定理，AB sin ∠BAC 5sin 15°得BC ＝＝≈7.452 4(km)，sin 10°sin ∠ACBCD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1.047 (km)．答：山的高度约为1.047 km.应用2：解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，222∴(14x )＝9＋(10x )－2×9×10x cos 120°，2化简，得32x －30x －27＝0.39解得x ＝或x ＝－(舍去)．216∴BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21.BC sin 120°15353又∵sin ∠BAC ＝＝×＝，AB 21214∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才能追赶上该走私船．真题放送31．D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝a .2在△ABD 中，由余弦定理，得33(a )2＋(a )2－a 222222AB ＋AD －BD 1cos A ＝＝＝.2AB ·AD 3332×a ·a 2222又∵∠A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝.3BC AB 在△ABC 中，由正弦定理，得＝.sin A sin C3a 222AB 6∴sin C ＝·sin A ＝·＝.BC 2a 361132．2在△ABC 中，由面积公式得S ＝BC ·CA ·sin C ＝×2·AC ·sin60°＝AC ＝3，∴AC 2221＝2.再由余弦定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2－2·AC ·BC ·cos C ＝22＋22－2×2×2×＝4.∴AB ＝2.23．15如图，在△ABD 中，由余弦定理得2AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝9＋1－2×3×cos 60°＝7，∴AD ＝7，AB 2＋AD 2－BD 29＋7－15∴cos ∠BAD ＝＝＝.2AB ·AD 2×3×727515于是，AB ·AD ＝|AB ||AD |cos ∠BAD ＝3×7×＝.2724．解：(1)因为c sin A ＝a cos C ，由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0.从而sin C ＝cos C .π又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则∠C ＝.43π(2)由(1)知，B ＝－A .于是4π3sin A －cos(B ＋)4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos Aπ＝2sin(A ＋)．63πππ11π因为0＜A ＜，所以＜A ＋＜.46612ππππ从而当A ＋＝，即A ＝时，2sin(A ＋)取最大值2.6236ππ5π综上所述，3sin A －cos(B ＋)的最大值为2，此时∠A ＝，∠B ＝.431215．解：(1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×＝4，4∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.1(2)∵cos C ＝，4115∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－()2＝.44154a sin C 15∴sin A ＝＝＝.c 28∵a ＜c ，∴∠A ＜∠C .故∠A 为锐角．1527)＝.88∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C71151511＝×＋×＝.8484166．解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .b 故sin B ＝2sin A ，所以＝ 2.a(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，(1＋3)a 得cos B ＝.2c由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.12可得cos 2B ＝，又cos B ＞0，故cos B ＝，22所以∠B ＝45°.5a ＋c ＝，47．解：(1)由题设和正弦定理，得1ac ＝，4∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(⎧⎨⎩1a ＝1，⎧⎧⎪⎪a ＝4，解得⎨1或⎨c ＝，⎪⎪⎩4⎩c ＝1.11(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－b 2－b 2cos B ，2231即p2＝＋cos B，223因为0＜cos B＜1，得p2∈(，2)．2由题设知p＞0，所以6＜p＜ 2. 2。
三角形中点定理
三角形中点定理三角形中点定理，又称为中位线定理，是平面几何中的一个重要定理。
它阐述了三角形内三条中线的特点与性质。
本文将详细论述三角形中点定理及其相关推论，以便更好地理解和应用该定理。
一、三角形中线的定义与性质在三角形ABC中，由三个顶点A、B、C分别连接各边的中点D、E、F，所形成的线段AD、BE、CF即为三角形ABC的中线。
根据三角形中点定理，中线具有以下性质：1. 三条中线互相平行，且等于三角形两边的一半。
证明：连接AD和CF，由于D、E、F为各边的中点，根据两点间的线段中点定理可推出AD ∥ BC，并且AD = 1/2 BC。
同理，BE ∥AC，BE = 1/2 AC；CF ∥ AB，CF = 1/2 AB。
所以三条中线互相平行，且等于各边的一半。
2. 三条中线交于一个点，该点称为三角形的重心。
证明：假设三条中线交于点O。
连接AO、BO、CO。
根据平行四边形的性质可知，AD = 1/2 BC，BE = 1/2 AC，CF = 1/2 AB。
根据向量加法和平行四边形的关系可得：AO + BO = 2AD + 2BE = BC + AC = ABBO + CO = 2BE + 2CF = AC + AB = BCCO + AO = 2CF + 2AD = AB + BC = AC由此可得AO = BO = CO，即点O在三条中线的交点上，故点O为三角形的重心。
二、三角形中点定理的应用1. 判断三角形形状：根据三角形中点定理，如果三角形的中线相等，那么该三角形是等腰三角形。
因为等腰三角形的两条边相等，所以由中线的定义可推出三条中线相等，且平行。
2. 求解三角形面积：根据三角形中点定理，三角形的两条中线之间的长度恰好为三角形面积的一半。
因此，我们可以通过已知三角形中线的长度来求解三角形的面积。
3. 构造三角形：根据三角形中点定理，给定一条边的中点和该边上的长度，还可以根据中线的定义，得到另外两条边的中点，从而构造出三角形。
备战2023年中考数学一轮复习考点10 勾股定理
考点10 勾股定理勾股定理主要包括勾股定理、勾股定理的逆定理以及勾股数、直角三角形的判断。
在中考中，勾股定理主要以选择题和填空题的形式进行考查，但是勾股定理同样是作为一项工具性质的知识，多与其他几何知识结合，多用来计算三角形边的长度，难度中等。
一、勾股定理；二、勾股定理的逆定理；三、勾股定理的应用。
考向一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，， ． 2.勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．在图（1）中22222214c b a ab c b a S ABCD =+⇒⨯+=+=）（正方形 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．a b ，c 222a b c +=222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-在图（2）中22222214)(c b a ab a b c S ABCD =+⇒⨯--==正方形，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．在图（3）中，2222212122))((c b a c ab b a b a S ABCD =+⇒+⨯=++=正方形 。
1．如图，ABC 中，D 为AB 的中点，E 在AC 上，且BE AC ⊥．若10DE =，16AE =，则BE 的长度为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．132．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC =cm ，8BC =cm ，现将ACD 沿直线AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则CD 的长为（ ）cm ．A ．52B ．53C ．3D ．323．如图，在ABC 中，AB AC =，72B ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ．若2AC =，则CB 的长为（ ）A1 B．3 CD4．如图，三角形ABC 中，90AB AC BAC BD BC CE BC ∠︒⊥⊥=，=，，， 45DAE ∠︒=，若BD=CE =DE =（ ）A ．2 B．C ．4 D．5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点D 为边AB 的中点，DE DF ⊥，DE 交AC 于点E ，DF 交BC 于点F ．若3AE =，2BF =，则EF 的长为（ ）AB ．5 CD ．13考向二：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；a b c 、、222a b c +=c（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
14.2全等三角形的判定1(SAS)
范例学习
已知:如图,AD∥BC AD＝BC 求证:△ADC≌△CBA
A 证明:∵AD∥BC(已知) ∴∠DAC＝∠BCA(两直线平行,内错角相等) 在△ADC和△CBA中, AD＝BC(已知) ∠DAC＝∠BCA(已证) AC＝CA(公共边) B D C
准备条件
指出范围 列举条件 得出结论
∴△ADC≌△CBA(SAS)
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅷ
Ⅶ
练习： 1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立 在△AOB和△DOC中
∵
A
0
D
A0=DO（已知） ∠AOB
=
∠DOC （对顶角相等）
B
C
BO=CO（已知） ∴ △AOB≌△DOC（ ） SAS
2.在△AEC和△ADB中
AC
A （已知）
E D
例题1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE， 说明△BAC与△DAE全等的理由。
证明：∵∠BAD=∠CAE（已知） ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD 即∠BAC=∠DAE 在△ BAC与△ DAE中， AB=AD（已知） ∠BAC=∠DAE（已证） AC=AE（已知）
∴△ BAC≌△ DAE（SAS）
◆2.只给定两个元素： ①一边一内角： 30° ②两内角： 30°
有哪几 种情况？
30°
30° 45°
③两边：
2cm
4cm
30°
45°
2cm
4cm
只给定三角形的两个元素，不能完全确定一个三角形的形状、大小。
还需要增加什么条件才行Байду номын сангаас？
判定三角形形状的十种方法1
判定三角形形状的十种方法1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等腰三角形。
2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC为等边三角形。
3、若有a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形;若有a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形;若有a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形。
4、若有(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则△ABC为等腰三角形或直角三角形。
5、若有a=b且a2+b2=c2,则△AB C为等腰直角三角形。
以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。
6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则△ABC为直角三角形或等腰三角形。
7、若有cosA>0,或tanA>0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。
8、若有cosA<0,或tanA<0,(其中∠A为△ABC中的最大角), 则△ABC为钝角三角形。
9、若有两个(或三个)同名三角函数值相等(如tanA=tanB),则△ABC为等腰三角形(或等边三角形)。
10、若有特殊的三角函数值,则按特殊角来判断,如cosA=,b=c,则△ABC为等边三角形。
以下就一些具体实例进行分析解答:一、利用方程根的性质:例1:若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边,则此三角形为()(A)锐角三角形;(B)钝角三角形;(C)以c为斜边的直角三角形;(D)以a为斜边的直角三角形;(D)二、利用根的判别式例2:已知a、b、c是△ABC的三边,且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根,试判断△ABC 的形状。
解:整理原方程,得:(c+b)x2-2ax+(c-b)=0,由已知,得:△=4a2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)<0 ,∴a2+b2-c2<0,即a2+b2<c2,故△ABC是钝角三角形。
相似三角形判定定理1
相似三角形判定定理1相似三角形判定定理1是在几何学中常用的一个定理，用来判断两个三角形是否相似。
相似三角形是指具有相同的形状但尺寸不同的三角形。
这个定理的应用十分广泛，不仅可以用于解决几何学题目，还可以应用于工程、建筑、地理等领域。
相似三角形判定定理1可以通过三个角的对应关系来判断两个三角形是否相似。
根据这个定理，如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
具体来说，如果两个三角形的对应角分别为A、B、C和A'、B'、C'，并且满足∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，那么这两个三角形就是相似的。
通过相似三角形判定定理1，我们可以快速判断两个三角形是否相似，从而简化问题的解决过程。
并且，相似三角形的性质与比例有关。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边长之比是相等的。
例如，如果三角形ABC与三角形A'B'C'相似，那么可以得到以下比例关系：AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。
相似三角形判定定理1的应用非常广泛。
在工程和建筑领域，我们可以利用这个定理来计算物体的高度、长度、角度等信息，以便进行设计和施工。
在地理学中，我们可以通过测量地图上的角度和长度来判断两地之间的距离和相对位置。
在解决几何学问题时，我们可以利用这个定理简化计算过程，快速得到结果。
总之，相似三角形判定定理1是一个非常有用的定理，可以帮助我们判断两个三角形是否相似。
它的应用范围广泛，不仅可以用于几何学问题的解决，还可以应用于工程、建筑、地理等领域。
通过相似三角形判定定理1，我们可以更加便捷地解决问题，简化计算过程，得到准确的结果。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法判断三角形形状是几何学中的一个基本问题，目的是确定给定三个边长的三角形是等边、等腰、直角、锐角、钝角还是不规则三角形等。
下面将介绍十种常见的方法来判定三角形的形状。
1.边长判断法：通过比较三个边长的大小关系，可以快速判断三角形的形状。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
-若任意两个边长相等，则为等腰三角形。
-若三个边长均不相等，则为不规则三角形。
2.角度判断法：通过测量三个角的大小，可以判断三角形的形状。
-若三个角均为90度，则为直角三角形。
-若三个角均小于90度，则为锐角三角形。
-若三个角中有一个大于90度，则为钝角三角形。
3.角边关系法：通过边长和角度的关系，可以判断三角形的形状。
-若一个角为90度，且其他两个角中的一个为45度，则为45-45-90直角三角形。
-若一个角为90度，且其他两个角相等，则为30-60-90直角三角形。
4.海伦公式法：海伦公式可以判断给定三个边长的三角形面积，并进一步判断其形状。
-若三角形的面积计算结果为零，则三个点共线，为退化三角形。
-若三角形的面积计算结果大于零，则为常规三角形。
5.直角判断法：判断三角形是否为直角三角形，可以通过勾股定理或余弦定理来判断。
-若满足勾股定理（c²=a²+b²），则为直角三角形。
6.等腰判断法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过边长关系和角度关系来判断。
-若两边边长相等，则两边对应的两个角也相等。
若两个角相等，则为等腰三角形。
7.等边判断法：判断三角形是否为等边三角形，可以通过边长关系来判断。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
8.角平分线法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过角平分线的性质来判断。
-若一个角的角平分线与对边相等，则为等腰三角形。
9.角度和法：若三个角相加等于180度，说明是一个三角形。
通过角度和可以进一步判断其形状。
-若三个角不相等，且和为180度，则为不规则三角形。
13.3 全等三角形的判定 - 第1课时课件(共18张PPT)
三角相等：
三边相等：
基本事实一
如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.
基本事实一可简记为“边边边”或“SSS”.
拓展提升
1.如图，已知AB=AE，AD=AC，BC=ED，BC，DE交于点O.求证：∠BAD=∠EAC.
证明：在△BAC和△EAD中，AB＝AE，AC＝AD，BC＝ED．∴△BAC≌△EAD（SSS）．∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAC－∠DAC=∠EAD－∠DAC，即∠BAD=∠EAC.
归纳小结
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
探究一
新知探究
知识点1 边边边
通过作图探究一个元素相等能否判定两个三角形全等？
一条边相等：
一个角相等：
探究二
通过几何拼接条探究两个元素相等的三角形是否全等？
两条边相等：
两个角相等：
一边一角相等：
探究三
探究四
知识点2 三角形的稳定性
用拼接条制作三角形和四边形框架,并拉动它们，你发现了什么？
三角形的形状和大小是固定不变的，而四边形的会改变.
三角形所具有的这一性质叫做三角形的稳定性.四边形具有不稳定性.
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子.
在生活中，我们也经常会看到应用四边形不稳定性的例子.
随堂练习
1.已知：如图，AB=EF，AC=ED，BF=CD.求证：∠A=∠E.
证明：∵BF=CD，∴BF+FC=CD+FC∴BC=FD∵AB=EF，AC=ED∴△ABC≌△EFD（SSS）∴∠A=∠E.
三角形的简单特征(一)
三角形的简单特征(一)
三角形的简单特征
什么是三角形？
•三角形是由三条线段相连接而成的几何形状•每条线段称为三角形的边
三角形的特性
1.三边关系
–三边之和等于180°
–任意两边之和大于第三边
2.三个内角
–三个内角之和等于180°
3.三个外角
–三个外角之和等于360°
4.三角形的分类
–根据边长分类
•等边三角形：三条边长度相等
•等腰三角形：两条边长度相等
•普通三角形：三条边长度各不相等
–根据角度分类
•直角三角形：一个内角为90°
•钝角三角形：一个内角大于90°
•锐角三角形：三个内角都小于90°
5.三角形的重要性质
–高度：从顶点到底边的垂直距离
–中线：连接一个顶点与对立边中点的线段
–面积：三角形所占的平面区域
三角形的应用
•几何学基础：三角形是几何学中最基本的形状，通过研究三角形可以推导出其他更复杂的几何形状的性质。
•测量与计算：在工程、建筑、地理等领域，三角形的测量与计算是常见的任务。
例如，通过三角测量法可以测量远距离的高度或距离。
•图形设计：三角形在图形设计中经常被用作基本的元素，通过不同的组合和变化可以创造出各种样式和形状。
•数学推理：在数学证明中，三角形的性质常常被用来推导其他关于角度、边长等方面的结论。
结语
三角形是几何学中最基本、常见的形状之一，它具有许多独特的特征和重要的应用。
通过了解三角形的性质和特性，可以更好地理解几何学原理，并应用于实际问题中。
1.1第1课时直角三角形的性质和判定
第1课时 直角三角形的性质和判定
知识点二 直角三角形的判定 直角三角形 有两个角互余的三角形是________________ ．
第1课时 直角三角形的性质和判定
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质 一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________ ．
第1课时 直角三角形的性质和判定
反思
1 如图 1－1－3，在△ABC 中，D 是 AB 的中点，则 CD＝ AB. 2 上面的说法正确吗？如果不正确，请你添加一个条件，使得结 论正确．
解：不正确，添加条件不唯一，如：
∠ACB＝90°.
图1－1－3
目标二 会利用角判定直角三角
例2 教材补充例题 如图1－1－1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，
∠1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．
图1－1－1
第1课时 直角三角形的性质和判定
[解析] 可以通过角之间的转化推出∠B＋∠C＝90°.
证明：∵AD⊥BC， ∴∠1＋∠C＝90°.
∵∠1＝∠B，
∴∠B＋∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
图1－1－2
第1课时 直角三角形的性质和判定
[解析] 在Rt△BDE中，利用三角形内角和定理求得∠B的度数，根据直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△ABD是等腰三角形，再利用
等腰三角形的性质求解即可．
解：∵ED⊥BC，∠E＝35°，
∴∠B＝55°. ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AD是BC边上的中线， ∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝55°，
第1章
1.1
直角三角形
直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1章 直角三角形
第1课时 直角三角形的 性质和判定
全等三角形的判定[1]
![全等三角形的判定[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/34022529ce84b9d528ea81c758f5f61fb736282c.png)
1. 说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
四、例题赏析
例2 如图，当 AB=CD，BC=DA时，图中的△ABC 与△CDA是否全等？则∠A= ∠C并说明理由？
答:△ABC与△CDA是全等三角形。
证明： 在△ABC与△CDA中
A
A'
B
C
B'
C'
思考:
要使两个三角形全等,是否一定要满足六个条件呢?
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
(1)一个条件 一边 一角
一边一角 (2)两个条件 两角
两边
三角
(3)三个条件 三边 两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
一边 (1)一个条件
×
一角
一边一角 (2)两个条件 两角
A
AB=CD (已知)
∵ AD=CB (已知)
B
AC=CA (公共边)
D C
∴△ABC≌△CDA （SSS）
∴ ∠A= ∠C (全等三角形的对应角相等)
举一反三
变式 如图，当 AB=CD，BC=DA时，你能说明AB
与CD、AD与BC的位置关系吗？为什么？
答：能判定AB∥CD. 证明： 在△ABC与△CDA中
BCA=CBD D( 已C知(已)知)
B
A
D
O
D
CC
ACA=CAC D( B公(共已边知))
C
∴ △ABBCC≌ △CBA(D公C共 （边 SS)S）
∴△ABC≌△DCB （SSS）
∴∠A=∠D（全等三角形的对应角相等）
三角形的分类如何通过给定的边长判断一个三角形的类型
三角形的分类如何通过给定的边长判断一个
三角形的类型
三角形是一个由三条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
根据三角形的边长可以将其分类为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和一般三角形。
通过给定的边长，我们可以判断一个三角形的类型。
1. 等边三角形：
等边三角形的三条边长都相等。
如果给定的三个边长相等，则可以判断这个三角形是等边三角形。
2. 等腰三角形：
等腰三角形的两条边长相等。
如果给定的两个边长相等，则可以判断这个三角形是等腰三角形。
注意，等边三角形也是一种等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形。
3. 直角三角形：
直角三角形的一个角是90度。
通过给定的三个边长可以使用勾股定理来判断是否为直角三角形。
如果任意两个边长的平方和等于第三边长的平方，则可以判断这个三角形是直角三角形。
4. 一般三角形：
一般三角形指除了上述三种特殊情况之外的三角形，即三条边长均不相等且没有直角。
如果给定的三个边长不满足以上三种情况，则可以判断这个三角形是一般三角形。
需要注意的是，给定的三个边长必须满足三角形的成立条件，即任意两边之和大于第三边。
如果给定的三个边长无法组成三角形，则无法判断其类型。
总结起来，通过给定的边长可以判断一个三角形的类型，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和一般三角形。
但需要确保给定的边长满足三角形的成立条件。
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三角形的形状的判定浙江奉化江口中学（315504）毛显勇在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。
这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。
1、复习三角形中有关知识：1.1角的关系：A+B+C=ππ=⇒C -(A+B)、 222B A C +-=π 或A+B=π-C 、222C B A -=+π 1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。
正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=。
三角形面积：S=21C ab sin =21A bc sin =21B ca sin 1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。
按边分：等腰Δ，等边Δ。
其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。
2、三角形形状的判定：在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。
2.1若 a=b 或cosA=cosB 、tanA=tanB 、sinA=sinB ⇒ A=B 则三角形是等腰三角形；2.2若222c b a =+ 则C 是直角，三角形是直角三角形；22b a +<2c 则C 是钝角，三角形是钝角三角形；222c b a >+ 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。
2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形；cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC<0, 则A 、B 、C 中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。
2.4若a •b =0⇔a ⊥b ，则三角形是直角三角形。
3、举例应用：例1 已知α是一个三角形的内角，且sin α+cos α=32，则这个三角形的形状是（ ） A 、 锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定解：∵ 00<α<1800，且sin α+cos α=32<1，∴ 900<α<1800（当00<α<900时，有三角函数线，得sin α+cos α>1；当α=900时，sin α+cos α=1）。
故选B 。
说明：本题直接利用三角函数线及三角形中任两边之和大于第三边，缩小角的取值范围，从而快速得解。
例2 在ΔABC 中，内角A 和B 满足cosAcosB=sinAsinB ，则ΔABC 的形状是 。
解： cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0 又 A+B ∈（0，π）∴ A+B=2π。
故ΔABC 是直角三角形。
变式1：若条件为cosAcosB>sinAsinB ，则ΔABC 的形状是钝角三角形。
变式2：若条件为cosAcosB<sinAsinB ，则ΔABC 的形状不能确定。
说明：本题倒用两角和与差的公式，再根据角的取值范围先确定角A+B 的范围，从而确定角C 的范围，就得解。
例3 在ΔABC 中，已知cos 2A+cos 2B+cos 2C=2，试判定其形状。
解：在ΔABC 中，cos 2A+cos 2B+cos 2C=22cos 1A ++22cos 1B ++cos 2(A+B) =1+21(cos2A+cos2B)+cos 2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos 2(A+B) =1+cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]=1+cos(A+B)2cosAcosB=1-2cosAcosBcosC=2⇒cosAcosBcosC=-21<0⇒cosA 、cosB 、cosC 中必有一个小于零 ⇒A 、B 、C 中必有一个角是钝角⇒ΔABC 是钝角三角形。
推广：由cos 2A+cos 2B+cos 2C=1-2cosAcosBcosC得cos 2A+cos 2B+cos 2C<1⇒cosAcosBcosC>0，则ΔABC 是锐角三角形。
cos 2A+cos 2B+cos 2C=1⇒cosAcosBcosC=0，则ΔABC 是直角三角形。
cos 2A+cos 2B+cos 2C>1⇒cosAcosBcosC<0，则ΔABC 是钝角三角形。
说明：在三角形中不能忘记A+B+C=π。
本题用降幂公式、和差化积等公式把已知化简为余弦的连乘积，确定角的范围，故得解。
例4 在ΔABC 中，已知 BA B A C cos cos sin sin sin ++=，试判定ΔABC 的形状。
解：在ΔABC 中，C=π-(A+B) ∴sinC=sin(A+B)∴sin(A+B)=B A B A cos cos sin sin ++=++2cos 2sin 2B A B A 2cos 2cos 22cos 2sin2B A B A B A B A -+-+ 又 在ΔABC 中，02≠+B A ∴0)cos(012cos 22=+⇒=-+B A B A 2π=+⇒B A ∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。
说明：本题利用倍角、和差化积等公式，把已知式子化简，并化为同一类角，从而来确定三角形的形状，这是解这类题的常用解法，要熟练掌握。
另解： cosA+cosB=C B A sin sin sin + ∴bc a c b 2222-++acb c a 2222-+=c b a + 即ac 2-a 3+bc 2-b 3-a 2b-ab 2=0⇒(a+b)(c 2-a 2-b 2)=0 a+b ≠0⇒c 2=a 2+b 2∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。
说明：本解法是应用正弦、余弦定理把“角”全换成“边”，通过边的关系来判定三角形的形状，且这里的正弦、余弦定理都是变形应用。
例5 以长度分别为4，5，6的线段为三角形的三边，则（ ）A 、所构成的三角形是一个锐角三角形B 、所构成的三角形是一个直角三角形C 、所构成的三角形是一个钝角三角形D 、不能构成三角形解： 42+52>62∴能构成三角形，且是锐角三角形。
故选A 。
说明：本题是余弦定理的又一变形应用，用来判断类似题既快速又准确。
例6 在ΔABC 中，b=asinC 且c=asin(900-B)，判定ΔABC 的形状。
解：∵ c=asin(900-B)=acosB=c b c a ac b c a a 22222222-+=-+ 22222c b c a =-+⇒是直角A b c a ⇒+=⇒222； 又∵ 1sin sin sin =⇒=A A C c A a 是直角 C a c C c a sin sin =⇒=⇒ 由条件C a b sin =c b =⇒∴综上得ΔABC 是等腰直角三角形。
说明：条件中有边、角关系，应利用正、余弦定理，把条件统一为边或者是角的关系，从而判定三角形的形状。
这是判断三角形形状的常用解题思路。
例7 如图ΔABC 中，AB =c ，BC =a ，CA =b ，则下列推导中，是假命题．．．的为（ ） A 、若a •b >0，则ΔABC 是钝角三角形B、若a•b=0，则ΔABC是直角三角形 AC、若a•b=b•c，则ΔABC是等腰三角形a bD、若c•（a+b+c）=0，则ΔABC是等边三角形 B c C解：∵a+b+c=BC+CA+AB=0对任意三角形都成立，而c•0=0恒成立∴选项D中的命题是假命题，故选D。
说明：本题是一道易错题，很可能会错选A。
要注意的是向量a、b的夹角不是内角A，而应是1800-A（求向量的夹角的前提是它们有共同的起点）；另选项C也正确，可通过向量a、c在b上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。
本题主要根据向量的数量积的定义来解，要注意概念的准确运用。
4、总结1）观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等，从而找到简便的解法。
2）判定三角形的形状，除单纯角的关系或边的关系外，对含有边角的关系，一定要把条件统一转化成边的关系或角的关系来判断。
在转化过程，除了直接应用边角关系的正余弦定理外，还充分用到和、差、倍、半角的三角函数或三角函数的和差化积、积化和差公式去改变角和三角函数的形状，并还利用向量的数量积等有关知识来解题。
5、练习：1）在ΔABC中，如果sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形2）在ΔABC中，如果sinC=cosA+cosB，那么这个三角形是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、等腰直角三角形3）ΔABC中，已知|AB|=|AC|=4，且AB•AC=8，则ΔABC的形状是。
4）在ΔABC中,已知acosA=bcosB，试判定ΔABC的形状。
答案：1）C 2）D 3）等边三角形 4）直角三角形或等腰三角形。