实对称矩阵
实对称矩阵求特征值的技巧
实对称矩阵求特征值的技巧实对称矩阵在线性代数中有着重要的地位，它不仅在理论上有着丰富的性质，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
求解实对称矩阵的特征值是其中一项重要的任务，本文将介绍一些常用的技巧和方法，帮助读者更好地理解和解决这一问题。
我们来回顾一下实对称矩阵的定义。
实对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵，即A^T=A。
这意味着实对称矩阵的元素关于主对角线对称。
例如，下面是一个3x3的实对称矩阵的示例：A = [a b c][b d e][c e f]在求解实对称矩阵的特征值时，我们可以利用矩阵的对角化来简化计算。
对角化是将一个矩阵表示为对角矩阵的形式，即A=PDP^(-1)，其中P是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵。
对角化的好处是可以将矩阵的幂运算简化为对角矩阵的幂运算，而对角矩阵的幂运算非常简单。
要将实对称矩阵对角化，我们需要找到一个特征向量矩阵P，使得P^(-1)AP=D。
特征向量矩阵P的每一列都是对应于矩阵A的一个特征向量。
特征向量满足方程Av=λv，其中λ是特征值，v是特征向量。
现在，我们来具体介绍一些求解实对称矩阵特征值的技巧。
1. 对角化方法：如果实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A可以对角化为D=P^(-1)AP，其中D是一个对角矩阵，P是一个特征向量矩阵。
这样一来，求解A的特征值就变成了求解D的对角元素，即A的特征值。
2. 特征多项式方法：实对称矩阵A的特征多项式是一个关于λ的多项式，表示为det(A-λI)，其中I是单位矩阵。
根据代数学基本定理，特征多项式可以分解为一系列线性因子的乘积。
特征值就是特征多项式的根，可以通过求解特征多项式的根来得到特征值。
3. 幂法：幂法是一种迭代算法，用于求解实对称矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂法的基本思想是通过不断迭代矩阵的幂运算，使得向量收敛到特征向量。
具体步骤为：首先随机选择一个向量x(0)，然后进行迭代计算x(k+1)=Ax(k)，直到向量x(k)收敛。
实对称矩阵
对 2 1,由 A E x 0, 得
解之得基础解系
2 2 1 . 2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
解之得基础解系
1 3 2 . 2
第三步
将特征向量正交化
由于1 , 2 , 3是属于A的3个不同特征值1 , 2 ,
3的特征向量, 故它们必两两正交 .
i 令 i , i 1,2,3. i
第四步 将特征向量单位化
2 3 23 得 1 2 3 , 2 1 3 , 1 3 2 3
第三节 实对称矩阵的特征值和特征向 量
一、实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交. 设1 , 2 是实对称矩阵 A的两个特征值 , x1 ,
x2是对应的特征向量 , 下证若 1 2 , 则x1与x2正交 .
证明:
因为Ax1 1 x1
则
2 0 0 T 1 Q AQ Q AQ 0 1 0 . 0 0 1
总结: 利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵 ，其具体步骤为: 1. 求A的特征值; 2. 由 A i E x 0,求出每个i对应的基础解系 ; 3. 将这些基础解系正交化; 4. 将这些基础解系单位化.
1 3 1 1 3 , 1 3
1 2 2 1 2 , 0
1 6 3 1 6 . 2 6
于是得正交矩阵
1 3 1 2 1 Q 1 , 2 , 3 1 3 1 2 1 1 3 0 2 6 6 6
实对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．
证：设 是A0的任意一个特征值，则有非零向量
x1 x2
M
M xn
满足 A 0 .
x1
令
xxMMn2 ,
其中 为xi 的共x轭i 复数，
又由A实对称，有
A A, A A,
A A
0 (0 ) ( A ) ( A) ( A ) ( A ) ( A ) (0 ) ( 0 ) 0
i1,i2 ,L ,in
它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基． i
由于 是非零复向量，必有 x1x1 x2 x2 L L xn xn 0 故 0 0 . 0 R.
引理2 设A是实对称矩阵，在n 维欧氏空间 上
Rn
定义一个线性变换 如下：
( ) A, Rn
则对任意 , 有 Rn ,
( ), , ( ),
或
( A ) ( A ).
y11 y2 2 ... yn n (1, 2 ,..., n )Y ,
于是
( ) (1, 2,..., n ) X (1, 2,..., n ) AX , ( ) (1, 2 ,..., n )Y (1, 2,..., n ) AY , 又 1, 2 ,是...标,准n正交基，
1） 实对称矩阵可确定一个对称变换．
证：设 A Rnn , A A, 1, 2 ,..., n 为V的一组标准
正交基．
定义V的线性变换 ：
(1,... n ) (1,... n ) A 则 即为V的对称变换．
2） 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
证：设 为n维欧氏空间V上的对称变换，
有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 , ( , ) 0 即 , 正 交．
线代第四章之实对称矩阵
目录
• 实对称矩阵基本概念与性质 • 实对称矩阵的相似对角化 • 特征值与特征向量在实对称矩阵中的应用 • 正交变换在实对称矩阵中的应用 • 线性方程组在实对称矩阵中的解法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01
实对称矩阵基本概念与性质
定义及性质
性质：实对称矩阵 具有以下性质
不同特征值对应的 特征向量正交；
拓展延伸：其他类型矩阵简介
反对称矩阵
反对称矩阵是一个方阵，其转置等于它本身的相反数，即$A^T = -A$。反对称矩阵在量 子力学和刚体动力学等领域有着重要应用。
正交矩阵
正交矩阵是一个方阵，其逆等于它本身的转置，即$A^{-1} = A^T$。正交矩阵在保持向 量长度和角度不变的线性变换中扮演着重要角色。
举例说明
例子1
例子2
例子3
矩阵$A=begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$是一个实对称矩阵 ，因为$A^T=A$。
矩阵$B=begin{pmatrix} 1 & 2 -2 & -1 end{pmatrix}$不是一个实对称 矩阵，因为$B^T neq B$。
应用正交变换求解
03
04
05
首先，通过正交变换将 然后，根据对角矩阵
矩阵$A$化为对角矩阵， $D$的元素即为原实对
即求解$P^{-1}AP = D$， 称矩阵的特征值，求得
其中$D$为对角矩阵， 特征值为$lambda_1 =
$P$为正交矩阵；
1, lambda_2 = 4$；
最后，根据特征值求得 对应的特征向量，并构 造正交矩阵$P = begin{pmatrix} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{pmatrix}$。
第5章第3节实对称矩阵
2
1
n r
2 1 1 ... ... 0 0 1 2 1 2E 2 0 0 ... 0 ... 2 0 11 141页第6、7、8行 对角线上有 r个1 ，n—r个0 ，n—r个２
则
1 1 1 6 0 0 1 1 1 4 1 1 1 实对称阵不相同的特征值 对应的特征向量 1 3 0 1 2 1 1 4 1 P P 1 1 0 0 3 一定正交 4 1 0 1 0 0 3 1 1 2 1 1
10
6, 3, 3
A
思考题
解
A为实对称阵， 一定存在正交阵 P 使P1AP为对角阵 A P P 1 由A2 A可得 A的特征值是1或0, 的秩为r
1
设n阶实对称阵A 满足A2=A， 且A的秩为r 试求行列式 |2E—A|的值
| 2 E A | | 2 PP P P | | P (2 E ) P 1 | | 2 E |
138页13 设3阶方阵A 的特征值为 1, 0,
2 ， , 1 2 2 1 , 2 2 1 2 ,
1对应的特征向量 依次为
求3阶方阵A 2 1 2 2 2 1 1 0 0 1 , , 1 0 0 0 P 2 2 1 解 令 P 1 2 2 9 1 2 2 2 1 2 0 0 1 1 则 P AP 2 1 0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 2 3 1 1 2 1 A P P 1 2 2 0 0 0 2 2 1 0 9 2 1 2 0 0 1 1 2 2 3 3 137页10 2 2 1 2 101 0 0 101 1 A P P 3 3 3 3 1 1 2 PP A 0 3 3 2 2 8 0 3 3
§6实对称矩阵的标准形
矩阵的运算
加法
相同位置的元素相加 。
减法
相同位置的元素相减 。
数乘
所有元素乘以一个数 。
乘法
两个矩阵相乘，仅当 第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数 时，才能进行乘法运 算。
转置
将矩阵的行转换为列 ，或者将列转换为行 。
02
实对称矩阵
实对称矩阵的定义
实对称矩阵的定义
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置矩阵A^T等于A， 则称A为实对称矩阵。
矩阵的初等变换
总结词
详细描述
1. 行交换
2. 行倍法
3. 行消法
矩阵的初等变换是线性 代数中常用的方法，通 过行变换和列变换，可 以将一个矩阵转化为另 一个矩阵。
矩阵的初等变换包括以 下三种
将矩阵的两行互换位置 。
将矩阵的某一行乘以非 零常数。
用某一非零常数乘以矩 阵的某一行中的所有元 素，并将此常数加到另 一行对应位置的元素上 。
退化矩阵：至少有一个特征值为零的实对称矩阵。
正常矩阵：所有特征值都是正数的实对称矩阵。
半正定矩阵：所有特征值都是非负数的实对称矩阵，且 至少有一个特征值为零。
03
实对称矩阵的标准形
实对称矩阵标准形的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置等于它本身， 即$A^T=A$，那么我们称A为实对称矩阵。
矩阵的逆运算
要点一
总结词
矩阵的逆运算是线性代数中一个重要的概念，对于一 个可逆矩阵，存在一个逆矩阵，使得两矩阵相乘等于 单位矩阵。
要点二
详细描述
设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A是可逆矩阵，并将 B称为A的逆矩阵。在实数域上，一个n阶方阵A是可逆 的充分必要条件是|A|≠0。
线性代数4.3 实对称矩阵
A ( A A)
正交变换
1 2 PAP n
P (e1 e2 en )
I A 0
求出基础解系i 解出特征值i
Schimidt正交化过程
i I A x 0
单位化得
ei
2 2 2 例：用正交变换把下列对称矩阵对角化 2 5 4 2 4 5 解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 E A 0 得特征值 1 2 1, 3 10
根据th4.8,对应特征值
i
恰有 ri 个线性无关的特征向量 (i 1,2,, s)
用施密特正交化然后再单位化,得到 ri 个正交的单位特征向量. 由th4.7知对应于不同特征值所对应的特征向量正交的, 故这n个单位特征向量是两两正交的。若以它们为列向量构成正交 矩阵P, 则
AP P1 AP diag (1, 2 ,n ) P
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
补充：幂等矩阵 定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足
A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1. (2)
Ir 幂等矩阵一定相似于形如 0
0 的对称阵. 0
补充：幂零矩阵 定义
m 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A 0 (ｍ为正整数），则称
对称矩阵
AT A
即
ai j a j i
a11 a12 a 1n a11 T a12 A a 1n
i, j 1, 2,, n
a1n a2 n ann
a21 an1 a11 a12 a22 an 2 a21 a22 a a a2 n ann n1 n 2 a21 an1 a22 an 2 a2 n ann a11 a21 A a n1
6-2实对称矩阵
例4 设n阶实对称矩阵A满足A2 A, 且A的秩为r , 试求行列式 det 2 E A的值.
该方程组的一个基础解系为1 1,1, 0 , 2 1, 0, 1 .
1 1 令S 1 , 2 , X 3 1 0 0 1 S 1 AS diag(2, 2,3) ， 从而
1 1 ，则 S 为可逆阵，且 1
将X1，X 2正交化，令
1 X1 [2,1, 0]T ( X 2 , 1 ) 4 2 4 2 X2 1 X 2 5 1 [ 5 , 5 ,1]T . ( 1 , 1 )
将1， 2单位化得
1 1 | [ | 1
2 1 , , 0]T , 5 5
T
参数k 和矩阵A.
解 因为A 实对称，故 X X 3，有 0 ( X , X 3 ) 97 k 99 k 2.
方法一、设X1 x1 , x2 , x3 是矩阵A属于特征值2的
T
一个特征向量，则
( X1 , X 3 ) x1 x2 x3 0.
T T
(I) 当1 2 1时，解( E A) X 0， 1 2 2 1 2 2 0 0 0 EA 2 4 4 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 4 0 0 0 得特征向量X1 [2,1, 0]T ， X 2 [2, 0,1]T
T A 111T 222 T n n n .
, n是A的n个
,n为相应的n个标准正交的特征
例3 (课后15题） 设 3 阶实对称矩阵A的特征值为 2, 2, 3, 且 X 97 , k , 99 为矩阵A的属于特征值 2的一个特征向量，
实对称矩阵求逆公式
实对称矩阵求逆公式实对称矩阵是线性代数中一个挺重要的概念。
咱先来说说啥是实对称矩阵。
简单来讲，实对称矩阵就是那种不仅自己的元素都是实数，而且转置一下和原来一模一样的矩阵。
那为啥要研究实对称矩阵求逆公式呢？这可大有用处！比如说在解决一些工程问题、物理问题，甚至是经济模型中，都可能会碰到。
咱先来看一个简单的例子，假设咱们有一个 2×2 的实对称矩阵 A = [a b; b c] ，要求它的逆。
按照常规方法，先算行列式 det(A) = ac - b²，如果 det(A) 不等于 0，那逆矩阵 A⁻¹就可以算出来啦。
可要是矩阵的阶数高了，比如 3×3 、4×4 ，甚至更高，这可咋办？这时候就得靠一些专门的方法和公式了。
有一个挺重要的性质得先知道，实对称矩阵一定可以对角化。
啥意思呢？就是能找到一个可逆矩阵 P ，让 A 变成一个对角矩阵Λ ，也就是A = P Λ P⁻¹。
那求逆就简单多啦，因为对角矩阵的逆很好求，然后再通过一些变换就能得到 A 的逆。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，一直搞不明白为啥实对称矩阵就一定能对角化。
我就给他举了个生活中的例子，我说你看啊，咱们把这个矩阵想象成一个复杂的机器，这个机器的各个零件之间的关系就像是矩阵中的元素。
实对称矩阵呢，就相当于这个机器的结构特别规整，所以咱们就能把它拆分成一些简单的部分，也就是对角矩阵，这样就好理解多啦。
那具体的求逆公式是啥呢？对于一个 n 阶实对称矩阵 A ，如果它的特征值是λ₁，λ₂，... ，λₙ ，对应的特征向量是 x₁，x₂，... ，xₙ ，而且这些特征向量两两正交并且单位化后得到的向量是q₁，q₂，... ，qₙ ，那么 A 的逆就是 A⁻¹ = Q Λ⁻¹ Qᵀ，其中 Q 是由 q₁，q₂，... ，qₙ 组成的矩阵，Λ 是由特征值λ₁，λ₂，... ，λₙ 组成的对角矩阵。
10第7讲 正交矩阵与实对称矩阵
3 3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 1 1 3 2 2 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 2 3
T
1 1 1 , , , 1, 0 , 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 4 4 4 1 1 4 2 2 4 3 3 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 ) 2 3 4 1 1 1 1 , , , , 1 . 4 4 4 4
2 || ||
2 2
3 || ||
3 3
1 2 3
4 || ||
4 4
4 2 1 5 [1, 1, 1, 1, 4]T .
法2
可用观察法快速求得该 1 5 齐次线性方程组的正交的基础解系如下：
1 [1② , 1① , 0① , 0① , 0① ]T ，
解得该齐次线性方程组有基础解系为 [ 2, 1, 2, 1] ，则
T
例2
n
T 1 [2, 1, 2, 1] . || || 10
在 R (列)中，设向量组
{1 , 2 , , s } ， {1 , 2 , , n s } ， {1 , 2 , , n s }
正交组 标准正交组. 无关组
Schmidt 正交化 单位化
上述将无关组转化为标准正交组的方法称为 Schmidt 正交化方法.
(3) 标准正交基 作为基的正交组、标准正交组分别称为正交基、标准正交基.
正交基 标准正交基. 基
Schmidt 正交化 单位化
实对称矩阵和对角矩阵的关系
实对称矩阵和对角矩阵的关系1. 实对称矩阵的定义实对称矩阵是指矩阵的转置与其本身相等的矩阵。
也就是说，对于一个n × n 的实对称矩阵 A，满足 A^T = A，其中 A^T 表示 A 的转置。
2. 对角矩阵的定义对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
对于一个n × n 的对角矩阵 D，满足 D[i][j] = 0，当i ≠ j，其中 D[i][j] 表示 D 在第 i 行、第 j 列的元素。
3. 实对称矩阵与对角矩阵的关系实对称矩阵和对角矩阵之间存在一种特殊的关系。
这种关系体现在实对称矩阵必然可以通过正交矩阵相似变换成对角矩阵，即 A = P^T · D · P，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。
证明这一关系可以分为两个方面：一是对于实对称矩阵 A，存在正交矩阵 P，使得A = P^T · D · P；二是对于任意满足 A = P^T · D · P 的实对称矩阵 A，P 是正交矩阵。
3.1 实对称矩阵通过正交矩阵相似变换成对角矩阵假设 A 是一个n × n 的实对称矩阵，那么根据线性代数的一般理论，可以推导出存在正交矩阵 P 和对角矩阵 D，使得 A = P^T · D · P。
首先，由于 P 是一个正交矩阵，因此满足P^T · P = I，其中 I 是单位矩阵。
所以，P 的每一列都是一个单位向量，并且 P 的列向量两两正交。
其次，我们定义一个矩阵 B = P^T · A · P，其中 B 是一个n × n 的矩阵。
我们观察 B 的对角线元素，即 B[i][i]，可以得出以下结论：•当i ≠ j 时，B[i][j] = (P^T · A · P)[i][j] =(P^T)[i][k] · A[k][l] · (P)[l][j] (其中，k 和 l 是由矩阵 A 定义的，可以是任意值)。
实对称矩阵对角化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的特征向量,故它们必两两正交. 令
i
i i
,
i 1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1 2 3 , 2 1 3 ,
3 2 3.
1 3
2 3
2 3
作
P
1 ,
2
,
3
1
3
2 2 1
2 1 2
1 2, 2
4 0 0
则
.
对应 1
1
,由
A
E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得1
1 1
;
对应
2
3
,由
A
3E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得2
1 1
.
并有p ( 1 1
, 2 ) 2
1 2
11
11 ,
再求出 p1
1 2
11
11 .
于是
An
pn p1
1 2
11
11 10
0 1 3n 1
11
1 2
11
3n 3n
1 1
3n 3n
.
三、小结 1. 对称矩阵的性质：
(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化正交化；(4)得正交阵和对角阵．
实对称矩阵特点
实对称矩阵特点
1.对角线上的元素均为实数：由于实对称矩阵的转置与自身相等，因
此对角线上的元素必然与转置后的对应位置上的元素相等。
由于元素的值
是实数，在转置过程中不会发生变化，所以实对称矩阵的对角元素一定是
实数。
2.非对角线上的元素成对称分布：由于实对称矩阵的转置与自身相等，非对角线上的元素在转置过程中必然改变位置，但对应位置上的元素值相等。
这意味着实对称矩阵的非对角线上的元素在矩阵中成对称分布。
3.特征值为实数：实对称矩阵具有一个重要的性质，即其特征值一定
都是实数。
这个性质非常有用，因为它简化了对实对称矩阵进行特征值分
解等相关运算的计算过程。
4.特征向量正交：对于实对称矩阵，其相应于不同特征值的特征向量
是正交的。
也就是说，设A是一个实对称矩阵，某和y是A的两个特征向量，对应的特征值分别为λ和μ。
那么，某和y满足内积(某,y)=0，即
两个不同特征值对应的特征向量正交。
这个特性使得实对称矩阵在某些问
题中具有更方便的计算性质。
5.对称矩阵的特殊情况：实对称矩阵是对称矩阵的一种特殊情况。
对
称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称，而实对称矩阵不仅具有这个
特点，还满足转置与自身相等的条件。
所以实对称矩阵也被称为对称矩阵。
3.3实对称矩阵的特征值和特征向量(简)
1 1 Q AQ n
2
实对称矩阵的特征值的性质 一、 定理3.12 实对称矩阵的特征值都是实数. 则 说明： 若A是实数域上的 对称矩阵，
a 11
E A
a 21 a n1
n
a 12
a1n a2n
| A | | E A |
） 移项得： （| A | 1 | E A | 0 即 2 | E A | 0 | E A | 0
例 4 . 设矩阵 A 与 B 相似 , 1 其中 A 2 3 1 4 3 1 2 2 , B 0 a 0 0 2 0 0 0 , b
T
1 ( T ) T 1 T A T A T ( A ) T
( 2 ) 2( T )
( 1 2 )( T ) 0 1 2
0
T
即
定理3.14 设A是n阶实对称矩阵, 则存在n阶正交
a 22
an2
n2
a nn
nm
( 1 ) 1 ( 2 )
...( m )
1 , 2 , ..., m 都是实数.
定理3.13 实对称矩阵的 对应于不同特征值的 特征向量 是相互正交的. A是实对称矩阵, A的两个特征值 1 , 2 1 2 则 A 1 A 2 证
1 1 1 1
1, 2 ,
1
两两正交.再将它们单位化.
1
2 1 1 1 2 2 2 1 0
6 1 2 2 1 6 32 2 3 2 6
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明实对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，而相似对角化则是对于矩阵进行简化操作的一种方法。
本文将探讨实对称矩阵为什么一定可以相似对角化的原因。
我们需要明确实对称矩阵的定义。
实对称矩阵是一个方阵，它的转置等于它本身，即A的转置等于A。
这意味着矩阵A的元素关于对角线对称。
实对称矩阵在许多实际问题中都有广泛的应用，如物理学、工程学等领域。
接下来，我们来看实对称矩阵为什么可以相似对角化。
相似对角化是指找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵。
对于实对称矩阵来说，由于其对称性质，我们可以通过选取合适的正交矩阵P来实现对角化。
正交矩阵是一个满足QTQ=I的矩阵，其中Q的转置等于其逆。
在矩阵理论中，正交矩阵具有许多重要的性质，其中最重要的性质之一就是其列向量是单位正交的。
对于实对称矩阵来说，我们可以找到一组标准正交基底，使得实对称矩阵在这组基底下的表示是对角矩阵。
具体来说，对于实对称矩阵A，我们可以找到一组标准正交基底{v1, v2, ..., vn}，使得A在这组基底下的表示是对角矩阵。
这就是说，存在一个正交矩阵P，使得P^-1AP是对角矩阵。
这就是实对称矩阵可以相似对角化的原因。
实对称矩阵相似对角化的重要性在于简化计算。
对角矩阵的计算更加方便快捷，能够方便地求解矩阵的幂、指数等运算。
因此，将实对称矩阵相似对角化可以大大简化矩阵的运算过程，提高计算效率。
实对称矩阵一定可以相似对角化的原因在于其对称性质和正交矩阵的性质。
通过选取合适的正交矩阵，我们可以将实对称矩阵化为对角矩阵，从而简化计算过程。
实对称矩阵相似对角化在线性代数理论中具有重要的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
希望通过本文的讨论，读者能够更加深入地理解实对称矩阵相似对角化的原理和意义。
实对称矩阵的特征值和特征向量
得到一个基础解系 1 (2,1, 0)T，2 (2, 0,1)T 。 对于 3 6 ， 解齐次线性方程组 (6E A)X 0 ，
即求解 8 2 2 x1 0 2 5 4 x2 0 2 4 5 x3 0
附注： 矩阵 主对角线元素（特征值！）排列顺序
与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。
在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
例2 对矩阵 2 A 2 2
求一正交阵 Q , 使
2 2 1 4 4 1 Q1AQ 成对角矩阵。
解： 矩阵 A 的特征多项式为
是实对称矩阵，特征值 1 2 1 （二重）对应特征 向量 (2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 和 3 8 对应特征向量 (1, 0, 1)T
都正交。 当然，(2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过
标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
定理4.14 设 A 是阶 n 实对称矩阵, 则 存在正交阵 Q , 使 QT AQ Q1AQ 为对角阵.
附注：进一步地有，实对称矩阵 A 的属于特征值的 特征向量都是实数向量。
定理4.13 实对称矩阵 A 的属于不同
特征值的特征向量相互正交。
证明：设 1 ，2 是实对称矩阵 A 的不同特征值， 1 ，
2分别是属于特征值 1 ，2 的特征向量。
于是 A1 11 (1 0) ， A2 22 (2 0)
对上面第一式两边左乘
T 2
，
得到
2T
A1
1
T 2
1
而
（4.12）
T 2
实对称矩阵的特征值和特征向量
把 1(2,1,0)T 2(2,0,1)T
正交化：
11(2,1, 0)T
2
2
12TT111
(2,0,1)T
4(2,1,0)T(2,4,1)T
5
55
将 1,2,3单位化，得到
21 1 12 2
5(2,1,0)T 5
5(2,4,5)T 15
1 0 1
1 0 1
1 11
2(0,1,1)T 2
32 3 322
(1,0, 0)T 2(0,1,1)T
2
一、 实对称矩阵特征值的性质
定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。
证明：设 A是n阶实对称矩阵， 0是矩阵 A的在复数 域上的任一特征值，属于 0 的特征向量为
(a 1,a2, ,an)T
则 A0 ( 0 )，于是，两边取复数共轭得到
在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
例2 对矩阵 2 2 2 A 2 1 4 2 4 1
求一正交阵 Q , 使 Q1AQ 成对角矩阵。 解： 矩阵 A的特征多项式为
22 2 2 2 0 d eE tA ()2 142 1 3
A 0 A 0 A 0 (4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置， 得到
TA0T
定理4.12 实对称矩阵 的特征值都是实数。
两边再右乘 ， 得到 T A 0 T 0 T 0 T ( 0 0 ) T 0
1
Q TA Q Q 1A Q
于是 AQQT
2 2
实对称矩阵一定可以正交对角化证明
实对称矩阵一定可以正交对角化证明实对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置矩阵等于本身。
这种矩阵在数学和物理中都有广泛的应用。
而正交对角化是指将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积。
下面我们来证明实对称矩阵一定可以正交对角化。
首先，我们知道实对称矩阵的特征值都是实数。
这可以通过谱定理来证明。
谱定理指出，对于任意一个实对称矩阵A，都可以通过正交变换Q将其对角化成一个对角矩阵D，即：A = QDQ^T其中，Q是一个正交矩阵，即Q^TQ = I，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是A的特征值。
接下来，我们需要证明正交矩阵可以将任意实矩阵对角化。
这可以通过施密特正交化方法来证明。
施密特正交化方法是将一个线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。
对于任意一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组{u1, u2, ..., un}：1. 令u1 = v1/||v1||，其中||v1||表示v1的模长。
2. 对于i = 2, 3, ..., n，令ui = vi - (ui-1·vi)ui-1 - ... - (ui-1·v1)u1，其中·表示向量的内积。
3. 对于i = 1, 2, ..., n，令ei = ui/||ui||，其中||ui||表示ui的模长。
这样得到的向量组{e1, e2, ..., en}就是一个正交向量组。
此外，我们还可以通过调整每个向量的符号，将其转化为一个标准正交向量组，即ei·ej = δij，其中δij为Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0。
因此，对于任意一个实矩阵A，我们可以通过施密特正交化方法将其列向量转化为一个正交向量组Q。
这样，我们就得到了一个正交矩阵Q，满足Q^TQ = I。
接着，我们可以将A转化为一个对角矩阵D，其中D的对角线上的元素就是A的特征值。
实对称矩阵的行列式计算技巧
实对称矩阵的行列式计算技巧
实对称矩阵是指矩阵的转置与其本身相等的矩阵。
对于实对称矩阵，可以利用以下技巧来计算其行列式：
1. 利用行列式的性质：行列式的值不变，当矩阵的某一行与另一行进行交换时，行列式的值变号。
因此，可以通过逐步进行行变换，将实对称矩阵化简为对角矩阵，从而求得行列式的值。
2. 利用特征值：实对称矩阵的特征值均为实数。
通过计算矩阵的特征值，将矩阵对角化，即为对角矩阵。
3. 利用行列式和特征值之间的关系：实对称矩阵的行列式等于其特征值的乘积。
因此，可以先计算矩阵的特征值，然后将其相乘得到行列式的值。
4. 利用精简行列式的定义：实对称矩阵的行列式可以通过将其展开为一系列二阶子式的乘积来计算。
由于实对称矩阵的性质，只需要计算矩阵的上三角部分的元素即可。
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A的特征值为 121 ， 38
当 1 2 1，解方程组（ A （ 1 ） E ） x 0
即
4 2 4 x1 0
2
1
2
x2
0
4 2 4 x3 0
得到两个线性无关的特征向量 1 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， 2 （ 1 ， 2 ， 0 ）
对于 3 8
1、求矩阵A的特征值 2、求特征向量 3、将特征向量正交化、单位化 4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵
3 2 4
练习 设实对称矩阵
A
2
0
2
4 2 3
求正交矩阵P,使 P 1 AP 为对角矩阵.
解 A的特征多项式为
3 2 4
A E 2 0 2 36 2 1 5 8
4 2 3
（ 1 ） （ 2 8 ） = 0
Ａ为幂零矩阵．
性质
(1) 幂零矩阵的特征值为0. (２) 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.
作业
P107-P108 习题四 4.9 4.11(1) 4.12 4.17
预习 第四章 第四节
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Er
0
0
0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
e1
1
1
1
1 2,1,0T
5
e2
1
2
2
1 2,4,5T
35
e3
1
3
3
11,2,2T
3
单位化
（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵
2
5
5
25 15
1
3
令
P e1, e2 , e3
5 5
4 5 2
15
3
0
5
2
3
3
1
则有
P1AP
PT
AP
1
10
求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：
（２）求特征向量
对于 1 2 1,
得一个基础解系
解方程组 AEX0
1 2 ,1 ,0T,22 ,0 ,1 T
对于 3 1 0, 解方程组 A10EX0
得一个基础解系 3 1,2,2T
（３）将特征向量组正交化、单位化
令 112,1,0T
22 2 1,, 1 111 52,4,5T 正交化
331,2,2T
1
3
e2
1
2
2
1 (1,4,1) 32
1 2
1 32
2 3
e3
1
3
3
1(2,1,2) 3
1 0 0
则有
8
反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若 AT A 则称 A 为反对称矩阵 性质
(1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.
(2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0.
➢实对称矩阵的对角化
定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得
PAP,其中 是以A的n个特征值为
对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量 是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向 量。
例 用正交变换把下列对称矩阵对角化
2 2 2
2
5
4
2 4 5
解 （１）求方阵Ａ的特征值
由 AE 0 得特征值 121,310
1
，
1
得到特征向量 3 （2， 1， 2）
2
2
[[21， ，11]]1
1 2 0
1 2
1
0
1
0.5 2 0.5
取 3 3 则１ ，２ ，３是矩阵A的正交特征向量组
令 P (e1, e2 , e3 )
单位化
1
1 2
e1
1
1
1
1 (1,0,1) 2
2
=
0
32
3
4 32
第三节 实对称矩阵
➢ 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110
1 1
0 3
3 0
3 2 4 2 0 7 4 7 5
方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
➢ 实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值必为实数。 定理2 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
证明 设A是对称矩阵
A 1 1 1 ,A 2 2 2 , 1 0 ,2 0 , 1 2
1 [1 ,2 ] [11 ,2 ] [A 1 ,2 ]
1
A
2
1
A
2
12 2 1,22 21,2
1 2 1,20
定理3 设A是n阶对称矩阵， 是A的特征方程的 r 重根， 则对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量。