点到直线的距离练习题
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线a的距离≤PC，即点P到直线a的距离不大于3cm．故选：D．【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．2．点到直线的距离是指这点到这条直线的（）A．垂线段B．垂线C．垂线的长度D．垂线段的长度【分析】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．对照定义进行判断．解：根据定义，点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度．故选D．【点评】此题主要考查了点到直线的距离的定义．3．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，则图中表示点A到直线BC的距离的线段是（）A．AD B．AB C．AC D．CD【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案．解：AC⊥BC，垂足为点C，则点A到BC的距离是线段AC的长度，故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度．4．如图，在长方形ABCD中，点E在边BC上．则点A到直线BC的距离是线段（）A．AD的长度B．AC的长度C．AE的长度D．AB的长度【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．解：∵AB⊥BC于B，∴点A到直线BC的距离是线段AB的长度，故选：D．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．。
点到直线的距离
点到直线的距离•知识梳理1.点到直线的距离公式在平面直角坐标系中，已知点P （x 0,y 0），直线0111=++C y B x A (A 、B ≠0).设点P （x 0,y 0）到直线l 的距离为d ，则d=。
（1）即当A=0且B ≠0时，直线l ：y=－B C ，d=0y B C --=BC y +0； （2）当A ≠0，B=0时，直线l ：x=－A C ，d=0x A C --=AC x +0 注：当A=0或B=0，上面的公式依然适用。
2.两条平行线间的距离公式已知两直线1l ：01=++C y B x A ,和 2l : 02=++C y B x A 平行，则两平行线间的距离公式为•课堂练习1、求点P （-1,2）到直线的距离：（提示：注意把直线方程化作一般形式） （1）、0543=+-y x （2）、53=x （1）、1-=y2、求两平行直线0632=+-y x 和04-32=-y x 之间的距离，请分别用点到直线距离公式和平行线间距离公式进行计算比较。
•课后练习一、选择题1、点（0，5）到直线x y 2=的距离是（ ）A 、52B 、C 、32D 2、点p （x ，y ）在直线4-=y x 上，O 是原点，则op 的最小值是（ ）A 、B 、CD 、23、两直线02-43=+y x 与05-86=+y x 的距离等于（ ）A 、3B 、7C 、110 D 、12二、填空题4、已知点（a,2）(0)a >到直线03:=+-y x l 的距离为l ，则a=（ ）5、求点A （2,1）到直线0523=+-y x 的距离。
三、解答题6.求点P （2，3）到直线0243=++y x 的距离。
7.求过点)0,1(-A ，且与原点的距离等于22的直线方程。
四、附加题8、p 点在直线05-3=+y x 上，且p 到直线01-=-y x p 坐标为（ ）A 、（1，2）B 、（2，1）C 、（1，2）或（2，-1）D 、（2，1）或（-1，2）9、点p （m-n ，－m ）到直线1x y m n +=的距离等于（ ）A 、BC D10、已知直线l 与两直线122302-y-1=0l x y l x -+=：和：的距离相等，则l 的方程为 。
点到直线的距离练习题
C. D.
解析：由两直线平行可知 ＝ ≠ ，故m＝4.
又方程6x＋4y＋1＝0可化简为3x＋2y＋ ＝0，
∴平行线间的距离为 ＝ .故选D.
答案：D
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
解析：设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意 ＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.
答案：B
3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()
A．4 B.
C．(－12,0)或(8,0) D．(－6,0)或(6,0)
解析：设P(x,0)，则 ＝6，解得x＝－12或x＝8.
答案：C
4．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是
①15°②30°③45°④60°⑤75°
其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．
解析：由题意设P(a,0)，则有 ＝ ，
解得a＝ 或a＝ .
故点P的坐标为 或
(限时：30分钟)
1．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是 ，则实数a为()
A．－1B．5
C．－1或5 D．－3或3
解析：由点到直线距离公式： ＝ ，
∴a＝－1或5，故选C.
答案：C
2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()
高中数学最短距离练习题及讲解
高中数学最短距离练习题及讲解### 高中数学最短距离练习题及讲解#### 练习题一：点到直线的距离题目：已知点A(3, -1)，求点A到直线x + 2y = 6的最短距离。
解答：1. 首先，将直线方程化为标准形式：\( x + 2y - 6 = 0 \)。
2. 使用点到直线距离公式：\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 +C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，其中A、B、C是直线方程的系数，\( (x_1, y_1) \)是点的坐标。
3. 代入数值：\( A = 1, B = 2, C = -6, x_1 = 3, y_1 = -1 \)。
4. 计算得到：\( d = \frac{|1\cdot3 + 2\cdot(-1) -6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|3 - 2 - 6|}{\sqrt{5}} =\frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \)。
#### 练习题二：直线与直线的最短距离题目：求直线x - 2y + 4 = 0与直线x + y - 5 = 0之间的最短距离。
解答：1. 将两直线方程化为标准形式：\( x - 2y + 4 = 0 \) 和 \( x + y - 5 = 0 \)。
2. 两直线平行，因此最短距离为它们之间的垂直距离。
3. 求出两直线的斜率：\( m_1 = \frac{1}{2}, m_2 = -1 \)。
4. 垂直距离公式：\( d = \frac{|A_1 - A_2|}{\sqrt{1 + m_1^2}} \)，其中\( A_1 \)和\( A_2 \)分别是两直线方程的常数项。
5. 代入数值：\( A_1 = 4, A_2 = -5 \)。
6. 计算得到：\( d = \frac{|4 + 5|}{\sqrt{1 +\left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{9}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{9}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{5}} =\frac{18\sqrt{5}}{5} \)。
点到直线的距离练习题
点到直线的距离练习题点到直线的距离一、选择题1、点（0，5）到直线y=2x的距离是（）A、5√5B、5C、2√5D、2√22、点p（x，y）在直线x=y-4=0上，O是原点，则op的最小值是（）A、10B、22C、6D、2√53、p点在直线3x+y-5=0上，且p到直线x-y-1=0的距离等于2，则点p坐标为（）A、（1，2）B、（2，1）C、（1，2）或（2，-1）D、（2，1）或（-1，2）4、点p（m-n，－m）到直线x+y=1的距离等于（）A、m2+n2B、m2-n2C、-m2+n2D、m2±n26、过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到它的距离相等，则这条直线的方程是（）A、4x+y-6=0B、x+4y-6=0C、2x+3y-7=0或x=4-6=0D、3+2y-7=0或4x+y-6=07、两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于（）A、3B、7C、5二、填空题8、点A（m+2，n+2），B（n－4，m－6）关于直线4x+3y－11=0对称，则m=3n-10，n=3m-229、已知点（a,2）(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a=1110、已知直线l与两直线l1：2x-y-1=0和l2：2x-y+3=0的距离相等，则l的方程为______.2x-y+1=011、已知实数x,y满足关系式x+y-4=0，则x+y的最小值是___________.4三、解答题12、求点P（x,y）到直线L：Ax+By+C=0的距离。
解：过P作直线L的垂线PQ交直线L于Q，设Q(a,b)，PQ的方程为：Bx-Ay+C1=0，因为所以C1=Ay-Bx，PQ：Bx-Ay+Ay-Bx=0，即PQ：B(x-x)+A(y-y)=0，由B(x-x)+A(y-y)=Ax+By+C=0得B(x-x)+A(y-y)=-(Ay-Bx+C)，即B(x-x)-A(y-y)=C-Ay+Bx，即13、求点P（2，3）到直线3x+4y+2=0的距离。
人教A版点到直线的距离精选课时练习(含答案)2
人教A 版点到直线的距离精选课时练习（含答案)1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线1:1l y kx k =-+与直线2l 关于点(3,3)对称，则直线2l 一定过定点（ ） A ．(3,1)B ．()2,1C ．()5,5D ．(0,1)2．若点P 是函数2()ln f x x x =-上任意一点，则点P 到直线20x y --=的最小距离为 ( )AB ．2C ．12D ．33．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2C D ．4．点（1，-1）到直线ｘ-ｙ+1＝０的距离是（ ）A ．12B ．32C ．2D ．25．光线自点()2,4射入，经倾斜角为135︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()5,0，则反射光线还经过下列哪个点（ ） A ．()14,2B ．()14,1C ．()13,2D ．()13,16．已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（ ）A B C D ．7．经过点(2,1)的直线l 到(1,1)A ，(3,5)B 两点的距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y --= B ．2x = C ．230x y --=或2x =D ．都不对8．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到直线l ，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝09．已知点()1,2A -，()1,4B ，若直线l 过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( ) A ．y x =或0x = B ．y x =或0y = C ．y x =或4y x =-D ．y x =或12y x =10．已知()3,0A ，()0,3B ，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射回到P 点，则光线所经过的路程为（ ）A ．B ．6C ．D11．若点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为4，且在不等式230x y +->表示的平面区域内，则点P 的横坐标是（ ） A ．7或-3B ．7C ．-3D ．-7或312．已知圆22(3)(3)9x y -++=的圆心为C 及点()1,2M -，则过M 且使圆心C 到它的距离最大的直线方程为（ ） A ．240x y --= B ．240x y --= C ．3210x y --=D ．2310x y --=13．已知圆C 的方程为226290x y x y +-++=，点M 在直线10x y +-=上，则圆心C 到点M 的最小距离为（ ）A ．2B ．2C D ．1214．双曲线2213y x -=的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）A ．1BC D ．215．抛物线2?y x =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标是( ) A ．()2,4B ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,116． 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( )A ．1B ．2CD ．17．已知点()7,3P ，圆M ：22210250x y x y +--+=，点Q 为在圆M 上一点，点S 在x 轴上，则SP SQ +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1018．已知定点(2,0)P -和直线()():131225,)0(l x y R λλλλ+++-+=∈，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（ ）A ．BC D ．19．已知实数a b c d ,,,满足1211c a c de b --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）A ．18B ．12C ．10D ．8二、填空题20．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .请你写出到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合{|(P d P Ω=，1)(l d P =，2)}l ，其中1l AB =，2l CD =，A ，B ，C ，D 是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3分；② 5分．① (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -；② (1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,2)D --．你选择第_____种情形，到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合Ω=_____________.21．已知,a b ∈R ，22(,)(25|cos |)(2|sin |)f a b a b a b =+-+-的最小值为________ 22．直线2360x y +-=分别交,x y 轴于,A B 两点，点P 在直线1y x =--上，则PA PB +的最小值是________.23．直线l 过点()33P ，，点()11Q -，到它的距离等于4，则直线l 的方程是____________24．在△ABC 中，(0,0)A ，(3,5)B ，(4,4)C ，则△ABC 面积为________ 25．点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______.26．点()10，关于直线y x =对称的点C 的坐标是__________，以C 圆心，半径为1的圆标准方程为__________．27．若动点()11,A x y ，()22,B x y 分别在直线1:270+-=l x y 和2:250+-=l x y 上移动，则AB 的中点到原点的距离的最小值为__________．28．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．29．若点(),M m n 为直线:3420l x y ++=上的动点，则22m n +的最小值为________． 30．已知函数()1122f x x x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，记d (),k m 为函数()y f x =图像上的点到直线y kx m =+的距离的最大值，那么d (),k m 的最小值为_______.31．在直角坐标系xoy 中，圆M 的参数方程为12cos 22sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos m ρθρθ-=，()m R ∈.若直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，MAB ∆的面积为2，则m 值为_______．32．直线l ：12x aty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C ：4sin 4cos ρθθ=-（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l ，则实数a =_______．33．在等腰直角三角形ABC 中,点P 是边AB 异于A 、B 的一点.光线从点P 出发,经过BC 、CA 反射后又回到点P (如图).若光线QR 经过ABC ∆的重心,且4,AB AC ==则AP =_________34．一束光线从点()2,2A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路径的长度是______ .35．已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是______.36．在平面直角坐标系xOy 中，设(1,1)A -，,B C 是函数1(0)y x x=>图像上的两点，且ABC △为正三角形，则ABC △的高为____________．三、解答题37．已知点(2,1)P -.（1）求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.38．如图，在△ABC 中，A （5，–2），B （7，4），且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．39．已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为3-4（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.40．已知ABC ∆三边所在直线方程：:3260AB l x y -+=，:23220AC l x y +-=，:340BC l x y m +-=（,30m R m ∈≠）.（1）判断ABC ∆的形状；（2）当BC 边上的高为1时，求m 的值. 41．已知直线l 经过点()1,3P .（1）点()1,3Q --到直线l 的距离为2，求直线l 的方程. （2）直线l 在坐标轴上截距相等，求直线l 的方程.42．一般地，对于直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不全为0）及直线l 外一点()00,P x y ，我们有点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不全为0）的距离公式为：d =.（1）证明上述点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不全为0）的距离公式；（2）设P 为抛物线2y x =上的一点，P 到直线:20l x y ++=的距离为d ，求d 的最小值.43．在平面直角坐标系中，已知直线l 的方程为()32360x k y k +--+=，k ∈R . （1）若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为-1，求坐标原点O 到直线l 的距离； （2）若直线l 与直线1l ：3250x y --=和2l ：10x y +-=分别相交于A 、B 两点，点()0,3P 到A 、B 两点的距离相等，求k 的值.44．已知在ABC ∆中，()1,2A -，()4,4B ，点C 在抛物线2y x =上. （1）求ABC ∆的边AB 所在的直线方程；（2）求ABC ∆的面积最小值，并求出此时点C 的坐标； （3）若(),P x y 为线段AB 上的任意一点，求yx的取值范围. 45．已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(123)A a a --，. （Ⅰ）在ABC ∆中，求边AC 中线所在直线方程 （Ⅱ） 求ABC ∆的面积.46．双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的一条渐近线方程是y =，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中(,0)A a ，(0,)B b -. （1）求双曲线的方程；（2）若1B 是双曲线虚轴在y 轴正半轴上的端点，过点B 作直线交双曲线于点M ，N ，求11B M B N ⊥u u u u r u u u u r时，直线MN 的方程.47．已知直线1:10l x y ++=，2510--=：l x y ，33210++=：l x y ，其中1l 与2l 的交点为P .（1）求点P 到直线3l 的距离；（2）求过点P 且与直线3l 的夹角为45︒的直线方程. 48．己知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求与直线l 平行，且到点()3,0P2l 的方程49．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，点B ，C 分别是椭圆E 的左、右顶点，点P 是直线:4l x =上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当直线PB 过椭圆E 的短轴顶点(0,)b 时，求PBM V 的面积．50．如图，在直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点，设直线AM 、AN 的斜率分别为k 1、k 2．（1）若12122k k ==-，，求△AMN 的面积； （2）若k 1k 2=-2，求证：直线MN 过定点．参考答案1．C 2．A 3．D 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．C 14．C 15．D 16．C 17．C 18．B 19．D20．①，y 轴 ②y 轴非负半轴，抛物线22)4(0x y y -=剟，直线1(1)y x x =--> 21．82223．3x =或34210x y +-=； 24．4 25．()2,2-26．()01， ()2211x y +-=27 28．()2a m - 29．42530 31．1-或5-32．4-±33．4334135 36．237．(1) 250x y --= (2) 不存在,见解析 38．（1）（–5，–4） （2）2839．(1) 3x ＋4y －14＝0；(2) 3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0. 40．（1）ABC ∆为直角三角形；（2）25m =或35m =. 41．(1) 1x =，4350x y -+=. (2) 30x y -=或40x y +-=.42．（1）证明见解析；（2. 43．（1）125（2）11k = 44．（1）240x y --=（2）ABC ∆的面积最小值为3，此时C 点坐标为()1,1.（3）[]2,1- 45．(I)95130x y -+=；(II)8.46．(1) 22139x y -= (2) 3y =-47．（1；（2）510--=x y 或550++=x y本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
高中数学必修一《点到直线的距离、两平行线间的距离》练习
点到直线的距离、两平行线间的距离层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B.2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y－4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c ＋1|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试能力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．如果点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满足条件的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满足条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013.答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx . 由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即(－2－1)2＋(－2－0)2＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.。
四年级数学上册第5单元第3课时点到直线的距离练习题
第3课时点到直线的距离(教材例3，P59)
一、我会填。
1．两条平行线间可以画()条垂直线段。
2．下图中，()和()一样长。
二、我会选。
1．如下图，点P到直线所连线段中，()最短。
A．P A B．PB C．PC
2．下面是玲玲跳远成绩图，()是正确的成绩。
3．如图所示，直线m、n互相平行，那么线段AB和CD的长度关系是()。
A．AB＜CD
B．AB＝CD
C．AB＞CD
三、甲、乙两厂要重新修建无污染排水管道，他们分别怎样修，距离最短？(画一画)
四、五个同学一起过马路。
1．分别画出他们过马路所走的最短的路。
2．分别量一量这五个同学所走路线的长度，你有什么发现？
五、聪聪和明明赛跑，他们以相同的速度同时跑向旗杆，你认为谁会赢？
第3课时
一、1.无数 2.③⑤
二、1.B 2.B 3.B
三、略
四、1.略 2.他们五个所走的路线一样长。
五、明明会赢。
人教课标版(B版)高中数学必修2基础练习-点到直线的距离
2.2.4 点到直线的距离一、选择题1．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是() A．(5，－3)B．(9,0)C．(－3,5) D．(－5,3)2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝03．与直线2x＋y＋1＝0的距离为55的直线的方程是()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝04．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝05．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是()A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝06．到直线3x－4y－1＝0距离为2的点的轨迹方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋11＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝07．顺次连结A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)所组成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对8．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a、b的值分别为()A．1,9 B．－1，－9C．1，－9 D．－1,9二、填空题9．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．10．与直线3x＋4y－3＝0平行，并且距离为3的直线方程为________________．11．已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为__________．12．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．三、解答题13．(2010·曲师大附中高一期末检测)已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其它三边所在直线方程．14．(2010·山东聊城高一期末检测)已知点A(2,4)，B(1，－2)，C(－2,3)，求△ABC 的面积．15．求经过点A(2，－1)且与点B(－1,1)的距离为3的直线方程．16．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．17．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l的方程．1. [答案] A[解析] 当PQ 与已知直线垂直，垂足为Q 时，点Q (5，－3)即为所求．2. [答案] A[解析] 所求直线与两点A (1,2)，O (0,0)连线垂直时与原点距离最大．3. [答案] D[解析] 验证法：直线2x ＋y ＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为122＋12＝55， 直线2x ＋y ＋2＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为|2－1|22＋12＝55，故选D. 4. [答案] D[解析] 设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，∵直线过(1,2)且与A 、B 两点距离相等， 则⎩⎨⎧ A ＋2B ＋C ＝0 ①|2A ＋3B ＋C |A 2＋B 2＝|4A －5B ＋C |A 2＋B 2 ②由②得：A ＝4B 或3A －B ＋C ＝0. 当A ＝4B 时，C ＝－6B ，直线方程4Bx ＋By －6B ＝0即4x ＋y －6＝0.当3A －B ＋C ＝0时，2A ＝3B ，－7A ＝3C ，∴直线方程3Ax ＋2Ay －7A ＝0，即3x ＋2y －7＝0.点评：本题实际解答比较麻烦，作为选择题可用检验淘汰法，由P (1,2)在所求直线上，排除B ，C.故只须检验A 、B 两点到直线3x ＋2y －7＝0的距离是否相等即可，选D.5. [答案] B[解析] 解法一：l 1关于P (2,3)的对称直线l 3，l 2关于P (2,3)的对称直线l 4，就是另两边所在直线．解法二：因为另两边分别与l 1、l 3平行且到P (2,3)距离分别相等，∴设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线距离公式得出． 解法三：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A 、D ；l 2对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，∴选B.[解析] 设所求轨迹上任意点P (x ，y )， 由题意，得|3x －4y －1|32＋42＝2， 化简得3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0.7. [答案] B[解析] ∵k AB ＝k CD ＝13，k BC ＝－12，k AD ＝－3，∴AB ∥CD ，AB ⊥AD .8. [答案] B[解析] 设直线ax ＋3y －9＝0关于原点对称的直线方程为－ax －3y －9＝0，又∵直线ax ＋3y －9＝0与直线x －3y ＋b ＝0关于原点对称，∴－a ＝1，b ＝－9，即a ＝－1，b ＝－9.9. [答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 设原点为O ，则所求直线过点A (－3,1)且与OA 垂直，又k OA ＝－13，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y －1＝3(x ＋3)．即3x －y ＋10＝0.10. [答案] 3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0[解析] 设所求直线上任意一点P (x ，y ) 由题意，得|3x ＋4y －3|32＋42＝3， ∴|3x ＋4y －3|＝15，∴3x ＋4y －3＝±15，即3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0.11. [答案] 4[解析] 由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O 的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，∴d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b 2＝4. 12. [答案] x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0[解析] ∵l 1∥l 2其距离d ＝|2－(－3)|2＝52 2.所求直线l 4∥l 3，设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， ∴c ＝0或－10， ∴所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.13. [解析] 正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610 . 设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0，由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7. 故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由|3×(－1)＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3. ∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.14. [解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(1－2)2＋(－2－4)2＝37，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －4－2－4＝x －21－2. 即6x －y －8＝0.点C (－2,3)到6x －y －8＝0的距离h ＝|－12－3－8|62＋(－1)2＝233737， 因此，S △ABC ＝12×37×233737＝232.15. [解析] 若所求直线斜率不存在，则它的方程为x ＝2满足要求；若所求直线的斜率存在．设方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由题设B (－1,1)到该直线距离为3， ∴|－k －1－2k －1|k 2＋1＝3，∴k ＝512，∴直线方程为：y ＋1＝512(x －2)即：5x －12y －22＝0，∴所求直线的方程为：x ＝2或5x －12y －22＝0.16. [解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2， 解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎨⎧ y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法三：由题意知直线l 的斜率必存在，设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎨⎧ y －4＝k (x －2)x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1. 又点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.17. [解析] 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得线段A ′B ′的长为|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋1＝0， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋6＝0， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. ∵|AB |＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋1k ＋1＋9k －1k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线的方程为x ＝3或y ＝1.。
高中数学人教B版必修二《点到直线的距离》版同步练习题含答案
人教B 版 数学 必修2：点到直线的距离一、选择题1、过点（1，3）且与原点相距1的直线共有（ ）A. 0条B. 一条C. 2条D.3条2、点P ),(y x 在直线04=-+y x 上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值是（ ）A. 10B. 22C. 6D.23、A 、B 、C 为三角形三个内角，它们的对边分别为c b a ,,，已知直线C B y A x sin sin sin ++=0，到原点的距离大于1，则此三角形为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定4、设a ，b ，k ，p 分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ）A ．a 2k 2＝p 2(1＋k 2)B ．k ＝b aC ．1a ＋1b＝p D ．a ＝－kb 5、直线1l 过点A （3，0），直线2l 过点B （0，4），1l ∥2l ，用d 表示1l 和2l 的距离，则（ ）A. 5≥dB. 53≤≤dC. 50≤≤dD.50≤<d二、填空题6、经过直线032=-+y x 和012=--y x 的交点，且与点（0，1）的距离等于21的直线的方程为__________________.7、若P<-1，则点)sin ,(cos αα到直线0sin cos =++P y x αα的距离是__________________.8、 已知A （3，0），B （0，4），则过B 且与A 的距离为3的直线方程为 ．9、若点（1，1）到直线xcos α＋ysin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ．10、已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，5），B （-2，4），C （-6，-4），M 为BC 边上的一点，且三角形ABM 的面积等于三角形ABC 面积的41，则线段AM 的长度等于__________________.三、解答题 11、已知一直线经过点（1，2），并且与点（2，3）和（0，-5）的距离相等，求此直线的方程。
《§7.1点到直线的距离公式 》(北师大)
《§7.1点到直线的距离公式》同步练习1．△ABC三个顶点的坐标A(－3,2)，B(3,2)，C(4,0)，则AB边的中线CD的长为________．2．已知点A(－1,4)，B(2,5)，点C在x轴上，且|AC|＝|BC|，则点C的坐标为________．3．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．4．过点P(2,3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．5．与直线2x＋y＋2＝0平行且距离为5的直线方程为______________．6．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A(2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为________．7．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使PA＋PB取最小值，则P点坐标是________.8．已知两点M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则使PM2＋PN2取最小值时点P的坐标为________．9．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条平行直线的方程。
10．直线l过点P(1,0)，且被两条平行线l1：3x＋y－6＝0，l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为9，求l的方程。
答案与解析1.【解析】 AB 的中点坐标为D(0,2)，∴CD ＝42＋22＝2 5【答案】 2 52.【解析】 设C(x,0)，则由|AC|＝|BC|，得x ＋12＋42＝x －22＋52，解得x ＝2，所以C(2,0)【答案】 (2,0)3.【解析】 两直线方程为x ＝－2，x ＝3，d ＝|3－(－2)|＝5【答案】 54.【解析】 此直线为过P(2,3)且与OP 垂直的直线，kOP ＝32，故直线方程为y －3＝－23(x －2)，即2x ＋3y －13＝0【答案】 2x ＋3y －13＝05.【解析】 设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0由两平行线间的距离公式得|m －2|22＋12＝5， ∴|m －2|＝5，即m ＝7或m ＝－3即所求直线方程为2x ＋y ＋7＝0或2x ＋y －3＝0.【答案】 2x ＋y ＋7＝0或2x ＋y －3＝06.【解析】 点A(2,0)与点B(－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即kAB ＝kCD ，∴n －8m －5＝0－422＝－1，整理得m ＋n ＝13 【答案】 137.【解析】 ∵点A(3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135， 得点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 8.【解析】 因为P 为直线2x －y －1＝0上的点，所以可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得PM2＋PN2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m2－8m ＋4，m ∈R 令f(m)＝10m2－8m ＋4＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫m －252＋125≥125， 所以m ＝25时，PM2＋PN2最小， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－159.【解】 (1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB ＝6＋322＋12＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0,310](2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1kAB ＝－12163＝－3，故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝010.【解】 若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A(1,3) 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B(1，－6)∴|AB|＝9，符合要求。
初中数学《点到直线的距离》练习题 (10)
初中数学《点到直线的距离》练习题
1．下列说法正确的是（）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．互相垂直的直线一定相交
C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．直线L外一点P与直线L上各点连接而成的线段中最短线段的长度是3cm，则点P 到直线L的距离是3cm．
【分析】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同一平面内的直线的位置关系；点到直线的距离定义；垂线段最短进行分析即可．
【解答】解：A、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
B、互相垂直的直线一定相交，说法错误，应为同一平面内，互相垂直的直线一定相交；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，说法错误，应为从直线外一
点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
D、直线L外一点P与直线L上各点连接而成的线段中最短线段的长度是3cm，则点P
到直线L的距离是3cm．说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，同一平面内的直线的位置关系，垂线的性质，垂线段的性质，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
1。
人教版高中数学必修二考点练习：有关距离的计算
有关距离的计算一、点到直线的距离1. 求点P0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.2. 已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a=______．3. 已知点A（a，6）到直线3x-4y=0的距离为4，则a=______．4. 求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．5. 已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．6. 已知点P(2，－1)，求过P点且与原点距离为2的直线l的方程．7. 点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为2，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，-1）D．（2，1）或（-2，1）8. 已知点，求△的面积。
9. ABC ∆中，()()()3,32,27,1,A B C --、、求A ∠平分线AD 所在直线的方程．10. 已知点()()0,2,2,0A B ，若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．111. 已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，1212. 已知直线121010l :x y ,l :x y ++=+-=，则l 1与l 2之间的距离为________________.13. 已知直线12102230l :x y ,l :x y +-=+-=，则l 1与l 2之间的距离为_______________.14. 求与直线3x －4y －2＝0平行且距离为2的直线方程．15. 到直线210l :x y ++=的距离为55的点的轨迹方程是________________.16. 直线l 1过点A(0,1)，l 2过点B(5,0)，如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的方程．二、最值问题 1. 已知51260x y +=，求()224x y -+的最小值.2. 函数的最小值为( )A. B. C. D.3. 求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．4. 过点P （1，2）且与原点O 距离最大的直线方程是____________________.5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A(5,0)到l 的距离的最大值．6. 若点P （x,y ）在直线l ：x+2y-3=0上运动，则22x y +的最小值为__________________.7. 已知两条互相平行的动直线l1，l2,分别过A（-1，-2），B（2，2），则l1，l2之间的距离最大值为_____________,当l1，l2之间的距离最大值时，直线l1，l2的方程分别为______________,__________________.8. 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. 求出d的取值范围？当d取最大值时，请求出两条直线的方程．9. 在△ABC中，A(1,0)，B(0，－2)，点C在抛物线y＝x2上，求△ABC面积的最小值．10. 已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)、B(m，m)、C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？三、应用1. 已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－7,0)，B(2，－3)，C(5,6)，D(－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形．2. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)求BC边上的中线A M的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．参考答案 有关距离的计算一、点到直线的距离1. 【解析】(1)由点到直线的距离公式，知d ＝()22|21210|21⨯-+-+＝105＝25.(2)解法一：把直线方程化为一般式为x －2＝0. 由点到直线的距离公式， 得d ＝22|1022|10-+⨯-+＝3.解法二：∵直线x ＝2与y 轴平行，∴由图知d ＝|－1－2|＝3.(3)解法一：由点到直线的距离公式，得d ＝22|1021|01-⨯+-+＝1.解法二：∵直线y －1＝0与x 轴平行，∴由图知d ＝|2－1|＝1.2.3.4. 解法一：由于点A(1,1)与B(－3,1)到y 轴的距离不相等，所以直线l 的斜率存在，设为k ，又因为直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0.由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l 的距离相等，得2|12|1k k -++＝()2|312|1k k ⨯--++，解得k＝0或k ＝1.故直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.解法二：当直线l 过AB 的中点时，直线l 与点A ，B 等距离，∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)，∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0； 当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 等距离，∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0. 故方程为y ＝2. 综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2.5. 【解析】当直线l 过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意． 当直线l 过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.因为原点到直线l 的距离为1， 所以2|2|1k k -++＝1，解得k ＝34. 所以所求直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0. 综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.6. 【解析】过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得21k +＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0. 综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.7.8. 【解析】设边上的高为，则。
高中数学-点到直线的距离练习
高中数学-点到直线的距离练习自我小测1．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )B．2－＋12．过点(1,3)且与原点之间的距离为1的直线共有( )A.3条 B．2条 C．1条 D．0条3．已知x，y满足3x＋4y－10＝0，则x2＋y2的最小值为( )A.2 B．4 C．0 D．14．到两条直线3x－4y＋5＝0和5x－12y＋13＝0距离相等的点P(x，y)的坐标必满足方程( )A.x－4y＋4＝0 B．7x＋4y＝0C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0 D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝05．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为( )A.12B.14C.18D．16．已知原点和点P(4，－1)到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a等于__________．7．两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：7x－y＋4＝0相交成四个角，则这些角的平分线所在的直线的方程为________________．8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是__________(写出所有正确答案序号)．9．如图所示，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，(1)求AB边上的中线CM所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．10．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．11．直线2x＋3y－6＝0交x，y轴于A，B两点，试在直线y＝－x上求一点P1，使|P1A|＋|P1B|最小，在y＝x上求一点P2，使||P2A|－|P2B||最大，并求出两个最值及|P1P2|的值．参考答案1．解析：1，所以|a＋1|.所以a－1.又因为a＞0，所以a－1.答案：C2．解析：当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y－3＝k(x－1)，由d＝1，得k＝43，直线方程为4x－3y＋5＝0；当直线的斜率不存在时，直线为x＝1，符合要求．所以符合条件的直线共有2条．答案：B3．解析：x2＋y2可视为原点到直线上的点P(x，y)的距离的平方，所以x2＋y2的最小值为原点到直线3x＋4y－10＝0的距离的平方．因为d＝2，所以x2＋y2的最小值为4. 答案：B4．解析：由题意得3455x y-+＝5121313x y-+.整理，得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.答案：D5．解析：l1：k(x－2)－2y＋8＝0过定点(2,4)，l2：k2(y－4)＝4－2x也过定点(2,4)，如图所示，点A(0,4－k)，B(2k2＋2,0)，S＝12×2k2×4＋(4－k＋4)×2×12＝4k2－k＋8.当k＝18时，S取得最小值．答案：C6．解析：，于是a2－4a－6＝±6，且a2＋a4≠0.所以a2－4a＝0或a2－4a－12＝0，且a2＋a4≠0.所以a＝－2或4或6.答案：－2,4或67．解析：设P(x，y)，可得角平分线的方程6x＋2y－3＝0，x－3y＋7＝0.答案：6x＋2y－3＝0，x－3y＋7＝08．解析：两平行线间距离为d，由已知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.答案：①⑤9．解：(1)AB中点M的坐标是M(1,1)，中线CM所在直线的方程是131y--＝121x---，即2x＋3y－5＝0.(2)|AB|＝直线AB的方程是3x－y－2＝0，点C到直线AB的距离是d，所以△ABC的面积是S＝12|AB|·d＝11.10．解：(1)如图所示，显然有0＜d≤|AB|.而|AB|故所求d的变化范围为．(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线均垂直于AB. 而k AB ＝2(1)6(3)----＝13，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.11．分析：设B 关于y ＝－x 的对称点为B′，AB′与y ＝－x 的交点P 即为所求P 1；B 关于y ＝x 的对称点B″，AB″与y ＝x 的交点Q 即为所求P 2.解：令x ＝0得y ＝2；令y ＝0得x ＝3，则A(3,0)，B(0,2)，点B 关于y ＝－x 的对称点为B′(－2,0)，直线AB′即x 轴交y ＝－x 于(0,0)即为P 1点．因为|P 1B|＋|P 1A|＝|P 1B′|＋|P 1A|＝|B′A|，即AB′与y ＝－x 相交时，P 1在直线AB′上，|P 1B|＋|P 1A|最小，最小值为|B′A|＝3－(－2)＝5.又B 关于y ＝x 的对称点为B″(2,0)，||P 2A|－|P 2B||＝||P 2A|－|P 2B″||≤|AB″|＝3－2＝1.当且仅当P 2，B″，A 共线(在y ＝x 上)，即P 2为直线B″A(即x 轴)与y ＝x 交于点(0,0)时，||P 2A|－|P 2B||最大，最大值为1，有P 1，P 2重合，所以|P 1P 2|＝0.。
点到直线的距离专项练习解析版
点到直线的距离1、两点间距离平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y -+-。
2、点到直线的距离点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为：0022d A B=+3、两条平行线间的距离利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式：1222d A B =+题型一 两点间距离例1.在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．练习1.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，22||(53)(24)22AB ∴-+-， 22||(51)(24)62BC +++， 22||(31)(44)45AC +++=，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．题型二 点到直线距离例1.若直线l 过点3)，倾斜角为120︒，则点(1,3)-到直线l 的距离为( ) A 3B 3C 33D 53【解答】解：直线l 过点3)，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan1203︒=- 故直线l 的方程为33(2)y x =-3330x y +-． 则点(1,3)-到直线l |3333|3331--+， 故选：C ．练习1.点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A ．1B 2C 3D ．2【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离22222121111k k k d k k k ++===++++要求距离的最大值，故需0k >； 可得2122kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．例2.已知点(2,1)-到直线(2)50ax a y +-+=2，则a 的值为( )A ．3B ．1C ．13-D ．1或13-【解答】222(2)a a =+-，即23210a a --=， 解得1a =或13a =-，故选：D ．练习1.已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43 C ．43-D ．34-【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有211d m =+，解可得34m =-；故选：D例3．已知在ABC ∆的顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -． （1）求ABC ∆的面积；（2）A ∠的平分线AD 所在直线的方程． 【解答】解：（1）1(2)1723BC k --==---，∴直线BC 的方程为12(3)3y x -=--，化为370x y +-=， ∴点A 到直线BC 的距离1010d =． 又22||(27)(21)310BC ++-- 111015310222S BC d ==⨯=； （2）解：设A ∠平分线AD 上的任意一点(,)P x y ， 又ABC ∆顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -，∴直线AB 方程为：5120x y --=，直线AC 的方程为：5120x y -+=，∴点P 到直线AC 距离等于点P 到直线AB 2626，解得60x y +-=（舍去）或0x y -=．∴角平分线AD 所在直线方程为：0x y -=．练习1.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(1,2)C --．（1）在ABC ∆中，求BC 边上的高线所在的直线方程； （2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）直线BC 的斜率32141BC k +==+． BC ∴边上的高线斜率1k =-，BC ∴边上的高线方程为：2(3)y x -=-+， BC ∴边上的高线所在的直线方程为10x y ++=．（2）(4,3)B ，(1,2)C --，22||(23)(14)52BC ∴--+--=由(4,3)B ，(1,2)C --得直线BC 的方程为：10x y --=．A ∴到直线BC 的距离322d =，ABC ∴∆的面积15232152S =⨯．题型三 平行直线间的距离例1.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为 【解答】解：直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行， 则1(1)10a --=，解得1a =-， 直线2:30l x y -+=； 则1l 与2l 之间的距离为2221(1)d ==+-故答案为：1-2练习1已知直线:(3)10l a x y ++-=，直线:5(1)320m x a y a +-+-=，若直线//l m ，则直线l 与直线m 之间的距离是( ) A ．65B 26C ．325D 326【解答】解：由:(3)10l a x y ++-=，直线:5(1)320m x a y a +-+-=，且//l m ， 得3115132a a a+-=≠--，解得：4a =-． ∴直线:(3)10l a x y ++-=化为：10x y -+=．又直线:5(1)320m x a y a +-+-=，即 2.20x y -+=．∴直线l 与直线m 之间的距离是322d ==． 故选：C ．练习2.与直线230x y +-=5的直线方程是( ) A ．220x y ++=B ．280x y +-=C ．220x y ++=或280x y +-=D ．220x y +-=或280x y ++=【解答】解：与直线230x y +-=平行的直线设为20x y t ++=，(3)t ≠-， 541=+解得2t =或8-，则所求直线的方程为220x y ++=或280x y +-=．例2.已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为() A ．1-B ．4C ．4或16-D ．16-【解答】22234=+，解得4a =，或16-．故选：C ．练习1．若两条平行直线210Ax y --=与640x y C -+=13C 的值为( )A ．11或15-B ．92或172- C ．12或14- D ．112或152-【解答】解：两条平行直线210Ax y ---与640x y C -+=， 可得3A =，即两直线6420x y --=，640x y C -+=， 13221364=+， 解得11C =或15-， 故选：A ．。
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点到直线的距离
一、 选择题
1、点（0，5）到直线y=2x 的距离是（ ）
A 、52
B 、32
D 2、点p （x ，y ）在直线x=Y-4=0上，O 是原点，则op 的最小值是（ ）
A 、 D 、2
3、p 点在直线3x+y-5=0上，且p 到直线x-y-1=0，则点p 坐标为（ ）
A 、（1，2）
B 、（2，1）
C 、（1，2）或（2，-1）
D 、（2，1）或（-1，2）
4、点p （m-n ，－m ）到直线1x y m n
+=的距离等于（ ）
A D
6、过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到它的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A 、4x+y-6=0
B 、x+4y-6=0
C 、2x+3y-7=0或x=4-6=0
D 、3+2y-7=0或4x+y-6=0
7、两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于（ ）
A 、3
B 、7
C 、
110 D 、12
二、填空题
8、点A （m+2，n+2），B （n －4，m －6）关于直线4x+3y －11=0对称，则m=-----------------，n=----------------。
9、已知点（a,2）(0)a >到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a=（ ） 10、已知直线l 与两直线122302-y-1=0l x y l x -+=：
和：的距离相等，则l 的方程为______. 11、已知实数x,y 满足关系式x+y-4=0,则22
x y +的最小值是___________.
三、解答题
12、求点P ()00,y x 到直线L ：0=++C By Ax 的距离
13、求点P （2，3）到直线0243=++y x 的距离。
15、求过点)0,1(-A ，且与原点的距离等于
22的直线方程。
答案：
一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、A ；5、D ；6、D ；7、C
二、填空题 8、4；2 91 10、2x-y+1=0 11、8
三、解答题
12、解：过P 作直线L 的垂线PQ 交直线L 于Q ，设Q ),(b a ，PQ 的方程为：01=+-C Ay Bx ，因为 PPQ ，
所以 =1C 00Bx Ay -，PQ ：000=-+-Bx Ay Ay Bx ，
即 PQ ：0)()(00=---y y A x x B ，
由 0)()(00=---y y A x x B
0=++C By Ax
得 0)()(00=---y y A x x B
0)()()(0000=+++-+-C By Ax y y B x x A
有 =-0x x 2200)(B A C By Ax A +++- =-0y y 2200)(B
A C By Ax
B +++-， 故 PQ ＝20202020)()()()(y y x x y b x a -+-=
-+- 2222
0022222002)
()()()(B A C By Ax B B A C By Ax A +++++++= 2200B A C By Ax +++=
13、4 14、设动点),(y x P 到两条平行线的距离相等，根据点到直线的距离公式得 222246346236
23+-+=+-+y x y x 。
化简，得015812=-+y x 。
因此所求轨迹是一条直线。
15、因为所求直线方程过点，所以可以用点斜式表示）
1(2+=-x k y 则问题就转化为求斜率k 。
再根据原点到直线的距离等于22
，列出关于k 的方程，问题就可以可以得到解决。
（05701=++=-+y x y x 或）。