二年级等差数列
数学人教版高中二年级必修3 2.2等差数列
2.2等差数列一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二年级数列规律公式
二年级数列规律公式
在二年级的数学学习中，数列是一个重要且基础的知识点。
以下是一些常见的二年级数列规律公式：
1. 等差数列：相邻两项的差是一个常数，例如：3，6，9，12，...，这个数列的公差是3。
2. 等比数列：相邻两项的比是一个常数，例如：2，4，8，16，...，这个数列的公比是2。
3. 平方数列：每一项都是某个整数的平方，例如：1, 4, 9, 16, ...，这个数列的通项公式是xn = n^2。
寻找数列的排列规律时，通常有三种方法：作差、做商、作和。
例如对于数列1，4，9，16，...我们可以观察到每一项都是某个整数的平方（xn =
n^2），所以这是一个平方数列。
《等差数列》PPT课件
首项是1，末项是100，项数是100，公 差是1。由此我们可以得出一个求解等 差数列的公式：
等差数列的和=（首项+末项）×项，项数 和公差。 （1）2，5，8，11，14，17，20，23 （2）0，4，8，12，16，20，24，28
等差数列
高斯的故事
所以： 1+2+3+4+5...+99+100=101×50=5050
在这里出现了一列数据：1，2，3，4， 5...，99，100 我们定义：按一定次序排列的一串数叫 数列。一个数列，从第二个数起，每一 项减去它前边的一项，所得的差都相等 ，就叫等差数列。
等差数列的每一个数都叫做项，其中左 起第一项叫首项，最后一项叫做末项， 项的个数叫做项数。等差数列中相邻的 两项的差叫做公差。
练习： （1）1+2+3+4+...+250 （2）1+2+3+4+...+200 （3）1+3+5+7+...+97+99
答案： （1）首项2，末项23，项数8，公差3 （2）首项0，末项28，项数8，公差4
例二：1+2+3+4+......+1998+1999 问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？
答案： 首项是1，末项是1999，项数是1999。
解析： 1+2+3+4+......+1998+1999=（1+1999） ×1999÷2=2000×1999÷2=1999000
小学二年级奥数题-等差数列
小学二年级奥数题-等差数列你做过等差数列奥数题么，一起来看看吧。
下面是小编为您整理的二年级奥数题，来供大家学习和参阅!等差数列题及答案1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少?解答：2、5、8、11、14、……。
从规律看出：这是一个等差数列，且首项是2，公差是3，这样第1995项=2+3×(1995-1)=59842、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少?解答：我们发现：1、2、3、4、5、6、7、……中，从1开始每三个数一组，每组前2个不能被3除尽，2个一组，100个就有100÷2=50组，每组3个数，共有50×3=150，那么第100个不能被3除尽的数就是150-1=149.3、把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少?.解答：28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：1988÷14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2×27=54，这样转化为和差问题，最大数为(142+54)÷2=98。
4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少?解答：因为34×28+28=35×28=980<1000，所以只有以下几个数：34×29+29=35×2934×30+30=35×3034×31+31=35×3134×32+32=35×3234×33+33=35×33以上数的和为35×(29+30+31+32+33)=54255、盒子里装着分别写有1、2、3、……134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。
等差数列 课件
在(2)中已知条件不变，添加条件“a4>a2”求 a5 的值． 【解】 ∵a2＋a3＋a4＋a5＝34 且 a3＋a4＝a2＋a5， ∴2(a2＋a5)＝34， ∴a2＋a5＝17，又 a2·a5＝52，
∴aa52＝＝143， 或aa52＝＝41.3，
又∵a4>a2， ∴a4－a2＝2d>0， ∴d>0，∴a5>a2， ∴a5＝13.
等差数列的性质
一、子数列的性质 从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 等差 数列． 二、等差数列通项公式的推广
等差数列通项公式的变形公式： an＝am＋ (n－m) d，d＝aannnn－－－－mamamm.
三、“下标和”性质 (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ ap＋aq . (2)在等差数列{an}中，若 m＋n＝2t，则 am＋an＝ 2at . (3)数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和 都相等，且等于首末两项之和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝ a3＋an－2＝… ＝ai＋1＋an－i＝….
(4)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)． (5)下标成等差数列，则数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等差 数列，公差为 kd(m，k∈N*)． (6)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋bn}(k，b 为非零常数) 也为等差数列． (7){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列． (8)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列{a2n} 是公差为 2d 的等差数列． (9)若{kn}是等差数列，则{akn}也是等差数列．
2．等差数列的公差本质上是相应直线的斜率．所以类比直线 的斜率公式可得出 d＝ann－－mam.
(等差数列的前n项和)高二年级上册教学课件(第2.3.2课时)
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等差数列前 n 项和的性质
例 1、(1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列{an}的前 3m 项的和 S 3m ；
思考：如果{an}是等差数列，那么 a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋
a30 是等差数列吗？
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学习目标
LEARNING OBJECTIVES
[提示] (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10)
2．已知一个数列{an}的前 n 项和为 S n＝n 2－5n ，试画出 S n 关于 n 的函数图象．你能说明数列{an} 的单调性吗？该数列前 n 项和有最值吗？
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提示：
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S n 所以 是公差为 1 ，首项为 3 的等差数列，
n
1 0 ×9
所以前 1 0 项和为 3 ×1 0 ＋
×1 ＝7 5 .]
2
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二年级上册数学试题-等差数列(2)全国通用(含答案)
第十二讲 等差数列（二）1、等差数列中常用的计算公式：等差数列的求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2字母公式：2)(1÷⨯+=n a a S n n末项=首项+（项数1-）⨯公差,字母公式：d n a a n ⨯-+=)1(1项数=（末项-首项）÷公差1+,字母公式：1)(1+÷-=d a a n n首项=末项－（项数－1）×公差 字母公式：1n a a (n 1)d =--⨯公差=（末项－首项）÷（项数－1）字母公式：n 1d (a a )(n 1)=-÷-2、等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半,即中间项=和÷项数.奇数项等差数列求和公式为：和=中间项×项数【例1】等差数列：3,10,17,24,……,73（1）公差是多少？（2）数列共有多少项？（3）按照这样的顺序,第18项是多少？【答案】（1）7；（2）11；（3）122.【解析】（1）公差为10－3=7；（2）项数=（末项－首项）÷公差+1=（73－3）÷5+1=11（项）（3）第18项为3+（18－1）×7=122.【例2】一个等差数列共有13项,每一项都比它前面一项大2,并且首项为23,求末项是多少？【答案】47.【解析】此数列是首项为23,项数为13,公差为2的等差数列.则根据末项公式得：末项=首项+（项数－1）×公差=23+（13－1）×2=47.【例3】在数字1和73之间插入5个数,使这些数构成等差数列,求这个等差数列的公差是多少？【答案】12.【解析】 首项是1,末项是73,项数是5+2=7（项）,公差=（73－1）÷（7－1）=12.【例4】一个等差数列的第五项是17,第九项是29,求公差是多少？求首项是多少？【答案】3；5.【解析】第五项与第九项之间有9－5=4（个）公差,公差为（29－17）÷（9－5）=3.因为第九项=首项+（9－1）×公差,所以首项=第九项－（9－1）×公差=29－8×3=5.【例5】编号为1～9的九个盒子中各放有一些糖果,已知每个盒子都比前一号盒子多同样数量的糖果.如果第5号盒子放10颗糖果,那么九个盒子里一共放了多少颗糖果？【答案】12.【解析】题目中的第五个盒子中的糖果数是10颗,就是中间项是10,项数是9,和=中间项×项数,所以一共有10×9=90（颗）.【例6】把84米长的一根绳子分成7段,使后面一段都比前面一段多3米.那么这7段绳子中最长的一段长多少米？【答案】21米.【解析】奇数项等差数列,中间项＝和÷项数,中间段（第四段）是：84÷7=12（米）,最长的一段长12+3×3＝21（米）.【例7】一个等差数列的第5项是15,前11项之和为198,这个数列的第20项是多少？【答案】60.【解析】因为11项的和为198,所以第6项（中间项）：198÷11=18,公差：(18－15)÷(6－5)=3,第20项：15+3×(20－5)=60.【例8】数列：2、4、6、8、10、12、……是由连续偶数组成的,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.【答案】60.【解析】利用等差数列的“中项公式”,对于奇数个连续偶数,最中间的数是320÷5=64,因相邻偶数相差2,所以第1项比第3项（中间项）少2个公差,那么第1项是64－2×2=60.【例9】有15个盒子中共放了300个乒乓球,已知每个盒子都比前一号盒子多放同样多的乒乓球.如果1号盒子放6个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？如果3号盒子放15个球,那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个球？【答案】2；1.【解析】此题求的是公差.利用奇数项的等差数列求和,和=中间项×项数,则中间项（第8个盒子）为300÷15=20；若1号盒子放6个球,则公差为（20－6）÷7=2；若3号盒子放15个球,则公差为（20－15）÷（8－3）=1.【例10】有9个数成等差数列,从小到大排成一行,中间的数是9.前6个数的和比后3个数的和少9.那么第9个数是多少？【答案】17.【解析】总和为9×9=81,后三个数为（81+9）÷2=45,第8个数为45÷3=15,公差为（15－9）÷（8－5）=2,第9个数是15+2=17.【例11】若干人围成20圈,一圈套一圈,从外圈向内圈人数依次少4人,如果共有880人,问最外圈有多少人？最内圈有多少人？【答案】82；6.【解析】根据偶数项的等差数列特点分组,第一项与最后一项,第二项与倒数第二项,第三项与倒数第三项,……,每组的和都相等,都是880÷(20÷2)=88,而第一项与第20项的差为(20－1)×4=76,利用和差公式,可得最外圈有(88+76)÷2=82（人）,最内圈有88－82=6（人）.【例12】盒子里放有1个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出1个乒乓球,将它变成5个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出2个球,将每个球各变成5个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出10个乒乓球,将每个球各变成5个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？【答案】221个.【解析】魔术师第一次魔术后乒乓球增加5－1=4（个）,第二次后增加2×4=8（个）,第三次后增加3×4=12（个）,……,第十次后增加10×4=40（个）.这时盒子里一共有1+4+8+12+……+40=1+(4+40)×10÷2=221（个）.课后练习：1.一个等差数列共有9项,每一项都比它前面一项大5,并且首项为17,求末项是多少？【答案】57.【解析】此数列是首项为17,项数为9,公差为5的等差数列.则根据末项公式得：末项=首项+（项数－1）×公差=17＋（9－1）×5=57.2.一个等差数列的第一项是8,第十项是80,求公差是几？【答案】8.【解析】第十项=首项+（10－1）×公差,所以第一项与第十项之间有10－1=9（个）公差,公差为（80－8）÷（10－1）=8.～的七个盒子中放了一些玻璃球,已知每个盒子都比前一号3.小明在编号为17盒子多放同样多的玻璃球.如果4号盒子里放27个玻璃球,那么七个盒子里共放了多少个？【答案】189个.【解析】题目中的第四个盒子中的玻璃球个数是27,就是中间项是27,项数是7,和=中间项×项数,所以一共有7×27=189（个）.4.学校礼堂共有20排座位,已知第一排是15个座位,以后每排比前一排多一定数量的座位,第十排有33个座位,求第20排有多少个座位？【答案】53个.【解析】首项是15,第十项是33,公差是（33－15）÷（10－1）=2（个）,所以第20排有15+（20－1）×2=53（个）.5.一个等差数列的第3项是7,前9项之和为99,这个数列的第20项是多少？【答案】41.【解析】因为9项的和为99,所以第5项（中间项）：99÷9=11,公差：（11－7)÷(5－3)=2,第20项：7+2×(20－3)=41.6.7个连续奇数的和为91,其中最小的数是多少？【答案】7.【解析】项数是7,和是91,中间项（第4项）：91÷7=13,连续的奇数所以公差为2,第1项：13－2×（4－1）=7.7.有13个数成等差数列,从大到小排成一行,中间的数是20.前6个数的和比后7个数的和大64.那么第13个数是多少？【答案】8.【解析】13个数的中间的数是第7个数,即第7项为20.总和为13×20=260,后7个数的和为（260－64）÷2=98,第10个数为98÷7=14,公差为（20－14）÷（10－7）=2,第13个数是14－2×（13－10）=8.8.幼儿园380个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏,已知最内圈20人,最外圈56人,如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻两圈相差多少人？【答案】4人.【解析】这一等差数列的和是380,首项20,末项56,先根据公式“和=(首项+末项)×项数÷2”求出项数：380÷[(20+56)÷2]=10（圈）.再根据公式“公差=(末项－首项)÷(项数－1)”求出公差：(56－20)÷(10－1)=4（人）.9.在一次考试中几个同学的分数恰好构成了等差数列,排名第六的小红分数为78分,前9名同学的分数之和为720分,这几个同学中排名第一的同学考了多少分？【答案】88分.【解析】前9项的中间项（第5名）为720÷9=80（分）,公差(80－78)÷(6－5)=2（分）,则排名第一的同学考了80+(5－1)×2=88（分）.10.盒子里放有2个乒乓球.一位魔术师第一次从盒子里拿出2个乒乓球,将每个球各变成3个球后放回盒子里；第二次从盒子里拿出3个球,将每个球各变成3个球后放回盒子里；……；第十次从盒子里拿出11个乒乓球,将每个球各变成3个球后放回到盒子里,这时盒子里共有多少个乒乓球？【答案】132个.【解析】魔术师第一次魔术后乒乓球增加2×(3－1)=4（个）,第二次后增加3×(3－1)=6（个）,第三次后增加4×(3－1)=8（个）,……,第十次后增加11×(3－1)=22（个）.这时盒子里一共有2+4+6+8+……+22=2+(4+22)×10÷2=132（个）乒乓球.。
二年级上册数学试题-等差数列(1)全国通用(含答案)
第十一讲 等差数列（一）1.数列：按照一定次序排列的一列数叫数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2项、第3项、……、第n 项、……数列的一般形式可以写成：1a 、2a 、3a 、……、n a 、……；其中n a 是数列的第n 项；（n 为正整数）2.等差数列：如果一个数列,从第2项起的每一项n a 与它的前一项1n a -的差等于同一个数,这个数列就叫做等差数列,这个相同的差叫做等差数列的公差,公差通常用d 表示.例如：1、3、5、7、9……；d =2.3.等差数列中常用的计算公式：等差数列的求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2字母公式：2)(1÷⨯+=n a a S n n末项=首项+（项数1-）⨯公差,字母公式：d n a a n ⨯-+=)1(1项数=（末项-首项）÷公差1+,字母公式：1)(1+÷-=d a a n n首项=末项－（项数－1）×公差 字母公式：1n a a (n 1)d =--⨯公差=（末项－首项）÷（项数－1）字母公式：n 1d (a a )(n 1)=-÷-【例1】在括号里填上合适的数.（1）4、6、8、10、（ ）、（ ）、16；（2）28、（ ）、20、16、12、8；（3）1、3、5、7、（ ）、11、13.【答案】（1）4、6、8、10、（12）、（14）、16；（2）28、（24）、20、16、12、8；（3）1、3、5、7、（9）、11、13.【解析】填法如下：（1）4、6、8、10、（12）、（14）、16；（2）28、（24）、20、16、12、8；（3）1、3、5、7、（9）、11、13.小结：按一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫做首项）,排在第二位的数称为这个数列的第二项,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.【例2】判断下面的数列中,哪些是等差数列？a：6,10,14,18,22；……；b：1,2,1,2,3,4,5,……,99,100；c：1,2,4,8,16,32,64；d：9,8,7,6,5,4,3,2,1；e：2011,2011,2011,2011,2011,2011；f：1,0,1,0,1,0,1,0,1.【答案】a、d、e是等差数列.【解析】数列a中,我们可以发现从第二项开始,后一个数减前一个数的差都是4,所以符合等差数列的定义,所以该数列是等差数列,且公差为4.数列b中,我们可以发现从第二项开始,后一个数减前一个数的差不为同一个常数,所以不符合等差数列的定义,所以该数列不是等差数列.数列c中,我们可以发现从第二项开始,后一个数减前一个数的差不为同一个常数,所以不符合等差数列的定义,所以该数列不是等差数列.数列d中,我们可以发现从第二项开始,前一个数减后一个数的差都是1,所以符合等差数列的定义,所以该数列是等差数列,且公差为1.数列e中,我们可以发现从第二项开始,后一个数减前一个数的差都是0,所以符合等差数列的定义,所以该数列是等差数列,且公差为0.数列f中,我们可以发现从第二项开始,后一个数减前一个数的差不为同一个常数,所以不符合等差数列的定义,所以该数列不是等差数列.【例3】等差数列：1,3,5,7,9,11,（）,……（1）公差是多少？（2）第7项是多少？第20项是多少？（3）49是第几项？【答案】（1）2；（2）13；39（3）25.【解析】（1）公差为3－1=2.（2）观察第7项为11+2=13；这个等差数列的公差是3－1=2,第20项是在首项的基础上增加了20－1=19（个）公差,所以第20项是：末项=首项+（项数－1） 公差=1+（20－1）×2=39.（2）每往后一项就增加一个2,有几个2后面就还有几项,49－1=48；48÷2＝24,即第一项往后再24项,所以49是第24＋1＝25（项）.【例4】等差数列：1、4、7、10、13、……、61,该数列一共有几项？【答案】21项.【解析】数列是公差为3的等差数列,连续两个数之间隔1个公差,连续三个数之间隔2个公差,连续4个数之间隔3个公差,依次类推,不难发现,项数比首项与末项这两个数隔的公差个数多1.该数列中公差为3,在1~61中,一共隔了(61－1)÷3=20（个）公差,一共有20+1=21（项）.【例5】计算：（1）2+4+6+8+10+12（2）5+10+15+20+25+30+45+40（3）1+5+9+13+17（4）2+7+12+17+22+27+32+37+42【答案】（1）42.（2）180.【解析】 （1）,发现第一项与最后一项搭配,第二项与倒数第二项搭配,……,依次类推,每组两个数,每组的和都相等,均2+12=14,一共有6÷2=3（组）,总和为14×3=42.（2）,两个数一组,每组的和为5+40=45,一共有8÷2=4（组）,总和为45×4=180.小结：首尾相加两数为一组的和都相等,所以在公式中表示为“首项+末项”,“项数÷2”表示一共有多少组.偶数项等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2字母公式：1()2n S a a n =+⨯÷.（3）发现中间数落单,而每组的和相等且是中间数的两倍,因此原式也可表示为,即和为9×5=45.（4）,可转换为,即和为22×9=198.【例6】计算：（1）4+8+12+16+20+24+28+32；（2）1+4+7+10+ (58)【答案】（1）144；（2）590.【解析】（1）和为(4+32)×8÷2=144；（2）项数为(58－1)÷3+1=20（项）,和为(58+1)×20÷2=590.【例7】计算：（1）3+6+9+12+15+18+21；（2）4+10+16+……+52【答案】（1）84；（2）252.【解析】（1）项数为7,中间项为12,和为12×7=84.（2）项数为(52－4)÷6+1=9（项）,和为(4+52)×9÷2=252.【例8】在等差数列2、6、10、14、……中,从左向右数,第几个数是122？【答案】31.141414454545455+10+15+20+25+30+35+40181818189+9+ 9+ 9+ 9444444442+7+12+17+22+27+32+37+424444444422+22+22+22+22+22+22+22+22【解析】首项：2,末项：122,公差：4,项数：(122－2)÷4+1=31（个）.【例9】电影院的第一排有35个座位,后一排比前一排多6个座位,最后一排有83个座位,那么这个电影院共有多少个座位？【答案】531个.【解析】根据题意分析,电影院里的后排比前一排多6个,可以认为电影院里每排的座位数为等差数列.第一排的座位数量35就是首项,最后一排有83个座位是末项,每排相差的6是公差.那么这个电影院一共有座位是（83－35）÷6＋1＝9（排）,一共有座位（35＋83）÷2×9＝531（个）.【例10】在28和84之间插入7个数,使这9个数构成一个等差数列,那么插入的7个数的和是多少？【答案】392.【解析】我们可以算出这9个数的和,再去掉28和84这两个数,即可得到插入的7个数的和.9个数构成的等差数列的和为：(28+84)÷2×9＝504；中间插入的7个数的和为：504－28－84＝392.【例11】下面算式是按规律排列的：100－2,100－5,100－8,100－11,100－14,……,则其中第几个个算式的差是41？【答案】20个.【解析】每个算式的被减数均为100.每个算式的差依次为：98、95、92、89……,构成了等差数列,则41是该数列中的第（98－41）÷3+1=20（项）.故第20个算式的差是41.【例12】计算：1+1+2+3+3+5+4+7+5+……+19+37+20+39.【答案】610.【解析】可以分成两个数列求和,(1+2+3+4+……19+20)+(1+3+5+7+……+39),两个数列的项数分别为20,(39－1)÷2+1=20.所以原式=(1+20)×20÷2+(1+39)×20÷2=210+400=610.课后练习：1.判断下面的数列中,哪些是等差数列？写出等差数列的公差是几？a:14、13、12、11、10、9、……；b:8、8、8、8、8、8、8、……、8、8；c:2017、2016、2017、2016、2017、2016；d:50、45、40、35、30、25.【答案】a、b、d是等差数列,公差分别为1、0、5.【解析】a、b、d是等差数列,a公差为1,b公差为0,d公差为5.2.等差数列：1、4、7、10、13、……（1）第18项是几？（2）31是第几项？【答案】（1）52；（2）第11项.【解析】（1）这个等差数列的公差是4－1=3,第18项是在首项的基础上增加了18－1=17（个）公差,所以第18项是：末项=首项+（项数－1） 公差=1+（18－1）×3=52.数列是公差为3的等差数列,连续两个数之间隔1个公差,三个数之间隔2个公差,连续4个数之间隔3个公差,……,依次类推,不难发现,项数比首项与末项这两个数隔的公差个数多1.该数列中公差为3,从31－1中,一共隔了（31－1）÷3=10（个）公差,一共有10+1=11（项）.3.已知数列：2、4、6、8、10、……、98,该数列一共有几项？【答案】49项.【解析】首项是2,末项是98,公差为2的等差数列,项数是(98－2)÷2+1=49（项）.4.计算：6+10+14+18+ (82)【答案】880.【解析】首项是6,末项是82,公差是4,项数是（82－6）÷4+1=20（项）,和为（6+82）×20÷2=880.5.计算：3+6+9+12+15+18+21+24+27.【答案】155.【解析】一共有9项,中间项为第（9+1）÷2=5项,奇数项的等差数列求和,总数=中间数×项数,15×9＝135.6.小虎学写毛笔字,第一天写8个,以后每天比前一天多写2个,那么,他十天一共写了多少个毛笔字？【答案】170个.【解析】由题意得,小虎10天中写毛笔字的字数分别为：8、10、12、14……26.它们的和是：8+10+12+14+……+26=（8+26）×10÷2=170（个）.7.计算：(5+10+15+……+50)－(3+6+9+……+30).【答案】110.【解析】项数分别为(50－5)÷5+1=10（项）,(30－3)÷3+1=10（项）.方法一：等差数列求和.原式=(5+50)×10÷2－(3+30)×10÷2=275－165=110.方法二：把括号去掉,两两结合,简便计算.原式=(5－3)+(10－6)+(15－9)+……+(50－30)=2+4+6+……+20=(2+20)×10÷2=110.8.体育课上老师指挥大家排成一排,欢欢站排头,乐乐站排尾,从排头到排尾依次报数.如果欢欢报1,乐乐报51,每位同学报的数都比前一位多5,那么队伍里一共有多少人？【答案】11人.【解析】按题意知每位同学报的数是一个等差数列,首项是1,末项是51,队伍里的人数是项数,所以共有（51－1）÷5+1=11（人）.9.在10和130之间插入5个数,使这些数构成等差数列,这5个数的和是？【答案】350.【解析】先算出等差数列的和10130522490（）（）,然后算出这5个数的+⨯+÷=和是490－10－130=350.10.计算：1+4+5+8+9+12+13+……+36+37+40.【答案】410.【解析】可以分成两个数列求和,原式=(1+5+9+13+……+37)+(4+8+12+……+40),前一个等差数列(37－1)÷4+1=10（项）,后一个等差数列(40－4)÷4+1=10（项）.这两个数列的项数分别为10,所以原式=(1+37)×10÷2+(4+40)×10÷2=190+220=410.。
小学奥数等差数列
小学奥数等差数列等差数列是数学中重要的概念之一，也是小学奥数中的常见考点。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及解题方法。
1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数都与它的前一个数之差相等。
通常用字母 a 表示数列的首项，d 表示公差，那么数列中的第 n 项可以表示为：a + (n - 1) * d。
2. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 公差相等：数列中任意两项之间的差值都相等。
- 递推公式：数列中每一项可以通过前一项加上公差得到。
- 首项与末项：数列中的首项为 a，末项为 a + (n - 1) * d。
- 数列长度：数列中的项数为 n = (末项 - 首项) / 公差 + 1。
3. 等差数列的解题方法解决等差数列的问题通常可采用以下方法：- 求某一项：使用递推公式即可求得数列中任意一项的值。
- 求和：等差数列的前n 项和可以通过求平均数乘以项数得到，即和 = (首项 + 末项) * 项数 / 2。
4. 解题示例假设有一个等差数列，其中首项为 2，公差为 3，求该等差数列的第 5 项和前 5 项的和。
根据等差数列的递推公式，第 5 项可以通过前一项加上公差得到：a5 = a4 + d = 2 + 3 = 5。
根据等差数列的求和公式，前 5 项的和可以计算如下：和 = (首项 + 末项) * 项数 / 2 = (2 + 5) * 5 / 2 = 35。
综上所述，该等差数列的第 5 项为 5，前 5 项的和为 35。
5. 总结等差数列是一个重要的数学概念，在小学奥数中常见。
通过掌握等差数列的定义、性质和解题方法，可以更好地应对相关的考试题目。
等差数列课件
应用一
03
CHAPTER
等差数列的求和公式
利用等差数列的性质和数学归纳法，推导出等差数列的求和公式。
公式推导方法
通过数学归纳法证明等差数列的求和公式，确保其正确性和通用性。
数学归纳法
实际应用场景
等差数列的求和公式在日常生活和工作中有着广泛的应用，如计算存款利息、计算工资等。
解题技巧
掌握等差数列求和公式的应用技巧，能够快速解决相关问题，提高工作效率。
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差相等。
等差数列可以用通项公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_1 + (n-1)d。
也可以用递推公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_(n-1) + d。
等差数列的任意一项都可以由首项和公差唯一确定。
等差数列的公差是恒定的，不会随着项数的增加或减少而改变。
答案解析
一个等差数列的前5项依次为2、7、12、17、22，求该等差数列的通项公式。
题目
题目
题目
答案解析
一个等差数列的第10项是50的前4项和为26，前8项和为76，求该等差数列的前12项和。
进阶练习题主要考察等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及如何根据已知条件求解未知数。
等差数列和等比数列在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在物理学中，等差数列可以用来描述声音的振动，而等比数列可以用来描述光的强度。
等差数列和几何级数是两种不同的数学概念，但它们之间也存在一定的关系。在几何级数中，任意两项之间的比是一个常数，与等比数列相似。但是，几何级数的第一项必须为1，而等比数列的第一项可以是任意实数。
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(完整版)二年级奥数复习认识简单等差数列
一、等差数列（Arithmetic Progression）等差数列（别名算数列）是数列的一种。
在等差数列中，任何相两的差相等。
差称公差。
比如数列{ 3, 5, 7, 9, 11, 13}就是一个等差数列。
在个数列中，从第二起，每与其前一之差都等于2，即公差 2。
1、一个院有 22 排座位，第一排有26 个座位，后一排比前一排多 2 个座位，院一共有几个座位？2、一个影院的第一排有 15 个座位，以后每一排都比前一排多 2 个座位，最后一排有 73 个座位，影院一共几个座位？3、一个 Office Building 共有 24 ，梯从一楼开始上，此梯里有 5 人，从2 楼开始每上 2 人，可是每一个乘客最多坐 4 就要下梯，当梯抵达楼（ 24 ）的候，梯里最多会有多少个乘客？4、Yorkmills 高中的一些同学要参加数学，假如参加的同学号：1、2、3、4、5⋯⋯ ..，当全部号的和不超 1050 ，那么 Yorkmills 高中最多能有多少个孩子参加数学？5、以下数字组成等差数列，依据已知的数字填写节余的数字，并算全部数字的和是多少。
____ ____ ____ ____ ____ 29 ____ ____ 20 ____ ____ ____6、将1,2,3,4,5⋯⋯⋯.1997的整数（Integra）分红A、B、C三，此中：A：1,6,7,12,13,18,19⋯.. B：2,5,8,11,14,17,20⋯⋯C：3,4,9,10,15,16,21⋯⋯那么， B 中一共有 _______整数； A 中第 600 个数字是 ________；1000 是______里的第 ______个数字？7、向来青蛙从距离起跑线（Start Line）10厘米的地方开始往前跳，每一次青蛙能跳 4 厘米，青蛙跳到第100 次的时候，距离起跑线有多远？8、将9个连续的正整数从小到大摆列，最小的4个数的和是58，那么这个数列里最大的 4 个数字的和是多少？。
(完整)小学二年级奥数复习-认识简单等差数列.docx
一、等差数列（Arithmetic Progression）等差数列（又名算数列）是数列的一种。
在等差数列中，任何相两的差相等。
差称公差。
例如数列{ 3, 5, 7, 9, 11, 13}就是一个等差数列。
在个数列中，从第二起，每与其前一之差都等于2，即公差 2。
1、一个院有 22 排座位，第一排有26 个座位，后一排比前一排多 2 个座位，院一共有几个座位？2、一个影院的第一排有 15 个座位，之后每一排都比前一排多 2 个座位，最后一排有 73 个座位，影院一共几个座位？3、一个 Office Building 共有 24 ，梯从一楼开始上，此梯里有 5 人，从2 楼开始每上 2 人，但是每一个乘客最多坐 4 就要下梯，当梯到达楼（ 24 ）的候，梯里最多会有多少个乘客？4、Yorkmills 高中的一些同学要参加数学，如果参加的同学号：1、2、3、4、5⋯⋯ ..，当所有号的和不超 1050 ，那么 Yorkmills 高中最多能有多少个孩子参加数学？5、以下数字构成等差数列，根据已知的数字填写剩余的数字，并算所有数字的和是多少。
____ ____ ____ ____ ____ 29 ____ ____ 20 ____ ____ ____6、将1,2,3,4,5⋯⋯⋯.1997的整数（Integra）分成A、B、C三，其中：A：1,6,7,12,13,18,19⋯.. B：2,5,8,11,14,17,20⋯⋯C：3,4,9,10,15,16,21⋯⋯那么， B 中一共有 _______整数； A 中第 600 个数字是 ________；1000 是______里的第 ______个数字？7、一直青蛙从距离起跑线（Start Line）10厘米的地方开始往前跳，每一次青蛙能跳 4 厘米，青蛙跳到第100 次的时候，距离起跑线有多远？8、将9个连续的正整数从小到大排列，最小的4个数的和是58，那么这个数列里最大的 4 个数字的和是多少？。
等差数列知识点总结及练习
等差数列【知识点】1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，其中d 为公差2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】∴ d=nm a a nm -- 3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2.4．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2：2)1(1dn n na S n -+=公式二又可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式5. 性质：等差数列{an}中，公差为d ， 若d ＞0，则{an}是递增数列； 若d=0，则{an}是常数列； 若d ＜0，则{an}是递减数列．{}（）是等差数列，若1a m n p qn +=+⇒+=+a a a a m n p q⇒+=+==+--+a a a a a a n n r n r 1211…{}（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也32d a a a a m N n k k m k m ++∈()成等差数列，且公差为md 。
{}（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列，4d a n即，，，…也成等差数列，其公差为。
S S S S S m d m m m m m 2322--（5）等差数列的前n 项和的性质： ①若项数为()*2n n ∈N，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶． ②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 6. 充要条件的证明：{}a a a da a aa dn c n S an bn ab n d d d n n n n n n n n 为等差数列（关于的一次函数）（、为常数，是关于的常数项为的二次函数）递增数列常数列递减数列⇔-==+=+=+>⇔=⇔<⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪+++1122200007、最值问题（）若，，成等差数列，，，也成等差数列。
《等差数列的性质》高二年级上册PPT课件(第2.2.2课时)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( ) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( ) (3)若{an}是等差数列，则对任意 n ∈N *都有 2an＋1＝an＋an＋2.( ) (4)数列{an}的通项公式为 an＝3n ＋5，则数列{an}的公差与函数 y＝3x＋5 的图象的斜率相等．( )
由
b
1＝3 0 ，b
6
＝1
0
，得
b
1＋5 d
2＝1 0 ，
b 1＝3 0 ，
∴
d 2＝－4 ，
得 b 2＝2 6 .
∴c2＝a 2b 2＝1 .2 ×2 6 ＝3 1 .2 ，
即第 2 年养鸡场有 2 6 个，全县出产鸡 3 1 .2 万只．
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[规律方法] 1 ．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决， 若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决． 2 ．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首
末两项的和，即 a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k＋a n －k＋1＝….
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差 数列．
(3)若{an}是公差为 d 的等差数列，则 ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p， q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列． (5){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为 递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
高二年级数学第二章第二节等差数列二课时
2.1.1等差数列枣庄六中高二年级数学张婷婷教材分析本节内容是在学生学习了数列的一些基本知识之后，转入对特殊数列----等差数列的学习。
是本章的重点内容之一，并且等差数列在日常生活中有着广泛的应用，也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习无论在知识上还是方法上都具有积极的意义。
学情分析学生已具有一定的分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
设计理念设计本节课时，力求强调过程，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。
教学时不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情景，让学生自己去发现、证明。
充分体现学生的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力，培养学生的创造力。
教学指导思想结合学生的实际情况及本节内容特点，我采用的是“问题教学法”，以探究式教学思想为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出结论，从而使学生获得新知识的同时又提高了能力课时分配本节内容用2课时的时间完成，主要讲解等差数列的概念，等差数列的性质及应用，了解等差数列与方程、一次函数之间的联系。
教学目标重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法知识点：理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式能力点：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
教育点：让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题。
自主探究点：，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
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二年级奥数等差数列（一）
【课前准备】(★)
请观察下面的数列，找规律填数字。
①5，9，13，17，21，_____；
②7，11，15，19，_____，27，_____，35；
③200，180，160，140，_____；
④102，92，82，72，____，52。
【知识要点屋】
1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。
2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。
3．名词：公差，首项，末项，项数
5 ，9，13，17，21，25
例1(★★★)
⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______；
⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。
例2(★★★)
一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。
练习
1. 求等差数列2,5,8,11，…的第28项和50项
2. 求等差数列2,7,12，17,22…的第20项和第80项
3. 等差数列1,4,6，…某项为82，它是第多少项？
4.等差数列3,7,11,15，…某项为163，它是第多少项？
计算部分
例题1. 计算2+5+8+11+17+20+23
练习：计算1+2+3+5+7+9+11+13+15+17+19
例题2. 计算8+10+12+14+16+18+20
练习：计算3+6+9+12+15+18+21
例题3. 计算5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5
练习：20+17+14+11+8+5+2
例题4. 计算9+11+13+15+17+19+22
练习：计算5+7+9+11+13+15+17+19+21+25
例题5. 计算8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23
练习：计算12+13+14+15+16+18+20+22+24+26
例题6. 杨诚为了买课外书自己存钱，2003年元月存一元钱，以后每月都比前一个月多存1元钱，那么2003年这一年里一共可以存多少钱？
练习：一辆双层公共汽车空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，以此类推，到第11站之后，公汽上的作为刚好坐满。
求这两公汽共有多少个座位？
例题7. 三年级数学培优班第1小组由8名同学，开学时，老师要求该组没人都握一次手，问共握多少次手？
练习：有10把钥匙是互相配对的，但小组把锁和钥匙弄乱了，问最多需要实验多少次，就可以把锁和钥匙配起来？
7. 50个士兵排成一行报数，后一个士兵总是比前一个士兵多报4，一直到最后一个同学报198，那么第一个士兵报多少？第20个士兵报多少？
8. 有65个学生参加数学竞赛，每个学生都有一个考号，已知前一个学生的考号总是比后一个学生的考号小4，最后一个学生的考号是259，那么第一个学生的考号是多少？第40个学生的考号是多少？
9.军训时排队列，第一排5人，以后每排比第一排多4人，共排成19排，那么中间一排有多少人？一共有多少人？
10. 6个连续自然数的和是363，那么这6个数是？
11. 5个连续奇数的和是295，那么这5个奇数分别是？
12．自l开始，每隔两个数写一个数，得到数列：1，4，7，10，13，…，求出这个数列前100项之和，
13．影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位．最后一排有94个座位，问：这个影剧院共有多少个座位？
14. 一座大钟在半点敲一次，在整点敲对应时间的次数，那么这座中一天共敲多少次？
15. 把一堆苹果分给8个小朋友，每个小朋友至少有一个，但是大家的数量都不相同，至少需要多少个苹果？
16. 把120个苹果分给一群小朋友，每个小朋友至少有一个，但是大家所分的苹果数都不同。
那么这群小朋友最多有多少个
17. 20支球队进行比赛，每个队伍都和其他队伍有一场比赛，那么一共有多少场比赛？
18. 若干支球队进行比赛，每个队伍都和其他队伍有一场比赛，一共进行了36场比赛，那么一共有多少支队伍？
19. 在一个等差数列中，前10个数的和是70，前20个数的和是130，那么前30个数的和是多少？
20. 小明家住在一条胡同里，这条胡同门牌号为“1,2,3……”这样一组自然数，如果小明把除了自己家的门牌号都加在一起得到88，那么这条胡同里一共有多少户人家？。