STL文件上有限元网格的生成

STL文件上有限元网格的生成摘要：这些被提议的方法的是为了展示一个适合有限元方法的且关于物体近似边界表示的直接由CAD软件生成的曲面网格产生的可能性。

首先，我们将描述由一个简单的物体表面三角剖分组成的边界表示法。

接着我们将展示如何获得一个相容的形状适应网格。

形状适应是考虑到几何逼近和由一个误差估计量的各向同性的尺寸映射做出的。

网格可以被用来用于有限元计算（通过壳体元素），或者可以用来作为一个启动体积网格算法（Delaunay 或advancing front）曲面的网格。

这个用来产生网格的原则是基于与求精算法相关的Delaunay 方法和光滑化原则。

最后，我们将展示不用用于克服常规的基于一个几何特定表示法的网格化软件的限制的几何模型的参数表示法。

关键字：网格产生;STL文件格式Bisection算法;Delaunay 三角剖分。

1.CAD接口1.1基于CAD的数据集市面上的大多数CAD软件可以产生STL文件，且这些大体上用作实现样机研究和绘制图形的目的。

这些文件表现了立体的三角剖分的边界。

STL三角剖分的生产算法都是高效的，而且如果可以接受大规模数据集的话平面可以被精确地逼近。

但是，这不是一个真正几何模型是因为STL文件格式仅由一个扩展的三角平面列组成。

这些小平面除了一般立体外部定向的座标外，还由三个三角顶点座标组成。

这种三角剖分法是建立用来最小化一个关于立体(图1)真实边界的几何逼近准则的。

（见图1）1.2 STL三角剖分的特性STL三角剖分不能直接用在有限元方法(FEM)中，主要是因为它要求在计算域的几何描述上的特殊性。

在FEM中，几何和函数支持由元（三角形或其他）提供，且它们必须有一特殊形状，也就是就计算误差估算量的固有大小和固有品质因子应该越低越好。

在这项工作中，我们利用如下三角形的品质因子，在此di,i=0…2代表三角形每边的长度。

我们假定:品质因子就是:这个品质因子在0（对于所有退化三角形而言）和1（对等边三角形而言）之间。

当然，这些要求是和应用相关的。

比如，在流体力学中很普遍地应用在边界层的各向异性元和冲激波当中。

很显然一个由最小化几何准则得到的网格不能适合FEM的要求，因为它依赖于表面的的曲率和拓扑，且生成的三角形在某方向上会大大伸长（见图2－4）。

但是，得到的网格一般都是一致的。

1.3 STL网格中的几何恢复STL文件内容包含每个三角形顶角座标和相应法线。

为了达到曲面的完全网格化，我们需要获得关于被网格化曲面的拓扑和曲率的有关数据。

三角形间的拓扑和连通度可以通过避免在STL文件间的顶角冗余得到。

这可以通过利用一个利用字典法排序和储存了的顶角的二叉树做出的。

在这个过程结束时，我们得到了一物体表面的网格及所有类型的可被重新网格化所需的连通度，特别是用来作邻接查找的连通度（见小节三）。

由于许多工业制品有棱与边，我们需要决定它们定位的位置。

这可以通过一个边测定程序考查在三角剖分中的实体间的连通度得到。

在保持它们原貌以用于重新网格化的过程中模型边的查找显得十分重要。

也就是说它们不能被Delaunauy重新网格化法切割。

这种查找是基于邻接三角形的角的计算。

两三角形的公共部分被认为是一个边，如果在此两个三角形的法向量间的角比一个特定的值（一般为20。

）大的话。

另外还应该注意的是我们可以处理诸如在一个集合（比如为了应用边界条件）中的两个不同部分间的接触部分的面积。

这些部分将被认为是边，且将被保留在最后的网格中（图5）。

接着曲率通过寻找其它与之连接的三角剖分的每个元素来求值且检查它们的法向量（图6）。

接下来的程序是用来：对于每个三角形Ti,我们在它的三个顶点（Vj(j=0…2)进行迭代。

在每个顶点，有两个边Sjk(k=0…1),与之相关的三角与Ti，Tjk邻接。

如果Sjk是个陡沿，我们定义一个变量r jk为0;不然就是1。

曲率C Tt通过下式计算出来：θj是在Sj0和Sj1间的角，θ’ j是法向量Tj0和Tj1间的角。

在这之后，曲率在每个项点V i外推(Cvi),应用连接Vi的n个三角形的最大曲率：我们应该注意到在这里考虑的曲率是关于曲面的曲率张量范数（也就是说我们不用在意曲率产生的效应方向），要注意到得到的曲率不是十分准确的。

这是因为几何曲面表示（平面集）是离散。

实际上，这些曲率不仅驱动一任选网格的细化。

在较少弯曲平面上的结果是粗糙的，在其它地方可得到改善。

图六描绘了利用上面提到的公式得到的一个穿过每个三角形的线性插值的结果。

在这方面，我们需要的用于网格生成的程序的信息是关于目标网格的各向同性尺寸映射的信息。

既然这不是当前研究工作的目的，我们假定或者常尺寸映射是由用户提供的，或者一个尺寸映射是基于一个已被提供的误差估计量（从先前的FEM算得）。

我们也考虑当密度映射是基于一个几何准则（控制在STL网格和三角剖分间的最大距离）的情形，描述在2.5节。

2. 细化方法网格三角形是通过缩减尺寸比率（在真实大小和目标大小之间的比率）来分类的。

最差三角形（最大的）是第一个用Bisection算法在2.1部分处理的。

在每个阶段，排序一直在更新（因为总有新三角产生且一些已经毁坏了）且处理可以一直持续直到所有三角形都无法符合准则。

当所有的三角形符合准则时，我们应用一个光滑程序。

最终网格将准备用来处理FEM（见小节三）。

2.1Bisection算法新垂直线是在平分已经在网格上存在的一个线段上生成的。

垂直线在线段中部生成，线段也不必成为曲面的一部分。

垂直线然后必须插入网格且投影到一个初始STL网格上（图7,8）。

我们将用来生成顶点的线段可以应用以下从参照9中的算法中找到。

首先，我们寻找上面已定义的用于细化的与目标大小最无关系的三角形T，接着我们寻找包含有一边长于T的路径。

这些定义了一个序列(Ti)。

让Sn为三角形Tn最长的线段。

三角形Tn+1与Tn沿着它最长的线段Sn相邻。

当Sn 和Sn+1是相同的线段时序列停止。

序列当然在T0=T时开始。

首先用来二等分的线段是在序列（Si）中的最后的线段。

算法一直重复到我们考虑的第一条线段，即二等分了的S0。

这导致了一准确的面积的加细（图9,10）。

2.2 关于Delaunay准则在每次二分之后，曲面将被局部地处理以达到更好的正则性。

这可以通过遵循著名的关于2D网格的Delaunay准则完成。

但是，我们正在处理曲面因而常规的Delaunay准则要改变。

为了处理曲面的曲率和它的离散表示实际上是必要的。

让我们回到在两维情况下关于Delaunay三角剖分的原始定义[4,5,6]。

定义一：空圆特性：让T为一个顶点集S的凸面的任意三角剖分。

如果空圆的特性已经对每个三角形T的两相邻三角形的每个布局作了检验，这意味着这已经对整个三角剖分作了检验。

三角剖分T被认为是一个Delaunay相容三角剖分。

考虑到它们的曲率话，定义可以被用来匹配曲面。

如果我们改变了度量的定义，Delaunay 准则仍然是有效的[2,6]，这点十分重要。

我们应该考虑外接圆的一个新的定义。

在这个情况下，外接圆是曲面所有点的存储单元，这些点它们到中心的曲线距离也就是半径是一样的。

曲线距离是通过积分计算出来的。

在参数空间（如果它能局部被地被认为是常量）上，半接圆的映射如上被定义为一个椭圆。

不幸的是，仅通过STL三角剖分知道曲面，这样的参量化不能很好定义。

我们打算应用另一个准则，当然不能够比前一个准则精确，但是对于在三角形旁的拓扑测试来说已经足够好了。

这组成了由参照八定义二和三的基础。

定义二：空圆的特性：让Ts成为位于曲面上的顶点集S凸面的一个任意三角剖分。

如果空接球的特性可由三角剖分Ts的两个邻接三角来检验。

那么Ts被认为是一个弱Delaunay相容三角剖分。

定义三：另外，如果空球特性可通过全三角剖分来检验，那么Ts被认为是在曲面上的一个强Delaunay相容三角剖分。

定义四：一个三角形的外接球是和外接圆有一样相同中心和相同直径的球体。

我们注意到三角剖分是弱Delaunay相容且在定义二中一般不遵循在全曲面上的空球准则。

它们在定义三上并不是强Delaunay相容的。

在只处理曲面网格时这并不困难，但是如果后来我们要用一个3Ddelaunay方法产生一个体积网格，一些三角形将最后被切割成如[8]的样子。

如果我们处理平面几何，定义2成了无条件限制的定义一，我们可以断定在这种情况下，三角剖分是Delaunay相容的，在定义2中是弱Delaunay相容的。

在定义2中，距离是在3维欧几空间中测量的。

因此，除了用一个准确的Delaunay准则来测定一个交点，我们只有当它不在位于交点附近的三角形的外接球内的情况下可以检验它。

这种相邻性是与网格的拓扑有关的。

事实上，在三角形之间的连通关系定义了其相邻性（壳概念，[6]）（图11,12）。

局部重啮合法是基于对角线交换[1]的。

用于交换的对角线是通过查找与变址Delaunay 准则有关而与新顶点无关的三角形决定的。

我们完成了由前先找到的三角形组成的顶点域上的一种“星式”重网格化算法法。

这就是“Watson”算法[11]。

为了防止弱几何逼近的产生，查找与变址Delunay准则无关的三角形是只在方向没有极大不同于在新顶点即时邻接的三角形的方向的三角形上完成的，一般地15。

到60。

之间的差异是正常的（图13,14）。

为了防止物体边缘的破坏，在如上1.3节定义的在算法中交换属于边缘的线段序列是不允许的。

图十三到十六展示了在们于初始网格化步骤间的曲面逼近临界角的效果。

如预计的，那些边缘没有破坏。

事实上三角形并不都与变址Delaunay准则相关，这并不是问题，是因为初始STL网格将被优化。

确切地说，从优化了算法的一些点上，三角形并不与变址Delaunay准则有关将不被考虑，这是因为在那点上三角形间方向之间的不同将小于临界角。

在优化步骤的后期，三角剖分将是弱Delaunay相容的。

这是配合在[9]中描述的曲面算法的关键。

2.3投影算法我们在图十五可以看Delaunay重网格化导致了弱几何逼近。

经常地，当我们在并不是一个初始STL网格的线段上产生一个交点，这并不是位于原始STL模型上的。

因而，当我们需要一个投影算法用于在由初始STL三角剖分描述的曲面上重定位交点。

这种操作是需要消耗时间的，这是因为在顶点将被投影的初始STL网格上的目标三角形不能预先知道。

一邻接查找算法可用来防止检验所有的在初始STL网格上的三角形。

这个算法在当用于网格化的以非常小体积为特点的立体上是非常有用的（见样例3.4：交叉存取四面体）。

我们应当避免属于内表面到到外表面的交点投影。

投影算法是基于每个新交点是在一线段上产生的事实（归因于Bisection算法）。

事实上，当一个新的交点产生的地方我们已知道STL三角形。