排列组合问题1：枚举法

排列组合问题(一) 枚举法

枚举法

导言：

当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法

使用枚举法计数时，要注意以下几点：①初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举

例1．现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里）

解析：按使用砝码的个数进行分类列举

（1）、若使用一个砝码能称：1克、2克、4克、10克，共4种重量物体

（2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10克，共6种重量

（3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共4种重量

（4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共1种重量物体

所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体

思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？

例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币，从中取出9元，共有多少种不同的取法？

解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来

从上面的列举中可以看出:取9元钱共有7种不同的取法

例3、从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？

解析：可从小到大依次思考

① 1+10

② 2+9，2+10

③ 3+8，3+9，3+10

④ 4+7，4+8，4+9，4+10

⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10

⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10

⑦ 7+8，7+9，7+10

⑧ 8+9，8+10

⑨ 9+10

所以，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同的取法

例4、在1—400的自然数中，数字“2”出现了多少次？解析：在1—400这400个数中，“2”可能出现在个位、十位、百位上，我们就按这个来分类列举

在个位上：2、12、、、92；102、112、、、192；202、212、、、292；302、312、、、392，共10×4=40次

在十位上：20、21、、、29；120、121、、、129；220、221、、、229；320、321、、、329；共10×4=40次

在百位上：200—299，共100次

所以，“2”总共出现了40+40+100=180次

思考：仔细思考下题，看看与例4有何区别：在1—400的自然数中，含有数字“2”的数字有多少个？

例5、下图中有6个点，9条线段，一只蚂蚁从A点出发，沿差某条线段爬到C点，行进中，同一点或同一线段只能经过一次，这只蚂蚁最多有多少种不同的爬法

解析：从A点出发有三种路可以走，我们就按这个进行分类列举

A E D

B F C

(注示:上图中,AF间有一连线,EC间也有一连线)

①A—E—D—C；A—E—C；A—E—F—C，有三种爬法

②A—F—E—D—C；A—F—E—C；A—F—C，有三种爬法

③A—B—F—E—D—C；A—B—F—E—C；A—B—F—C，有三种爬法

所以，共有9种不同的爬法

例6、从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路，小明从学校步行到少年宫（只许向东或向南行步），最多有多少种走法？

学校 A B

少年宫

解析：在图形ABCD中，到B只有一种走法，到C也只有一种走法，到D有两种走法

在图形CDEF中，到E只有一种走法，到D有两种走法，到F有三种走法

我们可以发现规律：通过任何一个交叉点的路线总数等于该点左、上方的两邻交叉点的路线的总和，例如，通过点F的路线总和，会等于F点左方的点E、上方的点D通过路线的总和，1+2=3种

按这个规律，我们依次计数下去，到少年宫应有6+4=10种不同的走法

小结：在计数时，不遵循数序规律，东举一个，西举一个，不按顺序列举，往往会出现遗漏或重复，有序的思考、合理的分类，才是解决这类问题最关键的思维。