(完整版)待定系数法分解因式(附答案)

合集下载

用待定系数法分解因式

用待定系数法分解因式待定系数法是一种重要的数学方法。

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x）g （x）的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f（a）≡g（a）；或者两个多项式各同类项的系数对应相等. 先假定已知多项式具有某种分解式。

这个分解式中含有若干个待定的字母系数，然后应用多项式恒等的性质，或取多项式中原有的几个特殊值，列得关于待定的字母系数的方程或方程组，解出待定的字母系数值。

这种分解因式的方法，叫做待定系数法。

例1 分解因式x2+6x-16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．例2. 分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6分析：该式中的二次项x2+xy-6y2可用十字相乘法进行分解。

x2+xy-6y2=(x-2y)(x+3y),重要的是要弄清楚原式分解因式后的一般形式，从而恰当设出待定的系数，注意到原式中的二次项被分解成(x-2y)(x+3y)，可设原地式被分解后的形式为(x-2y+m)(x+3y+n),因为这个乘积展开后，m，n和其余各项乘积的代数和正好构成原式中的一次项和常数项。

解：∵ x2+xy-6y2=(x-2y)(x+3y)设x2+xy-6y2+x+13y-6=(x-2y+m)(x+3y+n)=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3m-2n)y+mn由多项式恒等定理可知m+n=13m-2n=13mn=6解之：m=3 ，n=-2∴x2+xy-6y2+x+13y-6=(x-2y+3)(x+3y-2)。

专题45 待定系数法(解析版)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2. 待定系数法的应用（1）分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

（2）求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

（3）解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．（4）分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

因式分解的待定系数法

因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种通过设定待定系数，并利用已知条件解方程组来分解代数表达式的方法。

这种方法常用于分解多项式或解析函数的因式，对于一些复杂的多项式或函数，待定系数法能够提供一种简单有效的解决方案。

在待定系数法中，我们假设要分解的多项式或函数为P(x)，并设定待定系数a，b，c等，并利用已知条件建立方程组，通过求解方程组，我们可以确定待定系数的值，从而得到多项式或函数的因式。

具体来说，设定待定系数法通常分为以下几个步骤：1. 确定待定系数的个数：根据多项式或函数的次数，确定所需的待定系数的个数。

例如，对于二次多项式，我们需要设定两个待定系数。

2. 建立方程组：根据已知条件建立方程组，以求解待定系数。

已知条件通常来自于多项式或函数的根、零点、截距等，也可能包括导数的值等等。

方程组的个数应当与待定系数的个数相等。

3. 求解方程组：利用代数方法求解方程组，以确定待定系数的值。

4. 得到因式：将待定系数的值代入到多项式或函数中，得到因式的表达式。

下面通过一个具体的示例来解释待定系数法的具体过程：假设我们要分解二次多项式P(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为待定系数。

已知P(x)的图像上有一个零点为x = 1，并且在x = 2处有一个切线的斜率为3。

现在利用待定系数法分解P(x)。

根据已知条件，我们可以列出方程组：1. P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 02. P'(2) = 2a(2) + b = 3解这个方程组可以得到待定系数的值。

假设方程组的解为a = 2，b = 1，c = -1。

将待定系数的值代入P(x)，我们得到因式的表达式为P(x) =2x^2 + x - 1。

通过解方程组，我们成功地将二次多项式P(x)通过待定系数法分解成了三个一次因式。

这种方法同样适用于更高次的多项式或更复杂的函数，只要设定足够的待定系数，并利用已知条件建立方程组。

因式分解待定系数法

用待定系数法分解因式就是按照已知条件，把原式设为几个因式的乘积，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值。

待定系数法的定义
待定系数法，一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

待定系数法求因式分解
待定系数法是初中数学的一个重要方法。

因式定理的简单运用其实就是一个窍门：
如果各项系数和为0，则必含有因式（x-1)；如果奇次项系数和与偶次项系数和相等，则必含有因式（x+1）可以用一个十字相乘法来引入，因为十字相乘法是特殊的待定系数法。

使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式。

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

分式因式分解待定系数法

分式因式分解待定系数法
分式因式分解待定系数法(英文：Polynomial long division，又称：长除法)是一种用来分解因式的方法。

若一个多项式除以一个单项式，可以用多项式除以单项式的除法进行；若一个多项式除以另一个多项式，就比较复杂。

这时通常用长除法进行。

具体做法是：用商的代数式除以除式，所得的商作为试商，再将被除数中减去试商，所得差继续做除数，直到差为0或能整除除数为止，最后将所有的试商和整除数相加就是所求的商。

需要注意的是，这种方法的适用范围是：被除数或除数中含有多次的因式，且商为多项式。

(完整版)数学因式分解(附答案)

数学因式分解1解方程：2x2-3x-2=0(2x+1)(x-2)2请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2x+2）（x2-2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2-4x2y2，=（x2+2y2）2-4x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2-2xy）；（2）x2-2ax-b2-2ab．=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab，=（x-a）2-（a+b）2，=（x-a+a+b）（x-a-a-b），=（x+b）（x-2a-b）．3 x2+4x-12=0（用两种方法作答）4 用配方法解方程x2+6x+7=0．56用十字相乘法解下列一元二次方程．（1）x2-5x-6=0（2）6x2+19x-36=0．7（2012•随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程x2-2x-3=0巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2+（m-3）x-3=0（m为常数，且m≠0）．如果x2-5x+m可以用十字相乘法因式分解，那么m可以取的一个值是（）13 对于一个自然数n，如果能找到自然数a（a＞0）和b（b＞0），使n-1=a+b+ab，则称n 为一个“十字相乘数”，例如：4-1=1+1+1×1，则4是一个“十字相乘数”，在1～20这20个自然数中，“十字相乘数”共有11 个．14。

因式分解综合应用(待定系数法与几何表示)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________．问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式．问题4：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________．因式分解综合应用（待定系数法与几何表示）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知多项式有因式2x+3，则m的值为( )，并将其分解因式的结果为( )A.9；B.6；C.9；D.6；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用2.已知多项式有因式x+4，则m的值为( )，并将其分解因式的结果为( )A.12；B.12；C.8；D.8；答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用3.试题2中的多项式，我们还有一种分解方法，如果我们把x=2代入多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式x-2（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x-1），于是我们可以把多项式写成：．可求得m=10，n=24；这种因式分解的方法叫试根法，请用试根法将多项式因式分解．因式分解的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用4.用试根法将多项式因式分解，分解的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用5.如图是用若干张卡片拼成的一个长方形，依据图形面积间的关系，便可验证一个等式，这个等式是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式乘法的几何表示6.如图，正方形卡片A类、C类和长方形卡片B类若干张，若要用A，B，C三类卡片拼一个边长为的正方形，则需要B类卡片( )A.4张B.6张C.9张D.12张答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式乘法的几何表示。

2021年中考数学专题复习专题45 待定系数法(教师版含解析)

专题45 待定系数法1.待定系数法的含义一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

2. 待定系数法的应用(1)分解因式待定系数法是初中数学的一个重要方法。

在初中竞赛中经常出现。

a.确定所求问题含待定系数的解析式。

b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

(2)求函数解析式初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

c.解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式。

(3)解方程例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(4)分式展开首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。

(完整版)因式分解(奥赛)

因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家,自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。

仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。

2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。

【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。

因式分解是一种重要的恒等变形,在数学中有广泛的应用.因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法，配方法，待定系数法等。

【解题思路与技巧】1．换元法。

在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替,从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3)，倒数代换(如例4),平均代换(如例5)等。

2．主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素,将其他字母看作常数,然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。

用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。

3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7,例8。

4．待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值,从而解决问题的方法,如例9，例10。

【典型示例】例1 （1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题）在有理数范围内分解因式：(1)16（6x-1)(2x—1)（3x+1）(x-1）+25= 。

（2）(6x—1）(2x—1)（3x-1)（x-1)+x2= 。

(3）（6x—1)(4x-1)(3x-1)(x-1）+9x4= .[解] （1）原式=(6x—1)（4x—2）（6x+2)(4x+4)+25=（24x2-16x+2) （24x2-16x—8）+25设 24x2-16x+2=t，原式=t(t-10)+25=（t—5)2=(24x2—16x—3）2（2）原式=(6x-1）（x—1) (2x-1)(3x—1） +x2=（6x2-7x+1）（6x2-5x+1) +x2设6x2-7x+1=t, 原式=t（t-2x) +x2=（t—x)2=(6x2-6x+1)2（3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1） +9x4=(6x2-7x+1） (12x2-7x+1）+ 9x4设6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t）+ 9x4=（t+3x2）2=（9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x–3y)3 + （3x–2y)3 –125（x–y）3= 。

三次多项式的因式分解待定系数法

三次多项式的因式分解待定系数法【知识原创】三次多项式的因式分解待定系数法引言：多项式的因式分解是代数学中的重要概念之一，它可以将复杂的多项式拆解为简单的因子乘积，从而使我们更好地理解多项式的性质和特点。

本文将聚焦于三次多项式的因式分解，介绍一种常用的方法——因式分解待定系数法，通过该方法我们可以高效且准确地分解三次多项式。

一、因式分解待定系数法的原理三次多项式是指次数为3的多项式，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d我们的目标是将该三次多项式分解为一次因式和二次因式的乘积，即： f(x) = (px + q)(rx^2 + sx + t)其中，p、q、r、s、t都是待定系数。

利用因式分解待定系数法，我们通过拆解出待定系数，然后展开两边进行比较，从而得到关于待定系数的线性方程组，通过解线性方程组可以得到最终的因式分解结果。

二、因式分解待定系数法的步骤1.根据三次多项式的形式，假设待定系数p、q、r、s、t，并将拆分后的因式乘积展开：f(x) = px^3 + qx^2 + rx^3 + sx^2 + tx + pqrx^2 + pqsx + pqt2.将展开后的因式分解形式与三次多项式进行比较，整理得到关于待定系数的线性方程组：系数a的对应关系：p = a系数b的对应关系：q + r = b系数c的对应关系：s + pq + t = c系数d的对应关系：tq = d3.解线性方程组，求解出待定系数p、q、r、s、t。

4.代入求解得到的待定系数，得到最终的因式分解结果。

三、个人观点和理解因式分解待定系数法是一种常用且实用的方法，能够高效地分解三次多项式。

通过假设待定系数，我们将复杂的三次多项式转化为解线性方程组的问题，从而得到了简化计算的方式。

这种方法尤其适用于需要求解因式分解结果的情况，可以准确地得到所需的因式分解形式。

因式分解待定系数法也可以进一步拓展到高次多项式的因式分解问题中，只需根据多项式的次数确定待定系数的个数，并按照类似的步骤进行推导和计算，使得方法适用范围更广。

待定系数法分解因式(含答案)-

得解可法数系定待由 �解。题问决解而进。值的 a 求可即 �1 为的小较值中式因得使且 � 式因解分式项多将法数系定待用可故 �身本它和 1 为解分能只数质为因� 路思。数质个这求 �数质个一是值的且�数然自是 a 若 6 例 ∴ � � �得④ 、③ 入代得� ②、 ①由
设可以所
为因 1 法解。值的 ,n ,m 出求
�等恒的式项多用利 �开展后然
是式解分的式原设以所为因 1 路思式因解分 1 例。等巧技 �骤步 �法方的时解分式因
行进法数系定待用会学要们学同� 程过解分式因的目题列系一过通�中分部一这。巧技的题解会体细仔要们学同。用作的中解分式因在法数系定待绍介要主讲本。法数系定待做叫法方的题问决解种这�式系关的足满所数系些某出找或 �数系的定待出求可便组程方或程方解过通后其�组程方或程方的足满应数系出得质性的式等恒据根后然。式等恒个一到得就样这 �式形的新的数系定待有含种一另成示表式项多个一将。益裨有大将必 �法数系定待握掌并好学真认 �中之程课多许的学大于至甚中高、中初于穿贯用作导指其。合场种各等题问用应决解、数系程方定确、解分式因于用运以可�法方题解的用常最为作法数系定待
得 �数系边两较比
式原设� 示提 .1 �示提或案答考参
.3.7 ∴ 得解
得� 数系较比
式原设� 示提 7-.6
得解
得� 数系较比 . 式原设� 示提 2-.5 。除整被能式项多知已 4=n �11- =m 当 ∴

三次多项式的因式分解待定系数法

三次多项式的因式分解待定系数法一、引言在代数学中，多项式的因式分解是一个重要的内容。

特别是对于三次多项式，采用待定系数法可以比较容易地进行因式分解。

本文将重点探讨三次多项式的因式分解待定系数法，并以此为例，深入探讨多项式的因式分解方法。

二、三次多项式的因式分解概述对于三次多项式$ax^3+bx^2+cx+d$，我们可以采用待定系数法进行因式分解，一般步骤如下：1. 先将三次多项式进行因式分解，设为$(px+q)(mx^2+nx+r)$。

2. 然后将两个因式进行乘法展开，得到一个关于$p,q,m,n,r$的表达式。

3. 将三次多项式与乘法展开后的表达式进行对比，得到关于$p,q,m,n,r$的方程组。

4. 解方程组，得到$p,q,m,n,r$的值。

5. 将得到的$p,q,m,n,r$带入因式分解中，就可以得到原三次多项式的因式分解。

三、深入探讨三次多项式的因式分解待定系数法1. 待定系数法的优势待定系数法相对于其他因式分解方法，最大的优势在于其简单直观。

通过待定系数法，我们可以将原三次多项式进行简化，然后通过对比系数的方法得到未知系数的值，从而得到因式分解的具体形式。

2. 代数方程的解法在待定系数法中，我们需要通过对比系数的方法得到方程组，然后解方程组来确定未知系数的值。

这一步可以进一步巩固我们对代数方程求解的能力，提高数学解题的技巧。

3. 多项式的结构分析通过待定系数法，我们可以深入分析三次多项式的结构，通过因式分解的形式来理解多项式的根与系数之间的关系。

这种结构分析有助于我们更深入地理解多项式函数的性质。

四、总结与回顾通过本文的讨论，我们深入探讨了三次多项式的因式分解待定系数法。

我们了解了待定系数法的优势，并能够通过对比系数的方法得到方程组，进而求解出未知系数的值，从而完成三次多项式的因式分解。

通过这一过程，我们不仅加深了对代数方程求解的能力，还对多项式的结构有了更深入的理解。

五、个人观点和理解在多项式的因式分解中，待定系数法是一个非常实用的方法。

因式分解例题附答案

因式分解例题讲解及练习例题精选：132********y x y x y x ++评析：先查各项系数其它字母暂时不看;确定5;15;20的最大公因数是5;确定系数是5 ;再查各项是否都有字母X;各项都有时;再确定X 的最低次幂是几;至此确认提取X 2;同法确定提Y;最后确定提公因式5X 2Y..提取公因式后;再算出括号内各项..解：3223220155y x y x y x ++=)431(522y xy y x -+ 223229123y x yz x y x -+- 评析：多项式的第一项系数为负数;应先提出负号;各项系数的最大公因数为3;且相同字母最低次的项是X 2Y解:23229123y x yz x y x -+- =)3129(2223y x yz x y x +-- =)43(32223y x yz x y x +--=)1423(32+--xy y x3y-xc-b-a-x-y2a+b-c-x-yb-2a评析：在本题中;y-x 和x-y 都可以做为公因式;但应避免负号过多的情况出现;所以应提取y-x解：原式=y-xc-b-a+y-x2a+b-c+y-xb-2a=y-xc-b-a+2a+b-c+b-2a=y-xb-a（4） 4 把343232x y x -分解因式评析：这个多项式有公因式2x 3;应先提取公因式;剩余的多项式16y 4-1具备平方差公式的形式解：343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =)14)(12)(12(223++-y y y x（5） 5 把827xy y x -分解因式评析：首先提取公因式xy 2;剩下的多项式x 6-y 6可以看作2323)()(y x -用平方差公式分解;最后再运用立方和立方差公式分解..对于x 6-y 6也可以变成3232)()(y x -先运用立方差公式分解;但比较麻烦..解：827xy y x -=xy 2x 6-y 6= xy 22323)()(y x -=))((33332y x y x xy +-=))()()((22222y xy x y x y xy x y x xy +-+++- 6把2236)(12)(z z y x y x ++-+分解因式评析：把x+y 看作一个整体;那么这个多项式相当于x+y 的二次三项式;并且为降幂排列;适合完全平方公式..对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解;而要注意观察分析;善于把x+y 代换完全平方公式中的a;6Z 换公式中的解：2236)(12)(z z y x y x ++-+=22)6()6)((2)(z z y x y x ++-+=x+y-6z 2（7） 7 把42222222)2(2)2(21y y y x y x +---分解因式评析：把x 2-2y 2和y 2看作两个整体;那么这个多项式就是关于x 2-2y 2和y 2的二次三项式;但首末两项不是有理数范围内的完全平方项;不能直接应用完全平方公式;但注意把首项系数提出后;括号里边实际上就是一个完全平方式.. 解：42222222)2(2)2(21y y y x y x +---=])2(2)2(2)2[(2122222222y y y x y x +•---=2222222)4(21)22(21y x y y x -=--=22)2()2(21y x y x -+（8） 8 分解因式a 2-b 2-2b-1评析：初看;前两项可用平方差公式分解..采用“二、二”分组;原式=a+ba-b-2b+1;此时无法继续分解..再仔细看;后三项是一个完全平方式;应采用“一、三”分组..解：a 2-b 2-2b-1= a 2-b 2-2b+1=a 2-b+12=a+b+1a-b+1=a-b-1a+b+1一般来说;四项式“一、三”分解;最后要用“平方差”..四项式“二、二”分组;只有前后两组出现公因式;才是正确的分组方案..（9） 9 把a 2-ab+ac-bc 分解因式解法一：a 2-ab+ac-bc=a 2-ab+ac-bc=aa-b+ca-b=a-ba+c解法二：a 2-ab+ac-bc=a 2+ac-ab+bc=aa+c-ba+c =a-ba+c（10） 10 把y x xy x 33222--+分解因式解法一：y x xy x 33222--+=)32)(()(3)(2)33()22(2-+=+-+=+-+x y x y x y x x y x xy x 解法二：y x xy x 33222--+ =))(32()32()32()32()32(2y x x x y x x y xy x x +-=-+-=-+- 说明：例2和例3的解法一和解法二虽然分组不同;但却有着相同的内在联系;即两组中的对应系数成比例..2题解法一 1：1;解法二也是1：1；3题解法一是1：1;解法二是2：-311 分解因式123+--x x x评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式..如是;就考虑“一、三”分组；不是;就考虑“二、二”分组解法一：123+--x x x=)1()1()1()(223---=+-+-x x x x x x =)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=+--=--x x x x x x x解法二：123+--x x x =)1()1()1(2223---=+-+-x x x x x x=)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=-+-=--x x x x x x x 解法三：123+--x x x =)1()1)(1()()1(223+-+-+=+-+x x x x x x x x=222)1)(1()12)(1()1)(1(-+=+-+=-+-+x x x x x x x x x（12） 12 分解因式a-b 2-1-2ca-b+c 2评析：本题将a-b 看作一个整体;可观察出其中三项是完全平方式;可以“一、三”分组解：a-b 2-1-2ca-b+c 2=a-b 2-2ca-b+c 2-1=a-b-c 2-1=a-b-c 2-1-a-b-c+1a-b-c-113分解因式8a 2-5ab-42b 2 8a -21b解：8a 2-5ab-42b 2 a +2b=8a-21ba+2b -21ab+16ab=-5ab（14） 14 分解因式a 6-10a 3+16解：a 6-10a 3+16 a 3 -2= a 3-2 a 3-8 a 3 -8= a 3-2a-2a 2+2a+4 -8a 3-2a 3 =-10a 3（15） 15 分解因式-x 2+x+30解：-x 2+x+30 先提出负号 x +5=- x 2-x-30 x -6=-x+5x-6 +5x-6x=-x（16） 16 分解因式12x+y 2-8x+y-7解：12x+y 2-8x+y-7 2x+y +1=2x+y+16x+y-7 6x+y -7=2x+2y+16x+6y-7 -14+6=817把2233y xy x y x ----分解因式评析：此题是一个五项式;它能否分组分解;要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式..本题注意到后三项当把-1提出后;实际上是33y x -按立方差公式分解后的一个因式：解：2233y xy x y x ----=)()(2233y xy x y x ++-- =)())((2222y xy x y xy x y x ++-++-=)1)((22--++y x y xy x（18） 18 把122222+----x yz z y x 分解因式评析：把122+-x x 看成一组符合完全平方公式;而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式;这样分组后又可用平方差公式继续分解..解：122222+----x yz z y x =)2()12(222z yz y x x ++-+- =22)()1(z y x +--=)1)(1(z y x z y x ---++-19分解因式6)2)(1(22-++++x x x x 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开;要注意到这两个二次三项式的前两项都是x x +2这一显著特点;我们不妨设x x +2=a可得a+1a+2-6即a 2+3a+2-6;即a 2+3a-4;此时可分解为a+4a-1解：6)2)(1(22-++++x x x x=62)(3)(222-++++x x x x=4)(3)(222-+++x x x x=]1)][(4)[(22-+++x x x x =)1)(4(22-+++x x x x 20把8)32)(42(22--+++x x x x 分解因式解：8)32)(42(22--+++x x x x =812)2()2(222--+++x x x x=20)2()2(222-+++x x x x=]4)2][(5)2[(22-+++x x x x=)42)(52(22-+++x x x x 21把72)209)(23(22-+-++x x x x 分解因式评析：它不同于例31的形式;但通过观察;我们可以对这两个二次三项式先进行分解;有)5)(4)(2)(1()209)(23(22--++=+-++x x x x x x x x ..它又回到例31的形式;我们把第一项和第三项结合在一起;第二、四项结合在一起;都产生了x 2-3x解：72)209)(23(22-+-++x x x x=72)5)(4)(2)(1(---++x x x x=72)]5)(2)][(4)(1[(--+-+x x x x=72)103)(43(22-----x x x x=32)3(14)3(222----x x x x =]2)3][(16)3[(22+---x x x x =)1)(2)(163()23)(163(222----=+---x x x x x x x x 22把2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++分解因式评析：不要轻易展开前四个一次因式的积;要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a 2+6解：2)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++=2)]3)(2)][(6)(1[(a a a a a =++++=222)56)(76(a a a a a +++++=222222)66(36)6(12)6(a a a a a a ++=++++ 23把x+1x+3x+5x+7-9分解因式评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开;要注意到1+7=3+5;如果利用乘法结合律;把x+1x+7和x+3x+5分别乘开就会出现9)158)(78(22-++++x x x x 的形式;这就不难发现x 2+8x 作为一个整体a 同时出现在两个因式中;即a+7a+15-9的形式;展开后有a 2+22a+96;利用十字相乘616⨯a a ;得到a+6a+16而分解..解：x+1x+3x+5x+7-9=x+1x+7x+3x+5-9=9)158)(78(22-++++x x x x 以下同于例3=9]105)8(22)8[(222-++++x x x x=)8(22)8(222x x x x ++++96=]6)8)][(16)8[(22++++x x x x=)68)(168(22++++x x x x 24把xx+1x+2x+3-24分解因式评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现x 2+3x;第二和第三个一次式相乘出现x 2+3x..可以设x 2+3x=a;会有aa+2-24;此时已易于分解解：xx+1x+2x+3-24=xx+3x+1x+2-24=24)23)(3(22-+++x x x x=24]2)3)[(3(22-+++x x x x=24)3(2)3(222-+++x x x x=)43)(63(22-+++x x x x 25把10)3(2)13(222-+-++x x x x 分解因式评析：不要急于展开22)13(++x x ;通过观察前两项;发现它们有公共的x 2+3x;此时把它看成一个整体将使运算简化..解：10)3(2)13(222-+-++x x x x =10)3(21)3(2)3(2222-+-++++x x x x x x=)33)(33(9)3(2222-+++=-+x x x x x x26把分解因式))((4)(2d c b a d c b a +++--+评析：我们可以观察到+前后的两项都有a+b 和c+d..据此可把它们看作为一个整体..解：))((4)(2d c b a d c b a +++--+ =))((4)]()[(2d c b a d c b a ++++-+ =))((4)())((2)(22d c b a d c d c b a b a +++++++-+ =22)())((2)(d c d c b a b a ++++++=22)()]()[(d c b a d c b a +++=+++27把32)1()1()1(1+++++++a a a a a a a 分解因式评析：把1+a 看成一个整体;第一项1与第二项a 也合成一个整体1+a解：32)1()1()1(1+++++++a a a a a a a=])1()1(1)[1(2a a a a a a ++++++=)]1(1)[1)(1(a a a a a +++++=4)1()1)(1)(1)(1(a a a a a +=++++28把41126222-++-+y x y xy x 分解因式评析：此题容易想到分组分解法;但比较困难;考虑到 )2)(32(6222y x y x y xy x +-=-+ 此时可设411262)2)(32(22-++-+=+++-y x y xy x n y x m y x 再用待定系数法求出m 和n解：设41126222-++-+y x y xy x = mn y m n x n m y xy x n y x m y x ++-+++-+=+++-)23()2(62)2)(32(22 比较两边对应系数得到m+2n=2 ①-3n+2m=11 ②mn=-4 ③由①和② 得到m=4;n=-1 代入③也成立∴41126222-++-+y x y xy x =2x-3y+4x+2y-129把31048222+---+y x y xy x 分解因式解：31048222+---+y x y xy x =3104)2)(4(+---+y x y x y x=x+4y+mx-2y+n=mn y m n x n m y xy x +-+++-+)24()(8222 有 m+n=-4 ①4n-2m=-10 ②mn=3 ③由①和② 得到m=-3;n=-1 代入③也成立∴31048222+---+y x y xy x =x+4y-3x-2y-130当x+y=2时;求336y xy x ++的值评析：∵x+y=2这是唯一的条件..∴要从336y xy x ++中找到x+y或有关x+y 的表达式解：336y xy x ++=x+y 22y xy x +-+6xy∵x+y=2∴原式=xy y xy x 622222++-=)2(22422222y xy x y xy x ++=++ =222)2(2)(⨯=+y x =831己知x x 1+=2 求331x x +的值解：331x x +=]3)1)[(1()11)(1(222-++=+-+x x x x x x x x ∵x x 1+=2∴原式=222-3=232己知x-y=2;求)62(12222a xy ay ax y x a --+-+的值解：)62(12222a xy ay ax y x a --+-+=]6)()2[(12222a ay ax y xy x a ---+-=]6)()[(1222a y x a y x a ---- x-y -3a=)]2)(3[(12a y x a y x a +--- x-y +2a∵x-y=a∴原式=6)6(1)3)(2(1222-=-=-a a a a a初中因式分解的常用方法例题详解一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式; m 既可以是一个单项式;也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法;即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看;这个多项式的各项既没有公因式可提;也不能运用公式分解;但从“局部”看;这个多项式前两项都含有a ;后两项都含有b ;因此可以考虑将前两项分为一组;后两项分为一组先分解;然后再考虑两组之间的联系..解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组此类型分组的关键：分组后;每组内可以提公因式;且各组分解后;组与组之间又有公因式可以提..例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组.. 第二、三项为一组..解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy二分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组;第二、四项分为一组;虽然可以提公因式;但提完后就能继续分解;所以只能另外分组..解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---注意这两个例题的区别练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：13223y xy y x x --+ 2b a ax bx bx ax -+-+-223181696222-+-++a a y xy x 4a b b ab a 4912622-++-592234-+-a a a 6y b x b y a x a 222244+--7222y yz xz xy x ++-- 8122222++-+-ab b b a a9)1)(1()2(+---m m y y 10)2())((a b b c a c a -+-+11abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++12abc c b a 3333-++四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解..特点：1二次项系数是1；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和..例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘;且这两个数的和要等于5..由于6=2×3=-2×-3=1×6=-1×-6;从中可以发现只有2×3的分解适合;即2+3=5.. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积;且这两个因数的代数和要等于一次项的系数..例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6-1+-6= -7练习5、分解因式124142++x x 236152+-a a 3542-+x x练习6、分解因式122-+x x 21522--y y 324102--x x二二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：121a a a = 1a 1c221c c c = 2a 2c31221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5-6+-5= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：16752-+x x 22732+-x x3317102+-x x 4101162++-y y三二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数;把原多项式看成关于a 的二次三项式;利用十字相乘法进行分解.. 1 8b1 -16b8b+-16b= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式12223y xy x +-22286n mn m +-3226b ab a --四二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2-3y+-4y= -7y -1+-2= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：1224715y xy x -+ 28622+-ax x a综合练习10、117836--x x 222151112y xy x -- 310)(3)(2-+-+y x y x 4344)(2+--+b a b a5222265x y x y x -- 62634422++-+-n m n mn m73424422---++y x y xy x 82222)(10)(23)(5b a b a b a ---++910364422-++--y y x xy x 102222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、主元法.例11、分解因式：910322++--x y xy x解法一：以x 为主元解：原式=)2910()13(22+----y y y x x 2 1 -5y-2=)]12()][25([-+--y x y x 1 2y-1=)12)(25(-++-y x y x -5y-2+2y-1= -3y-1解法二：以y 为主元解：原式=)93(102+---x y y =)93(10[2-+-y x y =2- 2 x -1=- 5 -x +2=)25)(12(---+-x y x y 5x -1-2x +2=3x -9练习11、分解因式156422-++-y x y x 267222-+--+y x y xy x3613622-++-+y x y xy x 436355622-++-+b a b ab a六、双十字相乘法..定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式..条件：121a a A =;21c c C =;21f f F =2B c a c a =+1221;E f c f c =+1221;D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2f B c a c a =+1221;E f c f c =+1221;D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f c x a f y c x a ++++例12、分解因式12910322-++--y x y xy x2613622-++-+y x y xy x解：12910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-;y y y 945=+;x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x2613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23;y y y 1394=+;x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x练习12、分解因式167222-+--+y x y xy x222227376z yz xz y xy x -+---七、换元法..例13、分解因式12005)12005(200522---x x22)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：1设2005=a ;则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x2型如e abcd +的多项式;分解因式时可以把四个因式两两分组相乘..原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652;则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式1)(4)(22222y x xy y xy x +-++290)384)(23(22+++++x x x x 3222222)3(4)5()1(+-+++a a a例14、分解因式1262234+---x x x x观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列;每一项的次数依次少1;并且系数成“轴对称”..这种多项式属于“等距离多项式”..方法：提中间项的字母和它的次数;保留系数;然后再用换元法..解：原式=)1162(222x x x x x +---=[]6)1()1(2222-+-+x x xx x 设t x x =+1;则21222-=+t xx ∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x 2144234+++-x x x x 解：原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-2221414x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x 设y x x =-1;则21222+=+y xx ∴原式=()3422+-y y x =()()312--y y x=)31)(11(2----xx x x x =()()13122----x x x x 练习14、1673676234+--+x x x x 2)(2122234x x x x x +++++ 八、添项、拆项、配方法..例15、分解因式14323+-x x解法1——拆项.. 解法2——添项..原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x=)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x=)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x=2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x23369-++x x x解：原式=)1()1()1(369-+-+-x x x=)1()1)(1()1)(1(333363-++-+++-x x x x x x=)111)(1(3363+++++-x x x x=)32)(1)(1(362++++-x x x x x练习15、分解因式1893+-x x 24224)1()1()1(-+-++x x x31724+-x x 422412a ax x x -+++5444)(y x y x +++ 6444222222222c b a c b c a b a ---++九、待定系数法..例16、分解因式613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+;则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ;解得⎩⎨⎧=-=32n m ∴原式=)32)(23(+--+y x y x例17、1当m 为何值时;多项式6522-++-y mx y x 能分解因式;并分解此多项式..2如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ;求b a +的值..1分析：前两项可以分解为))((y x y x -+;故此多项式分解的形式必为))((b y x a y x +-++解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++则6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22 比较对应的系数可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ;解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-==132m b a∴当1±=m 时;原多项式可以分解；当1=m 时;原式=)3)(2(+--+y x y x ；当1-=m 时;原式=)3)(2(--++y x y x2分析：823+++bx ax x 是一个三次式;所以它应该分成三个一次式相乘;因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式..解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a ;解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ;∴b a +=21练习17、1分解因式2910322-++--y x y xy x2分解因式6752322+++++y x y xy x3已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积;求常数p 并且分解因式..4k 为何值时;253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积;并分解此多项式..初二因式分解练习题 5 单元测试姓名一、填空题：5分 4=20分1 分解因式；；2 分解因式：；3 分解因式：；4 分解因式：；二、选择题：5分 6=30分1下列变形;是因式分解的是-----------------------------------------------------------A BC D2下列各式中;不含因式的是-----------------------------------------------------A B C D3下列各式中;能用平方差分解因式的式子是---------------------------------------A B C D4已知;则的值是---------------------------A ;BCD ;5如果是一个完全平方式;那么的值是-------------------------- A B C D6已知;则的值是--A 0BC 3D 9三、把下列各式因式分解：6分5=30分1 23 45四、10分已知;求证：五、10分求证：每个奇数的平方被8除必余1。

(完整版)因式分解公式大全

公式及方法大全待定系数法(因式分解)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的因式分解公式：例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可例求316.4841的平方根.第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：根式的概念【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为(n为大于1的自然数).作为代数式，称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.【基本性质】由方根的定义，有根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即≥0,b≥0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即≥0,b>0)【根式的乘方】≥0)【根式化简】≥0)≥0,d≥0)≥0,d≥0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如一般地，任一正数a可表为这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示(1)式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，a n a n-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制0, 18进制0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716进制0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9各种进位制的相互转换1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步骤是：(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.对于分数部分其步骤是：(1)用q去乘{a(10)}.(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324 (8)整数部分的草式分数部分的草式3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s 的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即正多边形各量换算公式n为边数 R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形n为边数 R 为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形正方形正五边形正六边形正n边形图形Sa RR ar或许你还对作图感兴趣：正多边形作图所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x 后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y 与xy的值，由此得到以下解法．解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即(x-2)2+|3x-y|=0．所以y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即(mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。

待定系数法分解因式(附问题详解)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

内容综述将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

要点解析这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

例1 分解因式思路1 因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。

∴思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得令得解①、②得或把它们分别代入恒等式检验，得∴说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2 分解因式思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设由恒等式性质有：由①、③解得代入②中，②式成立。

∴说明若设原式由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得解得故所求的二次三项为思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

八年级数学因式分解综合应用(待定系数法与几何表示)(人教版)(含答案)

因式分解综合应用（待定系数法与几何表示）（人教版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知多项式有因式2x+3，则m的值为( )，并将其分解因式的结果为( )A.9；B.6；C.9；D.6；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用2.已知多项式有因式x+4，则m的值为( )，并将其分解因式的结果为( )A.12；B.12；C.8；D.8；答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用3.试题2中的多项式，我们还有一种分解方法，如果我们把x=2代入多项式，发现多项式，这时可以断定多项式中有因式x-2（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x-a），于是我们可以把多项式写成：．可求得m=10，n=24；这种因式分解的方法叫试根法，请用试根法将多项式因式分解．因式分解的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用4.用试根法将多项式因式分解，分解的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用5.如图是用若干张卡片拼成的一个长方形，依据图形面积间的关系，便可验证一个等式，这个等式是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式乘法的几何表示6.如图，正方形卡片A类、C类和长方形卡片B类若干张，若要用A，B，C三类卡片拼一个边长为的正方形，则需要B类卡片( )A.4张B.6张C.9张D.12张答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：整式乘法的几何表示。

(完整版)待定系数法分解因式(附答案)

用待定系数法分解因式

专题45 待定系数法(解析版)

因式分解的待定系数法

因式分解待定系数法

分式因式分解待定系数法

(完整版)数学因式分解(附答案)

因式分解综合应用(待定系数法与几何表示)(北师版)(含答案)

2021年中考数学专题复习 专题45 待定系数法(教师版含解析)

(完整版)因式分解(奥赛)

三次多项式的因式分解待定系数法

待定系数法分解因式(含答案)-

三次多项式的因式分解待定系数法

因式分解例题附答案

(完整版)因式分解公式大全

待定系数法分解因式(附问题详解)

八年级数学因式分解综合应用(待定系数法与几何表示)(人教版)(含答案)

2021年中考数学专题复习专题45 待定系数法(教师版含解析)