中考数学 第七章 图形的变化 第30讲 图形的旋转课件
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BN. ①求证：AM＝BN； ②当 MA∥CN 时，试求旋 转角 α 的余弦值．
解：①∵CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，∴CE＝CF， 根据旋转的性质，CM＝CE＝CN＝CF，∠ACM＝∠BCN＝α，在△AMC 和△BNC 中，
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
根据旋转的性质解决问题
【例 2】 (1)(2015·钦州)如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1， 将△AOB绕点O 逆时针旋转 90°到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为_94π__．
(2)如图，△ABC 中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针 方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D.
A)
B)
C)
D)
2．(2015·重庆)下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图
形的是( B )
3．(2015·哈尔滨)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△AB′C′(点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′)，连接 CC′.若∠CC′B′ ＝32°，则∠B 的大小是( C )
①求证：BE＝CF； ②当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长． 解：①证明：∵△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB， AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF＋ ∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB 可由 △AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF ②解：∵四边形 ACDE 为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴ ∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE 为等腰直角三 角形，∴BE＝ 2AC＝ 2，∴BD＝BE－DE＝ 2－1 【点评】 (1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、 旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．
第30讲 图形的旋转
1．旋转的概念 把一个图形绕着某一个点 O 转动一定角度的图形变换叫做__旋转__，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2．旋转变换的性质 (1)对应点到旋转中心的距离__相等__； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角__； (3)旋转前、后的图形全等．
3．中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转__180°__，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做__对称中心__，这两个图形中的对应点叫做关于 中心的对称点． 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．关 于中心对称的两个图形__全等__． 4．中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做__中心对称图形__，这个点就是它的__对称中心__． 5．确定一个旋转运动的三个条件 旋转__中心__、旋转__方向__和旋转__角度__．
A．32° B．64° C．77° D．87°
4．(2015·贵港)在平面直角坐标系中，若点 P(m，m－n)与点 Q(－2，3)关于原点对称，则 点 M(m，n)在( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
,第 3 题图)
,第 5 题图)
5．(2015·抚顺)如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 AB′C′D′位置，此时 AC 的中点 恰好与 D 点重合，AB′交 CD 于点 E.若 AB＝3，则△AEC 的面积为( D )
[对应训练]
2．(1)(2015·吉林)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ACF 与△BDF 的周长之和为__42__cm.
(2)(2015·日照)已知如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点 C 逆时针旋转 α 角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接 AM，
1．中心对称与中心对称图形的区别和联系 区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图 形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转 180°后，两个图形重合；中心对称图形是指 该图形绕对称中心旋转 180°，与原图形重合． 联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图 形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称． 2．中心对称与轴对称的区别和联系 区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转 180°，旋转后与另一个图形重 合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折 180°，翻折后与另一个图形重合． 联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两 条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
A．3 B．1.5 C．2 3 D. 3
识别中心对称图形
【例 1】 (2015·杭州)下列图形是中心对称图形的是( A )
【点评】 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合，这样的图形才是中心对称图形．
[对应训练] 1．(2015·绥化)下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有( B )
3．旋转作图 (1)旋转作图的依据是旋转的特征． (2)旋转作图的步骤如下： ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； ②确定图形的关键点(如三角形的三个顶点)，并标上相应字母； ③将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度； ④按照原图形的连接方式，顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形，写出结论．
1．(2015·广州Βιβλιοθήκη Baidu将图中所示的图案以圆心为中心，旋转 180°后得到的图案是( D )
解：①∵CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，∴CE＝CF， 根据旋转的性质，CM＝CE＝CN＝CF，∠ACM＝∠BCN＝α，在△AMC 和△BNC 中，
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
根据旋转的性质解决问题
【例 2】 (1)(2015·钦州)如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1， 将△AOB绕点O 逆时针旋转 90°到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为_94π__．
(2)如图，△ABC 中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针 方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D.
A)
B)
C)
D)
2．(2015·重庆)下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图
形的是( B )
3．(2015·哈尔滨)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△AB′C′(点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′)，连接 CC′.若∠CC′B′ ＝32°，则∠B 的大小是( C )
①求证：BE＝CF； ②当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长． 解：①证明：∵△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB， AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF＋ ∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB 可由 △AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF ②解：∵四边形 ACDE 为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴ ∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE 为等腰直角三 角形，∴BE＝ 2AC＝ 2，∴BD＝BE－DE＝ 2－1 【点评】 (1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、 旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．
第30讲 图形的旋转
1．旋转的概念 把一个图形绕着某一个点 O 转动一定角度的图形变换叫做__旋转__，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2．旋转变换的性质 (1)对应点到旋转中心的距离__相等__； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角__； (3)旋转前、后的图形全等．
3．中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转__180°__，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做__对称中心__，这两个图形中的对应点叫做关于 中心的对称点． 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．关 于中心对称的两个图形__全等__． 4．中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做__中心对称图形__，这个点就是它的__对称中心__． 5．确定一个旋转运动的三个条件 旋转__中心__、旋转__方向__和旋转__角度__．
A．32° B．64° C．77° D．87°
4．(2015·贵港)在平面直角坐标系中，若点 P(m，m－n)与点 Q(－2，3)关于原点对称，则 点 M(m，n)在( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
,第 3 题图)
,第 5 题图)
5．(2015·抚顺)如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 AB′C′D′位置，此时 AC 的中点 恰好与 D 点重合，AB′交 CD 于点 E.若 AB＝3，则△AEC 的面积为( D )
[对应训练]
2．(1)(2015·吉林)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ACF 与△BDF 的周长之和为__42__cm.
(2)(2015·日照)已知如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点 C 逆时针旋转 α 角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接 AM，
1．中心对称与中心对称图形的区别和联系 区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图 形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转 180°后，两个图形重合；中心对称图形是指 该图形绕对称中心旋转 180°，与原图形重合． 联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图 形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称． 2．中心对称与轴对称的区别和联系 区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转 180°，旋转后与另一个图形重 合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折 180°，翻折后与另一个图形重合． 联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两 条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
A．3 B．1.5 C．2 3 D. 3
识别中心对称图形
【例 1】 (2015·杭州)下列图形是中心对称图形的是( A )
【点评】 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合，这样的图形才是中心对称图形．
[对应训练] 1．(2015·绥化)下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有( B )
3．旋转作图 (1)旋转作图的依据是旋转的特征． (2)旋转作图的步骤如下： ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； ②确定图形的关键点(如三角形的三个顶点)，并标上相应字母； ③将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度； ④按照原图形的连接方式，顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形，写出结论．
1．(2015·广州Βιβλιοθήκη Baidu将图中所示的图案以圆心为中心，旋转 180°后得到的图案是( D )