第八节复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一，也是数学学习的重要环节。
它是指给定一个实系数多项式，可以通过分解成若干个单项式之积的形式来表示。
本文将通过分步骤阐述，来简单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法在进行实系数多项式因式分解时，首先需要确定多项式的次数。
如果是1次多项式，则可以直接进行一次式的分解；如果是2次多项式，则考虑二次方程求根的方法来分解；如果是3次或3次以上的多项式，则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。
对于n次多项式，根据代数学基本定理可知，其最多有n个根。
可以利用有理根定理、因式定理、综合除法等方法，求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解将多项式的根全部求出后，就需要利用这些根的特点，进行分解。
比如一次多项式可以表示为(x-a)，二次多项式可以分解为(x-a)(x-b)，三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。
对于没有有理根的多项式，可以进行辗转相除法，将这个多项式化为一个低一次多项式与一个高一次的多项式之积的形式，再进行分解。
四、检验分解是否正确分解完多项式后，需要检查分解是否正确。
可以通过将每个单项式展开相加，来比较与原多项式的系数是否一致。
如果展开后得到的式子，与原多项式相同，则说明该分解是正确的。
综上所述，通过利用以上的步骤，我们就可以较为简便地进行实系数多项式因式分解了。
多项式的因式分解是数学学习的重要环节，对于熟练掌握多项式的因式分解方法的人来说，不仅可以简化计算，而且可以在考试中快速地得出正确答案。
因此，我们要认真学习多项式的因式分解这一知识点，提高自己的数学水平。
《高等代数选讲》课程教学大纲
《高等代数选讲》课程教学大纲浙江教育学院《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程基本情况课程代码:22026总学时数:50课程类型: 专业选修课适用对象: 数学与应用数学专业四年制本科二、课程性质和目标1、课程的基本特性高等代数选讲是为全国硕士研究生入学考试数学系各专业设置的课程，一般在大学三年级开设，要求学生已学过高等代数课程并取得优异成绩. 2、课程的教学目标高等代数选讲是数学专业的专业选修课. 通过本课程的教学，使学生对高等代数的基础知识、基本概念和性质有深刻的理解和认识，并掌握综合运用各知识的方法和技巧，为考研作准备.三、课程教学方法与手段课堂讲授+习题课训练四、课程教学内容、要求及重点、难点第一章多项式(一)主要教学内容第一节数域第二节一元多项式第三节整除的概念第四节最大公因式第五节因式分解定理第六节重因式第七节多项式函数第八节复系数与实系数多项式的因式分解第九节有理系数多项式第十节多元多项式第十一节对称多项式(二)学习目的要求1(掌握数域的概念.2(掌握一元多项式的概念、多项式的整除及其性质.3(掌握两个多项式的最大公因式的概念及其性质. 4(理解多项式的因式分解定理.15(掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理 6(理解有理系数多项式的因式分解. (三)重点和难点重点:多项式的整除及其性质，两个多项式的最大公因式的概念及其性质，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式的因式分解.难点:多项式的因式分解定理，有理系数多项式的因式分解.第二章行列式(一)主要教学内容第一节引言第二节排列第三节 n级行列式第四节 n级行列式的性质第五节行列式的计算第六节行列式按行(列)展开第七节克兰姆法则第八节拉普拉斯定理、行列式的乘法规则 (二)学习目的要求1(掌握n级行列式的定义及其性质. 2(能利用n级行列式的性质来计算行列式. 3(理解克兰姆法则(三)重点和难点重点:n级行列式的定义及其性质.难点:行列式的计算.第三章线性方程组(一)主要教学内容第一节消元法第二节 n维向量空间第三节线性相关性第四节矩阵的秩第五节线性方程组有解的判别定理第六节线性方程组解的结构第七节二元高次方程组(二)学习目的要求1(理解 n维向量空间的概念及性质.2(掌握向量的线性相关性及其性质.3(掌握矩阵秩的概念及其相关性质.4(理解线性方程组有解的判别定理及线性方程组解的结构.(三)重点和难点重点: 向量的线性相关性，矩阵的秩.难点:矩阵的秩，线性方程组解的结构. 第四章矩阵2(一)主要教学内容第一节矩阵概念的一些背景第二节矩阵的运算第三节矩阵乘积的行列式与秩第四节矩阵的逆第五节矩阵的分块第六节初等矩阵第七节分块乘法的初等变换及应用举例 (二)学习目的要求1(掌握矩阵的运算以及矩阵乘积的行列式与秩.2(掌握逆矩阵的概念及求法.3(理解分块矩阵的概念及性质.4(掌握初等矩阵及性质.(三)重点和难点重点:矩阵的运算，逆矩阵及求法.难点:分块矩阵，分块乘法的初等变换. 第五章二次型(一)主要教学内容第一节二次型及其矩阵表示第二节标准形第三节唯一性第四节正定二次型(二)学习目的要求1(掌握二次型的定义及其矩阵表示.2(理解二次型的标准形及唯一性3(掌握正定二次型及其判别条件. (三)重点和难点重点:正定二次型及其判别条件.难点:二次型的标准形及唯一性，正定二次型的判别. 第六章线性空间(一)主要教学内容第一节集合、映射第二节线性空间的定义与简单性质第三节维数、基与坐标第四节基变换与坐标变换第五节线性子空间第六节子空间的交与和第七节子空间的直和第八节线性空间的同构(二)学习目的要求1(掌握线性空间的定义、性质.32(掌握线性空间的维数、基与坐标的概念及其性质.3(理解线性空间的基变换与坐标变换.4(理解线性空间的子空间，子空间的交、和、直和的有关性质.5(理解线性空间的同构.(三)重点和难点重点:线性空间的维数、基与坐标的概念及其性质，子空间的交、和、直和的有关性质.难点:线性空间的基变换与坐标变换，子空间的直和. 第七章线性变换(一)主要教学内容第一节线性变换的定义第二节线性变换的运算第三节线性变换的矩阵第四节特征值与特征向量第五节对角矩阵第六节线性变换的值域与核第七节不变子空间第八节若当标准形介绍第九节最小多项式(二)学习目的要求1(掌握线性变换的定义、运算、线性变换的矩阵.2(掌握线性变换(矩阵)的特征值与特征向量的定义、性质及其求法.3(掌握矩阵对角化的条件及如何对矩阵对角化.4(理解线性变换的值域与核、不变子空间的概念及相关性质.5(了解若当标准形.(三)重点和难点重点:线性变换(矩阵)的特征值与特征向量，矩阵的对角化. 难点:线性变换的值域与核、不变子空间. 第八章 ,矩阵 , (一)主要教学内容第一节 ,矩阵 ,第二节 ,矩阵在初等变换下的标准形 ,第三节不变因子第四节矩阵相似的条件第五节初等因子第六节若当标准形的理论推导第七节矩阵的有理标准形(二)学习目的要求1(掌握,矩阵在初等变换下的标准形 ,2(掌握矩阵相似的条件3(掌握矩阵的不变因子、初等因子及相关性质.44(理解若当标准形的理论推导三)重点和难点重点:矩阵的不变因子、初等因子及相关性质.难点:矩阵相似的条件.第九章欧几里得空间(一)主要教学内容第一节定义及基本性质第二节标准正交基第三节同构第四节正交变换第五节子空间第六节实对称矩阵的标准形第七节向量到子空间的距离、最小二乘法第八节酉空间介绍(二)学习目的要求1(掌握欧几里得空间的定义及基本性质.2(掌握欧几里得空间标准正交基的概念、性质及求法.3(掌握正交变换的定义及性质.4(理解欧氏空间的同构、子空间.5(理解实对称矩阵的标准形，掌握其求法.(三)重点和难点重点:欧几里得空间标准正交基、正交变换.难点:实对称矩阵的标准形的求法.五、各教学环节学时分配其它教学内容课堂讲授课程实验习题或讨论小计环节 (一)多项式 2 46 (二)行列式 2 3 5 (三)线性方程组 2 3 5 (四)矩阵 3 47 (五)二次型 2 3 5(六)线性空间 2 4 6 (七)线性变换 2 4 6 (八),矩阵 ,2 2 4 (九)欧几里得空间2 4 6总计 19 31 505六、推荐教材和教学参考书教材:《高等代数》(第三版)，北京大学数学系与代数教研室前代数小组编著，高等教育出版社，2003.参考书:《代数学典》，樊恽等编著，华中师范大学出版社，1994《高等代数新方法》(下册)，王品超编著，中国矿业出版社，2003.大纲制订人:(史美华)制订日期: 2007年9月6。
2010年硕士研究生《高等代数》考试大纲
五邑大学2010年硕士学位研究生招生《高等代数》课程考试大纲一、课程的性质，目的和任务高等代数是数学（数学与应用数学，数学教育）专业的一门重要基础课程。
通过本课程的教学，应培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识，为学习后继课程服务。
二、基本要求这门课程大致分为两部分:多项式理论和线性代数。
前者以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论，向量空间和线性变换。
本课程应着重于基本理论的讲授和基本技能的培养和训练,不适求内容上的完备和全面.三、考试范围(一)多项式理论1. 数域 (A)2. 整除的概念 (A)3. 最大公因式. (A)4. 因式分解定理. (A)5. 重因式. (A)6. 多项式函数. (A)8. 复系数与实系数多项式的因式分解. (A)9. 有理系数多项式. (A)*10.多元多项式. (B)*11.对称多程式. (B)(二) 行列式1. 排列. (A)2. n阶行列式的定义和性质. (A)3. 行列式的依行和依列展开. (A)4. 行列式的计算. (A)5. Crammer法则(克莱姆法则). (A)6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法规则. (A)(三)线性方程组1. 线性方程组的消元法. (A)2. n维向量空间 (A)3. 线性相关性. (A)4. 矩阵的秩. (A)5. 线性方组有解的判定定理. (A)6. 线性方程组解的结构. (A)7. 二元高次方程. (B)(四) 矩阵1. 矩阵的概念与运算. (A)2. 矩阵乘积的行列式与秩. (A)3. 矩阵的逆. (A)4. 矩阵的分块. (A)5. 初等矩阵. (A)(五) 二次型1. 二次型的矩阵表示. (A)2. 标准形. (A)3. 唯一性. (A)4. 正定二次型. (A)(六) 线性空间1. 线性空间的定义与简单性质. (A)2. 维数.基与坐标. (A)3. 基变换. (A)4. 线性子空间 (A)5. 子空间的交与和. (A)6. 子空间的直和. (A)7. 线性空间的同构. (A)(七) 线性变换1. 定义和例子 (B)2. 线性变换的运算. (A)3. 线性变换的矩阵. (A)4. 特征值与特征向量. (A)5. 对角矩阵. (A)6. 线性变换的值域与核. (A)7. 不变子空间. (A)8. Jordan标准形介绍. (B)(八) 入一矩阵1. 入一矩阵. (A)2. 入一矩阵在初等变换下的标准形. (A)3. 不变因子. (A)4. 矩阵相似条件. (A)5. 初等因子. (A)*6.Jordan标准形的理论推导. (C)(九) 欧几里得空间1. 定义与基本性质. (A)2. 标准正交基. (A)3. 同构. (A)4. 正交变换. (A)5. 子空间. (A)6. 对称矩阵的准形. (A)四、主要教材和参考书1. 北京大学数学力学系，高等代数（第二版），高教出版社。
复数域与实数域上多项式的因式分解
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因 和 都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证 对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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复系数和实系数多项式
定理 实系数不可约多项式或为一次或为形如ax2 bx c
的二次多项式, 其中b2 4ac 0.
所以 上一元多项式的标准分解式为
m
r
f ( x) d ( x ai )li ( x2 bj x c j )hj
其中ai
i 1
且两两互异,
li
j1
是正整数(i
1,2,, m);
bj ,cj
的多项式.
解
因0
f
(ci )
ancin
an1cin1
ac 1i
a 且c
0
i
0,
所以
0
cn i
f
(ci
)
an
a c1 n1 i
a c( n1) 1i
a cn 0i
,
令 g(x)
a0 xn
a xn1 1
an1 x an ,
则
g(
1 ci
)
0.
又 c1,c2 ,,cn 非零且两两互异,所以 g(x)为所求.
,
hj
是正整数,
b
2 j
4c
j
0
且x2 bjx cj
两
两互素( j 1,2,,r)
l m
i1 i
2
h r
j1 j
deg
f
( x).
5.6 复系数和实系数多项式
例1
设f
(
x
)
an
x
n
an1
x
n1
a 1
x
a 0
的n个互
异的非零根为 c1,c2 ,,cn ,
求以
1 c1
,
1 c2
实系数多项式
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第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic Un多项式
复系数与实系数多项式的因式分解
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解一.复系数多项式1．代数基本定理：()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥， 则 ()f x 在复数域C 上必有一根．（在复变函数中有证明）注：1） ()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥，则存在[]x a C x -∈，使)|()x a f x -(， 即()f x 在复数域上必有一个一次因式．2）复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂>，则()f x 可约的．2．复系数多项式因式分解定理：条件 1）()[]f x C x ∀∈，2）若(())1f x ∂≥，结论 1）()f x 在C 上可分解成一次因式的乘积．2）分解式唯一推论1． ()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥，则()f x 在C 上具有标准分解式1212()()()()s r r r s f x c x x x ααα=--⋅⋅⋅-其中1）12,,,s ααα⋅⋅⋅是不同的复数，2）12s r r r ⋅⋅⋅∈+,z 3） 12(())s f x r r r ∂=++推论2． ()[]f x C x ∀∈，若(())f x n ∂=，则()f x 有n 个复根(重根按重数计算)．二、实系数多项式1．命题：若α是实系数多项式()f x 的复根，则α的共轭复数α也是()f x 的复根．证：设110(),n n n n i f x a x a x a a R --=++⋅⋅⋅+∈，若α为根，则110()0n n n n f a a a ααα--=++⋅⋅⋅+=两边取共轭有 110()0n n n n f a a a ααα--=++⋅⋅⋅+= ∴α也是()f x 为复根．2．实系数多项式因式分解 定理：()[]f x C x ∀∈，若(())1f x ∂≥， 则()f x 可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．证：对()f x 的次数作数学归纳① 若(())1f x ∂=，()f x 就是一次因式，结论成立② 假设对次数<n 的多项式结论成立，设(())f x n ∂=，由代数基本定理, ()f x 有一复根α．若α为实数 则1()()()f x x f x α=-，其中1()1f n ∂=-．若α不为实数，则α也是()f x 的复根，于是222()()()()(())()f x x x f x x x f x αααααα=--=--+设a bi α=+，则22,2a bi a R a b R ααααα=-+=∈=+∈ ， 即在R 上2()x x αααα-++是一个二次实系数不可约多项式，从而2()2f n ∂=-由归纳假设1()f x 、2()f x 可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积．由归纳原理，定理得证．推论1． ()[]f x R x ∀∈,()f x 在R 上具有标准分解式121112212()()()()()()ks rk k k k n s r r x p x q f x a x c x c x c x p x q ++=--⋅⋅⋅-++其中121111,,,,s r r s s c c c p p q q R k k l l z +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈ ， 且240,1,2i i p q i r -<=⋅⋅⋅，即2i i x p x q ++为R 上的不可约多项式推论2．在实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二次不可约多项式，所有次数>3的多项式皆可约．例１ 求1n x -在C 上的标准分解式解：在复数范围内1n x -有n 个复根211,,,n εεε-，这里22cossin ,1n i n nππεε=+= 22cos sin ,1,2,k k k i k n n n ππε=+=⋅⋅⋅ ∴ 211(1)()()()n n x x x x x εεε--=----在实数域范围内课下练习小结：代数基本定理，复系数多项式因式分解与标准分解式，实系数多项式因式分解与标准分解式.。
第一章 多项式7. 多项式函数 8.复系数与实系数多项式的因式分解 [兼容模式]
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§1.7 多项式函数多项式函数余数定理n次多项式的根不能多于n个小结作业12多项式函数α是P 中数, 称为当x =α时的值, 是P [x ]中多项式, 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−L (3)在(3)中用α代替x 得111)(a a a a f n n n n ++++=−−ααααL 故多项式f (x )就定义了一个数域P 上的函数.易知若)()()(1x g x f x h +=)()()(2x g x f x h =则)()()(1αααg f h +=)()()(2αααg f h =3定理8 (余数定理) 所得余式是一个常数, 用(x -α)去除f (x ),于是证明余式为一常数c , 若f (x )在x =α时函数值f (α)=0,则α称为f (x )的一个根用多项式(x -α)去除多项式f (x ),这个常数等于函数值f (α).设商为q (x ),f (x )=q (x )(x -α)+c ,用α代替x 得f (α)=c .或零点.推论α是f (x )的根充要条件是(x -α)| f (x ).4定义9 因式.如果(x -α)是f (x )的k 重当k >1, α称为f (x )的k 重根,当k =1时, α称为f (x )的单根.定理9P [x ]中n 次多项式(n ≥0)在数域P 中的根重根按重数计算.α称为f (x )的重根.不可能多于n 个,5定理10而它们有相同的值, 若多项式f (x ), g (x )的次数都不超过n , 对n +1个不同的数α1, α2 ,L , αn +1证明由条件得,故f (x )-g (x )=0,即f (αi ) =g (αi ),即多项式f (x )-g (x )有n +1个不同的根,i = 1, 2, L , n +1,则f (x ) = g (x ).f (αi ) -g (αi ) = 0, i = 1, 2, L , n +1.即f (x ) =g (x ).小结1. 多项式函数.2.余数定理.3. n次多项式的根不能多于n个.6作业p4621. 22. 23. 24.78定义若(x -α)是f (x )的k 重因式.当k >1, α称为f (x )的k 重根,当k =1时,α称为f (x )的单根.α称为f (x )的重根.§1.8 复系数与实系数代数基本定理复系数多项式因式分解定理910代数基本定理在复数域中每个次数≥1的复系数多项式复系数多项式因式分解定理在复数域中即有标准分解:等价地说: 在复数域中有一根. 每个次数≥1的复系数多项式有一个一次因式.每个次数≥1的复系数多项式都可唯一地分解成一次因式的乘积. s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα−−−=L 其中是不同的复数,s ααα,,,21L s l l l ,,,21L 是正整数.11则α的两边取共轭数有结论: 对实系数多项式f (x ), 事实上,其系数为实数.由假设若α是f (x )的复根,共轭复数也是f (x )的复根.α设,)(0111a x a xa x a x f n n n n ++++=−−L ,0)(0111=++++=−−a a a a f n n n n ααααL ,0)(0111=++++=−−a a a a f n n n n ααααL 也是f (x )的根.α即12在实数域中即有标准分解:实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式都可唯一分解地成一次因式与其中全是实数,是正整数.二次因式的乘积. =)(x f r s k r r k l s l n q x p x q x p x c x c x a )()()()(2112111++++−−L L ,,,1s c c L ,,,1r p p L r q q ,,1L ,,,1s l l L r k k ,,1L 并且i i q x p x ++2),,2,1(r i L =是不可约的, 也即适合条件,042<−i i q p r i ,,2,1L =13其中全是实数,是正整数.=)(x f r s k r r k l s l n q x p x q x p x c x c x a )()()()(2112111++++−−L L ,,,1s c c L ,,,1r p p L r q q ,,1L ,,,1s l l L r k k ,,1L 并且i i q x p x ++2是不可约的. 证明设α是f (x )的根,若α是实数,则)()()(1x f x x f α−=其中f 1(x )是实系数多项式.若α不是实数,则也是f (x )α.αα≠的根且于是).())(()(2x f x x x f αα−−=显然αααααα++−=−−x x x x )())((2实系数不可约的. 从而f 2(x )是实系数多项式,由归纳法即得.小结1.每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根.2.复系数多项式因式分解定理.3.复根总是成对出现.14作业p4625. 26.15。
高等代数
多项式第一节 数域定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。
第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。
形式表达式110...nn n n a x a xa --+++（１），其中01,,...,na a a 全属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。
定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0g x ≠，一定有Ｐ［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使()()()()fx q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。
定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()fx g x h x =成立。
我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ），用“()|()g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是ｇ（ｘ）除ｆ（ｘ）的余式为零。
第四节 最大公因式定义６ 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是Ｐ［ｘ］中两个多项式。
Ｐ［ｘ］中多项式ｄ（ｘ）称为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（１）ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式；（２）ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式全是ｄ（ｘ）的因式。
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实系数多项式因式分解定理
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
《高等代数Ⅰ》课程教学大纲
《高等代数Ⅰ》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标通过《高等代数Ⅰ》的教学，使学生掌握多项式及代数学的基础知识和基础理论、初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法、理解具体与抽象、特殊与一般，有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，为学习本专业其余课程奠定基础。
应达到的具体能力目标：具有独立思维能力和解决实际问题能力；具有较强的抽象思维和逻辑推理能力；熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力三、教学学时分配《高等代数Ⅰ》课程理论教学学时分配表四、教学内容和教学要求第一章多项式（18学时）（一）教学要求1. 了解一元多项式的运算，复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理；2. 理解多项式的带余除法；3. 掌握整除的概念与性质,带余除法定理及证明，最大公因式的概念与求法，多项式互素的概念与性质，因式分解及唯一性定理。
4. 理解多项式在不同的数域的因式分解形式；5. 掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。
（二）教学重点与难点（内容五号仿宋GB2312，段前段后0行，段落固定值18磅）教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系；教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein判别法。
（三）教学内容第一节数域1. 代数研究的基本问题2. 数域的定义第二节一元多项式1. 基本知识2. 多项式的运算规律3. 一元多项式环第三节整除概念1. 例解多项式竖式除法，普通除法2. 定理（带余除法）3. 整除，余式，因式，倍式4. 多项式整除的充要条件5. 整除的几个性质第四节最大公因式1. 公因式，最大公因式的定义2. 求最大公因式的方法3. 辗转相除法4. 互素及特性第五节因式分解定理1. 不可约多项式2. 不可约多项式的性质3. 因式分解唯一性定理4. 标准分解式第六节重因式1. k重因式2. 重因式的性质3. 求重因式的方法第七节多项式函数1. 余数定理2. 多项式函数与多项式的根第八节复系数与实系数多项式的因式分解1. 复系数多项式的因式分解定理与标准分解式2. 代数基本定理3. 实系数多项式因式分解定理第九节有理系数多项式1. 有理数域上一元多项式多项式的因式分解问题。
高等代数使用教材及辅导材料
高等代数使用教材及辅导材料课程：高等代数高等代数北京大学数学系几何与代数教研室高等教育出版社 1978高等代数丘维声高等教育出版社 1996高等代数张禾瑞郝炳新高等教育出版社 1983高等代数习题课教材钱芳华黎有高卜淑云邓培民广西师范大学出版社 1997高等代数解题方法许甫华张贤科清华大学出版社 2001高等代数习题课参考书张均本高等教育出版社 1991线性代数试题选解魏宗宣中南工业大学出版社 1986用MAPLEV学习线性代数丘维声（译）高等教育出版社施普林格出版社 2001高等代数教学大纲数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。
一复系数多项式
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
解： 1)
1, , ,
2
,
n1
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x pi x qi 为
2
2
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
x n 1 ( x 1)[ x 2 ( n1 ) x n1 ]
[ x 2 (
2
)x
]
2 n1 2 ( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
当n为偶数时
x 1 ( x 1)( x 1)[ x (
n 2 n1
) x
]
n1
]
[ x 2 (
n 2 2
2
n 2 2
)x
n 2 2
n 2 2
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
n
)
在实数域范围内
k
大学 高等代数 线性代数
其中 ( r2 ( x )) ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) 0 ． 若 r2 ( x ) 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) q3 ( x )r2 ( x ) r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即
于是有
u( x ) f ( x )h( x ) v( x ) g( x )h( x ) h( x ) f ( x ) | f ( x )h( x )
又 f ( x ) | g( x )h( x ),
f ( x ) | h( x ).
推论
若 f1 ( x ) | g( x ), f 2 ( x ) | g( x ) ，且
证： " " 显然．
" " 设 ( x )为 f ( x ), g( x ) 的任一公因式，则
( x ) f ( x ), ( x ) g( x ), 从而 ( x ) 1, 又 1 ( x ),
( x ) c, c 0.
故 ( f ( x ), g( x )) 1.
………………
ri 2 ( x ) qi ( x )ri-1 ( x ) ri ( x )
……………… rs 3 ( x ) qs1 ( x )rs 2 ( x ) rs1 ( x )
rs 2 ( x ) qs ( x )rs1 ( x ) rs ( x ) rs1 ( x ) qs1 ( x )rs ( x ) 0
( f ( x )、g( x )) u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
注:
若仅求 ( f ( x )、g( x )) ，为了避免辗转相除时出现
§8复系数与实系数多项式的因式分解
解： 1)
1, ε , ε 2 , L , ε n−1
这里
2π 2π ε = cos , εn =1 + i sin n n 2kπ 2kπ k ε = cos , k = 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, n + i sin n n
x n − 1 = ( x − 1)( x − ε )( x − ε 2 )L ( x − ε n−1 )
若 α 不为实数，则 α 也是 f ( x ) 的复根，于是 不为实数， 的复根，
f ( x ) = ( x − α )( x − α ) f 2 ( x ) = ( x 2 − (α − α ) x + αα ) f 2 ( x )
设 α = a + bi ，则
α = a − bi ,
α + α = 2a ∈ R , αα = a 2 + b 2 ∈ R
x 2 − (α + α ) x + αα 是 一个二次不可约多项式． 即在R上 一个二次不可约多项式． 即在 上
从而 ∂ ( f 2 ) = n − 2. 由归纳假设 f1 ( x ) 、 f 2 ( x )可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证． 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
在实数域范围内
∴ 2)
∵
ε =ε
k
n− k
2kπ , , ε + ε = 2cos n
k k
ε ε =1
k k
k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅, n
∴
当n为奇数时 为奇数时
n −1 2 n+1 2 n −1 2 n +1 2
x n − 1 = ( x − 1)[ x 2 − (ε + ε n−1 ) x + εε n−1 ]LL
复系数多项式.
R上的不可约多项式.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
附：单位根、单位原根
定义1 多项式 x n 1 在复数域上的任一根都称为
n 次单位根.
n x 1 的n个复根为 事实上,在复数范围内
复根（重根按重数计算）．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证：设 n n1
1, , , ,
2
n1
这里
2 2 cos i sin , n 1 n n 2k 2k k cos i sin , k 0,1, , n 1. n n
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
定义2 若1, , , ,
若 为根，则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
n1
a0 0
∴ 也是为 f ( x ) 复根．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
f ( x ) R[ x ]，若 ( f ( x )) 1， 则 f ( x ) 可唯一
5 2 3 4
x 1 ( x 1)( x )( x )( x )( x )( x )
高等代数第1章.
例1 求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根。 解： 由定理12，方程的有理根为r/s 则必有s⎪an=2，r⎪a0=-3 从而方程的可能有理根为±1,±3,±1/2,±3/2 用综合除法可知，只有1为方程的根。 例2 证明：f(x)=x3-5x+1在Q上不可约。 证明： 若f(x)可约 则f(x)至少有一个一次因式，即有一个有理根 但f(x)的有理根只可能是±1 而f(1)=-3，f(-1)=5 矛盾！ 所以f(x)不可约
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
代数基本定理：对于任意的f(x)∈C[x]，若 ∂(f(x))≥1，则f(x)在复数域C上必有一根。 利用根与一次因式的关系，代数基本定理 可以等价地叙述为： 推论1 对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))≥1， 则存在x-a∈C[x]，使得(x-a)⎪f(x)，即f(x)在 复数域上必有一个一次因式。 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项 式，即对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))>1， 则f(x)可约。
+ε
n+1 2
)x + ε
n −1 2
ε
n +1 2
]
当n为偶数时 x n − 1 = ( x − 1)( x + 1)[ x 2 − (ε + ε n+1 ) x + εε n+1 ] ⋅ ⋅ ⋅
n− 2 2 n+ 2 2 n− 2 2
[ x 2 − (ε + ε )x + ε ε ] 2π n−2 2 2 = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 x cos + 1) ⋅ ⋅ ⋅ [ x − 2 x cos π + 1] n n
第八节复系数与实系数多项式的因式分解
三、实系数多项式因式分解定理
下面来讨论实系数多项式的分解.
对于实系数多项式，以下的事实是基本的，即 如果 是实系数多项式 f (x) 的复根，那么 的共 轭数 也是 f (x) 的根. 因为设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 , 其中 a0 , a1 , … , an 是实数. 由假设 f ( ) = an n + an-1 n-1 + … + 0 = 0 .
代数基本定理 每个次数 1 的复系数多项
式在复数域中有一根. 这个定理的证明在本课程中不讲，将来利用复 变函数论中的结论，可以很简单地证明. 利用根与一次因式的关系( 代数基本定理显然可以等价地叙述为： 每个次数 1 的复系数多项式，在复数域上一 定有一个一次因式. )
由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项 式全是可约的. 换句话说，不可约多项式只有一次 多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述 成：
显然 (x - ) (x - ) = x2 - ( + )x + 是一实系 数二次不可约多项式. 从而 f2(x) 是 n - 2 次实系数 多项式. 由归纳法假设， f1(x) 或 f2(x) 可以分解成 一次与二次不可约多项式的乘积，因而 f (x) 也可以 如此分程有 n 个复 根，但是并没有给出根的一个具体的求法. 高次方 程求根的问题还远远没有解决. 特别是在应用方面 方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂 的，它构成了计算数学的一个分支，在这里我们就 不讨论了.
第八节
复系数与实系数 多项式的因式分解
主要内容
代数基本定理 复系数多项式因式分解定理 实系数多项式因式分解定理
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复系数与实系数 多项式的因式分解
主要内容
代数基本定理 复系数多项式因式分解定理 实系数多项式因式分解定理
一、代数基本定理
以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分
解问题，现在来看一下在复数域与实数域上多项式 的因式分解. 复数域与实数域既然都是数域，因此 前面所得的结论对它们也是成立的. 但是这两个数 域又有它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步 具体化. 对于复数域，我们有下面重要的定理：
代数基本定理 每个次数 1 的复系数多项
式在复数域中有一根. 这个定理的证明在本课程中不讲，将来利用复 变函数论中的结论，可以很简单地证明. 利用根与一次因式的关系( 代数基本定理显然可以等价地叙述为： 每个次数 1 的复系数多项式，在复数域上一 定有一个一次因式. )
由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项 式全是可约的. 换句话说，不可约多项式只有一次 多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述 成：
三、实系数多项式因式分解定理
下面来讨论实系数多项式的分解.
对于实系数多项式，以下的事实是基本的，即 如果 是实系数多项式 f (x) 的复根，那么 的共 轭数 也是 f (x) 的根. 因为设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 , 其中 a0 , a1 , … , an 是实数. 由假设 f ( ) = an n + an-1 n-1 + … + 0 = 0 .
代数基本定理虽然肯定了 n 次方程有 n 个复 根，但是并没有给出根的一个具体的求法. 高次方 程求根的问题还远远没有解决. 特别是在应用方面 方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂 的，它构成了计算数学的一个分支，在这里我们就 不讨论了.
显然 (x - ) (x - ) = x2 - ( + )x + 是一实系 数二次不可约多项式. 从而 f2(x) 是 n - 2 次实系数 多项式. 由归纳法假设， f1(x) 或 f2(x) 可以分解成 一次与二次不可约多项式的乘积，因而 f (x) 也可以 如此分解.
证毕
二、复数多项式因式分解定理
每个次数 1 的复系数多项式在复数域上都可
以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x 1 ) ( x 2 ) ( x s ) ,
l1 l2 ls
其中 1 , 2 , … , s 是不同的复数，l1 , l2 , …, ls 是正整数. 标准分解式说明了每个 n 次复系数多 项式恰有 n 个复根(重根按重数计算) .
假设定理对次数 < n 的多项式已经证明. 设 f (x) 是 n 次实系数多项式. 由 f (x) 有一复根 . 如果 是实数，那么 f (x) = ( x - ) f1(x) , 其中 f1(x) 是 n - 1 次实系数多项式. 如果 不是实 数，那么 也是 f (x) 的根且 . 于是 f (x) = ( x - ) ( x - ) f2(x) .
因此，实系数多项式具有标准分解式
f ( x) an ( x c1 ) ( x cs ) ( x p1 x q1 )
l1 ls 2
k1
( x pr x q r ) ,
2 kr
其中 c1 , … , cs , p1 , … , pr , q1 , … , qr 全是实数， l1 , … , ls , k1 , … , kr 是正整数，并且 x2 + pi x + qi ( i = 1 , 2 , … , r ) 是不可约的，也就是适合条件 pi2 - 4 qi < 0, i = 1 , 2 , … , r .
两边取共轭数，有 f ( ) = an n + an-1 n-1 + … + a0 = 0 , 这就是说， f ( ) = 0， 也是 f (x) 的根. 由此可以证明
实系数多项式因式分解定理 每个次数1
的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一 次因式与二次不可约因式的乘积.
证明 定理对一次多项式显然成立.