K(三章5讲)不确定性原理

主要贡献：（1） 创立矩阵力学（量子力学的 矩阵形式）；（2）提出“测不准原理”（又 称“海森堡不确定性关系”）；（3）散射（S） 矩阵。
1922年夏，玻尔去哥廷根大学讲学，最大的收获是遇到当时还是学生的泡 利和海森堡…..
1939年，铀俱乐部，德，海森堡
54厘米？
1941年，曼哈顿计划，美，奥本海默， 爱因斯坦, 玻尔，费米，康普顿, 古德施密特, ……
电子大小为10-23 米，测量电子位置的误差是其大小的 1023倍；相当于那个1.5m的小孩，他可能在整个银河 系（直径为10亿光年）的任何位置。这种不确定性是 “原理”性的！
（３）能量－时间不确定性关系 E t h
2
E ~ vp Et ~ vtp ~ xp
根据能量-时间不确定性原理，激发态没有明确的能量，其能
3）量子测量在本质上是“随机”的，因此原则上会对被观测 对象带来不可预测的影响 。当我们说“测得电子出现在某处”时， 只描述了这个事件，并不知道它为什么会在这里，因为它并不必然 出现在这里。因此，因果率不适用，应被统计率所取代。
第五届索尔维会议，不确定性原理和互补原理；宣告量子革命完成！
德拜
狄拉克
或许，宇宙本身就是通过这种机制产生的，宇宙在“没有 时空的某奇点”突然出现。然后由于各基本力的相互作用，它 指数级地膨胀，形成以恒星为主宰的世界----“大爆炸”理论！
大质量的恒星由于能量消耗最后会向内坍缩:“恒星”“白矮星” -“中子星” -“黑洞” ----“黑洞”理论！
量子真空（狄拉克海）被黑洞的引力场极化，导致正负 粒子对不断产生。正粒子留在黑洞外面，即黑洞可辐射可发 光。反粒子被黑洞捕获而消耗黑洞质量，黑洞在蒸发----“霍 金蒸发”理论！
2 F 2 i[F , G] G2
2 F 2 i[F , G] G2
2 (F )2 k (G)2
注：[ Fˆ，Gˆ ] Fˆ Gˆ Gˆ Fˆ
(Fˆ F )(Gˆ G) (Gˆ G)(Fˆ F ) FˆGˆ Gˆ Fˆ [Fˆ，Gˆ ] ikˆ
Nature 527 290 (2015)
不确定性关系的哲学意义：
宇宙和时空都可以“无中生有”，作为第一推
动力的“上帝”再也没有存在的必要
上帝已死
－－尼采
唯心唯物论争论的根没有了，哲学扫地出门！
哲学已死
－－霍金《大设计》
观测不到等于不存在！
你身边站着一只“鬼”
但你用尽一切仪器都观测不到，说明它是不存在的！
2 (F )2 k (G)2 0
对比方程： a 2 b c 0
b2 4ac 0 ac b2
4
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 (k )2 4
或
(Fˆ )2
• (Gˆ )2

1
2
[Fˆ , Gˆ ]
4
称为不确定性关系(uncertainty relation)
(F )2

F2

2
F
二、不确定性原理的严格证明
令 FˆGˆ GˆFˆ [Fˆ ,Gˆ ] ikˆ
是算符或数
对任意波函数，引入实参量的辅助积分：
I ( ) | (Fˆ iGˆ ) |2 d 0
[Fˆ iGˆ ][Fˆ iGˆ ]* d
量不确定度△E也称为能级宽度 . 能级宽度越大，粒子处于这
个态的寿命就越短。
在光谱中，峰宽（自然线度△v）越大，对应的态就衰减
得越快，寿命越短；峰宽越小，态越稳定。
f N (v0 )
1 2 f N (v0 )
E1
不确定性关系的在宇宙学中的意义：
在极小的空间和极短的时间里 什么都有可能发生
时间非常确定，能量就非常不确定；空间很确定，动量 就很不确定。根据不确定性原理，物质可以逃脱物理定律的 束缚，以某种方式突然出现或消亡！
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
李小飞
光电信息学院
第三章：量子力学中的力学量
第五讲： 不确定性原理
引入：
FˆGˆ GˆFˆ ?
问题：1. 哪些算符之间是对易，哪些不是？
常用算符对易关系：
[x , x ] 0 [ pˆ , pˆ ] 0 [Lˆi , Lˆ2 ] 0
[Fˆ iGˆ ][ (Fˆ ) * i(Gˆ )*]d
[Fˆ iGˆ ][ (Fˆ )*i(Gˆ )*]d
2 (Fˆ )(Fˆ )* d i (Gˆ )(Fˆ )* d i (Fˆ )(Gˆ )*d (Gˆ )(Gˆ )*d
Q Fˆ , Gˆ为厄密算符
2 *(Fˆ )2 d i *(Fˆ Gˆ ) d i *(Gˆ Fˆ ) d *(Gˆ )2 d
2 *(Fˆ )2 d i *(FˆGˆ GˆFˆ ) d *(Gˆ )2 d
哥本哈根会晤之谜！ 说谎者得不了诺贝尔奖！
例题：一粒子处于如下波函数所描述的状态

(
x)


Axe

x
,
0
解：归一化
( 0)
当x 0 当x 0
,
求(x)2 (px )2 ?
1
( x) 2 dx

A2 x 2e 2x dx
0

1
43
时空源于量子纠缠
Physicists believe that entanglement is the essence of quantum weirdness — and some now
suspect that it may also be the essence of space-time geometry.
地球“本来”是方的，但所有观测显现圆形
方型的地球它观测不到，说明是不存在的！
电子是“粒子和波的混合体”，但观测时要么显现 出粒子性要么显现出波动性
这种 ”混合体”观测不到，说明它是不存在的！
维尔纳·海森堡
维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg，1901
年12月5日－1976年2月1日），德国物理学家， 量子力学的创始人之一，“哥本哈根学派”代 表性人物。1932年，海森堡因“创立量子力学 以及由此导致的氢的同素异形体的发现”而荣 获诺贝尔物理学奖。
(x) 2

x2

2
x

3
2

9
42

3
42
p


*

pdx

ih A2
xex d (xex )dx
0
0
dx
Байду номын сангаас
ihA2 (x x2 )e2xdx 0 0
p2
Fˆ F F Fˆ F
2.不确定度: 偏差的大小（绝对值） Fˆ Fˆ F F F
３.均方差: 偏差平方的平均值
(F )2

F2

2
F
推导：
(F )2 (F - F )2 F 2 2FF F 2
F 2 2FF F 2
F 2 2F F F 2 F 2 2F 2 F 2
（2）若在光子到达I2前的某一时刻（此时光子正在某一条“路径” 上），在I2处放置半透镜BS2，使其产生干涉。调整光程差，使D1方向相 干相消，D2方向相干相长，光子总被D2接收。说明光子总是走两条路径。
实验事实：光子走一条还是两条路径；由I2处是否放置有半透镜决定
观察者现在的测量决定了光子过去对路径的选择！
(Fˆ )2 • (Gˆ )2 1 [Fˆ , Gˆ ] 2 4
由不确定性关系看出：若两个力学量算符 Fˆ 和 Gˆ 不对易，则一般说来F 与 G 不能同时为零，即 Fˆ
和 Gˆ 一般不能同时测定（但 [F,G] 0 的特殊态是可
能存在的）。反之，若两个厄米算符对易，则可以找 出这样的态，使 ΔF=0 和 ΔG=0 同时满足，这就 是它们的共同本征态。
三、海森堡不确定性关系（1927)
1932年诺贝尔物理学奖
坐标和动量的不确定性关系
Q [x，pˆ x ] ih
（x)2
•（px )2

1 4
[x,
px ]
2

h2 4
或 （x)2
•（px )2

h, 2
即：x
•
px

h 2
海森堡，德，1901~1976
说明： px 和 x 不能同时为零，坐标 x 的均方差越
小坐，标则测与量它愈共准轭，的动动量量就愈px测的不均准方。偏所差以越也大称，测亦不就准是原说， 理
分析:(1) “不确定”名副其实！
x
px

h 2
1034
我们假设△x 和△p 的量级差不多，它们都在10-17量级。
我们知道电子的大小约在10-23 米，现在，我们想测 电子在哪里，测量的误差是10-17 米，这是很严重的事！ 因为位置误差是其实际大小的100 万倍！
D2 M1
BS1
实验结论：
I1
BS2
I2 D1
M２
（1）观测不仅对被观测物现在的状态有不可避免的扰动，
对过去的行为也是一样的。
（2）主体测量影响客体，主客体是不可分割的整体。
（3）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观 测方法和手段。
（4）传统意义上的因果论在量子力学中不存在。
（5）物体从一个位置运动到另一位置，没有确定的轨迹， 而是所有可能路径的总和。（费曼建立“路径积分”，是 描述量子力学的第三种方法）
100 万倍的误差意味着什么？假设一小孩的睡高为1 米5，测量误差是150 万米，那是1500 公里；
如果妈妈要找他回来吃饭，要在整条京沪铁路上 去找！
“不确定”变得名副其实！
(2) “不确定”是原理性的与仪器精度无关
假设我们有一种设备能精确测定电子动量p，其误差 △p 的量级为10-34，那么△x的量级为100。
薛定谔 康普顿
泡利 海森堡
布里渊
普朗克
居里
洛伦兹 爱因斯坦 朗之万
德布罗意 玻恩
玻尔
因果论的困境：延迟选择实验 （1979） D2
M1
BS2
I2 D1
BS1
实验发现：I1
M２
（1）一个光子从光源I1发出，经半透镜BS后，各以50% 的概率由 BS１或 BS2到达I2。若在I2处不放置半透镜BS2，则要么只有D1响起， 要么只有D2响，说明光子只走一条路径。
A2
利用
x ne2x dx
0
n!
(2 ) n1
有
∴ A 23 / 2
x


* xdx

A2
x3e2x dx 43
3

3
0
0
84 2
x2


* x 2dx

A2
x 4e2x dx 43
3
3
0
0
45 2
所以
哥本哈根诠释三大核心原理：
海森堡的“不确定性原理” 玻尔的“互补原理” 波恩的“统计解释”
1）不确定性原理源于波粒二象性，体现对微观事物认识的极限， 而这个极限也就是具有物理意义的一切。
2）物体所呈现出的形态，很大程度上取决于我们的观测方法 和手段。同一对象在不同观测中呈现出不同形态，就算它们是互相 排斥的，按互补原理也必须要同时被采纳，因为它们互补性地呈现 了物体的不同方面。
宇 宙 的起 源
实验事实：(1)彭齐亚斯和威尔逊发现宇宙的微波背景辐射与3.5K的黑体 相当，表明宇宙温度在下降（1978年诺奖）。(2)哈勃发现远星系颜色比 近的要稍红些！宇宙空间在膨胀
黑洞吃恒星
Gorgeous destruction when a black hole shreds a star 2015 Science Flows of X-ray gas reveal the disruption of a star by massive black hole, 2015 Nature
[x , pˆ ] ih


L
,
x

ihx


L
,

p

ih

p
[Lˆ , Lˆ ] ihLˆ
算符不对易的物理含义
两不对易力学量算符，一般不同时具有确定值 --海森堡
一：不确定度的定量描述
定义: 1.偏 差: 测量值与平均值之差