第10讲--第六章质心力学定理(1)

• 《Physics》，R.Resnick，D.Halliday • 《Physics》，Tipler
作业：6.1, 6.3
i
i
z
mi
mi ri
rc O
C ri y
x 在直角坐标系中质心位置坐标：
xC
ri—第i个质点的位矢 M—质点系的总质量
m
i
i
xi
M
yC
m
i
i
yi
M
zC
m z
i i
i
M
第六章 质心力学定理
1 对于质量连续分布物体： rC M
r dm
M
xC
xdm
M
yC
1 1 2 2 Ek miv i mi v C i 2 i 2
z
mi
y

x 2 v iC 2vC v iC

第六章 质心力学定理
1 1 1 2 2 Ek miv C miv iC mi 2vC viC i 2 i 2 i 2
第六章 质心力学定理
理学院 物理系 陈强
第六章 质心力学定理
第十讲
§6-1. 质心动量定理 §6-2.质心动能定理 §6-3. 质心角动量定理 §6-4. 有心运动方程与约化质量
第六章 质心力学定理
第六章 质心力学定理
第六章 质心力学定理
§6-1. 质心动量定理 一. 质心
质点系中总有一特殊点，其运动和质点系的所 有质量集中于该处的质点运动相同 质心 例如：以两质点质点组为例 若有一点xC，使 m1l1 m2 l 2 xC就是x1和x2的质心
Ek EC ErC
EC ErC ——质心动能定理(科尼希定理)
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和.
第六章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义：EC MghC ——质心重力势能
E mi ghi ——质点组重力势能
M mi
i
是否相等？
E mi ghi g mi hi
1 质心参考系： 以 rC M mi ri 为参考系
i
质心系可以是惯性系，也可以是非惯 性系.
当质点系所受合外力为零时，质 心系是惯性系，否则是非惯性系.
zC
z
xC O rc C
ric
mi yC y
根据质心运动定理 MaC Fi 0 i aC 0 质心系为惯性系
MvC mi vi
i
M 定义： vC mi vc ——质心动量 i
质点组的总质量乘以质心速度为质心动量.
结论： 质心动量等于质点组的总动量.
第六章 质心力学定理
四.质心运动定理
质心动量： MvC mi v i
i
质点组动量变化定理：d I外 dP Fi dt d mi vi
这时，系统的质心速度也达到了它的最大值，即 m 2 v 2max k m2 d v cmax m1 m 2 m1 m 2
前:系统一直受到墙壁的作用力,质心速度一直在增加; 后:系统不再受到外力的作用,质心速度将不再改变。
第六章 质心力学定理
§6-2.质心动能定理 一.质心动能定理 (科尼希定理)
例 如图所示,人与船构成质点系,当人从船头走到船尾 求 人和船各移动的距离 x1 ' 解 在水平方向上,外力为零,则 x1
acx dv cx 0 dt
xc xc
开始时，系统质心位置
mx 1 Mx 2 xc m M
O
终了时， 1 2 mi 2vC viC vC mi viC vC 0 0 i i
质心系中质点组总动量
1 1 2 2 1 1 2 2 Ek miv C miv iC Mv C miv iC i 2 i 2 2 i 2
所以： d MvC Fi dt
i
i

i

——质心动量变化定理
质心动量的改变量等于和外力的冲量. dvC Fi 即 MaC Fi ——质心运动定理 又：M i dt i
质点组总质量与质心加速度的乘积等于质点组所 受到的合外力.
第六章 质心力学定理
五. 质心参考系
x2 ' x2
S lS
x
M ( x2 x2 ' ) m( x1 ' x1 )
Ml slS m M
解得
ml S m M
第六章 质心力学定理
例 用劲度系数为k的弹簧，将质量分别为m1和m2的物 体连接起来，放置在光滑的水平面上。设m1紧靠墙， 在m2上施力将弹簧压缩了d. 若以物体m1，m2和弹簧为 系统，试求在外力撤去之后，( 1 ) 系统质心加速度的 最大值；( 2 ) 系统质心速度的最大值。 [解] (1)选取O点为x轴的原点。 按题意，物体m1，m2和弹簧 所组成的系统，在受到了外 力 F1x k d 使弹簧压缩了d 之后,墙壁对该系统的作用 力为 F2 x k d. 在撤去 F1 x 后，在作用 F2 x 下，该系统质 心加速度的最大值为 kd
1 定义：E C Mv C 2 ——质心动能 2 1 2 Ek miv i ——质点组总动能 i 2
是否相等？
ric 如图： i rC riC vi vC viC r C rc 2 v i vi vi vC viC vC viC ri O 2 2 vC v iC 2vC viC
重心，物体固有，与外界无关，但二者可重合 已知系统各部分的质心，可求整个系统的质心
质点系运动 质心运动＋相对质心的运动 质心怎样运动？
第六章 质心力学定理
三.质心动量
d 1 1 d drC mi ri 质心运动速度：vC mi ri dt M i dt M dt i dri 1 1 mi dt M mi v i M i i
ri
x
第六章 质心力学定理
质心速度在质心系中为零 质点组 总动量为零.
1 rC mi riC 0 M i
drC vC 0 dt
zC z xC O rc C
ric ri
mi
yC y
MvC mi vi C 0
i
——质点组总动量为零
x
第六章 质心力学定理
ds的坐标： x a R R cos ; y R sin

1 xC M
xdm
1
1

0
( a R R cos )d a R

1 yC M
ydm
0
R sind
2R

第六章 质心力学定理
注意：
质量均匀分布+几何对称性质心在几何对称中心
x1 l1 l2
xC
x2
x
m1 x1 m 2 x 2 m1 ( xC x1 ) m2 ( x2 xC ) xC m1 m 2
第六章 质心力学定理
推广到3维质点组，若n个质点的位矢为 r1 , r2 , rn , 总质量 M mi
二.质心坐标
1 rC M
i i
i
m h g m m
i i i i i i
i
MghC EC
即
E EC
质心重力势能等于质点组总重力势能.
第六章 质心力学定理
参考书：
• • • • • 《力学》，赵凯华，北大，理科物理专业 《大学物理》，卢德馨，南大，大理科班 《基础物理学》，陆果，北大，理科非物理专业 《力学》等，张三慧，清华，工科 《大学物理》(新版)， 北航，工科
acmax
m1 m 2
第六章 质心力学定理
( 2 ) 在撤去F1x后的最初阶段，物体m2在力Fx = -kx 作 用下作加速运动; 在 x = 0 时力Fx减小到零，然而物体m2的速度却达到 了它的最大值v2max; 1 1 2 m2 v 2 max k d 2 物体m2的动能等于弹簧的弹性势能， 2 2 由此可得 v2 max k / m2 d
ydm
M
zC
zdm
M
一维: dm ( x )dx
( x ) —线密度
二维: dm ( x , y )dS ( x , y ) —面密度
三维: dm ( x , y , z )dV ( x , y , z ) —体密度
第六章 质心力学定理
例：质量为M，长度为l的均匀细杆弯成半圆形， 求质心的位置。 y M, l 解： 取弧元ds Rd ds y R dm ds ( M / l )Rd x O a x dm Md 或