抽样定理

2
Bx
x
sinc
2By y
结果得到无数 函数与sinc函数的卷积和
9
原函数的复原(2)
最后卷积的结果,原函数为
g x, y 4BxBy XY g nX , mY sinc 2Bx x nX sinc 2By y mY
n m
若取最大允许的抽样间隔，即
X
2Bx
，并且
Y
2B y
坐标点值和斜率抽样：既要取其抽样点上的数值，由要取 其导数值； 交叉抽样：在抽样点左右取两个抽样值。
14
空间带宽积
若限带函数 g(x, y) 在频域中 f x Bx , f y By 以外恒为 零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为
2X 2Y
1
(2Bx
)
1
(2By
)
(4
抽样定理
空间-带宽积
1
抽样定理的由来和意义
• 实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布 也是连续变化的。
• 在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散 分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离 散的
• 这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量 与原先的连续变化的物理量是否相同？
，则
g
x,
y
n
m
g
n 2Bx
,
m 2By
sinc
2 Bx
x
n 2Bx
sinc
2By
y
m 2By
可见用sinc函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要 满足必要的条件)
10
抽样定理的意义
抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不 知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式
N SW XYBx By
当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数 表示。自由度增大一倍， N SW XYBx By
16
抽样定理例题（1.7）
若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f x, y ，x 系统对线脉冲的输出响应称为线响应 Lx 。如果系统的
传递函数为 H f x , ，求证：线响应的一维傅里叶变换
3
抽样函数
4
抽样函数的频谱
利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数 的频谱
Gs
fx, fy
F
comb
x X
comb
y Y
G
fx, fy
XYcomb Xfx comb Yfy G fx , fy
n m
fx
n X
,
fy
m Y
G
fx, fy
G
15
空间带宽积的意义
空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也 可用来描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递 与处理信息的能力。 空间带宽积决定了图象最低必须分辨的象素数，如数码相机 的技术指标 空间带宽积表达图象的自由度或自由参数数
图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为
1 X
2Bx
1 Y
2B y
或者说抽样间隔必须满足 X
2Bx
Y
2B y
式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特 （Nyquist）抽样间隔
7
原函数频谱的复原
要原函数的复原首先要恢复其频谱
在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度
和 ,位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频Bx谱就B可y 得 到原来函数的频谱。在频率域进行的这种操作去掉了部分
频谱成份，常常称作“滤波”
用频域中宽度 Bx 和 By 的位于原点的矩形函数为
H
fx, fy
rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
滤波过程可写作 Gs
fx, fy
rect
fx 2Bx
Baidu Nhomakorabea
rect
fy 2By
G
fx, fy
8
原函数的复原(1)
做反变换就可直接得到原函数
抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。 也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现
一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不 丢失任何信息
——因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么 讲也不过分
11
抽样定理证明图解（1）
12
抽样定理证明图解（2）
13
抽样频率为奈奎斯特频率一半时
y Y
gx,
y
梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分
布在平面 x, y上在 x ，y 两方向上间距为 X 和 Y 的
函数 与该函数的乘积
任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数 的“大小”要被该函数在 函 数位置上的函数值所调制。换 句话说，每个 函 数下的体积正比于该点函数的数值
• 是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？
• 本书用的是惠特克—香农（Whittaker-Shannon）抽样定理 的二维形式
2
函数的抽样
最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘
如果被抽样的函数为 gx, y ，抽样函数可表示为 gs x, y
gs
x,
y
comb
x X
comb
根据卷积定理，在空间域得到 gs x, y hx, y gx, y
对上式左边两个因子分别进行化简有
gs
x,
y
comb
x X
comb
y Y
gx,
y
XY gnX , mY x nX , y mY n m
h
x,
y
F
rect
fx 2Bx
rect
fy 2By
4
Bx
Bysinc
等于系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 H f x , f y 。
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抽样定理例题（1）解
证明： f x, y x1
线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 y 方向函数值不 变，是常数1。
系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可 表示为
L x L x x h x, y
线响应的一维傅里叶变换则为
XY
)(4Bx
By
)
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XYBx
By
式中 XY 表示函数在空域覆盖的面积,Bx By 表示函数在频 域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为XYBx By
的抽样值来近似表示。
问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？
空间带宽积 SW 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积
之积： SW XYBx By
n m
fx
n X
,
fy
m Y
5
抽样函数的原函数的复原图
6
奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔
假如函数 g(x, y) 是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上 一个有限区域内不为零
若包围该区域的最小矩形在 f x 和 f y 方向上的宽度分别为Bx 和 By 欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使