§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
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A A
即
C
f(z ) dz 0 f(z)dz
C 1
或
C
f (z)dz f (z)dz
C 1
10
§ 3.3 复合闭路定理
如果把 C 和 C 两条闭曲线看成一条复 合闭曲线 ， 1
区域 D 的边界，方向为 C 正向与 C 负向 1 1
( 即沿 的正向进行时 , 的内部总在 的左手 ),
由此希望将柯西-古萨积分基本定理推广到多连通域中。 一、闭路变形定理 设函数
域 内解析，灰色为奇点， 及
在多连通
为
内的任
在 全含
意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向), 的内部，且以 于 . 及 为边界的区域
9
§3.3 复合闭路定理
做两条不相交的弧段 (如图所
示)，显然 A 形成两 A F B BFA 及 AEB B E A A
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
§3.2
柯西-古萨(CauchyGoursat)定理
本节讨论复变函数积分值与积分路径的关系, 主要介绍复变函数积分的重要定理——柯西-古萨 (Cauchy-Goursat)基本定理(柯西积分定理)
1
§3.2
问题的来自百度文库出
柯西-古萨基本定理
被积函数 f (z 在复平面内处处解析，此时积分与路线无关， )z 而被积函数 此时
7
§3.3 基本定理的推广-复合闭路定理
当闭合曲线内部包围被积函数的奇点,该积分
通常不为零,但仍有一定的规律可以研究,由此把
柯西积分定理推广到多连通域讨论.本节讨论闭路
变形原理及复合闭路变形原理.
8
§ 3.3 复合闭路定理
问题的提出 计算
1 dz .因为 z 2 是包含 z 1在内的闭曲线 z 2 z 1 1 dz 2 i 由第一节讨论可知 z 2 z 1
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
i 1
4
§3.2
柯西-古萨基本定理
柯西定理的意义：
5
§3.2
柯西-古萨基本定理
1 d z . 例1 计算积分 z 12 z 3
解
1 函数 在 z 1 内解析 , 2 z 3 1 d z0 . 根据柯西-古萨定理, 有 z 12 z3
计算 ,C : 平面上任意 闭 曲线 zdz
f ( z ) dz f ( z ) dz ( z ) dz 0 f
CD l 2 D C
由于 即
n L
对消，于是有
l i
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0
l l 1 l 2
z ) d z z ) d z0 f( f(
一分段光滑闭合曲线L有：
L
z ) d z z ) d z0 f( f(
i 1 l i
n
B
积分均沿着边界线的正方向进行. 证明：由单连通区域柯西定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz ( z ) dz f
l AB l 1 B A
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
条在 因而有 内的简单闭曲线，它们的内部全含于 ，
E A AEB B A
f (z)dz0
C 1
F BFA A A B
f (z)dz0
A A B B B B
C
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0
1 z z 0 ，在以
c
由此可知，积分是否与路线有关，可能决定 于被积函数的解析性及区域的连通性.
2
§3.2
柯西-古萨基本定理
一、单连通区域情形 柯西积分定理：如果函数f(z)在闭单通区域 B 上解析，则沿着区域上任
一分段光滑闭合曲线L有
证明：
0 f (z)dz
L
L
f ( z ) dz u ( x , y ) dx v ( x , y ) dy i v ( x , y ) dx u ( x , y ) dy
此区域已不是单连通域. 被积函数 f( ,由于不满足柯西-黎曼方程，故在复平 z ) z x iy 面内处处不解析，此时积分值 zdz 与路线有关.
1 czz 0
z 0 为中心的圆周 C的内部不是处处解析的， 内部函数处处解析，但 dz 2 i 0 .虽然在除去 z 0 的 C
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
2 1 1 i dz 0 π 2i i z z i 1 2i
即
C
f(z ) dz 0 f(z)dz
C 1
或
C
f (z)dz f (z)dz
C 1
10
§ 3.3 复合闭路定理
如果把 C 和 C 两条闭曲线看成一条复 合闭曲线 ， 1
区域 D 的边界，方向为 C 正向与 C 负向 1 1
( 即沿 的正向进行时 , 的内部总在 的左手 ),
由此希望将柯西-古萨积分基本定理推广到多连通域中。 一、闭路变形定理 设函数
域 内解析，灰色为奇点， 及
在多连通
为
内的任
在 全含
意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向), 的内部，且以 于 . 及 为边界的区域
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§3.3 复合闭路定理
做两条不相交的弧段 (如图所
示)，显然 A 形成两 A F B BFA 及 AEB B E A A
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
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§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
§3.2
柯西-古萨(CauchyGoursat)定理
本节讨论复变函数积分值与积分路径的关系, 主要介绍复变函数积分的重要定理——柯西-古萨 (Cauchy-Goursat)基本定理(柯西积分定理)
1
§3.2
问题的来自百度文库出
柯西-古萨基本定理
被积函数 f (z 在复平面内处处解析，此时积分与路线无关， )z 而被积函数 此时
7
§3.3 基本定理的推广-复合闭路定理
当闭合曲线内部包围被积函数的奇点,该积分
通常不为零,但仍有一定的规律可以研究,由此把
柯西积分定理推广到多连通域讨论.本节讨论闭路
变形原理及复合闭路变形原理.
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§ 3.3 复合闭路定理
问题的提出 计算
1 dz .因为 z 2 是包含 z 1在内的闭曲线 z 2 z 1 1 dz 2 i 由第一节讨论可知 z 2 z 1
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
i 1
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§3.2
柯西-古萨基本定理
柯西定理的意义：
5
§3.2
柯西-古萨基本定理
1 d z . 例1 计算积分 z 12 z 3
解
1 函数 在 z 1 内解析 , 2 z 3 1 d z0 . 根据柯西-古萨定理, 有 z 12 z3
计算 ,C : 平面上任意 闭 曲线 zdz
f ( z ) dz f ( z ) dz ( z ) dz 0 f
CD l 2 D C
由于 即
n L
对消，于是有
l i
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0
l l 1 l 2
z ) d z z ) d z0 f( f(
一分段光滑闭合曲线L有：
L
z ) d z z ) d z0 f( f(
i 1 l i
n
B
积分均沿着边界线的正方向进行. 证明：由单连通区域柯西定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz ( z ) dz f
l AB l 1 B A
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
条在 因而有 内的简单闭曲线，它们的内部全含于 ，
E A AEB B A
f (z)dz0
C 1
F BFA A A B
f (z)dz0
A A B B B B
C
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0
1 z z 0 ，在以
c
由此可知，积分是否与路线有关，可能决定 于被积函数的解析性及区域的连通性.
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§3.2
柯西-古萨基本定理
一、单连通区域情形 柯西积分定理：如果函数f(z)在闭单通区域 B 上解析，则沿着区域上任
一分段光滑闭合曲线L有
证明：
0 f (z)dz
L
L
f ( z ) dz u ( x , y ) dx v ( x , y ) dy i v ( x , y ) dx u ( x , y ) dy
此区域已不是单连通域. 被积函数 f( ,由于不满足柯西-黎曼方程，故在复平 z ) z x iy 面内处处不解析，此时积分值 zdz 与路线有关.
1 czz 0
z 0 为中心的圆周 C的内部不是处处解析的， 内部函数处处解析，但 dz 2 i 0 .虽然在除去 z 0 的 C
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
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§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
2 1 1 i dz 0 π 2i i z z i 1 2i