高三数学《应用举例》教案(Word版)

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新人教版(A)高中数学必修5应用举例教案1

应用举例一、教学目标1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.二、重点·难点·疑点及解决办法1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.三、教学过程1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．解：在中,∴（米）．答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．3．巩固练习 P．25．如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A 的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？答：已知，求AB．这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.解：过A作，于是，在中，∴（米）..∴（米）.∴（米）.（米）.答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.。

新人教版(A)高中数学必修5应用举例教案2

应用举例教学目标1．使学生理解仰角、俯角、水平距离，垂直距离和方位角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；2．使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题；3．培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形．转化为解直角三角形)的能力；4．使学生认识数学来源于实际，又为实际服务，养成用数学的思想意识．教学重点和难点将实际问题抽象为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形问题是重点；而将实际问题抽象为数学问题，以及有关名词概念(如仰角，……)的理解是难点．教学过程一、例题分析，变式练习(采用讨论、练习和讲解方式进行教学)例 1 如图1厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A=26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长．(精确到0.01米)说明：为什么要先讲此例呢？其原因是，虽然它也是实际问题，但它已抽象为数学问题(已画出平面图形)；且一些名词(上弦、中柱和跨度等)已在图中得到直观解释，勿须教师多废喉舌；再说此例归结为解Rt△ACB也是明显的，且求中柱BC和上弦AB也能比较灵活的应用到各种三角函数关系式，所以把它做为首例是非常必要的．教法：为了从分析中选用哪一个锐角三角函数关系式较好，最好让学生讨论(暂时不写出解答过程)，大家确定较好的方法以后，再要求学生用这种方法写出解答过程(或让学生看书)如下：答：中柱 BC≈2.44米，上弦 AB≈5.56米．练习1 如图2．某厂车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB=12米，∠A=22°．求中柱CD和上弦AC的长．(精确到0.01米)答：CD≈2.42米，AC≈6.47米．例2 如图3．线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高．AB⊥BD于 B，CD⊥BD于D．从甲楼顶部 A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°．已知AB=24米．求CD=？此例按以下步骤进行教学：(1)教师先把仰角和俯角这两个概念的意义讲清楚，然后引导学生审题，(从整体上理解条件和结论)把已知条件标在图上．(2)分析条件和结论之间的关系．(让学生讨论)因为DE=AB=24米，β=60°，所以AE可求．因为AE可求，又α=30°，所以CE可求．所以CD可求．(3)选用适当的三角函数关系式．(让学生讨论)选ctgβ求AE，选tgα求CE．这样可避免分母出现未知数．(4)写出解答过程如下：解：因为 DE=AB=24米，所以CD=CE＋DE=8＋24=32(米)．答：乙楼CD=32米．练习2 如图4．某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′．求飞机A到控制点B的距离．(精确到1米) (采取讨论形式，然后让学生板演)答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．练习3 如图5．在离铁塔150米的 A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°12′．已知测角仪器高AD=1.52米，求铁塔高BE．(精确到0.1米)(采用学生讨论，然后找一个学生板演)答：BE≈88.8米．例3如图6 在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5米．测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米(精确到0.1米)．此例按照以下步骤进行教学．(1)先引导学生在理解水平距离和坡面距离的基础上，从整体上分析条件和结论．(2)引导学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形并写出已知和所求)．如图7．作出BC⊥AC于C，已知AC=5.5米．∠BAC=24°．求AB的长．(3)让学生讨论，给出解答如下：答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．练习4如图8 沿AC方向开山修渠．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520米，∠D=50°．那么开挖点E离D多远(精确到0.1米)，正好能使A，C，E成一直线？此题采取让学生讨论后板书的办法进行教学．具体步骤如下：(1)引导学生讨论，理解题意；(2)引导学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解Rt△BDE．如图9．(3)引导学生根据图9适当选择锐角三角函数关系式：(4)让学生板演过程．(答：ED≈334.3米)例4 如图10．一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向上的A处，它沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果不取近似值)此例按照以下步骤进行教学：(1)先帮助学生理解方位角的意义，理解正南方向的意义．有必要可以将平面几何第一章中后面有关的习题做一遍．在此基础上理解条件和结论．(2)引导学生将实际问题转化为解Rt△APB．即已知AB=70海里，∠B=30°．求PB．(3)引导学生选用适当的锐角三角函数关系式：或据“直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半”，于是设PA=x，AB=2x，(4)写出解答过程解1：在 Rt△APB中，AB=70，解2：因为∠APB=90°，∠B=30°，由AB=2x，得2x=70，所以x=35，说明：在解直角三角形过程中，如遇到有特殊角30°，45°和60°时，也可考虑用第二种方法．练习5 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走了一段距离到C点，则∠ABC的度数是____．教法：让学生画图便得∠ABC=45°．(如图11)练习6 两灯塔G和F与海洋观察站O的距离相等，灯塔G在观察站O的北偏东40°，灯塔F在观察站O的南偏东60°，则灯塔G在灯塔F的 [ ]．A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°．教法：引导学生自己画图，经过讨论得到图12．答案是选B．具体解答如下：作GE⊥OM于 E，因为∠GOF=80°，GO=FO，所以∠OGF=50°．因为∠OGE=40°，所以∠EGF=10°．因为GE∥FN，所以∠GFN=10°．二、小结1．先向学生提出问题：运用解直角三角形的知识去解答实际问题，它的主要步骤是什么？2．在学生回答的基础上，教师归纳总结出主要步骤是：(1)分析实际问题中某些名词概念的意义，正确理解条件和结论的关系．(2)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形)．(3)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数的关系式去解直角三角形．(4)写出解答过程和答案．三、作业1．选用课本．练习习题2．补充作业：一次测得该船在A地北偏东30°的M处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的N处．求此船的速度．。

人教A版数学必修五1.2《应用举例》教案

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河北武中·宏达教育集团教师课时教案问题与情境及教师活动（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用 S= S=
学生活动
1 acsinB，得 2
1 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm 2 ) 2
b sin B
(2)根据正弦定理，
c sin C b sin C = sin B
=
c 教学过程及方法 S =
1 1 2 sin C sin A bcsinA = b 2 2 sin B
b2 c2 a2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab
2 2 2 2 2 2 2 2
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c ) =a +b +c =左边
变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ABC 的面
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题问题与情境及教师活动学生活动
Ⅰ.课题导入
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？教学过程及方法 h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA 根据以前学过的三角形面积公式 S= 学生回答

数学：应用举例教案新人教B版必修

１．２应用举例教学目标：通过实例进一步巩固正余弦定理的应用教学重点：正余弦定理的应用教学过程１．解三角形的实质是研究三角形的边角关系，涉及的知识有三角形边、角、内切圆与外接圆半径、面积，还经常联系一元二次方程、方程组及最值等。

２．将某些实际问题转化为解三角形问题，是常遇到的应用问题，解这类问题，关键是如何将实际问题转化为数学问题，画出示意图，有助于将抽象问题具体化、形象化。

３．解斜三角形在实际中的应用是很广泛的，如测量、航海、机械设计、几何、物理等方面都要运用到解三角形。

４．由于在实际测量过程中有一些误差，为了将误差控制在允许范围内，我们往往要同一对象测量多次，然后取它们的平均值作为所得的测量数据，在实际问题的计算中，有一定的精度要求，要注意近似计算法则，以严谨细致科学态度求出测量结果。

测量中常用的基本方法如下表：５例子１．某人在塔的正东方沿南60°西的道路前进４0米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为３0°，求塔高.解：如图，由题设条件知：∠CAB=∠１=90°—60°=３0°∠ABC=４５°—∠１=４５°—３0°=１５°∴∠ACB=１80°—∠BAC—∠ABC=１80°—３0°—１５°=１３５°又∵AB=４0米.在△ABC 中，由正弦定理知：︒15sin AC =︒135sin 40∴AC=︒︒135sin 15sin 40=４02sin （４５°—３0°）=４02（sin ４５°cos３0°—cos ４５°sin３0°）=４02（22·23—22·21）=２0（3—１）在图中，过C 作AB 的垂线，设垂足为E ，则沿AB 测得塔的最大仰角就是∠CED，∴∠CED=３0°.在Rt△ACE 中，EC=AC·sinBAC=AC·sin３0°=２0·（3—１）·21=１0（3—１）在Rt△DCE 中，塔高CD=CE·tan∠CED=１0（3—１）·tan３0°=3)33(10-（米）.２．外国船只除特许者外，不得进入离我国海岸线d 海里以内的海域.设B 和C 是我国的两个设在海边的观测站，B 与C 之间的距离为m 海里，海岸线是过B 、C 的直线.一外国船在A 点处，现测得∠ABC=α、∠ACB=β.试求α、β满足什么关系时，就应向示经特许的外国船只A 发出警告？解：如图所示，作AD⊥BC，垂足为D ，在△ABC 中，∠BAC=１80°—（α+β）∴sin∠BAC=sin（α+β）.由正弦定理得： βsin AB =)sin(βα+BC ,αsin AC =)sin(βα+BC .∵BC=m，故有：AB=)sin(sin βαβ+m ,AC=)sin(sin βαα+m由于S △ABC =21BC·AD=21m·AD 且S △ABC =21AB·AC·sin（α+β）.所以21)sin(sin βαα+m ·)sin(sin βαβ+m ·sin（α+β）= 21mA Ｄ．从而有：AD=)sin(sin sin βαβα+m因此，当AD≤d,即)sin(sin sin βαβα+m ≤d 时，就应向外国船只A 发出警发.３．自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为１．9５ｍ，AB 与水平线之间的夹角为6°２0′，AC 长为１．４0ｍ，计算BC 的长（保留三个有效数字）分析：求油泵顶杆BC 的长度也就是在△ABC 内，求边长BC 的问题，而根据已知条件，AC ＝１.４0ｍ，AB ＝１.9５ｍ，∠BAC ＝60°＋6°２0′＝66°２0′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC 可根据余弦定理解：由余弦定理，得BC ２＝AB ２＋AC ２—２AB ·AC cos A＝１.9５２＋１．４0２—２×１.9５×１.４0×cos66°２0′＝３.５7１∴BC ≈１.89 （ｍ）答：油泵顶杆B C 约长１.89 ｍ４．用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝１80°—α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α—β，根据正弦定理，得AE ＝)sin(sin βαβ-a 在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝)sin(sin sin βαβα-a ∴EF ＝EG ＋b ＝)sin(sin sin βαβα-a ＋b ，答：气球的高度是)sin(sin sin βαβα-a ＋b 小结：本节课我们学习了正余弦定理的应用课堂练习：第１6页练习课后作业：第１7页：１、２、３、４。

1.应用举例-人教B版必修五教案

应用举例-人教B版必修五教案一、教案概览B版必修五是高中数学课程的一部分，由人民教育出版社出版。

本教案是针对此教材的一份教学案例，适用于教师进行上课准备和课堂授课。

该教案的主要内容包括：•带参变量的统计分布及应用；•几何概型及其应用；•期望值和方差的计算；•随机变量的分布函数和密度函数；•随机变量的期望、方差、标准差和定理。

本教案的目的是帮助学生掌握这些概念、定理和应用技巧，并能够在实际问题中进行应用。

二：教学内容第一章：概率基础1.统计分布及其应用2.几何概型及其应用3.条件概率及其数学推导4.独立事件及其应用第二章：随机变量1.随机变量及其定义2.离散型随机变量的分布律3.连续型随机变量的分布函数和密度函数4.随机变量的期望值、方差和标准差5.大数定理、中心极限定理、切比雪夫不等式等。

三、教学方法本教案采用归纳法、辅助图像法和实例法等多种教学方法，以鼓励学生自主思考、独立解决问题。

具体的教学步骤如下：•为学生提供充分的案例，以在课堂上引导学生进行自主思考和独立解决问题；•建立教学模型，让学生了解概率和随机变量的基本概念，并掌握相关的部分知识；•引导学生探讨教学模型，以推导有关的定理，让学生了解方法原理和方法特点；•鼓励学生提出各种实际问题进行分析和解决，以提高学生的独立思考和应用能力。

四、评价与总结教案的实施效果较好。

学生通过本教案的学习，对于概率和随机变量的概念及其应用有了更全面、更深层次的理解，并且能够在实际问题中进行模型的建立和分析，提升了自己的数学素养。

同时，本教案充分采用各种教学方法，让学生在学习过程中更多地参与思考和互动，提高了学生的学习积极性和主动性。

总之，教案的实施对于学生的学习涨幅有明显的促进作用，提高了学生的学习能力和应用能力，同时也提升了教师教学的实效性，为高中数学课程的教学提供了可供借鉴的范例。

高中数学1.2应用举例二教案新人教B版必修5

应用举例（二）教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方式，明确解斜三角形知识在实际中有着普遍的应用；2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方式教学难点：实际问题向数学问题转化思路的肯定讲课类型：新讲课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方式：自学辅导法在上一节学习的基础上，引导学生按照上节所总结的转化方式及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力取得锻炼教学进程：一、温习引入：上一节，咱们一路学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方式，掌握了必然的解三角形的方式与技能这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方式加以解决二、讲解范例：例1讲义15页例3例2．讲义15页例4例3讲义16页例5例3 据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ之内的地域将受到台风的影响问：S岛是不是受其影响?若受到影响，从此刻起通过量少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由例4：海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?三．课堂练习1直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A 向B行驶，同时摩托车以5O千米的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小（答案：约13小时）2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度四小结五．作业1．讲义17页32．讲义22页43．讲义23页5、7，应用举例（三）教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方式，明确解斜三角形知识在实际中有着普遍的应用；2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方式教学难点：实际问题向数学问题转化思路的肯定讲课类型：新讲课一．正、余弦定理的应用回顾：（1）解三角形（2）证明三角恒等式（3）解决实际问题二应用举例1．讲义23页102．讲义23页113．据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的正东方向的A处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ之内的地域将受到台风的影响问：（1）S岛是不是受其影响?（2）若受到影响，从此刻起通过量少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之转变S岛是不是受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是不是有解的判断，则需表示SB，可设台风中心通过ｔ小时抵达B 点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB解：设台风中心通过ｔ小时抵达B点，由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos SAB＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3O t cos6O°若S岛受到台风影响，则应知足条件｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2化简整理得ｔ2－1Oｔ＋19≤O解之得5－6≤ｔ≤5＋6所以从此刻起，通过5－6小时S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束持续时间：(5＋6)－（5－6）＝26小时答：S岛受到台风影响，从此刻起，通过（5－6）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为26小时。

高中数学第1章第2节应用举例教案(一)新人教A版必修5

1.2 应用举例新课讲授 1.建模思想解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形边角的大小，从而得出实际问题的解。

这种数学建模思想，从欧冠实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图表示为：2.解三角形应用问题的基本思路3.解三角形应用问题的一般步骤：①准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中有关名词、术语，如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等；②根据题意画出图形；将已知条件在图中注明； ③将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答。

其中第③步是最关键的环节。

4.常见的应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。

(5)熟悉的三角形中的有关公式解三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如： c b a P ++=（P 为三角形的周长）a ah S 21=（a h 表示a 边上的高） A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===R abc S 4=（可用正弦定理推得）)(21c b a r S ++=（r 为内切圆半径）还须熟悉两角和差得正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式。

典例分析【例1】在一次夏令营活动中，同学们在相距10海里的A 、B 两个小岛上活动结束后，有实际问题解三角形画图实际问题的解数学问题的解数学问题检验图1.2-4人提出到隔海相望的未知的C 岛上体验生活，为合理安排时间，他们需了解C 岛与B 岛或A 岛的距离.为此他们测得从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛之间的距离是多少海里？分析：本题是大家实际生活中可能就碰到过的事情，题目背景很熟悉，根据题意不难将题意中所述的数据反映在图形上，由题意的叙述容易画出相应的图形，结合图形分析不难得到结果。

高中数学 1.2 应用举例教案新人教B版必修5

1.2 应用举例整体设计教学分析本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体课件给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．本节教材提出了四个问题：问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．三维目标1．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体课件直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．重点难点教学重点：掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．教学难点：将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(问题导入)本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．思路 2.(情境导入)你有坐汽车(或者火车)经过山前水平公路的经历吗？如果身边带着测角仪，那么根据路标(100米杆)就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．推进新课新知探究提出问题1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？5解决实际问题的一般程序是什么？活动：教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及BC即可算出AC的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？图1图2教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：既然底部不可到达，则BC就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：(1)应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；(2)为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始(已知)数据，少用间接求出的量．讨论结果：(1)～(4)略．(5)解决实际问题的一般程序是：(1)审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；(2)建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；(3)求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；(4)还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．应用示例例1(教材问题1)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．点评：解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3 m的误差，可让学生分析误差产生的原因．变式训练如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)解：如下图，在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α. 根据正弦定理，BC sin α－β＝AB sin 90°＋β，所以AB ＝BCsin 90°＋βsin α－β＝BCcosβsin α－β. 解Rt△ABD，得BD ＝ABsin∠BAD＝BCcosβsinαsin α－β.将测量数据代入上式，得 BD ＝27.3cos50°1′sin54°40′sin 54°40′－50°1′＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177(m)， CD ＝BD －BC≈177－27.3≈150(m)．答：山的高度约为150 m.例2(教材问题2)活动：教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．点评：结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？变式训练如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γ D．α，β，b答案：C解析：由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.活动：教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．解：在△ABC 中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sinA ＝AB sinC ，BC ＝ABsinA sinC ＝5sin15°sin10°≈7.452 4(km)， CD ＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m)．答：山的高度约为1 047 m.点评：此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．知能训练1．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A 和B ，观测对岸标记C 点，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB ＝120 m ，则河宽为__________ m.答案：20(3＋3)解析：由题意画出示意图，如下图，则∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，知AB sin∠ACB ＝AC sin75°， ∴AC＝sin75°sin60°·120＝20(32＋6)．在Rt△ACD 中，CD ＝ACsin45°＝20(3＋3)，即河的宽为20(3＋3) m.2．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__________.答案：156米解析：在△DBC 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得CD sin∠CBD ＝BC sin∠BDC， ∴BC＝30sin30°sin135°＝15 2. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC·tan60°＝152×3＝156(米)，即塔高为156米．课堂小结先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？你没有画出的原因是什么呢？在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．作业课本本节习题1—2A 组1、2、3.设计感想本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模，不要求学生死记硬背解决实际问题的方法步骤．本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一重点，不在一些细枝末节上浪费时间．通过本节探究，学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法，下一步教师要在规范步骤等方面加以关注．备课资料一、拓展资源1．利用余弦定理证明正弦定理在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，求证：a sinA ＝b sinB ＝c sinC. 证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴sin 2A ＝1－cos 2A ＝1－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc 2－b 2＋c 2－a 222bc 2＝2bc ＋b 2＋c 2－a 22bc －b 2－c 2＋a 24b 2c 2＝b ＋c ＋ab ＋c －a a ＋b －c a －b ＋c 4b 2c 2.∴a 2sin 2A ＝4a 2b 2c 2a ＋b ＋c －a ＋b ＋c a ＋b －ca －b ＋c . 记该式右端为M ，同理可得b 2sin 2B ＝M ，c 2sin 2C＝M ， ∴a 2sin 2A ＝b 2sin 2B ＝c 2sin 2C. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC . 2．如图，P 为△ABC 内的一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，求证：1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C.证明：在△PAC 中，由正弦定理，得AP sinθ＝b sin∠APC. ∴∠APC＝180°－θ－(A －θ)＝180°－A.∴AP sinθ＝b sinA. 从而S △PAB ＝12c·APsinθ＝12c·bsinθsinA ·sinθ＝12bcsinA·sin 2θsin 2A ＝S △ABC ·sin 2θsin 2A .同理可得S △PBC ＝S △ABC ·sin 2θsin 2B ，S △PCA ＝S △ABC ·sin 2θsin 2C .相加后即得S △ABC ＝S △ABC (sin 2θsin 2A ＋sin 2θsin 2B ＋sin 2θsin 2C )．∴1sin 2θ＝1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C. 二、备用习题1．在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则塔高为( )A ．20(1＋33) m B ．20(1＋3) m C ．10(6＋2) m D ．20(6＋2) m2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，β3．如图，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于 ( )A.asinαsinβcosβ－αB.asinαsinβsinβ－αC.asinαcosβsinβ－αD.acosαcosβcosβ－α4．如图，有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A．5 m B．10 m C．10 2 m D．10 3 m5．如下图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝15°，求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)6．如下图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得A点的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB.参考答案：1．B 解析：如图，AB为楼，CD为塔，AM为水平线，则有AB＝20.∠DAM＝45°，∠CAM＝60°， ∴MD＝20，AM ＝20，CM ＝20 3. ∴CD＝20(1＋3)(m)．2．D 解析：由α，β，b 可利用正弦定理求出BC. 3．B 解析：在△ABC 中，CD ＝a ，∠DAC＝β－α，由正弦定理，得a sin β－α＝ACsinα，∴AC＝asinαsin β－α.在Rt△ABC 中，AB ＝AC·sinβ＝asinα·sinβsin β－α.4．C 解析：在△ABC 中，由正弦定理，可知x sin45°＝10sin30°，∴x＝10 2 m.5．解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD ＝6 000 m ，∠ACD＝45°，由正弦定理，有AD ＝CDsin45°sin60°＝63·CD.同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD ＝6 000，∠BCD＝30°. 由正弦定理，有BD ＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝632＋222·CD＝426CD ＝1 00042 m. 答：炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.6．解：设AB 的高为x.∵AB 与地面垂直， ∴△ABM，△ABN，△ABP 均为直角三角形．∴BM＝x·cot30°＝3x ，BN ＝x·cot45°＝x ，BP ＝x·cot60°＝33x. 在△MNB 中，BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN·BN·cos∠MNB，在△PNB 中，BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP·BN·cos∠PNB，又∵∠BNM 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， ∴3x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠MNB，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x·cos∠PNB.② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，∴x＝2506(m)．答：塔高AB 为250 6 m.第2课时导入新课思路 1.(本章章头图导入)有的学生可能要问：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了，那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢？也就是怎样算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和航向呢？学过本节后就简单清晰了，由此展开新课．思路 2.(猜想导入)上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离，又解决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题，这些都是距离问题，那么能否借助正弦定理、余弦定理测量一些角度的问题呢？回答是肯定的，由此展开新课．推进新课新知探究提出问题1回忆前面是如何测量距离和高度的？2在测量距离和高度时，是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边的？ 3回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则.4日常生活中还有一个例子，如航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，同时保持一定的航速和航向前进，还有如何预防台风的侵袭等，这些可否像前面探究的距离和高度那样，转化为解三角形模型来解决呢？活动：教师引导学生再次回忆正弦定理、余弦定理．为了提高学生兴趣，可换个提法，前面解决实际问题的顺序是“实际问题→数学建模→数学模型的解→实际问题的解”，我们如果不按这个步骤进行结果会怎样？通过这样反复强化，使学生的“数学建模”意识得以巩固，这里关键是找出已知量和未知量，画好平面示意图，确定需要解决的三角形．三角形模型应用很广泛，像航海确定方向等都离不开角，当然也就离不开解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识来解决它．讨论结果： (1)～(4)略．应用示例例1(教材问题3)活动：本例题是解三角形与向量结合的典例，教师可引导学生复习向量的相关知识．利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量，指导学生画出平面示意图，这是解好本问题的关键．点评：本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架，目的是让学生熟悉解决平衡力系的数学方法，解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解决．变式训练有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．解：如图所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记为CE →、CF →，重力记为CG →.由C 为绳子的中点，知|CE →|＝|CF →|. 由CE →＋CF →＝CG →，知四边形CFGE 为菱形．又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋0.22≈0.02，∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos∠FCG ＝8.90.02＝445，即绳子所受的张力为445 N.例2如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0. 1°，距离精确到0.01 n mile)活动：教师引导学生根据题意画出平面示意图，这是解决本类题目很重要的一方面．教师可就此点拨学生注意：画图、用图、识图是学好数学的一项基本功，能否准确画出示意图直接决定着解题的成败，这项基本功较弱的同学可就此加强自己的补弱训练．我们前面学习时有过这样的经历：有些选择题，甚至解答题，只要画出示意图，解答结果很快就出来了，这就是数形结合的强大威力之所在，提醒学生关注这一点．解：在△ABC 中，∠ABC＝180°－ 75°＋ 32°＝137°，根据余弦定理， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB×BC×cos∠ABC ＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15.根据正弦定理， BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB＝BCsin∠ABC AC ＝54.0sin137°113.15≈0.325 5，所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.点评：本例综合运用了正、余弦定理，体现了正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的重要作用．解完本例后教师引导学生进行反思领悟，让学生把重点放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上．变式训练如图，港口A 北偏东30°方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31 n mile ，该轮船从B 处沿正西方向航行20 n mile 后到D 处，测得CD 为21 nmile ，问此时轮船离港口A 还有多远？解：由条件知∠CAD＝60°，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△BCD 中，由余弦定理，得 cosβ＝CD 2＋BD 2－BC 22CD·BD ＝－17.∴sinβ＝1－cos 2β＝437.∴sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝5314.在△ABC 中，由正弦定理，得CD sin∠CAD ＝ADsinα，∴AD＝CD·sinαsin∠CAD ＝15 n mile.答：此时轮船离港口还有15 n mile.例3(教材问题4)活动：为降低难度，本题已经给出了平面示意图，教学时，可先不让学生看这个图形，让学生通过阅读题意自己画出图形，然后对照题目给出的图形，以便找出偏差．或者教师以幻灯片的形式打出题意，稍后再出示示意图，留给学生足够的思考空间．点评：(1)本例右边的边注可作为本例的变式训练．在教材图116中，延长PQ 到Q′，使∠AQQ′＝40.3°，台风沿PQ 方向过点Q′时，则台风终止侵袭A 城．侵袭A 城的时间为台风经过Q 到Q′所用的时间．解△AQQ′，求出Q 与Q′的距离，然后除以台风移动的速度就可得到侵袭A 城的时间．(2)解完此题后教师引导学生总结应用正、余弦定理解斜三角形的解题方法．在解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．知能训练1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m⊥n ，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则∠B＝__________.2．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？答案： 1.π6解析：由题意，得3cosA －sinA ＝0，即tanA ＝ 3. 又∵0＜A ＜π，∴A＝π3.由正弦定理，得sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin 2C ，即sinC ＝sin 2C. ∵sinC≠0，∴sinC＝1. 又∵0＜C ＜π，∴C＝π2.∴B＝π－(π2＋π3)＝π6.2．解：在△ABC 中，BC ＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠A＝15°.由正弦定理，知AC ＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)，∴A 到BC 所在直线的距离为AC×sin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)． ∵40.98海里＞38海里，∴船继续向南航行，没有触礁的危险．课堂小结先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程，熟悉有关角的概念；回顾在本节实际问题的探究中，是怎样画出方位角的，是如何将实际问题转化为数学问题的，又是怎样灵活地选用正弦定理、余弦定理的．通过本节利用物体受力情况和航海、台风侵袭等实际问题，我们感受到数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分．作业课本本节习题1—2A 组4；习题1—2B 组3.设计感想本教案是根据课程标准，学生的认知特点，内容的安排而设计的，由于本节课的前面已经有了举例探究经验，因此设计的活动主要都是通过学生自己完成；只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图，涉及到方位角，学生对图形难以把握，特别从空间的视角去审视的时候有些困难．因此教师应充分利用多媒体课件演示，让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度问题，引导学生自己画出平面示意图——这是解决本例的关键所在，教师不要怕在此浪费时间．本教案的设计意图还在于，通过本节课的展示，让学生体会到数学离不开生活，生活离不开数学，数学知识来源于生活而最终服务于生活；数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，而是让学生体会到数学的实用价值．备课资料一、备用习题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α、β的关系是( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°3．如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY 上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行．(1)起初，两人的距离是多少？(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；(3)什么时候两人的距离最短？4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．(角度精确到1°)5．如图，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最近？6．在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？7．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一般匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°，且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度；(单位：海里/时)(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．参考答案： 1．B2．B 解析：由题意可画出平面示意图，如图，则∠ACB＝80°， ∵AC＝BC ， ∴∠ABC＝50°.因此灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.3．解：(1)∵甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA·OBcos60°＝32＋12－2×3×1×12＝7，∴起初两人的距离是7千米．(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，当0≤t≤34时，PQ 2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°＝48t 2－24t ＋7；当t ＞34时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t)2－2(4t －3)(1＋4t)cos120°＝48t 2－24t ＋7，∴PQ＝48t 2－24t ＋7.(3)PQ 2＝48t 2－24t ＋7＝48(t －14)2＋4，∴当t ＝14时，即在第15分钟末，PQ 最短．答：在第15分钟末，两人的距离最短． 4．解：连结BC ，由余弦定理，得。

人教A版高中数学必修四应用举例教案

第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝2(3＋1)，c ＝22，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =222cos AC BC AC BC α+-⨯④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB =206）.2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. (答案：5km )2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？（答案：2a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C=5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+203(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程（答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。

高中数学应用举例教案

高中数学应用举例教案
主题：数学应用举例
时间：2课时
目标：学生能够运用所学数学知识解决实际问题。

教学内容：数学应用举例
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师简单介绍今天的教学内容，让学生明白数学不仅仅是理论，更是应用于解决实际问题的工具。

二、观察问题（10分钟）
1. 教师出示一个实际生活中的问题，例如：小明有一块长方形的花园，宽为10米，长为15米，求花园的面积和周长。

2. 让学生自由讨论解决这个问题的方法，并让其发现相关数学知识点。

三、理解概念（15分钟）
1. 教师引导学生总结出求长方形面积和周长的公式。

2. 教师讲解如何利用公式求解上面提到的问题，让学生理解所学数学知识在实际问题中的应用。

四、练习运用（20分钟）
1. 学生自行计算几个类似问题，如正方形、三角形等的面积和周长。

2. 学生结合实际情境，设计一个自己的问题，并用所学知识解决。

五、总结（5分钟）
教师带领学生总结今天的学习内容，强调数学在实际生活中的重要性。

六、作业布置（5分钟）
布置作业：综合练习册中的相关题目，巩固所学知识。

七、课堂反馈（5分钟）
学生互相讨论、巩固今天的学习内容，教师可以随机点名学生回答问题。

人教版高三数学必修五《应用举例》教案

教案【一】教學準備教學目標解三角形及應用舉例教學重難點解三角形及應用舉例教學過程一.基礎知識精講掌握三角形有關的定理利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角);利用余弦定理，可以解決以下兩類問題：(1)已知三邊，求三角;(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。

掌握正弦定理、余弦定理及其變形形式，利用三角公式解一些有關三角形中的三角函數問題.二.問題討論思維點撥：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形問題，用正弦定理解，但需注意解的情況的討論.思維點撥：：三角形中的三角變換，應靈活運用正、余弦定理.在求值時，要利用三角函數的有關性質.例6：在某海濱城市附近海面有一颱風，據檢測，當前臺風中心位於城市O(如圖)的東偏南方向300km的海面P處，並以20km/h的速度向西偏北的方向移動，颱風侵襲的範圍為圓形區域，當前半徑為60km，並以10km/h的速度不斷增加，問幾小時後該城市開始受到颱風的侵襲。

一.小結：1.利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角);2。

利用余弦定理，可以解決以下兩類問題：(1)已知三邊，求三角;(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。

3.邊角互化是解三角形問題常用的手段.三.作業：P80闖關訓練教案【二】教學準備教學目標1、應用正弦余弦定理解斜三角形應用題的一般步驟及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)檢驗;2、實際問題中的有關術語、名稱：(1)仰角與俯角：均是指視線與水平線所成的角;(2)方位角：是指從正北方向順時針轉到目標方向線的夾角;(3)方向角：常見的如：正東方向、東南方向、北偏東、南偏西等;3、用正弦余弦定理解實際問題的常見題型有：測量距離、測量高度、測量角度、計算面積、航海問題、物理問題等;教學重難點1、應用正弦余弦定理解斜三角形應用題的一般步驟及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)檢驗;2、實際問題中的有關術語、名稱：(1)仰角與俯角：均是指視線與水平線所成的角;(2)方位角：是指從正北方向順時針轉到目標方向線的夾角;(3)方向角：常見的如：正東方向、東南方向、北偏東、南偏西等; 3、用正弦余弦定理解實際問題的常見題型有：測量距離、測量高度、測量角度、計算面積、航海問題、物理問題等;教學過程一、知識歸納1、應用正弦余弦定理解斜三角形應用題的一般步驟及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)檢驗;2、實際問題中的有關術語、名稱：(1)仰角與俯角：均是指視線與水平線所成的角;(2)方位角：是指從正北方向順時針轉到目標方向線的夾角;(3)方向角：常見的如：正東方向、東南方向、北偏東、南偏西等; 3、用正弦余弦定理解實際問題的常見題型有：測量距離、測量高度、測量角度、計算面積、航海問題、物理問題等;二、例題討論一)利用方向角構造三角形。

人教A版高中数学选修应用举例教案第课时(2)

应用举例（三）教学目的：1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课一．正、余弦定理的应用回顾：（1）解三角形（2）证明三角恒等式（3）解决实际问题二应用举例1．课本23页102．课本23页113．据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的正东方向的A处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响问：（1）S岛是否受其影响?（2）若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过ｔ小时到达B 点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB解：设台风中心经过ｔ小时到达B点，由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos SAB＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3O t cos6O°若S岛受到台风影响，则应满足条件｜SB｜≤27O 即SB2≤27O2化简整理得ｔ2－1Oｔ＋19≤O解之得 5－6≤ｔ≤5＋6所以从现在起，经过5－6小时S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束持续时间：(5＋6)－（5－6）＝26小时答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－6）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为26小时。

人教A版数学必修五1.2《应用举例》(3)教案

学生活动
教学过程及方法
学生回答
mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile)

10 3 =
因为
30 。 sin 2 sin(180 4 ) sin4 =2sin2 cos2
2 河北武中·宏达教育集团教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。

cos2 =

3 ,得 2
2 =30
=15 ，在 Rt ADE 中，AE=ADsin60 =15 答：所求角为 15 ，建筑物高度为 15m
河北省武邑中学高中数学 6.应用举例教案新人教 A 版必修 5
备课人课题课标要求教学目标重点难点授课时间 §1.2 应用举例(3) 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题知识目标技能目标情感态度价值观通过综合训练强化学生的相应能力。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题问题与情境及教师活动 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n

高中数学应用举例练习课教案

高中数学应用举例练习课教案
一、教学目标：
1.了解数学在现实生活中的应用；
2.掌握使用数学方法解决实际问题的能力；
3.激发学生对数学的兴趣。

二、教学内容：
1.复习与巩固数学基础知识；
2.介绍数学在生活中的应用；
3.练习数学应用题。

三、教学过程：
1.总结上一堂课的内容，复习基础知识；
2.介绍数学在生活中的应用，如金融、建筑、统计等领域；
3.展示一些实际问题，并引导学生使用数学方法进行解决；
4.练习数学应用题，让学生独立思考、解答问题；
5.布置作业，要求学生继续练习数学应用题。

四、教学反馈：
1.对学生的练习情况进行评价，鼓励他们的努力；
2.检查学生的作业，发现问题并加以指导；
3.鼓励学生在日常生活中多加应用数学知识，提高实践能力。

五、板书设计：
1.数学在生活中的应用
2.实际问题解决
3.数学练习题
六、教学准备：
1.课件
2.黑板、彩色粉笔
3.练习题册
七、教学反思：
通过这堂课的教学，学生对数学的应用有了更深入的认识，对解决实际问题有了更大的信心。

教师应继续鼓励学生多加练习，并帮助他们建立数学思维的能力，提高应用数学的水平。