沪教版高中数学高二下册第十二章抛物线的性质-尝试探究有关抛物线的焦点弦问题 教案
沪教版高中数学高二下册 -12.7 抛物线及其标准方程 教案
线定义为抛物线呢？
联系（1）中的各引例
作思考(3 分钟)
二、直观演练， 板书抛物线的定义：在
1）观察抛物线的构图
教会学生
抽象定义：
平面上，与一个定点 F 过程，探寻抛物线的定义 学习，培养学生
观察抛物线的构 和一条定直线 l (点 F
2）让学生思考抛物线 学 习 数 学 的 严
图，突破初中的界限， 不在 l 上)的距离相等 定义中的注意点，完善、巩 谨
在揭示科学研究方法，由浅入深，激发学生探究的兴趣。体现科学研究的本 质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、实事求是的科学态度及勇于探 索的精神等个性品质。
3、学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程及问题的引申中， 培养学生合理的思考问题、清楚地表达思想和有条不紊、勇于创新的学习习 惯。
教学资源准备
过 点 M (- 2,- 4) 的 抛
物线方程
12 分钟
六、课堂小结 1）抛物线的定义
回顾整节课的方法和结论， 让 学 生 把 所 学
作业布置：
2）p 的几何意义
体会数学思想
的知识、能力、
完成导学练习 3）标准方程的 4 种形
情感态度与价
12.7 抛物线的标准方
式
值观最终固化
程的巩固练习
为自己的学习
教学理论与教
1、为学生创造一个思维情境，让学生通过类比、联想、归纳等方法，
学 策 略 有 效 嫁 自己动脑、动手探索、发现问题，努力使学生学会对知识的主动获取，学会
接的设计思路 学习。
2、通过引导学生类比椭圆、双曲线的研究方法，进行研究抛物线，旨
1/6
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
沪教版高中数学高二下册-12.8 抛物线的性质——焦点弦的常用结论 教案
标题：抛物线的性质——焦点弦的常用结论说明：本教学设计是提炼了抛物线的一些常用结论在具体解题中的应用与深入，配有中学生比较喜爱的来自网络的数学歌曲——小苹果之《圆锥曲线》及用几何画板给出图像的运动变化来帮助学生直观的理解知识，对得到的结论又用学生看得见的图像运动的变化数据进行验证。
培养学生用运动的观点来学习数学，提高学生的学习兴趣！同时也用简便的方法解决了抛物线中比较难的知识点，符合现在提倡结合多媒体进行教学的要求。
体现了数形结合思想！课堂设计简洁、明了，思路清晰！抛物线的性质——焦点弦的常用结论教学目的：帮学生去探讨抛物线焦点弦的一些性质，并能应用于以后的解题中.教学重点：抛物线焦点弦长度的简便计算，两端点坐标的定值关系，及角的关系.教学难点：抛物线焦点弦的一些性质的推导与证明.教学过程： 一、复习引入1、如图，若_______|PA |),,(=则y x P . 焦半径_____.__________|PF |=2、已知直线3-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长.分析：①设建方程组：⎩⎨⎧-==342x y x y ；②消元得一元二次方程：01242=--y y ；③得出韦达定理：⎩⎨⎧-==+1242121y y y y ④画图求结论：28||212=-=y y d .设计意图：提醒学生牢固抛物线概念，它是解题之本.二、讲解新课1、将上面例题改为：已知直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 要求：①发现了什么？它告诉我们在以后的解题中要注重于观察！ ②已知直线经过焦点，属于特殊直线，求解方法有没有特殊性？ ③如果直线是过焦点的任意直线，有没有其他不变的结论？ 分析：①抛物线的焦点坐标为)0,1(，发现直线经过抛物线的焦点.②由复习1知，p x x ++=21|AB |.8||,6.016212=∴=+=+-∴AB x x x x . 结论1、抛物线的焦点弦长：p x x ++=21|AB |推论：当抛物线的焦点弦与对称轴垂直时，焦点弦长最短，此时的焦点弦称为抛物线的通经,其长为p 2.2、将问题一般化：已知直线）（0)2(≠-=k px k y 与抛物线px y 22=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 分析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=+⇒=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=2212212221222222-4)2(04)2(2)2(p y y p x x k pk x x k p px k x k px y p x k y结论2、抛物线的焦点弦长：pkk21|AB|22⋅+=，特别的有⎪⎩⎪⎨⎧-==2212214pyypxx(其中2121,,,yyxx分别是BA,的横纵坐标。
沪教版高中数学高二下册第十二章12.7 抛物线及其标准方程 教案设计
教学目标：知识目标：1、掌握抛物线的定义和标准方程。
2、能根据抛物线的标准方程，写出它的焦点坐标和准线方程。
能力目标：能根据简单的已知条件求抛物线的标准方程。
情感目标：能根据老师的引导积极探索问题的规律。
教学重点：分清抛物线四种标准方程、焦点坐标和准线方程。
教学难点：利用抛物线的定义探索解决一些新问题。
教学方法及手段：启发引导 教学过程： 一、课程引入 1、 平面内与两个定点的距离相等的点的轨迹是什么？ 2、与两条相交直线的距离相等的点的轨迹是什么？问：与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么？(学生探索) 教师flash 课件演示（解释原理） 二、新课解析 1、定义：（板书课题）平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
点F 叫做抛物线的焦点。
直线L 叫抛物线的准线生活中的抛物线有哪些？太阳灶，抛射物体的运行轨道，二次函数的图象等。
但在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y 轴、开口向上或开口向下两种情形．如果抛物线的对称轴不平行于y 轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．2、推导抛物线的标准方程：（先复习求轨迹方程的方法和步骤；如何建系） 如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）,那么焦点F 的坐标为)0,2(p ，准线l 的方程为2p x -=，设抛物线上的点M （x,y ），则有2|)2(22p x y p x +=+-化简方程得 (022>=p pxy方程()022>=p pxy 叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2px -=说明：抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况。
这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 p 是焦点到准线的距离不同点：标准方程中一次项的变量决定焦点在哪条轴上，系数的”＋”，”－”决定焦点在正半轴还是负半轴三、例题精讲 例1：(1) 已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程;（2）已知抛物线的方程是y = －6x 2，求它的焦点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2）， 求它的标准方程。
沪教版高中数学高二下册第十二章12.7 抛物线及其标准方程 课件(共14张PPT)
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2020/6/18
12
练习2：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2020/6/18
ox
﹒y ox ﹒y ox
焦点
﹒y o x
2020/6/18
准线
标准方程
x2 2 py ( p 0) x2 2 py ( p 0)
7
二.标准方程:
方程 y2 = 2px（p＞0）、 y2 = -2px（p＞0）、 x2 = 2py（p＞0）、 x2 = -2py（p＞0）
都是抛物线的标准方程
步骤（1）建系设点 （2）列式
（3）代换
（4）化简
M N
·F
2020/6/18
4
二、标准方程
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 l y
x轴，线段KF的中垂线为y轴
设︱KF︱= p>0
p 则F（ 2
，0），L：x = -
p 2
· N M ·x
Ko F
设点M的坐标为（x，y），
由定义可得，
(xp)2y2 xp
其中 p 为正常数，它的几何意义是: 焦点到准线的距离
2020/6/18
8
想一想:
根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对应 关系，如何判断抛物线的焦点位置，开 口方向？
焦点跟着对称轴
准线垂直对称轴
F
开口背对准线
2020/6/18
沪教版(上海) 高二第二学期 新高考辅导与训练 第12章 圆锥曲线 12.8(1) 抛物线的几何性质
沪教版(上海) 高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.8（1）抛物线的几何性质一、解答题(★★) 1. 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程.(★★★) 2. 如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点.证明为定值，并求此定值.(★★★) 3. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，求的最小值.(★★★★) 4. 已知拋物线的焦点为是抛物线上横坐标为4且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5.过点作垂直于轴，垂足为的中点为. （1）求抛物线方程；（2）过点作，垂足为，求点的坐标；（3）以点为圆心，为半径作圆，当是轴上一动点时，讨论直线与圆的位置关系.(★★★) 5. 定长为3的线段端点在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时的中点的坐标.二、单选题(★★★★) 6. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A．B．C．D．(★) 7. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在三、填空题(★★) 8. 已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 ______(★) 9. 已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段 AB的中点为，则的面积等于．(★★★) 10. 已知点是抛物线的弦的中点，直线的方程为____________. (★★★) 11. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点.若线段与长分别为、，则等于_____________.。
沪教版高中数学高二下册第十二章12.8 抛物线焦点弦的性质探究 课件(共10张PPT)
例题 过抛物线 y2 4x的焦点斜率为2的直线 l与抛物 线相交于A (x1,y1)B ,(x2,y2)两点，求线段 AB的长.
（教材第64页例3）
由yy2 2(x4 x,1), 得：x23x10.
法1：求 A, B 的坐标，用两点间距离公式求 | AB |.
法2：用弦长公式求 | AB | .
法3：x1x23.
结论2 抛物线的所有焦点弦中，通径最短.
y
A
F
O
x
B
三、抛物线 y22px(p0)焦点弦的性质
设直线l的倾斜角为 ，则有
结论3 焦点弦长公式2
2p
| AB| sin2
y
H1
F
O
B H2
A
x
四、小结
过抛物线 y22p(x的p焦0点) 的直线 与抛物l 线
相交于 A (x1,两y1)点B ,,(则x2,有y2)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
沪教版高中数学高二下册第十二章12.8 抛物线的性质-圆锥曲线的最值问题 课件
9
| 的最大值是
3x4y的最大值是
．
__________，最小值是_______。
y
3 O ( t ,0 )
x
3x4yt
例1、求点 A (3, 0 ) 到抛物线y 2 4 x 的最短距离。
设抛物线上动点Mx,y,则MA x32y2 x324x x128
x0,x1时， MA最小为8=2 2
解：设Px,y是抛物线上任一点，它到直线
x y 4 0的距离为d=
y2 y 4 4
1 y 22 12
4
5
5
,当且仅当y
2时，dmin
3 2， 2
此时，P1，2.
例 2 :已 知 A ,B 分 别 是 椭 圆 x 2y2 1 的 右 顶 点 和 上 顶 点 ， 点 D 是 1 6 9
椭 圆 上 的 任 意 一 点 ， 求 A B D 面 积 的 最 大 值 。
想一想，将抛物线方程变为椭 圆，双曲线方程能做吗？
变 式 1 ： 求 点 A (1 ,0 )到 椭 圆 x 2 y 2 1 的 最 短 距 离 。 4
解:设椭圆上动点M(x,y), MA x12 y2 x121x2
4
34x432
2 3
2x2,x4时，MA最小 6
3
3
想一想，将点A动起来能做吗？
圆锥曲线的最值问题
热身练习
1、若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线 y 2 2 x 的
焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取
最小值，则P点的坐标为____________。
2、椭F1圆、 F上2 运是动椭，圆则x42 3、设实数满足x2
16
y 2 1 的左、右焦点，点P在
高中数学高二下册第十二章12.8 抛物线的性质 课件
例:过点A(0,-1),作直线l交抛物线y2=4x于BC 两点，求BC中点P的轨迹方程.
中点轨迹问题
y 2 y 2 x 0 ,y 2 ,y 0
小结： 作业：校本练习卷
思考题
如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一 部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于 抛物线的焦点处，已知灯口直径是24厘米，灯深10厘 米，求灯泡离反射镜的顶点的距离。
y 3.6厘米
o
x
说话不要有攻击性，不要有杀伤力，不夸已能，不扬人恶，自然能化敌为友。 己所不欲，勿施于人。——《论语·颜渊》 你打个碗，妈妈可以原谅；你要是说谎，绝对不行。
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的，不 怕真小人，就怕伪君子！ 太阳虽有黑点，却在奋力燃烧中树立了光辉的形象。 不要在你的智慧中夹杂着傲慢。不要使你的谦虚心缺乏智慧。 当你能梦的时候就不要放弃梦。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 一个人除非自己有信心，否则无法带给别人信心。
AB 2 p
sin2
注：焦点弦，焦半径和通径的区别：以y2=2px为例
（（12））焦焦点半弦径：：过点焦到点焦的点弦的；距离A长B：AxF1xx21 p2 p ,B siF 2np 2 x22 p
（3）通经：过焦点垂直于对称轴的焦点弦，即最短的焦点弦
例:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A,B两点，点C上的抛物 线的准线上，且BC//x轴,证明直线AC经过原 点.
y p 2
x轴
y轴
x2 2 py
0
沪教版高中数学高二下册第十二章12.7 抛物线及其标准方程 课件
M N
·F
二、标准方程
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 l y
x轴，线段KF的中垂线为y轴
设︱KF︱= p>0
p 则F（ 2
，0），L：x = -
p 2
· N M ·x
Ko F
设点M的坐标为（x，y），
由定义可得，
(xp)2y2 xp
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
1、方程y2 = 2px（p＞0）表示
12.7(1)抛物线及其标准方程
复习：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么？ 2、到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是什 么？ 3、到两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的 轨迹是什么？
思考：到一个定点与定直线距 离相等的点的轨迹是什么？
一、定义
注意：定点F与定直线l 的位置关系是怎样的？
抛 物线的焦点在 x轴的正半
轴则 上 ：F(焦 p,0)； 点准 x 线 p
2
2
2、一条抛物线，由于它在坐标平面内的位
置不同，方程也不同，所以抛物线的标准
方程还有其它形式.
图形
﹒y
ox
﹒y ox ﹒y ox
焦点
﹒y o x
准线
标准方程
x 2 2 py ( p 0) x 2 2 py ( p 0)
焦点跟着对称轴
准线垂直对称轴
F
开口背对准线
例1、求下列抛物线的焦点坐标及准 线方程
（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x； （2）已知抛物线的方程是y =－6x2.
例2：求满足下列条件的抛物线的标准方程 （1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2） （2）抛物线过点A（-3，2）
沪教版(上海)高二数学第二学期-12.8 抛物线的性质-教案
抛物线的性质【教学目标】1．理解抛物线的性质；2．由抛物线的图像和抛物线标准方程，类比椭圆、双曲线的性质的研究方法来探索抛物线的性质；3．培养学生的严谨的数学思维和探索问题的能力，培养学生数形结合的思想和方法。
【教学重难点】1．抛物线的性质；2．利用抛物线的性质来解决简单的实际问题。
【教学过程】一、复习导入。
1．抛物线的定义； 图形。
标准方程。
焦点坐标。
准线方程。
开口。
)0,2(p 。
向右。
)0(22>-=p px y2p x =。
)2,0(p 。
)0(22>-=p py x2p y =。
3．抛物线方程中参数p 的含义。
4．练习：（1）以（1，0）为焦点的抛物线标准方程为______________。
（2）抛物线y x 82=的准线方程为______________。
二、新课探究。
我们根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>和图像来探索抛物线的性质。
1．对称性。
通过观察图形，可得抛物线的部分图像是关于y 轴对称的，那么当x 值增大时呢？我们可以由抛物线的方程判断：在方程中，以y -代替y ，方程不变，这表明：如果某点在抛物线上，那么该点关于x 轴的对称的点也在该抛物线上，即抛物线关于x 轴对称，它是一轴对称图形。
2．顶点。
由图可得：抛物线与对称轴相交于O 点，称O 为抛物线的顶点，O 也是坐标原点。
3．范围。
由图可得，抛物线的图像除了原点之外都在y 轴的右侧，由抛物线的方程可得：在方程中，因为0p >，所以202y x p=≥，这表明除了顶点，抛物线的图像全部落在y 轴的右侧，在第一象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右上方无限延伸；在第四象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右下方无限延伸。
抛物线的其他三种类型：)0(2),0(2),0(2222>-=>=>-=p py x p py x p px y 的性质可以通过类比)0(22>=p px y 性质来探索。
沪教版高中数学高二下册第十二章抛物线的性质-尝试探究有关抛物线的焦点弦问题 教案
尝试探究有关抛物线的焦点弦问题设计理念美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩。
小说的表象后面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。
这段话从一定程度上反映了开展探究性教学的可能和意义所在。
事实上，现行教材中存在很多可选的探究性学习课题，只要我们在教学过程中，善于探究，积极引导，其探究性课题还是比较丰富，并确实有探究的价值。
探究性学习课题一道习题的引申探究性学习目标通过推理、发现、猜测、概括、探究等双边活动过程，来启迪学生思维，调动学生兴趣，激发学习热情，树立创新意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
探究性学习方法学生主动探究与教师启发引导相结合。
探究性学习问题预测重点：抛物线的焦点弦问题的知识联想。
难点：习题的证明结论引发的几何意义。
疑点：更多结论的发现。
情感目标培养学生锲而不舍的个性品质。
体验数学中的对称美、和谐美、统一美都是客观世界美的特征在数学中的反映。
探究性学习双边活动过程问题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y 1、y 2.求证：y 1y 2= －p 2证明： 222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()k o ≠ ⇒ 2220p y y p k --= （1） 或22222(2)04k p k x p k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（2） ⇒ 212y y p =-以上是同学遇到的一道习题。
请同学判断以上的过程是否正确。
忽视了k 这个变数的讨论当k 不存在时：222y px p x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 22y p = ⇒ y p =或y p =- ⇒ 212y y p =-思考1：在证明这个结论的同时，还能得到什么新结论？可得：()21221222p k x x k py y k ++=+=2124p x x =； 甚至还可得到： 2121234x x y y p +=-； 2121254x x y y p -=； 412124p x x y y =-； 121214x x y y =- 设问1 以上的部分结论能否以一个命题形式给出？成果1：过抛物线y 2=2px 的焦点的一条直线与此抛物线相交，两交点的横、纵坐标之积，以及它们的和、差、积、商均为定值。
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尝试探究有关抛物线的焦点弦问题
设计理念
美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩。
小说的表象后面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。
这段话从一定程度上反映了开展探究性教学的可能和意义所在。
事实上，现行教材中存在很多可选的探究性学习课题，只要我们在教学过程中，善于探究，积极引导，其探究性课题还是比较丰富，并确实有探究的价值。
探究性学习课题
一道习题的引申
探究性学习目标
通过推理、发现、猜测、概括、探究等双边活动过程，来启迪学生思维，调动学生兴趣，激发学习热情，树立创新意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
探究性学习方法
学生主动探究与教师启发引导相结合。
探究性学习问题预测
重点：抛物线的焦点弦问题的知识联想。
难点：习题的证明结论引发的几何意义。
疑点：更多结论的发现。
情感目标
培养学生锲而不舍的个性品质。
体验数学中的对称美、和谐美、统一美都是客观世界美的特征在数学中的反映。
探究性学习双边活动过程
问题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为
y 1、y 2.求证：y 1y 2= －p 2
证明： 222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩
()k o ≠ ⇒ 2220p y y p k --= （1） 或22
222(2)04k p k x p k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭
（2） ⇒ 212y y p =-
以上是同学遇到的一道习题。
请同学判断以上的过程是否正确。
忽视了k 这个变数的讨论
当k 不存在时：222
y px p x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 22y p = ⇒ y p =或y p =- ⇒ 212y y p =-
思考1：在证明这个结论的同时，还能得到什么新结论？
可得：()21221222p k x x k p
y y k ++=
+=
2
124
p x x =； 甚至还可得到： 2121234x x y y p +=-； 2121254
x x y y p -=； 412124
p x x y y =-； 121214x x y y =- 设问1 以上的部分结论能否以一个命题形式给出？
成果1：过抛物线y 2
=2px 的焦点的一条直线与此抛物线相交，两交点的横、纵坐标之积，
以及它们的和、差、积、商均为定值。
启迪 数形结合是一种重要的数学思想方法。
它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适
当的几何图形，通常是将数量关系转化为线段图。
能否就结论212y y p =-得出其几何意义？
思考2：结论212y y p =-有何几何意义？ 成果2：焦点到准线的距离是焦点弦在准线上的射影被焦点在准线上的射影所分的两线段的
比例中项。
思考3：在所学过的知识中哪里出现过一条线段长度的平方等于另外两条线段长度的乘积？
S ：（直角三角形中）
T ：连接1Q F 、2Q F 。
12Q FQ ∆是直角三角形吗？
【证明】： 112AQ AF =⇒∠=∠
234BQ BF =⇒∠=∠
而
1215
46
2356562
AQ FQ BQ FQ ππ
⇒∠=∠⇒∠=∠∠+∠+∠+∠=∴∠+∠=
即12Q F Q F ⊥
成果3：过抛物线的焦点弦的两端点作准线的垂线，垂足与抛物线焦点的连线互相垂直。
思考4：连接圆心与焦点，观察图像，又会有什么结论？
成果4：抛物线的焦点弦在准线上的射影的中点与焦点的连线垂直于焦点弦。
【证明】:在直角三角形ABC 中，H 为斜边12Q Q 中点
12190
HQ HQ HF
AQ H AFH
AFH HF AB ∴==∴≅∴∠=∴
⊥
思考5：H 为12Q Q 中点，再取AB 的中点G ，会有什么结论？
（连接HG ，交抛物线于P 点呢？）
成果5：过抛物线的焦点弦中点作准线的垂线，垂足与焦点弦中点的连线被抛物线平分。
【证明】：由成果4知HFG ∆为直角三角形
PH PF =
∴P 为GQ 中点
∴HP PG ==PF
思考6：这三条线段的长度又与哪条线段有关？
成果6：过抛物线的焦点弦中点作对称轴的平行线，与抛物线相交，则交点与焦点连线的长度等于焦点弦长的14 121111()22244
AQ BQ PF HG AF BF AB +===+=
思考7：将成果3和4结合起来，还会得到什么结论？（图形结合）
成果7：过抛物线焦点弦两端点作准线的垂线，以两垂足为直径的圆与焦点弦切于焦点。
证明略
思考8：哪里有数学哪里就有美。
对称美就是数学美中的一种。
以上直径在准线上有一个特
殊的圆存在，是否可以猜想直径在焦点弦上也有一个类似的特殊圆存在？ 【证明】在梯形12AQ Q B 中GH 为中位线
∴1211()22
GH AQ BQ AB =+= ∴圆心G 到准线的距离等于圆的半径。
成果8：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切。
思考9：12Q Q 有一条垂直平分线并交x 轴于F 点，那么作AB 的垂直平分线，交x 轴设为L
点，则四边形HFLG 有何特征？
（平行四边形）
进而得出：
成果9：抛物线的焦点弦的垂直平分线与对称轴的交点到焦点的等于焦点弦长的一半。
【证明】：HF AB ⊥ GL AB ⊥
HF GL ∴ 且HG FL
∴四边形HGLF 为平行四边形
∴12
FL HG AB == 猜测：由于抛物线及其准线与焦点所具有的特殊性，使我们发现了上述极其美妙的结论，我
们可以课后继续探究。
探究后作业：要求学生课外继续分组、讨论、推证。
继续探究得出更多的成果。
小结：这是学生问到的一个小题，也是以前课本中的一个简单的课本习题。
经过挖掘、猜测
和论证得到若干个形式新颖的命题，这正体现了经过千锤百炼的课本例习题的潜能作用，还对提高学生探究学习的能力也是十分有益的。