利用空间向量求空间距离 ppt课件

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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)

二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC．又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO．又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO．如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|

高考数学一轮总复习教学课件第七章立体几何与空间向量第7节利用空间向量求空间距离

|·|
||

=.
考点三用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] 在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中
点,则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为

.
解析:以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接AB1,
||
=
|-|
+
=3 .
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
→
(3)求向量:求出相关向量的坐标( ,α内两个不共线向量,平面
α的法向量n).
→
|·|
(4)求距离:d=
.
||
[针对训练] 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,
如图,已知平面α的法向量为 n,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一
点.过点 P 作平面α的垂线 l,交平面α于点 Q,则 n 是直线 l 的方向向
→
→
量,且点 P 到平面α的距离就是在直线 l 上的投影向量的长度,
→
因此 PQ=|·

→
·
||
|=|
||
→
|=
|·|
||
× )
)
2.平面α的法向量n=(1,-1,2),点B在α上且B(2,2,3),则P(-2,1,3)
到α的距离为

.
→
→
解析:因为 =(4,1,0),故 P(-2,1,3)到α的距离 d=
|(,,)·(,-,)|

2025年高考数学一轮复习-8.7-利用空间向量研究距离问题【课件】

·

·
·e= ·e,故其模为

·
3.点到平面的距离公式
如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于
点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量

· |·|
的长度,则PQ=|· |=|
|=
.
||
第八章
立体几何初步、空间向量与立体几何
第七节
利用空间向量研究距离问题
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的
距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的
作用.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
2
2
.
【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而=(2,1,1),所
|·| |−1×2+0×1+1×1| 1 2
以平行平面α,β间的距离d=
=
= = .
2 2
||
(−1)2 +02 +12
核心考点·分类突破
考点一点线距及其应用
[例1](1)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离
则=(-2,1( 2) 2 = 3.
·

=
|−2×1+1×0+0×(−1)|
2
= 2,所以点P(-1,2,1)到
4.(不能正确使用公式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1(共27张PPT)

4
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析：根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,

2025高考数学一轮复习-7.6-利用空间向量求空间角、距离【课件】

(3)平面与平面的夹角如图，平面 α 与平面 β 相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面 α 与平面 β 的夹角．
若平面 α，β 的法向量分别是 n1 和 n2，则平面 α 与平面 β 的夹角即为向量 n1 和 n2 的 |n1·n2|
夹角或其补角．设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，则 cosθ＝|cos n1，n2 |＝_____|n_1_||n__2|___.
设平面 CDP 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··PP→→DC＝＝00 ⇒n＝(0,1,1)．
平面 PAB 的法向量 m＝(0,1,0)
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2 2.
又∵平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为锐二面角，∴所求二面角为 45°.
易错点睛：(1)误认为直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是线面角出错． (2)不能结合图形准确判定二面角出错．
4．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，
π 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为___6_____．
【解析】以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0，2 2)．点 C1 在
侧面 ABB1A1 内的射影为点
提醒：(1)利用公式与二面角的平面角时，要注意 n1，n2 与二面角大小的关系，是
相等还是互补，需要结合图形进行判断． (2)注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的
夹角的范围为0，π2.
2．空间距离(1)点 P 到直线 l 的距离设A→P＝a，u 是直线 l 的单位方向向量，则向量A→P在直线 l 上的投影向量A→Q＝(a·u)u. 在 Rt△APQ 中，由勾股定理，得 PQ＝ |A→P|2－|A→Q|2＝___a_2－___a_·u__2__.

用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件

= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2

1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版数学选择性必修

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件(人教版)

平面平行，或在平面内，我们说它所成的角是0°的角。
θ∈[0°，90°]
斜线l
l P 垂线
A
O
斜线l的射影
回顾旧知
5、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，棱为l，
两个面分别为、的二面角. 记为 -l- .
6、二面角的平面角
l
与在距二离面类角似-，l-角的度棱是l上立任体取几一何点中O另，一如个图重，要在的半度平量. 下面我们 B
2、若A( x1, y1, z1 )，B( x2 , y2 , z2 )，则 AB ( x2 x1, y2 y1 , z2 z1 )
回顾旧知
3、异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a'//a,
b'//b，我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成
的角(或夹角)。 (0, ]
解：化为向量问题
如图，以{CA,CB,CD}作为基底，则MA CA CM CA 1 CB
2
CN 1 (CA CD) 设向量CN与MA的夹角为，
则直线A2M与CN夹角的余弦值等于| cos | .
B
A N D
进行向量运算
M
CN
MA
1 (CA 2
CD) (CA
1 CB) 2
12 CA
2
| CN || MA | 3 3 3
回到图形问题
22
所以直线AM和CN夹角的余弦值为2 3
A
N
B
D
M C
思考：以上我们用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你
能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗？

向量法求空间距离课件

x
A
于是点C1到平面A1BD的距离为d=
C1D n n
2 3 = 3
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
D
y
FB 0, 2,0
d FB n n
2 11 11
C E （2,0,0） A
x
（4,4,0） B F （4,2,0）
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
4.总结：点到平面距离的求解步骤
第一步：找最佳原点，建立空间直角坐标系。第二步：在坐标系下找到对应点的坐标：（1）点B的坐标（或直线或平面上任一点的坐标）；（2）平面α 内任意一点A的坐标；（3）平面α 内最少其他任意两点的坐标（为了求平面α 的法向量）。第三步：连接BA,求出 BA 的坐标。第四步：求平面α的法向量：（1）求出平面α内两条相交直线所在向量的坐标；（2）令这两个向量分别与未知的法向量相乘并得0；（3）得到两个三元一次不定方程组，令其中一个变量为1，求出另两个变量，即可得到平面α的法向量。第五步：将向量 BA 与法向量 n 代入公式： x BA n d n
以上都可以转化为：点到平面的距离的求解问题。
P

A
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
2.点到平面距离的向量计算公式如图 A ,空间一点 P 到平面的距离为 d PA 已知平面的一个法向量为，且 n
与 n 不共线，能否用 PA 与 n 表示 d ？
分析：过 P 作 PO 于O , 则d PO PA cos APO.
则E 2， 0， 0 , F 4, 2， 0，G 0， 4， 2
B(4, 4,0), FB 0， 2， 0
D

用向量法求空间距离课件

奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可能会遇到奇异点，即某些点的坐标值可能为无穷大或不确定。对于这些点，应采取适当的处理方式，如排除或进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标系、极坐标系等。不同的坐标系可能会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以用于解决其他几何问题。

用向量方法求空间中的距离课件

||·cos∠ABO=
||||cos∠
.
||
如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可以得到点 B
到平面 α 的距离为|| =
|·|
.
||
因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该
平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应
|·|
||
=
3 3
5
=
3 15
.
5
错因分析:错误的根本原因是忽视了求点面距时,应是用平面内
一点与该点构成的向量与平面的法向量来求.实际上本例中 O∉平面
MBC,选择求点A 到平面 MBC 的距离是错误的,应选向量(或
, ).
正解:(接错解)又 = (0,0,2 3),
则点 A 到平面 MBC 的距离 d=
解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1).
(1)∵CM=BN=a(0<a< 2), 且四边形ABCD,ABEF 为正方形,
∴
2
2
,0,1-
2
2
2
2
, ,0
2
2
,
,
2
2
∴ = 0,
,
-1 .
2
2
∴|| = 2 - 2 + 1,
即 MN 的长为 2 - 2 + 1.
的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除

以法向量的模,即可求出点到平面的距离.因为 =n0 可以视为平面
||
的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与
从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即 d=| ·n0|.

《空间向量求距离》课件

点到直线的距离
通过向量的数量积和向量的叉积可以求解点到直线的最短距离。
点到平面的距离
通过向量的数量积和向量的叉积可以求解点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和向量的叉积可以计算线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示例来演示如何计算不同情况下的空间向量的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减，得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示，我们将更好地理解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件，您已经掌握了空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加减法、数量积和向量积等运算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积，您可以计算点到直线、点到平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中，您可以向我们提问，并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量通过向量积公式计算而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原向量的性质，可用于求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几何学等领域中有广泛的应用。

用向量法求空间距离ppt课件

9.8 距离用向量法求空间距离
1
上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我
们来简单回忆一下：
点到平面的距离直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离异面直线的距离
2
如何用向量法求解点到平面的距离呢？
已知点P和面ABCD，用向量法求解就得构造向量，比如说 AP
过P点作PH垂直平面并交平面于点H，则PH的长为所求
A x x
A
Cy B
B
1200
y C
接下来我们要求面SBC的法向量了
SB (a, 3a, 3a), SC (0, 2 3a, 3a)
n (x, y, z), n SB, n SC
ax 3ay 3az 0, 2 3ay 3az 0
一个平面的法向量有很多，只要满足上面的这个等式即可，为了计算的方便，我们通常会要相对简洁的数字组成的法向量，可以令z=1，则得到平面SBC的一个法向量了：
首先我们建立空间直角坐标系，求出两异面直线的法向量
A D
A1
D1
B C
B1
AC (1,1, 0), A1D (1, 0,1) n (1, 1, 1)
则两异面直线间的距离d为：
C1
d A1A n (0, 0,1) (1, 1, 1) 3
n
3
3
经过了上面几道例题，我们已经熟悉并掌握了用向量法求空间距
P
我们发现，PH 垂直平面ABCD，
我们可以理解成面ABCD的法向量 n
AP, PH
AP, n
PH AP COS AP, PH
A
B AP COS AP, n
AP n
H
AP AP n

高中数学课件-第9讲向量法求空间距离、折叠及探索性问题

1
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
2
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
考试要求
1.会求空间中点到直线、点到平面的距离.2.会用向量法探
究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题.
01
聚焦必备知识
4
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
知识梳理
1.点 P 到直线 l 的距离
所以F→E＝(－2，2，0)，E→G＝(－2，－4，2)， B→E＝(2，0，0).
设平面 EFG 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，
18
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
则m·F→E＝－2x＋2y＝0，
令
m·E→G＝－2x－4y＋2z＝0，
x＝1，则
m＝(1，1，3)，所以点
B
到平面 EFG 的距离为 d＝B→E|m·| m＝
0，1)，A(1，0，1)，所以D→A1＝(1，0，－1)，D→C1＝(0，1，－1)，A→D＝(－ 1，0，0)，设平面 A1C1D 的一个法向量为 m＝(x，y，1)，则mm⊥ ⊥DD→→AC11，，
10
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
x－1＝0， x＝1，即y－1＝0，解得y＝1，故 m＝(1，1，1)，显然平面 AB1C∥平面 A1C1D，
面 α 的距离 d＝A→P·|nn|＝_□_2__|A→_P_|n_·|__n_| _，如图所示.
3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
6
聚焦必备知识突破核心命题限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( × ) (2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.( × ) (3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.( √ ) (4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.( × )