结构力学课件3-7 隔离体方法及虚位移原理

计算静定结构内力的另一个普遍方法 — 虚功原理，它等价于平衡方程。
实功和虚功：
⑴ 实功
力FP1在由该力引起的位移 1' 上所作
的功称为实功。即
W11

1 2
FP11'
右图中，外力是从零开始线性增大至FP1，
位移也从零线性增大至 1' 。也称为静力实功。
FP1
1 1
1
FP1
FP2
2 2
A 对称结构 B
q C
FxC
A
FxA FyA
⑸ 基附型结构：多跨静定梁区分为基本部分和附属部分。多跨或多层静定 刚架、多跨静定桁架也可区分为基本部分和附属部分。
基附型结构应先计算附属部分，然后计算基本部分。
E
F
G
FP1
FP2
A
FP1
FyE
E
FxE
B
C
F
D
FyG
G
FxG
FP2
A
FyA
B
C
D
FyD
§3-8 刚体பைடு நூலகம்系的虚功原理
q

q

l 2

a

X
2
2 2c 4c
⑶ 解方程求FX
FX
X

FP

3 2
X

b 2c

0
x
B FFX X
X
b
3b FX 4c FP
2、应用虚功原理求静定结构的约束力－单位位移法
FP
例：求图 (a) 示简支梁 A 端的支座反力。 A 解：去掉 A 端约束并代以反力 FX
C B
构造相应的虚位移状态如图(b)示。 FX
隔离体的形式：结点（铰结点、刚结点、组合结点），杆件，某部分。
⑵ 约束力的类型 选取隔离体时，在截断约束处暴露出来的约束力成为隔离体的外力。 截断链杆－－有一个约束力（截面上的轴力）。 截断简单铰结－－一般有两个约束力。 截断梁式杆（或截断简单刚结）－－一般有三个约束力（截面上的轴力、
剪力和弯矩）。 截断可动饺支座、固定饺支座、固定支座时分別加一个、二个、三个支
座反力。
⑶ 隔离体的独立平衡方程
取铰结点为隔离体－－两个独立平衡方程。
取刚结点和组合结点为隔离体－－三个独立平衡方程。
取某部分（内部几何不变）为隔离体－－三个独立平衡方程。
对隔离体的平衡方程应当进行优选，使求解时尽量不解或少解联立方程。
最优情况是：每建立一个新的平衡方程，只含一个新的未知量。
FP
q
FP ，求扛杆平衡时在A端需加的未知力。
解：扛杆是一个可变体系，可绕 C 点自由
转动，如图(b)示。把这个刚体位移取作虚
位移，可得出虚功方程为：
A
X
FX X FP P 0
设 P 表示位移 P 和 X 之间的
A
比例系数：
P

P X
FX 1 FP p
0
§3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选
静定结构的受力分析，主要是利用平衡方程计算支座反力和杆件内力。 作出结构的内力图。
隔离体分析是受力分析的基础。先从结构中截取隔离体，将未知的反力 和内力暴露出来，使其成为隔离体上的外力，而后应用平衡方程计算约束反 力和内力。
1、隔离体的形式、约束力及独立平衡方程 ⑴ 隔离体的形式
的；在反对称荷载作用下变形是反对称的，其反力和内力也是反对称的；故
只计算半边即可。
q
⑷ 三铰斜杆刚架仅受竖向荷载作用时，可利用
C
三铰拱的内力公式计算斜杆的剪力和轴力。
FP1
D
FN x’
φ
φ FQ
y
y’
FHA
x
FVA
FQ FQ0 cos FH sin
FN FQ0 sin FH cos
。
1、虚功原理
表述：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无
限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
两种应用: 虚设位移 — 虚位移原理求静定结构的反力和内力。 虚设力系 — 虚力原理求刚体体系的位移。
第一种应用：虚设位移，求未知力。 FX
FP
例：图(a)示扛杆，其中B端作用巳知荷载 A
2
⑵ 虚功
力FP1 在由非该力引起的位移Δ’上所作
的功叫作虚功。
右图简支梁，先加上FP1 ，则两截面1、
Δ1
2 之位移分别为 1、2。
然后加 FP2 ，则1、2 截面产生新的位移 1 和 2 。
实功：
1 2
FP11
,
1 2
FP22
虚功：FP11 “虚”强调作功的力与位移无关
b a
FX

b a
FP
X
C B
a
b
(a)
C
P
B
(b)
C
P
B
(c)
通常取 X 1 (数值为1)
单位位移法
几点说明：
⑴ 这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡
方程，即
MC 0 X 1
⑵ 虚位移与实际力状态无关，故可虚设。
⑶ 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
a
b
(a)
力系在虚位移上所作的虚功总和
恒等于零。得出虚功方程为
FX 1 FP P 0
A
X 1
C
P
B
(b)
FX
FP P

b a
FP
FP
单位位移法的一般公式：
FX FP P
FX
例2：试求图示梁截面 C 的弯矩。
M
c
a
b
l
MC
M
MC

C
a
b
l
MC M 0
q
C
C
C
A
FP C
B
A
q
C
B
A
q
C
FN1
FN2
A
FxA FyA
FN
A
FxA FyA
B
B
FxB FyB
2、计算的简化和隔离体截取顺序的优选 掌握了结构的受力特点，就能简化计算。
⑴ 截断链杆截面上只有轴力；截断梁式杆截面上有轴力、剪力和弯矩。
⑵ 在桁架计算中，能识别出零杆或单杆，常可使计算简化。
⑶ 对称结构： 在对称荷载作用下变形是对称的，其反力和内力也是对称
用虚功原理求解问题的方法称为虚功法。
小结： ⑴ 虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。 ⑵ 求解问题直接，不涉及约束力。
例1：求机构平衡时在B点需加的力 FX = ? 解：⑴ 建立虚功方程
FFP P
FX X FP P 0
P
F
⑵ 几何关系
以 dθ 作为位移参数
b 2a cos , c a sin
D
E
有虚位移 dθ 时，b 和 c 的变化
3c c
db 2asin d
dc a cosd
y d C
由于
X db 2a sin d

A
P 3 dc 3acos d
P 3 ctg 3 b 3b
M
C

C a

C b


M
C a
0
MC

M
b ab

M
b l
例3：试求图示梁截面 C 的剪力。 q
c
a
b
l
q
FQC
a
FQC

b l
FQC a b
l
y q dx 0
0
FQC
l

q

1 2
a

a

q

1 2
b
b

0
FQC

b2 a2 2l