北邮概率论研究生试题答案定稿

北京邮电大学2012——2013学年第1学期

《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案

考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!

一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）

1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞

=∈U A ;

（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1

n n A ∞

=∈I A .

2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c

（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；

（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1

li ()()m n n n n P A A P ∞

→∞

==I ；

（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，1

1

()()n n n n P P A A ∞

∞

===∑U .

3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100

0()k A k f kI ω==∑，其中100

,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；

若已知100

100!1

!(100)()!2

k k k P A -=

，则2f dP Ω=⎰ . 0

2

10(),2550

2525k

k kP A =+=∑

4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度

2,01,0,

(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨

⎩

其他， 则[[|]]E E X Y = .2/3

5. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为

1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；

（2）20

(())E X t dt π

=⎰ .

,0,(;1)01,x

cos x e cos f x ωω-⎧>⎪

=⎨⎪⎩

其他，20(1())E X t dt π

ω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1

()()X t W t

=，则相关

函数2

(1,2)2

X R σ=

.

7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为

0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

则（1）()

11

lim n n p

→∞

= ；（2）()

33

n n p ∞

==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）

1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为

22

12

2

22

1(,)2x x f x y e σπσ

+-

=

,

令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .

解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩

得|,,u x v y v ⎧⎪=⎨⎪⎩≤=

所以雅可比行列式0

J =

=, 故

2221||,(,)(,)||20,u e v u g u v f x y J σπσ-⎧≤⎪==⎨⎪⎩

其他. ……5分

（2）对0u >，

2

22

1(,))2(u u U u

g u e g u v d v v σπσ-

∞

-∞-==⎰⎰

2

2

222

2

22u u

u u

e e u u σ

σπσ

σ

-

-

-=

=

⎰

,

故2

22,0,()20,.u

U e

u u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩

其他

……10分

2.（10分）设(,)U V 的概率密度

,0,0,

(,)0,

u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，

（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),

10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，

其他，（2）(|)D V U .

解 U 的边缘概率密度为

00,0,,0,

()(,)0,,0,

,u

u u u U e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨

⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度

|1

,0,

(,)(|)()0,V U U v u g u v v u u

g g u ⎧<<⎪==⎨⎪

⎩其他. ……4分

（1）

101{1}|1

111

()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰

……7分

（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2

(|)12

D U U V =。

……10分

3.（10分）设12,,,n X X X L 独立同分布，均服从两点分布，即

11{0},{1}=1-,(01)P X p P X p p ===<<，令12n X X X Y +++=L ，（1）求Y 的

特征函数；（2）求3()E Y .

解: （1）因为Y 服从二项分布(,)B n q ，所以Y 的特征函数

()()it n t p qe φ=+

……5分

（2）132()()n n E E X Y X X ++=+L 2

3

1,1,,,1,()()n

n

n

i

i

j i j k i i j j i

i j k EX E X X E X X X ====/=+

+

∑∑

∑

互不相等

23(1)(1)(2)nq n n q n n n q =+-+--

……10分